《高等數(shù)學(xué)》教案

1、?高等數(shù)學(xué)?授課教案第一講高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)介紹、函數(shù)了解新數(shù)學(xué)熟悉觀,掌握根本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)；熟練復(fù)合函數(shù)的分解.重難點(diǎn)： 數(shù)學(xué)新熟悉,根本初等函數(shù),復(fù)合函數(shù)教學(xué)程序數(shù)學(xué)的新熟悉一函數(shù)概念、 性質(zhì)(分段函數(shù))一根本初等函數(shù)一復(fù)合函數(shù)一初等函數(shù)一例子(定義域、 函數(shù)的分解與復(fù)合、 分段函數(shù)的圖像)授課提要：前言： 本講首先是?高等數(shù)學(xué)?的學(xué)習(xí)介紹,其次是對(duì)中學(xué)學(xué)過的函數(shù)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié)(函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,是事物普遍聯(lián)系的定量反映.高等數(shù)學(xué)主要以函數(shù)作為研究對(duì)象,因此必須對(duì)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)有深刻的理解).一、新教程序言1、為什么要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(1)文化根底一一數(shù)學(xué)是一種文

2、化,它的準(zhǔn)確性、嚴(yán)格性、應(yīng)用廣泛性,是現(xiàn)代社會(huì)文明的重要思維特征,是促進(jìn)社會(huì)物質(zhì)文明和精神文明的重要力量；(2)開發(fā)大腦一一數(shù)學(xué)是思維練習(xí)的體操,對(duì)于練習(xí)和開發(fā)我們的大腦(左腦)有全面的作用；(3)知識(shí)技術(shù)一一數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的根底,是我們生活和工作的一種水平和技術(shù)；(4)智慧開發(fā)一一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是培養(yǎng)人的思維水平,這種水平為人的一生提供持續(xù)開展的動(dòng)力.2、對(duì)數(shù)學(xué)的新熟悉(1)新數(shù)學(xué)觀一一數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué),它為自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)提供思想和方法,是推動(dòng)人類進(jìn)步的重要力量；(2)新數(shù)學(xué)教育觀一一數(shù)學(xué)教育(學(xué)習(xí))的目的：數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)人的科學(xué)文化素質(zhì),包括開展人的

3、思維水平和創(chuàng)新水平.(3)新數(shù)學(xué)素質(zhì)教育觀一一數(shù)學(xué)教育(學(xué)習(xí))的意義：通過“數(shù)學(xué)素質(zhì)而培養(yǎng)人的“一般素質(zhì).見教材“序言、函數(shù)概念教學(xué)目的:1、函數(shù)定義:變量間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系(單值對(duì)應(yīng)).(用變化的觀點(diǎn)定義函數(shù)),記：y=f(x)(說明表達(dá)式的含義)(1)定義域：自變量的取值集合(D).值域：函數(shù)值的集合,即yy=f(x),xwD.例1、求函數(shù)y=ln(1-x2)的定義域？2、函數(shù)的圖像:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,那么點(diǎn)集(x,y)y=f(x),xwD就構(gòu)成函數(shù)的圖像.例如：熟悉根本初等函數(shù)的圖像.3、分段函數(shù):對(duì)自變量的不同取值范圍,函數(shù)用不同的表達(dá)式.例如：符號(hào)函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整

4、函數(shù)等.分段函數(shù)的定義域:不同自變量取值范圍的并集.22c例2、作函數(shù)f(x)=1x,x0的圖像？2x,x之022_一一x.x20一例3、求函數(shù)f(x)=的定義域及函數(shù)值f(-1),f(0),f(1)?Jx:2x2-x31/,、arcsinx,、-“、arccosx(4)lim(5)lim(1+2x)(6)limx02xx,二2x,八 322、求極限lim(x(2xJ)?3 3、求極限：lim(1+a)bx+?eabxJ(2x3)5Xfx4、lim(x+ax+2x)=1,求a的值？2一二x15、用導(dǎo)數(shù)定義,求函數(shù)f(x)=x2-1在x=1處的導(dǎo)數(shù)?6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=t2+3,求(1)物

5、體在t=2秒和t=3秒間的平均速度?(2)求物體在t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度？【B組】1 1、設(shè)f(x)=ex,求極限叫f(x+tx)?f=)2、設(shè)函數(shù)f(x)=Jm(1+4)t(x=0),求f(ln2)?23、證實(shí)導(dǎo)數(shù)公式：廠毀舊14、一藥品進(jìn)入人體t小時(shí)的效力E(9t+3t2-t3),0t4.5,求t=2,3,4時(shí)27的效力E的變化率?0.9750.950.9250.90.8750.8523.、xx15、設(shè)f(x)=3xI,那么f(x)在x=1處A.2x,x1A、左右導(dǎo)數(shù)都存在B、左導(dǎo)數(shù)存在,右導(dǎo)數(shù)不存在C、右導(dǎo)數(shù)存在,左導(dǎo)數(shù)不存在D、都不存在6.假設(shè)limf(x)-f(a)=A(A為常數(shù)),試

6、判斷以下命題是否正確.全部xax-a(1)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)；(2)f(x)在點(diǎn)x=a處連續(xù)；(3)f(x)-f(a)=A(x-a)+o(x-a)；數(shù)學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn)：兩個(gè)重要極限的圖像熟悉Y-0.50.5!m：(1x2.72.652.62.552.52.452004006008001000 X1sinx/二1x3、等價(jià)無窮小的宜觀熟悉：(XT0,xsinxtanx第三講導(dǎo)數(shù)的概念二教學(xué)目的：熟悉導(dǎo)數(shù)根本公式；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求切線方程.重難點(diǎn):根本導(dǎo)數(shù)公式,導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程教學(xué)程序：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義一根本導(dǎo)數(shù)公式一例子求導(dǎo)數(shù)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義一例子切線方程一導(dǎo)數(shù)的物理意義例子授課提要

7、：一、根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1、求y=x2的導(dǎo)數(shù)？由導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)于是我們有公式：C=0;x：,=：x:4;sinx=cosx同樣,由定義可得根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：,1x.xcosx=-sinx;Inx=一；e=ex二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么u,v為可導(dǎo)函數(shù)1、代數(shù)和：u土v=uv2、數(shù)乘：ku=ku例2、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1y=2x23x-12y=x23y=3sinx-14y=x2.xx例3、求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值？1y=tanx,x=二2y=2ex3x2,x=1三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(作圖說明)結(jié)論：f(X.)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(xd(x0)的切線斜率.1例4、求曲線y=“；x-在點(diǎn)(1,0)處

8、的切線萬程？x例5、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且lim-f(1x)=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)J02x(1,f(1)處的切線斜率？導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的物理意義結(jié)論：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)方程為S=s(t),那么S(t)表示物體在時(shí)刻t的瞬間速度.例6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=t2+2t+3,求物體在時(shí)刻t=1時(shí)的速度？1例7、求曲線y=1x3-x2-x-3上一點(diǎn),使過該點(diǎn)的切線平行于直線32x-y+2=0.乂=城x=-1例8、設(shè)某產(chǎn)品的本錢滿足函數(shù)關(guān)系：C(x)=x2+x-3(x為產(chǎn)量),求x=2時(shí)的邊際本錢,并說明其經(jīng)濟(jì)意義.思考題|：f(x0)與f(x0)有無區(qū)別?f(%)=f,(x)|x-,f(x

9、)r=0探究題I：導(dǎo)數(shù)f(x)的值可不可以為負(fù)值？舉例說明.可以小結(jié)|：導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：局部線性之美(y=f(x0)(x-x0)十f(x0).它將可導(dǎo)曲線在局部線性化,它是由函數(shù)局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的工具和方法.作業(yè)|：P25(A:1);P28(A:1,3)課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)概念二)【人組】1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1y=x2(2)y=2x3(3)y=2sinx(4)y=x25x3(5)y=3xx2、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)23.111-x.x(1)y=1x-3x(2)y=(3)y=xInx(4)y=e-2x3、求函數(shù)y=ex+2x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？數(shù)學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義和美學(xué)價(jià)值1、導(dǎo)數(shù)的定義24

10、、設(shè)f(x)=x+2sinx+3,求f(0),f()?25、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=2t2+3t1,求時(shí)刻t=3時(shí)的速度？6、拋物線y=x2在何處切線與Ox軸正向夾角為-,并且求該處切線的方程.4【B組】1、一球體受力在斜面上向上滾動(dòng),在t秒末離開初始位置的距離為s=3t-t2,問其初速度為多少？何時(shí)開始向下滾動(dòng)？x21,一、一,2、曲線y=與y=1+lnx相父于點(diǎn)2相切,并求出切線方程？(1)在x=0處比擬：曲線y=sinx與切線y=X；(1,1),證實(shí)兩曲線在該點(diǎn)處(切線問題)2、3、導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：曲線的局部線性化O(2)在x=1處比擬：曲線y=x2+1與切線y=2x第四講求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法

11、那么(一)教學(xué)目的:掌握根本導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).重難點(diǎn)： 根本導(dǎo)數(shù)公式與法那么教學(xué)程序： 根本公式一運(yùn)算法那么一例子一二階導(dǎo)數(shù)的定義及求法授課提要：一、根本導(dǎo)數(shù)公式由導(dǎo)數(shù)的定義,我們可以得到如下根本導(dǎo)數(shù)公式：.-.11(C)=0;(x)=1;(x)-x;(e)=e;(Inx)=一x22(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;(tanx)=secx;(cotx)=-cscx二、導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么設(shè)u、v為可導(dǎo)函數(shù),那么FF1、(u土v)=u士V2、(ku)=ku(k=0)Fuu:,上,Au、uV-uv/一小3、(uv)=uv+uv4、一|=2(v#0)lv

12、)v例1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2-x2.(1)y=3x-x1(2)y=(3)y=lnx-e(4)y=ecosxx例2、求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值?(1)y=tanx,x-二(2)y=2ex3x2,x=1例3、設(shè)y=x2lnx,求證：xy2y=x2例4、曲線y=xln人的切線與直線2x+2y+3=0垂直,求此切線方程?三、二階導(dǎo)數(shù)1、定義：假設(shè)導(dǎo)函數(shù)f(x)再求導(dǎo)數(shù),稱為f(x)的二階導(dǎo)數(shù).記：f(x)2、求法：由定義知,求二階導(dǎo)數(shù)的方法與求一階導(dǎo)數(shù)的方法一致.例5、求以下二階導(dǎo)數(shù)1-x2VV(1)y=3x-x1(2)y=(3)y=Inxe(4)y=xex3、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：s=s

13、(t),那么s*表示物體在時(shí)刻t的加速度例6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：s=3t3-2t+2,求t=2時(shí)的速度和加速度?思考題1 .思考以下命題是否成立？(1)假設(shè)f(x),g(x)在點(diǎn)x0處都不可導(dǎo),那么f(x)+g(x)點(diǎn)x0處也一定不可導(dǎo)答：命題不成立.f(x),g(x)在x=0處均不可導(dǎo),但其和函數(shù)(2)假設(shè)f(x)在點(diǎn)XO處可導(dǎo),g(x)在點(diǎn)XO處不可導(dǎo),那么f(x)+g(x)在點(diǎn)XO處一定不可導(dǎo).答：命題成立.原因：假設(shè)f(x)+g(x)在XO處可導(dǎo),由f(x)在XO處點(diǎn)可導(dǎo)知g(x)=f(x)+g(x)-f(x)在x0點(diǎn)處也可導(dǎo),矛盾.探究題I：某產(chǎn)品的需求方程和總本錢函數(shù)分別為P+0

14、.1x=80,C(x)=5000+20 x,其中x為銷售量,P為價(jià)格.求邊際利潤(rùn),并計(jì)算x=150和x=400時(shí)的邊際利潤(rùn),解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義.導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義小結(jié)導(dǎo)數(shù)的物理意義更深層次反映了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運(yùn)動(dòng)的變化率.s,(t)指路程對(duì)時(shí)間的變化率,s“指速度對(duì)時(shí)間的變化率.二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義：反映曲線的凹向.如:x-0,x0,rx,g(x)=u,x-0,x0,f(x)+g(x)=x在x=0處可導(dǎo).作業(yè)I：P30(A:1-2)小知識(shí)數(shù)學(xué)的三次危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：無理數(shù)的產(chǎn)生.(單位正方形的對(duì)角線長(zhǎng))第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：微積分的產(chǎn)生和完善.(極限和無窮小的定義)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)：集合論

15、的產(chǎn)生.(羅素悖論)課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)公式與法那么一)【人組】1、求以下導(dǎo)數(shù)22一、一2(1)y=3x-Inx3(2)y=(3)y=xInx(4)y=(sinx)x22、曲線y=x3ex在何處有水平切線？x=-2/33、曲線y=xln的切線與直線2x+2y+3=0垂直,求此切線方程？e4、求以下二階導(dǎo)數(shù)2,_1一(1)(1)y=3x-Inx(2)y=一(3)y=xInxx【B組】1、設(shè)曲線y=xn在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn,0),求極限r(nóng)limf(xn)?2、假設(shè)f(0)=0,叫=3,求f(0)?1f(x0h)-f(x0-2h)-3、設(shè)f(x0)=2,求四?-24、f(x)=x29

16、(x),中(x)二階連續(xù)可導(dǎo),求f“(0)?29(0)5、 設(shè)某種汽車剎車后運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S=19.2t-0.4t3,假設(shè)汽車作直線運(yùn)動(dòng),求汽車在t=4秒時(shí)的速度和加速度.數(shù)學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像比擬(y=x3,y,=3x2,y*=6x)Y第五講求導(dǎo)法那么(二)、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的:了解函數(shù)的連續(xù)性的概念,理解連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系重難點(diǎn)： 根本導(dǎo)數(shù)公式,連續(xù)的幾何直觀、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系教學(xué)程序|：復(fù)習(xí)根本導(dǎo)數(shù)公式、法那么一連續(xù)概念(極限定義)一連續(xù)的條件初等函數(shù)的連續(xù)性一可導(dǎo)與連續(xù)(例)一連續(xù)函數(shù)的極限(例子)授課提要：一、復(fù)習(xí)根本導(dǎo)數(shù)公式和法那么舉例：(略)二、連續(xù)的概念(作圖直觀理解)1、定

17、義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在X0點(diǎn)及附近有定義,當(dāng)XTxo時(shí),有f(x)Tf(x0),那么稱f(x)在xo點(diǎn)連續(xù).典連續(xù)是一種特殊的極限.連續(xù)有極限,反之不成立.例 1 1、試證y=|x在 x=0 x=0 處連續(xù)？三、函數(shù)連續(xù)的條件(1)(1)f(x)f(x)在xo點(diǎn)及附近有定義(2)(2)f(x)f(x)在xo點(diǎn)的極限存在(3)(3)極限值等于函數(shù)值.例 2 2、討論函數(shù)y=X,X0在 x=0 x=0 處的連續(xù)性？J,x5、設(shè)f(x)=xsin,x_0,問a為何值時(shí),函數(shù)在x=0處連續(xù)？2a-ex,x父0【B組】r2/x,x1.1心,的圖像?1,xWI2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處連續(xù),且lim3

18、=2,求f(2)?2x2x-23,3、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(2)=2,f(2)=1,求lim(x)?12x-2x-21、作函數(shù)x2、一xx13.x1.5、x=1是函數(shù)y=的(B)x-1(A)連續(xù)點(diǎn)(B)可去間斷點(diǎn)(C)跳躍間斷點(diǎn)(D)無窮間斷點(diǎn)a,*6、假設(shè)f(x)在0,a上連續(xù),且f(0)=f(a),試證：萬程f(x)=f(x+)在2(0,a)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.提示：作新函數(shù),在0,1上使用月留學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn)不可導(dǎo)點(diǎn)的類型1、連續(xù)而不引導(dǎo)的點(diǎn)(尖、折點(diǎn))(-7.5-5-2.52.557.52、不連續(xù)點(diǎn)為/、可導(dǎo)點(diǎn)：.-3-2-1123廠3點(diǎn)存在定理J如：y=sinx在x=kn,y=Vx2ft

19、x=0)-3-2-112310.5:-2-112-0.5.,1-3第六講定積分的概念教學(xué)目的:了解定積分的概念,理解定積分的幾何意義重難點(diǎn)：作為面積的定積分概念教學(xué)程序提出問題一解決問題思想一定積分定義一定積分的幾何意義例子一定積分的性質(zhì)簡(jiǎn)單授課提要：前言：在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多問題中,經(jīng)常會(huì)遇到各種平面圖形的面積計(jì)算.對(duì)于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積,可以用初等數(shù)學(xué)的方法計(jì)算,但由任一連續(xù)圍成的圖形的面積就不會(huì)計(jì)算.下面討論由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形的面積的計(jì)算方法.一、問題引入1、曲邊梯形的定義所謂曲邊梯形是指有三條直線段、其中兩條相互平行,第三條與這兩條相互垂直,第四條

20、邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形.如下圖2、引例：如何求曲線y=x2,x=0,x=1,y=0所圍成的面積？特殊曲邊梯形1分析問題假設(shè)將曲邊梯形與矩形比擬,差異在于矩形的四邊都是直的,而曲邊梯形有一條邊是曲的.1-0.5Y-11.510.5-0.5-1-1.5設(shè)想：用矩形近似代替曲邊梯形.為了減少誤差,把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形,并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積.當(dāng)分割越細(xì),所得的近似值越接近準(zhǔn)確值,通過求小矩形面積之和的極限,就求得了曲邊梯形得面積.(2)解決問題(思路)第一步：分割第二步：近似代替第三步：求和第四步：取極限二、定積分的定義現(xiàn)實(shí)中許多實(shí)例,盡管實(shí)際意義不同,但解決問題的

21、方法是一樣的：按“分割取近似,求和取極限的方法、將所求的量歸結(jié)為一個(gè)和式極限.我們稱這種“和式極限為函數(shù)的定積分.bn定義：ff(x)dx=limNf(O)Ax.(說明定積分中各符號(hào)的稱謂)anj二i119由定積分的定義知,以上實(shí)例可以表示成定積分：面積A=x2dx說那么:定積分是一個(gè)特殊的和式極限,因此,它是一個(gè)常量,它只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間a,b有關(guān),而與積分變量用何字母表示無關(guān).三、定積分的幾何意義(作圖)當(dāng)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)時(shí),定積分可分成三種形式：1、假設(shè)在a,b上,f(x)0,那么定積分表示由曲線f(x),直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A,即f(x

22、)dx=A,a2、假設(shè)在a,b上,f(x)0(T)4、f(x)dx=f(x)(F)、a、,、用定積分表示面積：3(1)曲線y=x,直線x=-1,x=1及丫=0所圍成的平面？由方程x2+y2=4所確定的圓的面積？b、用定積分的定義計(jì)算定積分Jcdx,其中c為一定常數(shù)a(1)f(x)dx=0,a(4)積分中值定理:設(shè)函數(shù)f(x)在以a,一個(gè)之(中值),使bdx=b-aaa,b之間至少存在yy=f(x).臟；早;:;:三項(xiàng)j：xa【B組】1一一、由定積分的幾何意義計(jì)算：由-*dx?二、由定積分的幾何意義求直線y=2x+1,x=1,x=2,y=0所圍成的平面圖形的面積？三、用定積分的定義求曲線y=x2

23、+1,x=1,x=2,y=0所圍成的平面圖形的面積？數(shù)學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn)：定積分思想的幾何直觀1、函數(shù)y=x2在0,1上所圍成的面積分析:(1)步長(zhǎng)為0.1的分割.(n=10)(2)步長(zhǎng)為0.05的分割.(n=20)(3)步長(zhǎng)為0.01的分割.(n=100)第七講定積分與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：掌握原函數(shù)的概念及N-L公式重難點(diǎn)：作為路程的定積分、微積分根本定理教學(xué)程序上復(fù)習(xí)定積分概念(和式極限)一原函數(shù)一N-L公式(求路程)推導(dǎo)一NL公式(計(jì)算方法)一定積分的計(jì)算(簡(jiǎn)單)授課提要：前言：定積分是一個(gè)重要的概念,如果用定義來計(jì)算,計(jì)算復(fù)雜且不易,所以必須尋找新的計(jì)算方法.下面將研究定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.一、原函數(shù)

24、的概念定義：假設(shè)在某一區(qū)間上有F(x)=f(x),那么稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù).如：(x2),=2x,所以x2是2x的一個(gè)原函數(shù),同理,x2+1也是它的原函數(shù).(說明：原函數(shù)不唯一)*二、變上限函數(shù)x設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),且xwa,b,那么稱函數(shù)f(t)dt為變上限函數(shù).記xp(x)=ff(t)dto它有如下性質(zhì):ab(1)p(a)=0,p(b)=f(t)dt;a(2)假設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),那么p(x)在a,b上可導(dǎo),且有p(x)=f(x).由性質(zhì)及原函數(shù)的定義知,p(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù).定理(原函數(shù)存在定理)假設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),那么其原函數(shù)一定存在,且原

25、x函數(shù)可表示為F(x)=f(t)dtaxdxsintdt例1、求一(Tcos2tdt)?例2、求1嗎2一?三、NL公式(直觀推導(dǎo))設(shè)一輛汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)(如圖),從時(shí)刻a到b,求其經(jīng)過的路程？(1)假設(shè)路程函數(shù)s=s(t),那么s=s(b)-s(a)；b(2)假設(shè)速度函數(shù)v=v(t),那么由定積分有s=fv(t)dt=s(b)-s(a)；a(3)s與v有如下關(guān)系：s(t)=v(t),即s是v(t)的一個(gè)原函數(shù).一般地,有如下定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),那么baf(x)dx=F(b)-F(a)a:(1)NL公式揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分)問的聯(lián)系

26、,給定積分的計(jì)算提供了有效而簡(jiǎn)便的方法.(2)由定義知求定積分的步驟：求原函數(shù)求原函數(shù)的增量例3、求以下定積分：,12221(1)gxdx(2)sinxdx(3)/(3x+-)dxx例4、求由曲線y=sinx,直線x=0,x=兀,y=0所圍成的圖形面積？例5、求曲線y=x2+1,x=1,x=2,y=0所圍成的平面圖形的面積？例6、設(shè)物體的速度v=2sint,求時(shí)段0,叼的距離？思考題：dx1、一(sintdt)=?dt1xdx答：由于(sintdt是以x為自變量的函數(shù),故一(sintdt=0.1dt122、(1f(x)dx)=?22答：由于ff(x)dx是常數(shù),故(f(x)dx),=0.db_

27、、3、ff(x)dx=?dxab.db答：由于f(x)dx的結(jié)果中不含x,故一Jf(x)dx=0.adxa.dx2 一4、fcostdx=?dxadx22答：由變上限7E積分求導(dǎo)公式,知一ccostdx=cosx.dxa小結(jié)I：NL公式的意義： 將矛盾的“微分與“積分統(tǒng)一起來,是哲學(xué)中的“對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律的具體表現(xiàn),是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一.其美學(xué)價(jià)值：宏觀上的統(tǒng)一之美.作業(yè)|：P46(A:1);(B：1)課堂練習(xí)(定積分與導(dǎo)數(shù))【A組】1、計(jì)算以下定積分：,、221二 Y2x212(1)f(3x+-+2)dx(2)(e+cos-)dx(3)f(x+)dx1x021x,、211Tdx1x12、求曲線

28、y=-,x=1,x13、設(shè)g(2x+k)dx=3,、一 X24、設(shè)10f(t)dt=ln(x2+1),求f(x)?兩邊求導(dǎo)數(shù)【B組】/、2：-;(6)|sinx|dx0 x=2,y=0所圍成的圖形的面積?求k的值？2x)dxx1、設(shè)6+If(t)dt=2x,求a的值？3asinx2、求導(dǎo)數(shù)：一edt?ecosxdx03、用定積分求極限：lim二J十二十;1十2十十13fFdxn；：nnnn01x2n*4、利用定積分的性質(zhì)求極限：nm?Fdx?估值定理、夾值定理xdt*5、證實(shí)萬程3x-1-03了=0在0,1內(nèi)有唯一實(shí)根.數(shù)學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn)定積分：fsinxdx=0的幾何直觀Y第八講習(xí)題課導(dǎo)數(shù)與定積分

29、教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容,掌握根本概念與方法一、根本概念及方法：1、極限的概念,求極限的方法；2、導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法那么3、導(dǎo)數(shù)的幾何、物理及經(jīng)濟(jì)意義4、定積分的概念,定積分的幾何、物理意義經(jīng)濟(jì)意義5、用N-L公式求定積分二、基此題型:1、求以下極限*6、設(shè)fx在0,4上連續(xù),且x22ff(t)dt=x-43,貝Uf(2)=1/4-1X求曲線y=x3+1在點(diǎn)(1,2)處的切線方程?求S=2t3t+3在t=2時(shí)的速度？物體的速度為v(t)=2cost,求時(shí)段0,3經(jīng)過的路程?2那么曲線y=f(x),直線x=a,x=b及y=0所圍成的曲邊f(xié)(x)dx1、無窮小的定義與性質(zhì)定義：假設(shè)li

30、mcc(x)=0(limct(x)=0),那么稱ct(x)當(dāng)xTx0(xT空)時(shí)為無窮小.x3x0 x-性質(zhì):有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小.例1、求極限時(shí)皿,lim亞？x0 xx.x2、無窮小的比擬：(略)當(dāng)xT0時(shí),有x與sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln(1+x),ex1等價(jià);3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)/八xx-1(1)limx12x2、求以下導(dǎo)數(shù)(2)2x2x-3-lim(3)x1x-1xx-1,A、lim2(4)2xsin3xlimx02x(1)y=2x2-x2(2)y=2ex-cosx(3)ylnxsinxx3、求以下導(dǎo)數(shù)x2.4(1)=x-24、求以下積分-

31、2(1)1(2x-1)dx2.(2)y=sinx-lnxJT(3)o(2sinx-1)dx12(4)y=(x-)2x.1r1xdx5、6、7、設(shè)某產(chǎn)品的本錢函數(shù)C(x)=1x3+x-1,求其邊際本錢?8、求曲線y=x21,x=0,x=2,=0所圍成的圖形的面積?9、10、設(shè)f(x)=,*2,x,x12,求f(x)dx?可加性11、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),b梯形的面積為.口La三、提示與提升：當(dāng)xt0時(shí),ax與41+axn-1等價(jià)；業(yè)與1-1例2、當(dāng)xT0時(shí),比擬1cosx與一22x2的階?cosnx等價(jià)；(1)有界定理；(2)最值定理；(3)零點(diǎn)定理；(4)介值定理例3、設(shè)f(x)在0,2上

32、連續(xù),且f(0)=f,證實(shí)方程f(x)=f(x+1)在0,1上至少有一實(shí)根.4、函數(shù)間斷點(diǎn)的分類5、定積分的性質(zhì)對(duì)任意實(shí)數(shù)C有if(x)dx=ff(x)dx+Jf(x)dxaac設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上的最大、最小值分別為Mm那么有bm(b-a)三f(x)dx三M(b-a)a設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),那么其在a,b上的平均值,1byaf(x)dxb-aa,、2例4、求止積分：(f(x)dx,其中f(x)=,例5、求f(x)=3x22x在區(qū)間1,3上的平均值?第九講求導(dǎo)法那么(三)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(一)教學(xué)目的：掌握根本導(dǎo)數(shù)公式和四那么運(yùn)算法那么,會(huì)求一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù).重難點(diǎn)：四那么運(yùn)算法那么、復(fù)合

33、函數(shù)的連鎖法那么教學(xué)程序：根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(復(fù)習(xí))一導(dǎo)數(shù)四那么運(yùn)算法那么一例子授課提要：前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念及簡(jiǎn)單函數(shù)求導(dǎo),本節(jié)將系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)求導(dǎo)方法.一、復(fù)習(xí)根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(重點(diǎn))(板書略)二、復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)四那么運(yùn)算法那么(重點(diǎn))(略)(1)af(x)dx=0;(2)假設(shè)在a,b上有jf(x)dx=一bf(x)dxbf(x)之g(x),貝Uf(x)dx至ag(x)dxb特別地,假設(shè)在a,b上有f(x)之0,那么ff(x)dx之0a(3)(4)(5)1o1例3、比擬大?。?x2dx與工3.xdx2x,x11,xx思考題1、設(shè)丫=*求y？利用指數(shù)恒等式：x=elnx2、設(shè)y=f(u

34、),u=sinx2,求dy?出=2xcosx2f(sinx2)dxdx設(shè)u(x),v(x)為可導(dǎo)函數(shù),那么(1)(u_v)=u_v(2)(uv)=uvuv(3)例1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)21y-2x23x-1(2)y=x1nxx例2、求丫=12門乂的導(dǎo)數(shù)？(由商的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo))于是有(tanx)=sec2x(u)=vuv-uv2vy=xlnx(4)小綱:掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法那么；對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)明確：(1)熟練根本導(dǎo)數(shù)公式；(2)恰當(dāng)分解復(fù)合函數(shù)；(3)正確使用“連鎖法那么.作業(yè)|：P55(A:1-2;B:2);P58(A:1)思考題:1.給定一個(gè)初等函數(shù),只用求導(dǎo)法一定能求出其導(dǎo)函數(shù)嗎？為什么

35、？答：一定能求出其導(dǎo)函數(shù).由于任何一個(gè)根本初等函數(shù)我們都可以求其導(dǎo)函數(shù),而初等函數(shù)是由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算及有限次的復(fù)合運(yùn)算形成,據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么、 導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么知給定一個(gè)初等函數(shù)只用求導(dǎo)法一定能求出其導(dǎo)函數(shù).課堂練習(xí)(求導(dǎo)法那么三、復(fù)合函數(shù)一)【人組】1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)c22八、23x2x1小、2x/八xsinxy=(x2)(2)y=2(3)y=xe(4)y=x1cosx2、設(shè)f(x)=x2+cos2x+3,求f(0),f()?23、在曲線y=x2上取兩點(diǎn)x1=1,x2=3,過這兩點(diǎn)引割線,問曲線上哪點(diǎn)的切線平行于所引割線？4、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=lnln

36、x(2)y=sinnxcosnx(3)y=ln-(4)y=es1nxx5、求函數(shù)y=2s1n1n/在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？6、曲線y=xln板的切線與直線2x-2y+3=0垂直,求此切線方程？xx2.xW1,問a,b為何值時(shí),函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)?ax+b,x1【B組】1、證實(shí)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).12、設(shè)f(x3)=-,求f？1/33、設(shè)f(x)=,cosx.二.4、設(shè)f(x)=,f(X0)=2,(0X00；當(dāng)x(1,H=0時(shí),有f,(x)0,B(t)0(2)股票價(jià)格接近最低點(diǎn).B,(t)0思考題|:某公司的一次廣告促銷活動(dòng)中,銷量提升了,但銷量關(guān)于時(shí)間的曲線是凹的,這說明該公司的經(jīng)

37、營(yíng)情況如何？為什么？假設(shè)曲線是凸的呢？說明銷量增長(zhǎng)速度很快小結(jié)|： 理解高階導(dǎo)數(shù)的“遞歸定義法(即,高一階導(dǎo)數(shù)是通過低一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)而來)； 一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以反映事物是增長(zhǎng)還是減少；二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)那么說明增長(zhǎng)或減少的快慢.作業(yè)|：P59(A:2-3;B:1)課堂練習(xí)(復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)二)【人組】1、求以下導(dǎo)數(shù)(1)y=(2x+1)2lnx(2)y=sx(3)y=(sin5x)5x2、求以下函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1)y=x2lnx(2)y=e2x-cos3xy=ln(x,x21)3、驗(yàn)證函數(shù)y=Gcosx+c2sinx滿足關(guān)系式：y+y=04、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=e2t+3t,求物體在t=0時(shí)的速度和加

38、速度？5、設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且(x.)=2,求f(-XO)?6、設(shè)周期函數(shù)f(x)在R內(nèi)可導(dǎo),周期為4,又limf-f(1x)=1,那么曲線x02xy=f(x)在點(diǎn)(5,f(5)的切線斜率為2_.【B組】1、設(shè)y=f(lnx),f(x)=,求?1dxf(x0h)f(x0-2h)2、右f(x0)=2,求四?63、求y=2X的n階導(dǎo)數(shù)?變形x-1第十一講隱函數(shù)求導(dǎo)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法教學(xué)目的：掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,了解對(duì)數(shù)求導(dǎo)法重難點(diǎn)：隱函數(shù)的求導(dǎo)法教學(xué)程序隱函數(shù)的概念一隱函數(shù)的求導(dǎo)方法舉例說明一對(duì)數(shù)求導(dǎo)法例子一參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)一例子授課提要：一、隱函數(shù)概念自變量X與因變量y的函數(shù)關(guān)系由方程Fx,y=

39、0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)如：ex*=2xy,x2+y2=25等所確定的y是x的隱函數(shù).畫有些隱函數(shù)可化成顯函數(shù),但更多的不能化成顯函數(shù)；同時(shí)應(yīng)明確并非任意一個(gè)方程都能確定一個(gè)隱函數(shù).二、隱函數(shù)的求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)方法：在方程的兩邊各項(xiàng)分別對(duì)x求導(dǎo),視y為x的函數(shù),按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么求導(dǎo),最后解出y即可.例1、求隱函數(shù)ex*=xy的導(dǎo)數(shù)？例2、求隱函數(shù)x2-3xy+y2=5的導(dǎo)數(shù)？例3、求隱函數(shù)eyysinx=e在點(diǎn)0,1的導(dǎo)數(shù)值？1/e說明:隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y一般是含x和y的表達(dá)式.例4、求曲線x+5x2y2-3y=1在點(diǎn)1,1處的切線方程?三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)于幕指函數(shù)y=uv其中u,v是x的函數(shù),

40、或由多項(xiàng)式乘除運(yùn)算和乘方、開方所得函數(shù)的求導(dǎo),其方法:應(yīng)先對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù).即先取對(duì)數(shù),后求導(dǎo)數(shù)例5、求函數(shù)y=sinxx的導(dǎo)數(shù)？例6、求函數(shù)y=工、的導(dǎo)數(shù)？1x例7、求導(dǎo)數(shù)：xy=yxk=wt)設(shè)函數(shù)/),且函數(shù)x=(t)的反函數(shù)存在,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得:y=%)dydydx(t)/dx-dtdt一(t)研:參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)y一般是含參變量t的表達(dá)式.例8、求函數(shù)1x=s1n2t的導(dǎo)數(shù)曳？y=cost+tdx思考題：-一一x1、如何求y=x的導(dǎo)數(shù)？?jī)纱稳?duì)數(shù)后再求導(dǎo)數(shù)2、求y=xy的導(dǎo)數(shù)？先區(qū)對(duì)數(shù)再求導(dǎo)數(shù)3、一球形細(xì)胞以400m3/天增長(zhǎng)體積,當(dāng)3的半徑為10Nm時(shí)

41、,其半徑增長(zhǎng)速drdrdvdv,dv21n度是多少？/一=400/4：r=-dtdvdtdtdr二小結(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵：(1)明確方程中y是x的函數(shù),即y=y(x);(2)方程中各項(xiàng)最終是關(guān)于x求導(dǎo)；(3)解出y(一般是含x,y的表達(dá)式).參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：其公式是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么推導(dǎo)得來.作業(yè)：P62(A:2-3;B:1-2)課堂練習(xí)(隱函數(shù)求導(dǎo))【人組】1、求以下隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xcosy=sin(xy)y=5-xeyxy2-x2yy4=022、求由方程-y=y2x2所確定白函數(shù)y在點(diǎn)(0,1)處的導(dǎo)數(shù)？xy3、求由方程ex+-ysinx=0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之？竺內(nèi)xydxe-sinx

42、4、 設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：s=eAtsinwt(k,w為常數(shù)),求(1)物體任意時(shí)刻的速度和加速度？(2)何時(shí)速度為0?(3)何時(shí)加速度為0?* 5、求以下導(dǎo)數(shù)r.tx=t+ey=tsint【B組】dy1、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所確定,求了？dx2、求隱函數(shù)y=tan(x+y)的二階導(dǎo)數(shù)？3、 確定a,b,c的值,使拋物線y=ax2+bx+c與曲線y=ex在x=0處相交,并具有相同的一、 二階導(dǎo)數(shù).4、設(shè)y=logf(x)g(x),其中f(x),g(x)對(duì)x可導(dǎo),求曳？dx5、設(shè)f(x)=ln,貝Uf(0)=0-1x* 6、證實(shí)：曲線%&+,亍=

43、1上任一點(diǎn)的切線所截二坐標(biāo)軸的截距之和等于1* 7、y(n=12%易,求y(n)0歸納總結(jié)：初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x=2ty11t1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在xo點(diǎn)及附近有定義,求函數(shù)在Xo的導(dǎo)數(shù)步驟:(1)求函數(shù)增量：Ay=f(x0+Ax)-f(x0);(2)求比值：也；x(3)求極限：fx0)=lim也或fx0)=limUx)(xo).x0 xx兩x-x02、根本導(dǎo)數(shù)公式(常用)(c)=0;(x)；(ex)=ex;(Inx)=-;x2(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;(tanx)=secx;,、,.、1(secx)=secxtanx;(arcsinx)=f21-x3

44、、四那么運(yùn)算法那么(u,v可導(dǎo))(u_v);u_v；(uv);uvuv；(u)=uv2uvvv4、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(u),u=9(x)復(fù)合成函數(shù)y=f0,那么f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；(2)假設(shè)f,(x)0時(shí),ex1+x(作輔助函數(shù))思考題：1、用洛必達(dá)法那么求極限時(shí)應(yīng)注意什么？注意使用條件2、試用Lagrange中值定理證實(shí)函數(shù)單調(diào)性的判定定理.小結(jié)|：微分中值定理是連接函數(shù)“局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的部與整體本質(zhì)上的內(nèi)部聯(lián)系.橋梁.表達(dá)了局作業(yè)：P72(A:1)1、證實(shí)函數(shù)y=x2+1在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增？2、求函數(shù)y=x36x2+9x5的駐點(diǎn)？3、求函數(shù)y=x-ex的

45、單調(diào)區(qū)問？4、證實(shí)不等式：xln(1+x),(x0)5、判定正誤：假設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么-f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.(T)假設(shè)f卜.)=0,那么xo必為駐點(diǎn).(T)假設(shè)x0為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),那么曲線f(x)在點(diǎn)(x.,f(x0)處的切線方程為y=f(x)(T)【B組】、,21、證實(shí)函數(shù)f(x)=e在(-8,0)內(nèi)單調(diào)遞增.2、設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx在(血,收)內(nèi)單調(diào)遞增,確定a,b間的關(guān)系?3、證實(shí)：函數(shù)y=x3+2x+1在(-,)內(nèi)有唯一實(shí)根.4、設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù),且f“(x)A0,f(0)=0,證實(shí)：當(dāng)x#0時(shí),上x單調(diào)增加.5、設(shè)函數(shù)f(x)

46、有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且f(0)=0,f(0)=1,f(0)=-2,求極限：limQf(x)2-x?-1xdt*6、求證：萬程3x-1-0於4=0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.提示：作新函數(shù),用根存在定理和單調(diào)性證實(shí).數(shù)學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn)：微分中值定理的幾何直觀1、比擬羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的幾何意義當(dāng)函數(shù)以參數(shù)方程3、=90),心1功給定,曲線上點(diǎn)(g),f仁)的切線斜J=f(t)率為叱=上與,端點(diǎn)連線的斜率為f(b)_f(a),于是由Lagrange定理得dxg()g(b)-g(a)Cauchy定理.教學(xué)目的：理解極值的定義,掌握函數(shù)極值的求法.重難點(diǎn)：極值概念及求法教學(xué)程序：極值的概念

47、一極值存在的必要條件一極值存在的充分條件(第一、第二充分條件)一求函數(shù)的極值(例子)一一歸納總結(jié)解題步驟授課提要：一、函數(shù)的極值1、定義:(略)(作圖直觀理解)畫：(1)極值是一個(gè)局部概念;(2)極值點(diǎn)是函數(shù)增減或減增的分界點(diǎn).2、極值存在的必要條件假設(shè)函數(shù)f(x)在Xo點(diǎn)取極值,那么f(Xo)=0或f(Xo)不存在.說明:(1)假設(shè)f(x0)=0,x0不一定是極值點(diǎn).如：y=x3在x=0處.(2)假設(shè)f(x.)不存在,x0也可能是極值點(diǎn).如：y=|x|在x=0處.二、極值存在的第一充分條件(一階導(dǎo)數(shù)法：略)1例1、求函數(shù)y=x3-x2-3x-3的極值點(diǎn)和極值？332,、,、例2、求y=x-x

48、3的單調(diào)區(qū)間和極值？2三、極值存在的第二充分條件(二階導(dǎo)數(shù)法)設(shè)f(x)在x0點(diǎn)有一、二階導(dǎo)數(shù),且f(x.)=0,f(x0)#0,那么(1)假設(shè)f(x0)0,那么f(x0)為極小值;(2)假設(shè)f(x0)0,那么f(x0)為極大值.例3、求函數(shù)y=1x3-x的極值？3例4、求函數(shù)y=x4的極值？四、求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)定義域；(2)求函數(shù)導(dǎo)數(shù),確定駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(3)用極值的第一或第二充分條件確定極值點(diǎn)；把極值點(diǎn)代入原函數(shù)f(x),求出極值并指明是極大還是極小.S利用第一、二充分條件都可判定函數(shù)的極值,但必須注意適用范圍1例5、試問a為何值時(shí),函數(shù)f(x)=asinx+si

49、n3*在*=一處取得極值?33是極大值還是極小值？并求極值？思考題1、可能極值點(diǎn)有哪幾種？駐點(diǎn)或f(x)不存在的點(diǎn)2、如何判定可能極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)極值存在的充分條件小結(jié)|：函數(shù)的極值是指函數(shù)的局部性質(zhì)(小范圍),表達(dá)了事物的“相對(duì)性.作業(yè)|：P72(A:2;B:2)課堂練習(xí)(函數(shù)的極值)【人組】1、求函數(shù)f(x)=4x33x26x+2的極值？2、求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；f(x)2x3-6x2-18x-7f(x)=x1-x3、設(shè)函數(shù)y=x3+ax2+bx在x=1處有極值-2,求a,b的值？4、求函數(shù)f(x)=xln(1+x)的極值？5、判定正誤：(1)假設(shè)x.為極值點(diǎn),且曲線在x.處

50、有切線,那么切線平行于x軸.T(2)假設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且有唯一駐點(diǎn),那么此駐點(diǎn)必是極值點(diǎn).F(3)假設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)x.,那么f(x.)就是f(x)的最值.F【B組】1、求函數(shù)f(x)=(x-1)2(x+1)3的極值？2、 設(shè)y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所確定,求y=y(x)的駐點(diǎn),并判別其是否為極值點(diǎn)？ 二階導(dǎo)數(shù)法3、y=f(x)對(duì)一切x滿足xf(x)+2xf(x)2=1e：假設(shè)f(x.)=0(x./.),貝U(B)A、f(xo)是f(x)的極大值B、f(xo)是f(x)的極小值C、點(diǎn)(xo,f(xo)是拐點(diǎn)D、都不是數(shù)

51、學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn)：導(dǎo)函數(shù)的圖像與極值例六、某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如下,討論原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：(如圖)f1x)=0為0的點(diǎn)(駐點(diǎn))是-2,0,2當(dāng)x(-二,2)時(shí),f(x)：二0,即f(x).;當(dāng)x(-2,0)時(shí),f(x)0,即f(x);當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)：二0,即f(x)當(dāng) xW(2,+多時(shí),f(x)0,即 f(x);故函數(shù)的遞增區(qū)間為(20),(2,二)遞減區(qū)間為(-:；-2),(0,2)其大致圖像如右圖第十五講曲線的凹凸性!1課題六、函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的圖像上頁下頁例五、 某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如下,解： (如圖)f(x)=0為0的點(diǎn)(駐點(diǎn))是-1,1.當(dāng) x 三(-!)時(shí),f(x)0,即 f(x)

52、;mxu(1,fco)時(shí),f(x)0,即 f(x)&由極值第一充分條件知函數(shù)的極小值為點(diǎn)x=-1；極大值點(diǎn)為x=1.其大致圖像如右圖討論原函數(shù)的極信L.Y2X-2-112-2-4-6-8Y211：X-2-1-11211-21II課題六、函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的圖像上頁主頁604020-3-2-1123-20-40-60Y10-5-3-2-1123教學(xué)目的：理解凹凸性的定義,會(huì)求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)重難點(diǎn)：求曲線的凹凸區(qū)間教學(xué)程序：凹凸性的概念一凹凸性的判定一求凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)一應(yīng)用授課提要：一、凹凸的概念1、在區(qū)間0,1上作函數(shù)y=x,y=x2,y=反的圖像.(比擬曲線的變化)區(qū)叫：對(duì)函數(shù)的研究來

53、說,僅有單調(diào)性、極值是不夠的.2、定義：(略)(通過曲線與切線的位置關(guān)系定義)典：(1)注意拐點(diǎn)的定義(凹與凸的分界點(diǎn),即二階駐點(diǎn))；(2)凹凸性可看成二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.二、凹凸性判定定理：假設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且對(duì)于任意xw(a,b)有(1)f(x)0,那么y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的；(2)f(x)0,那么y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的；(3)凹與凸的分界點(diǎn),稱為拐點(diǎn).例1、求曲線y=x3-9x2-48x+52的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？例2、求曲線y=幻7的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？三、求曲線凹凸區(qū)間的步驟(比擬求單調(diào)區(qū)間與極值的步驟)(1)求f(x),f(x)；(2)求二階駐點(diǎn)

54、和二階奇點(diǎn)；(3)分段(區(qū)間)討論凹凸性、確定拐點(diǎn).例3、求曲線y=3x4-4x3+1的單調(diào)和凹凸區(qū)間,極值與拐點(diǎn)？四、凹凸性的應(yīng)用(1)由曲線的凹凸性可知函數(shù)增長(zhǎng)和減少的快慢程度.例4、某公司的一次廣告促銷活動(dòng)中,銷量提升了,但銷量關(guān)于時(shí)間的曲線是凹的,這說明該公司的經(jīng)營(yíng)情況如何？為什么？假設(shè)曲線是凸的呢？說明銷量增長(zhǎng)速度很快(2)了解曲線的凹凸性便于作函數(shù)的圖像.例5、作函數(shù)y=x3-9x2-48x+52的圖像?思考題：1、畫出f(x)=x+sinx的圖像,說明函數(shù)遞增最快的點(diǎn)和遞增最慢的點(diǎn)?參見教材P76小結(jié)：曲線的凹凸性說明函數(shù)的遞增(或遞減)的快慢程度,它是指一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.作業(yè)

55、：P77(A:1-2;B:1)課堂練習(xí)(曲線的凹凸性)【人組】1、求以下曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：(1)f(x)=x3-3x22x-11,(2)f(x)=x(x0)x2、求曲線y=3x4-4x3+1的單調(diào)和凹凸區(qū)間,極值與拐點(diǎn)？3、點(diǎn)(1,2)為曲線y=ax3-bx2的拐點(diǎn),求a,b的值?【B組】rrjx11、證實(shí)曲線f(x)=Sx1有三個(gè)拐點(diǎn),且其在一條直線上2、作以下函數(shù)的圖像：3教學(xué)目的：理解最值的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單實(shí)際問題的最值.重難點(diǎn)：求函數(shù)的最值教學(xué)程序：最值的概念一最值求法(比擬法)一兩種特殊情況的最值一實(shí)際問題的最值(例子)一一啖學(xué)建模介紹(最優(yōu)化)授課提要：一、最值的定義(略)可最值

56、是一個(gè)全局概念,是針對(duì)整個(gè)區(qū)間而言的.二、求連續(xù)函數(shù)f(x)在a,b上最值的一般方法(比擬法).例1、求函數(shù)y=x4-2x2-5在-2,2上的最值？三、兩種特殊情況下求最值：(1)假設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)、單調(diào),那么f(a),f(b)一定是最值；(2)假設(shè)f(x)在某一區(qū)間上僅有唯一駐點(diǎn),且該駐點(diǎn)是極值點(diǎn),那么此極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn).例2、求y=e*在1,2上和R上的最值？例3、求y=x3+x在0,2上的最值？四、最值應(yīng)用在用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題的最值時(shí),假設(shè)所建立的函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn),又根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,可以判定(a,b)內(nèi)必有最大(最小)值,且唯一駐點(diǎn)就是最值點(diǎn),勿需

57、進(jìn)行數(shù)學(xué)判定.例4、 用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮作一個(gè)無蓋鐵盒,問在四周截去多大的四個(gè)相同的小正方形后,才能使所作的鐵盒容積最大？例5、假設(shè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)一定時(shí),何時(shí)面積最大？畫求實(shí)際問題的最值時(shí),很重要二點(diǎn)是確定所建立函數(shù)關(guān)系的定義域.例6、設(shè)總本錢和總U入由下式給出C(x)=1.1x+300,R(x)=-0.003x2+5x,其中0MxM1000,求獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量x?五、最優(yōu)化問題及數(shù)學(xué)建模(p71,例15)求出某些量的最大和最小對(duì)于許多實(shí)際問題都很重要,如求時(shí)間最短、利潤(rùn)最大、本錢最低等.相應(yīng)地,大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題幾乎都是優(yōu)化問題,或必須用優(yōu)化思想、方法去分析解決問題.例7、 樂山大

58、佛通高71米,假設(shè)乘船欣賞大佛的游人眼睛在大佛腳底水平線下米,為得到欣賞大佛的最正確視角(應(yīng)使視角最大),這時(shí)游人離大佛(中央線)有多遠(yuǎn)的水平距離？8.5米思考題：畫圖說明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)f(x)的極值與最值之間的關(guān)系.局部與整體函數(shù)的最值指函數(shù)的區(qū)間特性.對(duì)于某個(gè)區(qū)間,它是絕對(duì)的,對(duì)于不同的區(qū)間,它是相對(duì)的；表達(dá)了“絕對(duì)性與“相對(duì)性的辨證統(tǒng)一.作業(yè)|：P82(A:1-3);P78(最優(yōu)化問題).課堂練習(xí)(函數(shù)的最值)【人組】1、求以下最值：216(1)f(x)=x2,x,x0,4(2)f(x)=x,x1,32、某企業(yè)生產(chǎn)每批某產(chǎn)品x單位的總本錢c(x)=3+x,得到的總收入R(x)=6x-x

59、2,為提升經(jīng)濟(jì)效益,每批生產(chǎn)多少時(shí),才能使總利潤(rùn)最大？*3、某工程的利潤(rùn)有兩個(gè)方案可供選擇,它們的關(guān)系分別為：L1(t)=Wt1t2L2(t)=+1,其中t為時(shí)間,問t=1時(shí),哪個(gè)方案最優(yōu)？二階導(dǎo)數(shù)t1【B組】1、設(shè)y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所確定,求y=y(x)的駐點(diǎn),并判別其是否為極值點(diǎn)？2、某公司在市場(chǎng)上推出一種產(chǎn)品時(shí)發(fā)現(xiàn)需求量由方程x=2500確定,總收益PR=xp,且生產(chǎn)x單位的本錢為C=0.5x+500,求獲得最大利潤(rùn)的單位價(jià)格p?3、將10分成兩個(gè)正數(shù),使其平方和最小？4、試求內(nèi)接于半徑為78厘米的圓的周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)？數(shù)學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn)：函數(shù)的極值與最值幾

60、何直觀1、最值與極值:2、從二階導(dǎo)函數(shù)的圖像討論曲線的凹凸性:例七、某函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)圖像如下,討論原函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解：(如圖)f(x)=0為 0 0 的點(diǎn)是 0,10,1.當(dāng)x三 (- 二,0)時(shí) ,f(x).0,即f(x)為 一 ;當(dāng)xE(0,1)時(shí),f(x)Ay和dyAy?2、設(shè)f(x)可微,求y=f(ex)ef(x)的微分？3、設(shè)y=lnsinJx,貝Udy=dVx=dx.1、微分量與增量:數(shù)學(xué)熟悉實(shí)驗(yàn):函數(shù)微分量與增量的圖像比擬2、微分思想：“以直代曲的幾何意義.在上圖中,在x的附近,可以用切線PT代替曲線PQ,即fx定fxAx3、用多項(xiàng)式近似函數(shù)泰勒公式：y=sinx近似多項(xiàng)式：在x=0處