六年級(jí)數(shù)學(xué)秋季班-第17講：圓的組合圖形的相關(guān)練習(xí)-教師版

1、w內(nèi)容分析圓的組合圖形的相關(guān)練習(xí)5 / 12在此之前，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)許多幾何圖形，例如三角形、長(zhǎng)方形、圓、扇形等等，并掌握了它們的面積公式，我們將這些常見(jiàn)的圖形稱為基本圖形.還有一些較為復(fù)雜的非基本圖形，它們是由一些基本圖形組合而成的， 本講 中，我們一起來(lái)研究如何求組合圖形的面積.知識(shí)精講1、三角形的面積=或以22、等腰直角三角形的面積直角邊的平方2斜邊的平方4=長(zhǎng)寬.=邊長(zhǎng)的平方對(duì)角線之積2°上底+下底23、長(zhǎng)方形的面積4、正方形的面積5、菱形的面積6、梯形的面積=對(duì)角線的平方2高7、圓的面積=半徑的平方c 口帕小工口圓心角8、扇形的面積 =360半徑的平方習(xí)題精煉【例1】 如圖，

2、以半圓的半徑8厘米為直徑在半圓內(nèi)作一個(gè)圓，取 3.14)【難度】【答案】50.24平方厘米.【解析】S 1 R2r2 -8242 32161622求圖中陰影部分的面積.(50.24平方厘米.【總結(jié)】陰影部分的面積等于大半圓的面積減去中間圓的面積.【例2】 如圖，正方形的邊長(zhǎng)是 6厘米，則陰影部分的周長(zhǎng)是 厘米，面積是 平方厘米.（ 取3.14）【難度】【答案】61.68; 7.74.3.【解析】C 6 4 4 2 r 24 4 2 24 1261.68 厘米;2S 6 6 4 r2 36 4(-)2 36 97.74 平方厘米.【總結(jié)】陰影部分的周長(zhǎng)等于正方形的周長(zhǎng)加上四個(gè)等圓的周長(zhǎng),陰影部分

3、的面積等于正方形的面積減掉四個(gè)等圓的面積.【例3】 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為 6分米，求陰影部分的面積.（【難度】【答案】7.74平方分米.2【解析】S 6 6 2竺-36 97.74平方分米.360【總結(jié)】陰影部分的面積等于正方形的面積減掉兩個(gè)扇形的面積.取 3.14)【例4】 如圖，求陰影部分的面積.（取3.14）【難度】【答案】6.【解析】5m 3 2 6.【總結(jié)】通過(guò)割補(bǔ)法將陰影部分的扇形移到空白部分的扇處, 形的面積.從而陰影部分的面積就是長(zhǎng)方【例5】 如圖，長(zhǎng)方形的寬是 8厘米，求陰影部分的面積.（【難度】【答案】50.24平方厘米.21908【解析】S 16 8 - 16 88 8

4、6464236016【總結(jié)】此題中陰影部分的面積等于長(zhǎng)方形的面積減去三角形的面積再減去彎角處的空白部 分的面積.【例6】圖中,三個(gè)同心圓的半徑分別為2、6、10,則圖中陰影部分占大圓面積的%.Sb影33100102622225833 ,102 100S陰影33100考查陰影部分圖形的面積所占的百分比,注意通過(guò)割補(bǔ)，將陰影部分的面積移到一起.【例7】如圖，圓。的直徑為8厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？（18.24.陰影部分的面積等于一個(gè)大圓的面積加上一個(gè)大扇形的面積的和,減去空白部分面積的兩倍,而空白部分的面積是一個(gè)直角三角形的面積和一個(gè)半圓的面積的和.故 S 42 -482（2242)1

5、616(16)1632 18.24平方厘米.【總結(jié)】考查陰影部分圖形的面積的求法,注意用規(guī)則圖形的面積去表示陰影部分的面積.【例8】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2厘米，以圓弧為分界線的 A、B兩部分的面積的差是 平方厘米.（取3.14）【難度】【答案】2.28.1 1【解析】由題可得：Sa Sb - 2 2 - 2 2 1平萬(wàn)厘米;2 41452而 Sa -22 3.14 22 1.57 0.43 平萬(wàn)厘米;2360所以Sb 1 0.43 0.57平方厘米，故SbSa 0.57 0.43 0.14 平方厘米.【總結(jié)】本題中一方面要區(qū)分 A與B兩部分的面積，另一方面要認(rèn)真觀察，進(jìn)行分析.平方厘米.(解題

6、時(shí)要認(rèn)真分【解析】【總結(jié)】【例11 如圖，ABC是等腰直角三角形,AB = BC = 10,求陰影部分的面積.【難度】【答案】32.125.【解析】連接BD.11因?yàn)?S abd 10 5 25 , S|BD -24一2525所以S陰影 25一 32.125 .42D是半圓周的中點(diǎn),BC是半圓的直徑.已知:【總結(jié)】本題中連接取 3.14)215-55 2BD是關(guān)鍵點(diǎn)，這樣就可以將陰影部分進(jìn)行分割,從而進(jìn)行求解.【例9】 如圖，其中四個(gè)圓的直徑均為 4厘米，那么陰影部分的面積為取 3.14)16._22S 2(4 42 ) 16平方厘米.本題中陰影部分的面積等于一個(gè)正方形的面積減掉一個(gè)圓的面積,

7、析.【例10 如圖，扇形 AFB恰為一個(gè)圓的1, BCDE是正方形，邊長(zhǎng)為 3, AFBG也是正方410【例12 如圖，ABC是等腰直角三角形， 腰AB長(zhǎng)為4厘米，求陰影部分的面積.(取3.14)【難度】【答案】4平方厘米.【解析】連接BD,則上面陰影的弓形的面積等于空白弓形的面積，則陰影部分的面積就是直角三角形ABD的面積，故雨影14 22【總結(jié)】本題主要考查通過(guò)割補(bǔ)法求陰影部分面積.【例13 如圖，一個(gè)大正方形各邊都被四等分，分成十六個(gè)小正方形，圖A是一個(gè)圓，圖B是由三個(gè)半圓圍成的圖形，那么圖A與圖B的周長(zhǎng)的大小關(guān)系是 ,圖A與圖B的面積的大小關(guān)系是.【難度】【答案】Cb 2Ca ； Sa

8、 Sb .【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 4,則Ca 2 , Sa,1 2Cb 2 24, Sb 2，故 Cb 2Ca ； Sa Sb .2【總結(jié)】本題中圖 A就是一個(gè)圓，圖B是由三個(gè)半圓構(gòu)成的，因此主要考查圓的周長(zhǎng)和面 積的運(yùn)用.【例14 如圖，有半徑為 5厘米、4厘米、3厘米的三個(gè)圓，A部分 分）的面積與陰影部分的面積相比，哪個(gè)大？大多少？【難度】【答案】相等.【解析】大圓的面積為：52 25 ;22兩個(gè)內(nèi)圓的面積分別是：3 9 ;4 16 ;A部分的面積為：916 白色區(qū)域面積=25 白色區(qū)域面積；陰影部分面積為：25白色區(qū)域面積；所以，兩部分面積相等.【總結(jié)】半徑為5的大圓的面積，減掉半徑為3

9、和半徑為4的兩個(gè)小圓的面積的和， 再加上 一個(gè)A部分的面積，即為陰影部分面積.【例15 如圖，梯形 ABCD的面積是25平方厘米，求圓環(huán)的面積.（【難度】【答案】157平方厘米.【解析】圓環(huán)的面積等于大圓面積減小圓面積，即（OB2 OC2）；同時(shí)，已知梯形的面積又等于兩個(gè)三角形的面積的差，即:25 ，12121 2 一 2Soba S ocd - OB-OC-(OBOC )222所以圓環(huán)的面積為：50 157平方厘米.【總結(jié)】本題綜合型較強(qiáng)，亮點(diǎn)在于把圓環(huán)面積與三角形面積和梯形的面積結(jié)合起來(lái).【例16 如圖是由正方形和半圓形組成的圖形，其中P點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方形A一邊的中點(diǎn)，那么陰影

10、部分的面積是多少平方厘米？（取3.14）【難度】【答案】51.75平方厘米.【解析】連接PB .SW S正方形 ABCD %圓 S*A ABP SA BPQ1 21110 10 3.14 5- 10 15 - 5 52 2251.75平方厘米.【總結(jié)】本題主要考查如何將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的組合，從而求出面積.【例17 如圖，直角梯形的面積是 54平方厘米，求陰影部分的面積.【難度】【答案】11.61平方厘米.【解析】由題意，得圓的半徑 r 6厘米，所以a影S梯形S扇形5 3.14 62 11.61平方厘米-360【總結(jié)】本題主要要理解梯形的下底是2個(gè)半徑長(zhǎng)，從而求出陰影部分的面積.【例

11、18 如圖，直徑 AB為3厘米的半圓以點(diǎn) A為圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° ,使AB到達(dá)AC的位置，求圖中陰影部分的面積.（ 取3.14）【難度】【答案】4.71平方厘米.【解析】5月影S扇形abc 3.14 32 4.71平方厘米.360【總結(jié)】本題主要考查利用割補(bǔ)法將陰影部分轉(zhuǎn)化成一個(gè)扇形，從而求出面積.【例19 如圖， AOB 90 , C為Ab的中點(diǎn)，已知陰影甲的面積為16平方厘米，求陰Ai/、C影乙的面積.（ 取3.14）【難度】【答案】16平方厘米.【解析】由圖可知：與邑S半圓，邑邑S扇形，故S乙 0 16平方厘米.【總結(jié)】本題中要認(rèn)真觀察兩個(gè)陰影部分之間的關(guān)系，進(jìn)行和差運(yùn)算之

12、后求出面積.【例20 如圖，ABC是直角三角形，AB = 20米，陰影（1）的面積比陰影（2）的面積小23平方米，求BC的長(zhǎng)度是多少米？（取 3.14)【答案】18米.【解析】由題可知：S1 S2 23,故S1S空白S223潼白，即S半圓SVABC23 所以-210220 23 ,解得：BC 18米.【總結(jié)】本題中要認(rèn)真觀察兩個(gè)陰影部分之間的關(guān)系，進(jìn)行和差運(yùn)算之后求出面積.【例21 如圖，ABC為等腰直角三角形，D是AB的中點(diǎn)，AB = 20厘米，分別以A、B為圓心作弧GD、HD,求圖中陰影部分的面積.【答案】107平方厘米.【解析】由圖可知，兩圓半徑為10,由于圖形對(duì)稱,故只需要求出左邊部分

13、即可,為：S左陰影S扇形ADG Sa而左邊部分陰影面積1025 2 5 , 2取 3.14)25所以陰影部分面積為：5050 107平方厘米.【總結(jié)】本題中要認(rèn)真觀察圖形的特征，根據(jù)對(duì)稱性求出陰影部分的面積.【例22 如圖，AB與CD是兩條互相垂直的直徑，圓 O的半徑為15厘米,ACB=90 ，7 / 12Aeb是以c為圓心,AC為半徑的圓弧，求陰影部分的面積.（取 3.14)【答案】225平方厘米.【解析】因?yàn)锳C2Saabc 30 152所以AC2 30所以S陰影1522AC230 15-2225230 15430 152-2252225225219 / 12225平方厘米.從而再利用圖形

14、的組合【總結(jié)】本題的關(guān)鍵是要根據(jù)等面積法求出整個(gè)大圓的半徑的平方, 求出陰影部分的面積.【例23】 如圖，一塊半徑為 2厘米的圓板，從位置。1開始，依次沿線段 AB、BC、CD滾到位置2.如果AB、BC、CD的長(zhǎng)都是20厘米，那么圓板經(jīng)過(guò)區(qū)域的面積是多少平方厘米？（ 取3.14,結(jié)果保留兩位小數(shù)）228.07平方厘米.(202) 4 (204)422241181614 412204233228.07平方厘米.老師可本題綜合性很強(qiáng)，要分析清楚圓在每一條線段上掃過(guò)的面積，再進(jìn)行求解,以選擇性的講解.課后作業(yè)【作業(yè)1】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，陰影部分的面積是平方厘米.5.72平方厘米.,2122

15、(42212 2) 42故七影Sfe S空白4(24) 12 25.72平方厘米.考查陰影部分的面積的求法.【作業(yè)2】如圖，陰影部分的面積是100平方厘米,求圓環(huán)的面積.【答案】100 平方厘米.【解析】設(shè)大圓半徑為R,小圓半徑為r,則Sa環(huán) 品圓S小圓22(R r )，又S陰影»正方形R2r2 100,所以“環(huán)100平方厘米.【總結(jié)】本題中要注意正方形的邊長(zhǎng)就是相應(yīng)的圓的半徑.【作業(yè)3】邊長(zhǎng)為1的正方形中，分別以邊長(zhǎng)為直徑作 3個(gè)半圓.求圍成的陰影部分的面積.【解析】方法一：一個(gè)半圓面積加上一個(gè)正方形面積一半減去兩個(gè)四分之一扇形的面積的和，1,1、2/11,1、21,11、1即 S

16、w彳(t)1T-(-)-(-)222228282方法二：下面的半圓拆為兩個(gè)四分一直扇形拼在上面空白部分，正好與上方陰影部分組成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就等于正方形面積的一半.【總結(jié)】本題主要考查利用割補(bǔ)法求陰影部分的面積.【作業(yè)4】如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 5厘米，寬為4厘米,積是平方厘米.16.13;12.185.C陰影S扇形9051802905360904180,90(5 4 (54)(5 4)24360)414陰影部分的周長(zhǎng)是兩段弧的長(zhǎng)加上兩條線段的長(zhǎng),積減去長(zhǎng)方形的面積再加上小扇形的面積.【作業(yè)5】已知等腰直角三角形 ABC, D為斜邊中點(diǎn),別是以B、C為圓心畫的弧，求陰影部分的面積.1

17、平方分米.通過(guò)割補(bǔ)法可知,故S陰影S正方形CEDG則陰影部分的周長(zhǎng)為202 16.13 厘米,12.185平方厘米.厘米，面陰影部分的面積等于大扇形的面AC = BC = 2分米，弧 DF、弧DH分陰影部分的面積的等于正方形的面積, （1 2）2 1平方分米.2A【總結(jié)】考查利用割補(bǔ)法求陰影部分的面積.【作業(yè)6】如圖，圓的半徑都是 3厘米,則陰影部分的面積為平方厘米.【答案】3.87.【解析】三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)的和為180度，故而將三個(gè)扇形面積拼在一起，也就等于去求一個(gè)半徑為3厘米的圓的面積.2三角形面積：16 6 18,三個(gè)扇形的面積： 2360故陰影部分面積為：18 -3.87平方厘米

18、.2【總結(jié)】等腰直角三角形面積減去三個(gè)扇形面積既得陰影的部分面積.【作業(yè)7】如圖，等腰Rt ABC腰長(zhǎng)為10厘米，甲、乙兩個(gè)部分的面積相等，求扇形 AEF所在圓的面積.【難度】【答案】400平方厘米.【解析】因?yàn)榧?、乙兩個(gè)部分的面積相等，所以S扇形 AEFSA ABC，即453602r 110 102所以扇形所在圓的面積為:50 36045400平方厘米.【總結(jié)】本題要注意所求的是扇形所在的圓的面積，而不是的扇形的面積.【作業(yè)8】正方形的邊長(zhǎng)為8厘米，一個(gè)半徑為1厘米的圓沿著正方形的四邊內(nèi)側(cè)滾動(dòng)一周, 求圓滾過(guò)的面積.【難度】【答案】47.14平方厘米.【解析】經(jīng)過(guò)分析可知圓掃過(guò)的面積為，大正方形的面積減去中間空白處的小正方形的面積 再減去四個(gè)彎