2019屆高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破--立體幾何初步：直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)有解析

1、2019屆高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破-立體幾何初步：直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（有解析）直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】1.直線與平面垂直（1）定義：如果直線l與平面口內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面口垂直.（2）判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.（3）推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.（4）直線和平面垂直的性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行.直線垂直于平面，則垂直于這個平面內(nèi)的任一直線.垂直于同一條直線的兩平面平行.2.直線和平面所成的角（1）平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線

2、和這個平面所成的角.（2）當(dāng)直線與平面垂直和平行（或直線在平面內(nèi)）時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90和00.3.二面角的有關(guān)概念（1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.4.平面與平面垂直（1）定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.（2）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直l，l?B?性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平

3、面垂直ocX3l?B%B=al，a?lXa【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐PABCB,PL底面ABCDABIAQACLCD/AB已60,PA=AB=BQE是PC的中點(diǎn).證明：（1）CD，AE（2）PD，平面ABE.解析（1）在四棱錐P-ABCM,.PAL底面ABCDCD?平面ABCDPALCD又.ACLCD且PAHAG=A,.CDL平面PAC而AE?平面PAC.CDLAE.（2）由PA=AB=BC/ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中點(diǎn)，.AE!PC.由（1）知AE!CD且P6CD=C,.AE!平面PCD而PD?平面PCD.AE1PD.PAL底面ABCDAB

4、?平面ABCD.PALAB.又.ABIAD且PAIAD=A,.AB!平面PAD而PD?平面PAD/.ABIPD.又ABnAE=A,.PDL平面ABE.【類題通法】1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a/b,a，?b，);(3)面面平行的性質(zhì)(a，%,%/B?a，B)；(4)面面垂直的性質(zhì).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.【對點(diǎn)訓(xùn)練】如圖，在三棱錐ABC前，AB1平面BCDCBD.(1)求證：CDL平面ABD(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點(diǎn)，求

5、三棱錐AMBC勺體積.解析(1)因?yàn)锳B1平面BCDCD?平面BCD所以ABICD.又因?yàn)镃DLBDABABD=B,AB?平面ABDBD?平面ABD所以CD1平面ABD.(2)由AB1平面BCD彳導(dǎo)AB!BD.又AB=BD=1,所以SJAAB氏12X12=12.因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以SJAABIM=12必AB氏14.根據(jù)(1)知，CDL平面ABD貝U三棱錐CABM的高h(yuǎn)=CD=1,故VAMBCVCABM13必ABM?h112.考點(diǎn)二、面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】如圖，四邊形ABC四菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BU平面ABCD.(1)證明：平面AECL平面BED(2)若ZABC=120,AUE

6、C三棱錐EACD勺體積為63,求該三棱錐的側(cè)面積.解析(1)因?yàn)樗倪呅蜛BC四菱形，所以ACLBD.因?yàn)锽E平面ABCD所以ACLBE.故ACL平面BED.又AC?平面AEC所以平面AECL平面BED.設(shè)AB=x,在菱形ABCD由/ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=x2.因?yàn)锳E!EC所以在RtzAEC中，可得EG=32x.由BE1平面ABCD知4EB朋直角三角形，可得BE=22x.由已知得，三棱錐EACD勺體積V三棱錐EACD=13X12?AC?GD?BE624x3=63,故x=2.從而可得AE=EC=ED=6.所以AEAC的面積為3,/£人/勺面積與ECD勺面積

7、均為5.故三棱錐EACD勺側(cè)面積為3+25.【類題通法】1.面面垂直的證明的兩種思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線；(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.2.垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：【對點(diǎn)訓(xùn)練】如圖，在四棱錐PABCB,AB/ZCQ且/BAP=/CDP=90.(1)證明：平面PABL平面PAD(2)若PA=PD=AB=DCZAPD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為83,求該四棱專t的側(cè)面積.解析(1)由已知/BAP=/CDP=90,得ABIPACDLPD.由于AB/CD故AB&#

8、177;PD.又PAHPD=P,PAPD?平面PAD從而AB1平面PAD.又AB?平面PAB所以平面PABL平面PAD.(2)如圖，在平面PAD內(nèi)彳PUAD垂足為E.由(1)知，AB1平面PAD故AB!PE,又ABAAD=A,可得Pn平面ABCD.設(shè)AB=x,則由已知可得AD=2x,P&22x,故四棱錐P-ABCD勺體積VPABCD=13AB?AD?PE13x3.由題設(shè)得13x3=83,故x=2.從而結(jié)合已知可得PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=22,PB=PG=22,可得四棱錐P-ABCD勺側(cè)面積為12PA?PD-12PA?AB-12PD?DG12BC2sin60=6+23.考

9、點(diǎn)三、平行與垂直的綜合問題【例3】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C中，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DLA1F,A1C11A1B1.求證：(1)直線D日平面A1C1F(2)平面B1DE1平面A1C1F.解析(1)在直三棱柱ABCA1B1C中，A1C1/AC.在4ABC中，因?yàn)镈,E分別為ARBC的中點(diǎn)，所以DE/ZAC于是DE/A1C1.又因?yàn)镈E?平面A1C1FA1C1?平面A1C1F所以直線DE/平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1AL平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1所以A1ALA1C1.又因?yàn)锳1C11A1B1,A1A?平面

10、ABB1A1A1B1?平面ABB1A1A1AHA1B1=A1,所以A1C11平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1所以A1C11B1D.又因?yàn)锽1DLA1F,A1C1?平面A1C1FA1F?平面A1C1FA1C1AA1F=A1,所以B1DL平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE所以平面B1DEL平面A1C1F.【類題通法】1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.【對點(diǎn)訓(xùn)練】在三棱錐VAB計，平面VABL平面ABCAVAB為等邊三角形，ACLBC且AC=BC=2,O,M分別為AR

11、VA的中點(diǎn).(1)求證：VB/平面MOC(2)求證：平面MOC平面VAB解析(1)因?yàn)镼M分別為AB,VA的中點(diǎn)，所以O(shè)M/VB.又因?yàn)閂B平面MOC所以VB/平面MOC.因?yàn)锳G=BCO為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)CLAB.又因?yàn)槠矫鎂ABL平面ABC且OC?平面ABC所以O(shè)Q平面VAB.所以平面MOC平面VAB.【例4】如圖，在三棱柱ABCA1B1C件，側(cè)面ABB1A健矩形，/BAC90,AA仕BCAA1=AG=2AB=4,且BCUA1C.（1）求證：平面ABC也平面A1ACC1（2）設(shè)D是A1C1的中點(diǎn)，判斷并證明在線段BB1上是否存在點(diǎn)E,使得DE/平面ABC1.若存在，求三棱錐EABC1的體

12、積.解析（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1M矩形，/.AAUAB,又AA1,BCABABG=B,.A1AL平面ABC,A1ALAC又A1A=AC/.A1CLAC1.又BCUA1CBC1AAC仁C1,.A1CL平面ABC1又A1C?平面A1ACC1平面ABC也平面A1ACC1.（2）當(dāng)E為B1B的中點(diǎn)時,連接AEEC1,DE,如圖，取A1A的中點(diǎn)F,連接EF,FQ;EF/AB,DF/AC1,又EFADF=F,ABAAC仁A,.平面EFD/平面ABC1又DE?平面EFD.DE/平面ABC1.止匕時VEABC仁VC1ABE=13X12X2X2X4=83.【類題通法】1.對命題條件探

13、索性的主要途徑：（1）先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；（2）先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.2.平行（垂直）中點(diǎn)的位置探索性問題：一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點(diǎn).【對點(diǎn)訓(xùn)練】如圖，在四棱錐PABC沖，PALCDAD/BC/ADC=/PAB=90,BC=CD=12AD.（1）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M使得直線CM/平面PAB并說明理由；（2）證明：平面PABL平面PBD.解析（1）取棱AD的中點(diǎn)M（ME平面PAD）,點(diǎn)M即為所求的一個點(diǎn).理由如下：連接CM因?yàn)锳D/BCBG=12AD所以BC/AM且BC=AM.所以四邊形AMC層平行四邊形，所以CM/AB.又AB?平面PABCMT平面PAB所以CM/平面PAB.（說明：取棱PD的中點(diǎn)