中考數(shù)學中的最值問題解法

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學幾何最值問題解法在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值；（2）應用垂線段最短的性質求最值；（3）應用軸對稱的性質求最值；（4）應用二次函數(shù)求最值；（5）應用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值典型例題：例1. （2012山東濟南3分）如圖，MON=90，矩形ABCD的

2、頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為【 】ABC5D【答案】A?！究键c】矩形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，三角形三邊關系，勾股定理。【分析】如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1。DE=，OD的最大值為：。故選A。例2.（2012湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小

3、值是 ?！敬鸢浮??！究键c】最短路線問題，全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系，垂直線段的性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM。ABC的平分線交AC于點D，EBM=NBM。在AME與AMN中，BE=BN ，EBM=NBM，BM=BM，BMEBMN（SAS）。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN有最小值，當CE是點C到直線AB的距離時，CE取最小值。BC=，ABC=45，CE的最小值為sin450=4。CM+MN的最小值是4。例3.（2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、

4、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B，求棉線最短為 ?！敬鸢浮?。【考點】圓柱的展開，勾股定理，平行四邊形的性質。【分析】如圖，圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面圓周長、高組成直角三角形。由周長公式，底面圓周長為，高為，根據(jù)勾股定理，得斜線長為，根據(jù)平行四邊形的性質，棉線最短為。例4. （2012四川眉山3分）在ABC中，AB5，AC3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 【答案】1AD4?！究键c】全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系?！痉治觥垦娱LAD至E，使DE=AD，連接CE根據(jù)SAS證明ABDECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關系即可求解：延長

5、AD至E，使DE=AD，連接CE。BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS）。CE=AB。在ACE中，CEACAECEAC，即22AD8。1AD4。練習題：1. （2011湖北荊門3分）如圖，長方體的底面邊長分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.（2011四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=BC一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D

6、、7cm3.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接BP、GP，則BPG的周長的最小值是 _ 二、應用垂線段最短的性質求最值：典型例題：例1. （2012山東萊蕪4分）在ABC中，ABAC5，BC6若點P在邊AC上移動，則BP的最小值是 【答案】。【考點】動點問題，垂直線段的性質，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂直線段最短的性質，當BPAC時，BP取得最小值。 設AP=x，則由ABAC5得CP=5x， 又BC6，在RtAB P和RtCBP中應用勾股定理，得 。，即，解得。，即BP的最小值是。例2.（20

7、12浙江臺州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【 】A1 B C 2 D1【答案】B?！究键c】菱形的性質，線段中垂線的性質，三角形三邊關系，垂直線段的性質，矩形的判定和性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治觯?（1）若點P，Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關于BD的對稱點P1，連接P1Q，交BD于點K1。 由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形兩邊之和大于第三邊的性質，得P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q

8、 K1。 此時的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）點P，Q變動，根據(jù)菱形的性質，點P關于BD的對稱點P1在AB上，即不論點P在BC上任一點，點P1總在AB上。 因此，根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質，得，當P1QAB時P1Q最短。 過點A作AQ1DC于點Q1。 A=120，DA Q1=30。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=ADcos300=。 綜上所述，PK+QK的最小值為。故選B。例3.（2012江蘇連云港12分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，

9、DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DEPD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AEnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由【答案】解：問題1：對角線PQ與DC

10、不可能相等。理由如下： 四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，DPC90。AD1，AB2，BC3，DC2。設PBx，則AP2x，在RtDPC中，PD2PC2DC2，即x232(2x)2128，化簡得x22x30，(2)241380，方程無解。不存在PBx，使DPC90。對角線PQ與DC不可能相等。問題2：存在。理由如下：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，則G是DC的中點。過點Q作QHBC，交BC的延長線于H。ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ，RtADPRtHCQ

11、（AAS）。ADHC。AD1，BC3，BH4，當PQAB時，PQ的長最小，即為4。問題3：存在。理由如下：如圖3，設PQ與DC相交于點G，PECQ，PDDE，。G是DC上一定點。作QHBC，交BC的延長線于H，同理可證ADPQCH，RtADPRtHCQ。AD1，CH2。BHBGCH325。當PQAB時，PQ的長最小，即為5。問題4：如圖3，設PQ與AB相交于點G，PEBQ，AEnPA，。G是DC上一定點。作QHPE，交CB的延長線于H，過點C作CKCD，交QH的延長線于K。ADBC，ABBC，DQHC，DAPPAGQBHQBG90PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ，AD1，BHn1。CH

12、BHBC3n1n4。過點D作DMBC于M，則四邊形ABND是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45。KCH45。CKCHcos45 (n4)，當PQCD時，PQ的長最小，最小值為 (n4)。【考點】反證法，相似三角形的判定和性質，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質，勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質?！痉治觥繂栴}1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質，設PBx，可得方程x232(2x)218，由判別式0，可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ，DC的長不可能相等。 問題2

13、：在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，過點Q作QHBC，交BC的延長線于H，易證得RtADPRtHCQ，即可求得BH4，則可得當PQAB時，PQ的長最小，即為4。問題3：設PQ與DC相交于點G，PECQ，PDDE，可得，易證得RtADPRtHCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案。問題4：作QHPE，交CB的延長線于H，過點C作CKCD，交QH的延長線于K，易證得與ADPBHQ，又由DCB45，可得CKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案。例4.（2012四川廣元3分） 如圖，點A的坐標為（-1，0），點B在直線上運動，當線段AB最短時，點B

14、的坐標為【 】A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）例5.（2012四川樂山3分）如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有下列結論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結論的個數(shù)是【 】A1個B2個C3個D4個【答案】B。【考點】全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥窟B接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形

15、，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此結論正確。當E、F分別為AC、BC中點時，由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。四邊形CEDF是平行四邊形。又E、F分別為AC、BC中點，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。又C=90，四邊形CEDF是正方形。故此結論錯誤。 如圖2，分別過點D，作DMAC，DNBC，于點M，N， 由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。 由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL）。 由割補法可知四邊

16、形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。 四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結論錯誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。當DF與BC垂直，即DF最小時， EF取最小值2。此時點C到線段EF的最大距離為。故此結論正確。故正確的有2個：。故選B。例6.（2012四川成都4分）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進行裁剪和拼圖： 第一步：如圖，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC(余下部分不再使用)； 第二步：如圖，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN

17、將梯形紙片GBCH剪成兩部分； 第三步：如圖，將MN左側紙片繞G點按順時針方向旋轉180，使線段GB與GE重合，將MN右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉180，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片 (注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊) 則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為 cm，最大值為 cm【答案】20；12+?！究键c】圖形的剪拼，矩形的性質，旋轉的性質，三角形中位線定理。【分析】畫出第三步剪拼之后的四邊形M1N1N2M2的示意圖，如答圖1所示。 圖中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=B

18、C（三角形中位線定理）。又M1M2N1N2，四邊形M1N1N2M2是一個平行四邊形，其周長為2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。BC=6為定值，四邊形的周長取決于MN的大小。如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖。過G、H點作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，則四邊形PBCQ是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD的一半。M是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即。四邊形M1N1N2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN，四邊形M1N1N2M2周長的最小值為

19、12+24=20；最大值為12+2=12+。例7. （2012四川樂山3分）如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有下列結論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結論的個數(shù)是【 】A1個B2個C3個D4個【答案】B?！究键c】全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥窟B接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45

20、，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此結論正確。當E、F分別為AC、BC中點時，由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。四邊形CEDF是平行四邊形。又E、F分別為AC、BC中點，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。又C=90，四邊形CEDF是正方形。故此結論錯誤。 如圖2，分別過點D，作DMAC，DNBC，于點M，N， 由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。 由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL）。 由割補法可知四邊形CEDF的面積等

21、于正方形CMDN面積。 四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結論錯誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。當DF與BC垂直，即DF最小時， EF取最小值2。此時點C到線段EF的最大距離為。故此結論正確。故正確的有2個：。故選B。例8. （2012浙江寧波3分）如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 【答案】?！究键c】垂線段的性質，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥坑纱咕€段的性質可知，當AD為ABC的邊BC上

22、的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，當半徑OE最短時，EF最短。如圖，連接OE，OF，過O點作OHEF，垂足為H。 在RtADB中，ABC=45，AB=2，AD=BD=2，即此時圓的直徑為2。由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1。由垂徑定理可知EF=2EH=。例9. （2012四川自貢12分）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF；（2）當點E、F在

23、BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲怠敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，F(xiàn)AC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SA

24、CF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短故AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時CEF的面積就會最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是。【考點】菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，垂直線段的性質?！痉治觥浚?）先求證AB=AC，進而求證ABC、ACD為等邊三角形，得ACF =60，AC=AB，從而求證ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABE

25、ACF可得SABE=SACF，故根據(jù)S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)SCEF=S四邊形AECFSAEF，則CEF的面積就會最大。例10.（2012浙江義烏10分）在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，將ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到A1BC1（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1若ABA1的面積為4，求CBC1的面積；（3

26、）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值【答案】解：（1）由旋轉的性質可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1， CC1B=C1CB=45。CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90。（2）由旋轉的性質可得：ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1。，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1。ABA1=CBC1。ABA1CBC1。SABA1=4，SCBC1=。（3）過點B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形，點D在線段AC上。在RtBCD中，BD=BC

27、sin45=。如圖1，當P在AC上運動至垂足點D，ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小。最小值為：EP1=BP1BE=BDBE=2。如圖2，當P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大。最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7?！究键c】旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質?！痉治觥浚?）由旋轉的性質可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，又由等腰三角形的性質，即可求得CC1A1的度數(shù)。（2）由旋轉的性質可得：ABCA1BC1，易證得ABA1CBC1，利用相似三角形的面積比等

28、于相似比的平方，即可求得CBC1的面積。（3）由當P在AC上運動至垂足點D，ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最??；當P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值。例11. （2012福建南平14分）如圖，在ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且1=B=C（1）由題設條件，請寫出三個正確結論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結論中，不必證明）答：結論一： ；結論二： ；結論三： （2）若B=45，BC=2，當點D在BC上運動

29、時（點D不與B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此時BD的長（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結論，須加以證明）【答案】解：（1）AB=AC；AED=ADC；ADEACD。（2）B=C，B=45，ACB為等腰直角三角形。1=C，DAE=CAD，ADEACD。AD：AC=AE：AD， 。當AD最小時，AE最小，此時ADBC，AD=BC=1。AE的最小值為 。CE的最大值= 。當AD=AE時，1=AED=45，DAE=90。點D與B重合，不合題意舍去。當EA=ED時，如圖1，EAD=1=45。AD平分BAC，AD垂直平分BC。BD=1。當DA=DE時，如圖2，

30、ADEACD，DA：AC=DE：DC。DC=CA=。BD=BCDC=2。綜上所述，當ADE是等腰三角形時，BD的長的長為1或2?！究键c】相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性質?！痉治觥浚?）由B=C，根據(jù)等腰三角形的性質可得AB=AC；由1=C，AED=EDC+C得到AED=ADC；又由DAE=CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得到ADEACD。（2）由B=C，B=45可得ACB為等腰直角三角形，則，由1=C，DAE=CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得ADEACD，則有AD：AC=AE：AD，即，當ADBC，AD最小，此時AE最小，從而由CE=ACAE得到CE的最大值。分當

31、AD=AE，EA=ED，DA=DE三種情況討論即可。練習題：1. （2011浙江衢州3分）如圖，OP平分MON，PAON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA=2，則PQ的最小值為【 】A、1B、2 C、3D、42.（2011四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60，M是BC的中點（1）求證：MDC是等邊三角形；（2）將MDC繞點M旋轉，當MD（即MD）與AB交于一點E，MC（即MC）同時與AD交于一點F時，點E，F(xiàn)和點A構成AEF試探究AEF的周長是否存在最小值如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出AEF周長的最小值3.（2011浙江臺州4分）

32、如圖，O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切O于點Q，則PQ的最小值為【 】A B C3 D24.（2011河南省3分）如圖，在四邊形ABCD中，A=90，AD=4，連接BD，BDCD，ADB=C若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為 5.（2011云南昆明12分）如圖，在RtABC中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿BCA方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動（1）求AC、BC的長；（2）設點P的運動時間為x（秒），PBQ的面

33、積為y（cm2），當PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當點Q在CA上運動，使PQAB時，以點B、P、Q為定點的三角形與ABC是否相似，請說明理由；（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由三、應用軸對稱的性質求最值：典型例題：例1. （2012山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm【答案】15?！究键c】圓柱的展開，矩形的性質，軸對稱的性質

34、，三角形三邊關系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，圓柱形玻璃杯展開（沿點A豎直剖開）后側面是一個長18寬12的矩形，作點A關于杯上沿MN的對稱點B，連接BC交MN于點P，連接BM，過點C作AB的垂線交剖開線MA于點D。 由軸對稱的性質和三角形三邊關系知APPC為螞蟻到達蜂蜜的最短距離，且AP=BP。 由已知和矩形的性質，得DC=9，BD=12。 在RtBCD中，由勾股定理得。 APPC=BPPC=BC=15，即螞蟻到達蜂蜜的最短距離為15cm。例2. （2012甘肅蘭州4分）如圖，四邊形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分別找一點M、N，使AMN周長最小時，則AMNANM的度數(shù)為【 】

35、A130 B120 C110 D100【答案】B。【考點】軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關系，三角形外角性質，等腰三角形的性質?！痉治觥扛鶕?jù)要使AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和ED的對稱點A，A，即可得出AAMAHAA60，進而得出AMNANM2(AAMA)即可得出答案：如圖，作A關于BC和ED的對稱點A，A，連接AA，交BC于M，交CD于N，則AA即為AMN的周長最小值。作DA延長線AH。BAD120，HAA60。AAMAHAA60。MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)2

36、60120。故選B。例3. （2012福建莆田4分）點A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點，則【答案】5?！究键c】軸對稱（最短路線問題），坐標與圖形性質，三角形三邊關系，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥窟B接AB并延長交x軸于點P，作A點關于y軸的對稱點A連接AB交y軸于點Q，求出點Q與y軸的交點坐標即可得出結論：連接AB并延長交x軸于點P，由三角形的三邊關系可知，點P即為x軸上使得|PAPB|的值最大的點。點B是正方形ADPC的中點，P（3，0）即OP=3。作A點關于y軸的

37、對稱點A連接AB交y軸于點Q，則AB即為QA+QB的最小值。A（-1，2），B（2，1），設過AB的直線為：y=kx+b，則 ，解得 。Q（0， ），即OQ=。OPOQ=3=5。例4. （2012四川攀枝花4分）如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為 【答案】?！究键c】軸對稱（最短路線問題），正方形的性質，勾股定理?！痉治觥窟B接DE，交BD于點P，連接BD。點B與點D關于AC對稱，DE的長即為PE+PB的最小值。AB=4，E是BC的中點，CE=2。在RtCDE中，。例5. （2012廣西貴港2分）如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩

38、點，過A作ACMN于點C，過B作BDMN于點D，P為DC上的任意一點，若MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是。【答案】14?！究键c】軸對稱（最短路線問題），勾股定理，垂徑定理?！痉治觥縈N20，O的半徑10。連接OA、OB，在RtOBD中，OB10，BD6，OD8。同理，在RtAOC中，OA10，AC8，OC6。CD8614。作點B關于MN的對稱點B，連接AB，則AB即為PAPB的最小值，BDBD6，過點B作AC的垂線，交AC的延長線于點E。在RtABE中，AEACCE8614，BECD14，AB14。例6. （2012湖北十堰6分）閱讀材料：例：說明代數(shù)式 的幾何意義，并求它的最小

39、值解： ，如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PAPB的最小值設點A關于x軸的對稱點為A，則PA=PA，因此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短，所以PAPB的最小值為線段AB的長度為此，構造直角三角形ACB，因為AC=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值為3。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B 的距離之和（填寫點B的坐標）（

40、2）代數(shù)式 的最小值為 【答案】解：（1）（2，3）。 （2）10。【考點】坐標與圖形性質，軸對稱（最短路線問題）?！痉治觥浚?）原式化為的形式，代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，3）的距離之和。（2）原式化為的形式，所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和。如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為A，則PA=PA，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短。 PAPB的最小值為線段AB的長度。A（0，7），B（6，1），A（0，7），AC=6，BC=8。例7. （2012四

41、川涼山8分）在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探究題。如圖（1），要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法他把管道l看成一條直線（圖（2），問題就轉化為，要在直線l上找一點P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點B關于直線l的對稱點B連接AB交直線l于點P，則點P為所求請你參考小華的做法解決下列問題如圖在ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6，BC邊上的高為4，請你在

42、BC邊上確定一點P，使PDE得周長最?。?）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請直接寫出PDE周長的最小值： 【答案】解：（1）作D點關于BC的對稱點D，連接DE，與BC交于點P，P點即為所求。（2）8【考點】軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關系，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點關于BC的對稱點D，連接DE，與BC交于點P，P點即為所求。（2）利用中位線性質以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案：點D、E分別是AB、AC邊的中點，DE為ABC中位線。BC=6，BC邊上的高為4，DE=3，DD=4。PDE周長的最

43、小值為：DE+DE=35=8。練習題：1. （2011黑龍江大慶3分）如圖，已知點A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸上一動點，則ABP的周長的最小值為 2. （2011遼寧營口3分）如圖，在平面直角坐標系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點，現(xiàn)另取一點C(a，1)，當a 時，ACBC的值最小3.（2011山東濟寧8分）去冬今春，濟寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側張村A和李村B送水。經實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋O為坐標原點，以河道所在的直線為軸建立直角坐標系（如圖）。兩村的坐標分別為A（2，3），B（12，7）

44、。(1) 若從節(jié)約經費考慮，水泵站建在距離大橋O多遠的地方可使所用輸水管道最短？(2) 水泵站建在距離大橋O多遠的地方，可使它到張村、李村的距離相等？4.（2011遼寧本溪3分）如圖，正方形ABCD的邊長是4，DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B、4 C、 D、5.（2011遼寧阜新3分）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當AEF的周長最小時，則DF的長為【 】A1B2C3D46.（2011貴州六盤水3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點E、F分別是邊AB、BC

45、的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是 【 】A3 B4 C5 D67.（2011甘肅天水4分）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，對角線AC平分BAD，點E在AB上，且AE=2（AEAD），點P是AC上的動點，則PE+PB的最小值是 四、應用二次函數(shù)求最值：典型例題：例1. （2012四川自貢4分）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BCCD上兩個動點，且始終保持AMMN，當BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2【答案】，?！究键c】正方形的性質，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭OBM=x

46、cm，則MC=1xcm，AMN=90，AMB+NMC=90，NMC+MNC=90，AMB=90NMC=MNC。ABMMCN，即，解得CN=x（1x）。0，當x=cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是cm2。例2.（2012江蘇揚州3分）如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是【答案】1。【考點】動點問題，等腰直角三角形的性質，平角定義，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭OACx，則BC2x，ACD和BCE都是等腰直角三角形，DCA45，ECB45，DC，CE 。DCE90。DE2DC2CE2（）22x

47、22x2(x1)21。當x1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1。例3.（2012寧夏區(qū)10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.(1)連接AE，當APE與ADE全等時，求BP的長；(2)若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關系式。當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，試求出此時BP的長.【答案】解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 當時，y的值最大，最大值是。（2）設BP=x,

48、由（2）得。PEBD，CPECBD。， 即，化簡得。解得或（不合題意，舍去）。當BP= 時， PEBD?！究键c】矩形的性質，全等三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的最值，平行的性質，解一元二次方程?！痉治觥浚?）由APEADE可得AP=AD=3，在RtABP中，應用勾股定理即可求得BP的長。（2）由APPE，得RtABPRtPCE，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關系式?；癁轫旤c式即可求得當時，y的值最大，最大值是。（3）由PEBD，得CPECBD，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式可求得BP的長。例4.（2012廣東廣州14分）如圖，在平行四邊形ABCD

49、中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CEAB于E，設ABC=（6090）（1）當=60時，求CE的長；（2）當6090時，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由連接CF，當CE2CF2取最大值時，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，F(xiàn)為AD的中點，AF=FD。在平行四邊形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，點F是AD的中點，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得EFD=3AEF。設BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x。CF=GF（中已證），CF2=（CG）2=CG2=（20020x）=505