數(shù)學(xué)教育學(xué)復(fù)習(xí)材料新編數(shù)學(xué)教學(xué)論——涂榮豹王光明寧連華

1、新編數(shù)學(xué)教學(xué)論復(fù)習(xí)材料第一章 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化是指：數(shù)學(xué)教育思想現(xiàn)代化，數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的現(xiàn)代化，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的現(xiàn)代化。（1）簡述什么是數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化答：數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化是指：數(shù)學(xué)教育思想現(xiàn)代化，數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的現(xiàn)代化，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的現(xiàn)代化。（1）在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容現(xiàn)代化方面，主要是如何運用數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的思想和方法，編寫出現(xiàn)代化的普通教育的數(shù)學(xué)教材，即在體系、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容各方面適應(yīng)于教育現(xiàn)代化的需要。在數(shù)學(xué)教育思想的現(xiàn)代化和教學(xué)方法的現(xiàn)代化方面，主要是教師如何用最先進的教育思想認識教材，如何用最先進的教學(xué)方法組織教學(xué)。（1）數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的本質(zhì)是數(shù)學(xué)教育思想觀念的現(xiàn)代化。在數(shù)學(xué)教育觀念現(xiàn)代化的

2、問題上，最重要的是處理好繼承和發(fā)展的關(guān)系，防止從一個極端走向另一個極端。（1）數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的本質(zhì)是 數(shù)學(xué)教育思想觀念的現(xiàn)代化。 在數(shù)學(xué)教育觀念現(xiàn)代化的問題上，最重要的是處理好 繼承和發(fā)展 的關(guān)系，防止從一個極端走向另一個極端。（1）1.1現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀樹立科學(xué)的現(xiàn)代化教育觀，是數(shù)學(xué)教育沿著正確軌道前進的前提和保證。（1）科學(xué)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀涉及多方面的思想認識，包括數(shù)學(xué)教育的目的觀、功能觀、學(xué)習(xí)觀、教學(xué)觀、能力觀、技術(shù)觀等等。數(shù)學(xué)教育的目的觀現(xiàn)代社會需要的人是：富有教養(yǎng)、具有獨立性、自信心、創(chuàng)造力、積極主動和講究效率的人。（1）教育作為發(fā)展和完善人的活動，其目的是：培養(yǎng)出適應(yīng)社會發(fā)展需要的人

3、。（1）教育作為發(fā)展和完善人的活動，其目的是：培養(yǎng)出適應(yīng)社會發(fā)展需要的人。（1）數(shù)學(xué)教育已成為教育不可或缺的重要組成部分（因為，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代公民所必需具備得一種修養(yǎng)。在現(xiàn)代社會中，數(shù)學(xué)教育是終身發(fā)展的重要方面，是人進一步學(xué)習(xí)的需要，是終身教育不可缺少的基礎(chǔ)。這就需要學(xué)校向更多的或者全體學(xué)生提供數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，數(shù)學(xué)地表達，培養(yǎng)學(xué)生實事求是、鍥而不舍的精神。）（2）數(shù)學(xué)教育的功能觀數(shù)學(xué)教育的功能觀是隨著時代的進步而發(fā)展。（2）從傳統(tǒng)上看，教育的任務(wù)就是培養(yǎng)和造就人才，這里“人才”的含義實際是指“英才”。數(shù)學(xué)教育的功能應(yīng)該給學(xué)

4、生一顆好奇的心，激發(fā)他們的求知欲；給學(xué)生一雙數(shù)學(xué)的眼睛，豐富他們觀察世界的方式；給他們一個睿智的頭腦，讓他們學(xué)會理性地思維；給他們一套研究的模式，讓他們獲得探索世界奧秘的顯微鏡和望遠鏡；給他們一雙數(shù)學(xué)的眼睛，一對數(shù)學(xué)的翅膀，讓他們看得更遠，飛得更高。（2）數(shù)學(xué)教育的學(xué)習(xí)觀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最基本的特點之一就是獨立思考。（2）個人的發(fā)展實質(zhì)上包含個人能力和社會關(guān)系兩個方面。（3）獨立思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最基本的特點之一。（）個人的發(fā)展實質(zhì)上包含個人能力和社會關(guān)系兩個方面。（）（3）真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是“思接千載，視通萬里”的精神活動，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要刻苦，但更是一種快樂，是刻苦釀造快樂。（3）個人的發(fā)展實質(zhì)上包含個

5、人能力和社會關(guān)系兩個方面。（3）真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是通過獨立思考，使得對數(shù)學(xué)的理解向深層次結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化。一旦向深層次結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)發(fā)生突破時，對數(shù)學(xué)原先的理解就擴大了。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)正是一個重組知識、解釋經(jīng)驗、發(fā)展認識的過程。但是這個過程建立在學(xué)習(xí)者勤于思考、善于思考，特別是獨立思考的基礎(chǔ)之上。個人能力是指：鑒賞力、洞察力、學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)造能力、表達能力等。社會關(guān)系的豐富意味著個人能不斷地拓展自己的生活舞臺，在日新月異的社會生活中成功地扮演各種社會角色。（3）數(shù)學(xué)教育的教學(xué)觀數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是“以激勵學(xué)習(xí)為特征，以學(xué)生活動為中心”的實踐模式，而不是“傳授知識”的權(quán)威模式。*（3）促進學(xué)生學(xué)習(xí)，是教育者的基本責(zé)任和

6、最終目標。（3）促進學(xué)生學(xué)習(xí)，是教育者的基本責(zé)任和最終目標。（）（3）教的正確方式應(yīng)該是，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的向?qū)Ш皖I(lǐng)路人。（即創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣，引發(fā)問題，促進探索，啟迪思維，激勵創(chuàng)造。）教師的教是服務(wù)于學(xué)生的學(xué)的。*（4）把學(xué)生當成知識的容器和解題的機器的做法會使大部分學(xué)生喪失對數(shù)學(xué)的興趣、好奇心、批判能力和自學(xué)能力。*在學(xué)校教學(xué)中，牢固確立“教師的教是服務(wù)于學(xué)生的學(xué)的”這一觀念十分必要。學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該是一個創(chuàng)造的過程，一個批判、選擇、釋疑、存疑的過程，課堂教學(xué)應(yīng)當充滿想象，充滿探索性和體驗性。任何知識，特別是個體的經(jīng)驗，需要有一個個性化的過程。別人的知識和經(jīng)驗沒有經(jīng)過改造、揚棄、整合、升華

7、為自己的精神修養(yǎng)的學(xué)習(xí)，是沒有用處的，至少是沒有大用處的，充其量只是小技巧，而不是大智慧。再多的學(xué)習(xí) ，其作用也是十分間接的、潛在的。數(shù)學(xué)教育的能力觀數(shù)學(xué)教育應(yīng)發(fā)展學(xué)生廣泛的基本數(shù)學(xué)能力。（4）數(shù)學(xué)能力分為：學(xué)、才、識三個方面。（4）（多項選擇題用）“學(xué)”是指數(shù)學(xué)的各種概念、公式、定理、算法、理論等等。“才”是指運算能力、推理能力、分析與綜合能力、洞察力、直覺思維能力、獨立分析問題和解決問題的能力等等。“識”是指分析鑒別知識，在經(jīng)過融會貫通后形成的個人見解和策略觀念。必須“學(xué)、才、識”三者兼顧才能構(gòu)成完整的數(shù)學(xué)能力。（4）數(shù)學(xué)能力更體現(xiàn)為創(chuàng)造力。（4）華裔物理學(xué)家李政道的名言：求學(xué)問，需學(xué)問；

8、只學(xué)答，非學(xué)問。*（4）（單項選擇題）發(fā)問即使很幼稚，卻蘊含著創(chuàng)造。向常規(guī)挑戰(zhàn)的第一步，就是提問。對每一個人來說，從小養(yǎng)成敢于提問的個性，始終保持一顆好奇心，培養(yǎng)對學(xué)習(xí)的熱愛，是學(xué)生創(chuàng)造力培養(yǎng)的要訣。數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代技術(shù)觀從思維的角度看，現(xiàn)代信息技術(shù)是人類頭腦的延伸，它可以模擬試驗，拓展想像，促進理解，甚至可以完成人類無法完成的任務(wù)。（4）從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的角度看，現(xiàn)代教育技術(shù)所具有的卓越性能，有利于學(xué)生成為真正的學(xué)習(xí)主體。在現(xiàn)代教育技術(shù)這一平臺上學(xué)生能充分地發(fā)揮自己豐富的想象力和自由創(chuàng)造的思維，在美妙無窮的數(shù)學(xué)空間中翱翔。從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看，運用現(xiàn)代教育技術(shù)，可以使教師在教學(xué)活動中充分扮演組織者

9、、引導(dǎo)者的角色。1.2我國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特點及分析 我國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的若干特點：1、突出知識性的具體目標。1）大綱、課標及考綱對知識提出不同的目標要求。2）教學(xué)過程中對目標細化具有可操作性。3）每章每單元和每節(jié)課都有細致的目標。2、長于由舊知引出新知。3、注重新知識內(nèi)部的深入理解。4、重視解題并關(guān)注方法、技巧。5、重視鞏固、訓(xùn)練和記憶。1）及時鞏固、強化練習(xí)是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的重要特點。2）我國數(shù)學(xué)教學(xué)強調(diào)記憶有法1.3對我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的反思我國的數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題和不足有：一是重結(jié)果，輕過程。二是重顯性知識，輕思想方法。三是重知識點傳授，輕知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建。四是重解題訓(xùn)練，輕能力發(fā)展。五是重解答，

10、輕反思。六是重教學(xué)思路設(shè)計，輕學(xué)生思維診斷。第二章 現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)教育，顧名思義是關(guān)于數(shù)學(xué)的教育，他與數(shù)學(xué)不可分離。研究數(shù)學(xué)教育就不可避免地要研究數(shù)學(xué)的特征，進而研究數(shù)學(xué)教育的特征，再深入到數(shù)學(xué)教育的各個領(lǐng)域內(nèi)展開對各類問題的研究。（12）數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)觀，就是指從數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)出發(fā)來認識和理解數(shù)學(xué)的特點。2.1數(shù)學(xué)的抽象性特征數(shù)學(xué)對象的抽象性：數(shù)學(xué)與其他科學(xué)相比較，最主要也是最基本的特點，就是他所研究的對象是抽象的形式化的思想材料。（12）（如：數(shù)、式、方程、函數(shù)；點、；線、面、體；群、環(huán)、域；歐氏空間、線性空間、拓撲空間他們是人類思想抽象的產(chǎn)物）數(shù)學(xué)的對象不僅是抽象的思想材料，而且還

11、是形式化的思想材料。（13）所謂形式化就是這些抽象的思想材料使用數(shù)學(xué)的特殊符號語言組織起來，當人們面對一系列數(shù)學(xué)材料時，看到的僅僅是材料的形式，其所包含的真正內(nèi)容卻是抽象的思想隱藏在形式之中。（13）數(shù)學(xué)理論的抽象性事物的本質(zhì)人在思維中把事物的某一方面的特性與其它特性區(qū)分開來加以單獨考慮，進而舍棄其他的特性，保留下來的特性就是抽象出來的事物的本質(zhì)。（13）許多不同科學(xué)領(lǐng)域的不同問題，表面看起來是完全不同的，可它們由數(shù)學(xué)語言表述出來的時候，可以用同一個數(shù)學(xué)模型來刻劃，因為這個數(shù)學(xué)模型反映了它們的共同性質(zhì)，即它們的本質(zhì)。（13）數(shù)學(xué)反映各種不同領(lǐng)域的許多深刻的聯(lián)系，從而使數(shù)學(xué)起到統(tǒng)一和綜合各種科學(xué)

12、知識的作用。（13）數(shù)學(xué)通過揭示本質(zhì)屬性實現(xiàn)的統(tǒng)一和綜合，使人類獲得深刻的洞察力，促進人類對客觀世界的理解。（13）數(shù)學(xué)方法的抽象數(shù)學(xué)方法就是數(shù)學(xué)處理自身問題的方法。*（13）數(shù)學(xué)的主要研究方式是思辨。（13）（由于數(shù)學(xué)的對象是抽象的形式化的思想材料，這就決定了數(shù)學(xué)研究必然是以思辨的方式進行的，也就是數(shù)學(xué)活動是人類抽象的思想活動。盡管計算機為今天的數(shù)學(xué)研究提供了史無前例的技術(shù)力量，但是數(shù)學(xué)科學(xué)的研究工作在很大程度上仍然依靠個人的靈感和創(chuàng)造力，也就是依靠于個人的思維活動。）*數(shù)學(xué)思想活動除了對數(shù)學(xué)對象進行創(chuàng)造以外，還創(chuàng)造解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)中的弱抽象方法：在數(shù)學(xué)的思想活動中，有一類方法是

13、在同類的事物中抽取關(guān)于數(shù)量、空間形式或結(jié)構(gòu)關(guān)系方面的共同屬性，舍棄其他的特征，從而形成新的數(shù)學(xué)概念。這種舍棄一部分屬性保留共同屬性的抽象過程稱之為“弱抽象”。（14）弱抽象的特點是，用弱抽象得到的數(shù)學(xué)對象，一般是概念外延的擴大，而內(nèi)涵的減少。弱抽象的本質(zhì)在于舍棄。（14）一般而言，只有內(nèi)容結(jié)構(gòu)較為豐富的對象，才能成為弱抽象的原型。數(shù)學(xué)中的強抽象數(shù)學(xué)思想活動中，有一類方法是把新的特征或?qū)傩蕴砑拥揭延械臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，從而形成新的數(shù)學(xué)概念，這種通過在原有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中添加新的性質(zhì)來獲得新數(shù)學(xué)概念的抽象過程，稱之為“強抽象”。（14）強抽象的特點是，強抽象方法獲得的數(shù)學(xué)對象，一般在概念的外延上縮小了，但內(nèi)涵

14、或結(jié)構(gòu)更加豐富和具體了。強抽象方法的本質(zhì)在于“添加”，強抽象是將不同數(shù)學(xué)概念或結(jié)構(gòu)有機地結(jié)合起來。強抽象和弱抽象是方向相反的兩種思維方法。從思維活動的方法看，弱抽象是“特殊到一般”的過程，強抽象則是“一般到特殊”的過程。（15）數(shù)學(xué)抽象的理想化特點數(shù)學(xué)中的很多概念是理想化抽象的產(chǎn)物。（15）（如平面幾何中點、直線、平面以及解析幾何的笛卡爾坐標系，是最典型的理想化抽象。）數(shù)學(xué)的理想化抽象之所以適用于對現(xiàn)實世界的研究，并成為認識現(xiàn)實世界的有力手段，是因為這種對現(xiàn)實對象和過程的理想化，具有扎根于現(xiàn)實世界的合理性和潛在的可實現(xiàn)性。*（15）*自然數(shù)公理化概念即是建立在這種潛在的可實現(xiàn)基礎(chǔ)之上。幾何圖形

15、的無限分割，也是一種潛在的可實現(xiàn)思想的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)抽象的形式化特點數(shù)學(xué)抽象性的與眾不同之處是數(shù)學(xué)的抽象具有形式化特點。（15）數(shù)學(xué)抽象性的形式化主要表現(xiàn)在兩個方面：數(shù)學(xué)語言的形式化、數(shù)學(xué)概念命題的形式化。（15）數(shù)學(xué)語言的形式化：數(shù)學(xué)思想活動的結(jié)果必須要以某種形式記錄和表達出來，在這方面，數(shù)學(xué)采取的是形式化語言，也就是說數(shù)學(xué)語言是“形式化”的。數(shù)學(xué)符號代表了特定的數(shù)學(xué)含義，但是僅僅看他們的表面并不能看出內(nèi)在的意義，因而是一種形式，或者說它只是所代表實質(zhì)的形式的外殼，只有懂得它們的意義的人，才能把這個形式與其意義聯(lián)系起來，才能剝?nèi)バ问降耐鈿た匆娝麄兊膶嵸|(zhì)。（16）數(shù)學(xué)概念、命題的形式化：數(shù)學(xué)語言中

16、有一個共同的句法形式是“如果那么”或“若則”。即數(shù)學(xué)的論斷都是建立在假設(shè)的基礎(chǔ)之上，如果假設(shè)不成立，那么論斷也就不成立了。（16）數(shù)學(xué)是在以假設(shè)為前提的基礎(chǔ)上進行自身的科學(xué)理論建設(shè)的。（16）數(shù)學(xué)的形式化不等于數(shù)學(xué)的符號化，數(shù)學(xué)的符號化是數(shù)學(xué)形式化的一部分。（16）他們的差別在于：符號化著眼于各種數(shù)學(xué)抽象物本身及其關(guān)系的形式上的表述。形式化著眼于各種數(shù)學(xué)抽象物之間本質(zhì)聯(lián)系的形式上的表述，目的是把純粹的數(shù)量關(guān)系或結(jié)構(gòu)關(guān)系以簡潔明了的形式加以表述，以便揭示各種抽象物的數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律。對數(shù)學(xué)形式化有一個正確的認識，對數(shù)學(xué)教育而言十分重要。（17）（因為，教師和學(xué)生在教與學(xué)的活動中，不僅要掌握數(shù)學(xué)對象

17、的形式，更要理解數(shù)學(xué)形式所包含的數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，透過形式抓住本質(zhì)。）（辨析題）2.2數(shù)學(xué)的確定性特征數(shù)學(xué)是整個科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)最嚴謹?shù)目茖W(xué)。（17）數(shù)學(xué)的確定性由數(shù)學(xué)對象的抽象性決定。（17）（數(shù)學(xué)抽象保留了事物的共同的本質(zhì)，只有這些本質(zhì)的東西才是穩(wěn)定的、確定的、不變的，事實上數(shù)學(xué)正是研究在一定數(shù)學(xué)運動變換下的不變性質(zhì)。）（辨析題）數(shù)學(xué)的確定性由數(shù)學(xué)方法的抽象性決定（）數(shù)學(xué)方法的基本點就是概念的明晰性。（無論是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)，還是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其首要任務(wù)就是明白其面臨問題所涉及的概念，概念不明確一切數(shù)學(xué)活動都不能進行下去。）（17）數(shù)學(xué)方法的抽象性使得數(shù)學(xué)結(jié)論具有普適性、穩(wěn)定性。數(shù)學(xué)的確定性由

18、數(shù)學(xué)方法的抽象性決定數(shù)學(xué)方法的基本點就是概念的明晰性。（無論是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)，還是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其首要任務(wù)就是明白其面臨問題所涉及的概念，概念不明確一切數(shù)學(xué)活動都不能進行下去。）（17）數(shù)學(xué)方法的抽象性使得數(shù)學(xué)結(jié)論具有普適性、穩(wěn)定性。（）數(shù)學(xué)的確定性由邏輯方法本身的精確性決定。（18）（）在邏輯方法中，推理規(guī)則是第一位，而推理規(guī)則是人們在長期的歷史實踐中抽象出來的，其真理性也是由長期的歷史實踐所證明的。在邏輯方法中，一切使用的概念在推理中必須服從規(guī)則。由于邏輯方法具有確定的推理規(guī)則，一切概念服從規(guī)則，這使得邏輯方法本身具有了確定性。，進而使得經(jīng)由邏輯方法檢驗而獲得真理性的數(shù)學(xué)有了確定性的保證

19、。（18）數(shù)學(xué)的確定性由公理化的結(jié)構(gòu)決定。（18）一般來說，所有的數(shù)學(xué)證明都歸結(jié)為邏輯論證。數(shù)學(xué)的公理化本質(zhì)上反映了數(shù)學(xué)的內(nèi)部組織形式，數(shù)學(xué)公理化發(fā)展經(jīng)歷了實質(zhì)公理系統(tǒng)的第一階段，形式公理系統(tǒng)的第二階段，才完成了數(shù)學(xué)內(nèi)部組織精確化、完善化的過程。決定數(shù)學(xué)理論體系最原始的真值保證，即決定那些不加證明的數(shù)學(xué)公理的真值性的保證，只能是數(shù)學(xué)家們親身工作的實踐。（18）2.3數(shù)學(xué)活動的探索性特征數(shù)學(xué)高度抽象性、確定性和廣泛應(yīng)用性方面的特點，是數(shù)學(xué)具有區(qū)別于其他科學(xué)的獨特的特點。（19）數(shù)學(xué)的探索性特征就是指，在數(shù)學(xué)活動中要運用一般科學(xué)的探索方法：觀察、實驗、想像、直覺、猜測、驗證、反駁。數(shù)學(xué)活動有三類：

20、數(shù)學(xué)研究活動，就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)發(fā)明的過程；數(shù)學(xué)認知活動，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，這是一個再創(chuàng)造的過程；數(shù)學(xué)實踐活動，即用數(shù)學(xué)解決問題的創(chuàng)造性過程。數(shù)學(xué)活動都要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出假設(shè)，驗證猜想的階段，這個階段就是數(shù)學(xué)探索活動階段。數(shù)學(xué)探索性表明了探索活動階段的不確定性。正是這種不確定性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動的創(chuàng)造性。（19）數(shù)學(xué)教學(xué)中教師把對數(shù)運算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程作為重點，就把課本上缺失的探索過程彌補出來，也就是常說的“還原數(shù)學(xué)創(chuàng)造的本來面目”。（21）（這是一個十分典型的數(shù)學(xué)探索活動，這種情況的創(chuàng)設(shè)正是教師創(chuàng)造力之所在。）所謂數(shù)學(xué)的探索性活動，就是對數(shù)學(xué)問題，人們根據(jù)自己的經(jīng)驗和知識，運用實驗、觀察、想像、直覺、

21、猜測、驗證和反駁的方法，尋求一種可能性結(jié)論的活動。（21）數(shù)學(xué)探索性活動的基本特點有：其一，不是運用邏輯推理的論證方法，而是運用合情推理的探索方法；其二，可以獲得發(fā)現(xiàn)發(fā)明的內(nèi)容；其三，可以尋找解決問題的思路；其四，可以預(yù)測可能性結(jié)論的正確程度，對其作出合理的修正；其五，其結(jié)果只具有“可能性”，必須通過嚴格的論證才是可靠的、最終的結(jié)論。（21）數(shù)學(xué)探索性活動的意義在于，它是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)發(fā)明的方法，是每個人將來進行創(chuàng)造性工作必須應(yīng)用的方法。（22）數(shù)學(xué)探索性活動的關(guān)鍵是提出猜想。（22）驗證是數(shù)學(xué)探索活動不可缺少的環(huán)節(jié)。（22）數(shù)學(xué)探索性活動需要豐富的想象力。（22）數(shù)學(xué)直覺一般是指：對于數(shù)學(xué)對象事物

22、的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的某種直接領(lǐng)悟或者洞察。（22）數(shù)學(xué)直覺不包括普通邏輯推理過程，具有非邏輯性、自發(fā)性的特點，包含合情推理形式的直接領(lǐng)悟，屬于非邏輯的思想活動范疇。（22）數(shù)學(xué)直覺的作用至少有兩個：辨識性作用和關(guān)聯(lián)性作用。（22）（在數(shù)學(xué)研究中，或在數(shù)學(xué)解題中，人們常常要面對幾種可能的思路。這時常常是直覺在極短的時間迅速識別，作出抉擇。在數(shù)學(xué)活動中，在原來認為不相同或不相關(guān)的幾個事物之間，直接察覺到他們的聯(lián)系或者統(tǒng)一性，從而為猜測提供了依據(jù)。）在數(shù)學(xué)解題過程中，不少解決問題的方法和途徑是通過直覺的關(guān)聯(lián)性作用而發(fā)現(xiàn)。（22）2.4數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特征數(shù)學(xué)提供了特有的思維訓(xùn)練。（23）中小學(xué)的數(shù)學(xué)課是

23、教你思考。（23）數(shù)學(xué)所提供的特有的思維訓(xùn)練有：數(shù)學(xué)化、抽象化、最優(yōu)化、符號化、隨機化、邏輯分析。（23）數(shù)學(xué)提供了科學(xué)的表達語言。（23）（數(shù)學(xué)語言是各種科學(xué)的通用語言；數(shù)學(xué)語言是世界各國家各民族的通用語言。）數(shù)學(xué)提供了不可思議的應(yīng)用。（24）2.5數(shù)學(xué)的文化價值觀 數(shù)學(xué)作為人類文化及其重要的組成部分，對人類文明發(fā)展有著舉足輕重的作用，特別是現(xiàn)代文化的發(fā)展更表明了數(shù)學(xué)文化的地位和作用。（25）數(shù)學(xué)獨特的文化價值有：認識價值（數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言、數(shù)學(xué)是普遍適用的思想方法。）；智力價值（數(shù)學(xué)是人類智力的創(chuàng)造物，是訓(xùn)練人的智力、提高人的智力水平的最有效的途徑。）；精神價值（理性精神、求實精神、創(chuàng)造精

24、神）；美學(xué)價值（簡潔之美、和諧之美、奇異之美）。數(shù)學(xué)語言具有單義性、確定性的特點，數(shù)學(xué)語言已成為一種通用的理想化的語言。（25）在數(shù)學(xué)眾多思想方法之中，帶有根本性的思想方法的是公理化思想、數(shù)學(xué)模型方法等。（26）數(shù)學(xué)是普遍適用的思想方法。首先，數(shù)學(xué)的思想方法起著科學(xué)示范的作用。其次，數(shù)學(xué)思想方法為其它科學(xué)提供了普遍思想框架。（26）人的智力的核心是思維能力。（26）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的，數(shù)學(xué)老三大能力是：運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力。（26）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的，數(shù)學(xué)新三大能力是：數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)探索能力和數(shù)學(xué)閱讀能力第三章 數(shù)學(xué)課程理論及其發(fā)展現(xiàn)在人們都強調(diào)用結(jié)構(gòu)的新觀點重新認識19世紀的數(shù)學(xué)，于

25、是各種新的分科猶如雨后春筍般應(yīng)運而生。（29）3.1什么是數(shù)學(xué)課程“課程”一詞按中文的解釋，“課”指課業(yè)，“程”指進程，課程是“課業(yè)及其進程”。它包含了兩個方面的含義：教學(xué)的科目或內(nèi)容以及這些科目或內(nèi)容的教學(xué)時間與程序。（29）“課程”這個詞，教育學(xué)家們至今無法取得一致的定義。（29）什么是數(shù)學(xué)課程？由于對“課程”概念理解的不同，所以對于“數(shù)學(xué)課程”的理解而有所區(qū)別。（31）“經(jīng)驗說”.當我們把課程看作一種靜態(tài)的客體，一種預(yù)設(shè)的、有目的的安排，看成是旨在使學(xué)生獲得教育性經(jīng)驗的計劃時，相應(yīng)的數(shù)學(xué)課程就應(yīng)定義為：在學(xué)校教育環(huán)境中，旨在使學(xué)生獲得促進其全面發(fā)展的、具有教育性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗計劃。（31）“

26、內(nèi)容說”。如果我們把課程看作是一種靜態(tài)的，為實現(xiàn)學(xué)校教學(xué)目標而選擇的教育內(nèi)容的總和，那么數(shù)學(xué)課程就應(yīng)定義為：為實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教育目標而選擇的數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的總和。（31）“過程說”。當我們把課程看作是一種動態(tài)的師生共同參與的意義創(chuàng)造的過程時，相應(yīng)的數(shù)學(xué)課程可定義為由師生共同參與的建構(gòu)主體性數(shù)學(xué)經(jīng)驗的過程，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)體驗的歷程。（31）總之，由于課程概念的不統(tǒng)一性，決定了我們對數(shù)學(xué)課程的界定也是有差別的，各有側(cè)重。（31）3.2數(shù)學(xué)課程論的研究內(nèi)容簡單地說，第四章 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論及其教學(xué)啟示按照“教與學(xué)對應(yīng)的原理”，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，因此對數(shù)學(xué)教學(xué)的認識必然要以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的

27、認識為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的中心問題，也是數(shù)學(xué)教學(xué)認識論的核心概念。（35）人們關(guān)于學(xué)習(xí)的認識歷經(jīng)了由行為主義到認知主義的過程。（35）當今認知心理學(xué)理論強調(diào)學(xué)習(xí)中相互關(guān)聯(lián)的三個方面：第一，學(xué)習(xí)是一個知識建構(gòu)的過程而不是僅僅是知識的記錄或吸收；第二，學(xué)習(xí)依賴于知識，學(xué)生必須運用已有知識來建構(gòu)新知識；第三，學(xué)習(xí)與產(chǎn)生學(xué)習(xí)的情境具有高度一致性。（35）4.1什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“學(xué)習(xí)”一詞既是日常生活中的概念，也是心理學(xué)中的核心概念。（35）關(guān)于學(xué)習(xí)的涵義，不同的心理學(xué)派有不同的解釋，這其中既有不同學(xué)派理論觀點的差異，也有由于認識逐步深入而不斷發(fā)展的因素。（35）行為主義意義下的學(xué)習(xí)，是指由練

28、習(xí)或經(jīng)驗引起的行為相對持久的變化的過程。（行為主義觀的學(xué)習(xí)） （35）行為主義意義下的學(xué)習(xí)，其行為變化的特點有：1）它的要意在于要使學(xué)習(xí)成為可以觀測和測量的概念。2）這種行為上的變化是能夠相對持久保持的。3）學(xué)習(xí)的發(fā)生是由經(jīng)驗所引起的，這種變化主要是學(xué)習(xí)者與環(huán)境之間復(fù)雜的相互作用而產(chǎn)生的，是后天習(xí)得的，不是先天的或生長成熟的結(jié)果。（35）(認知主義觀的學(xué)習(xí)）認知主義觀人為：學(xué)習(xí)是人的傾向或能力的變化，這種變化能夠保持但不能單純歸因于生長過程。這也就是把人內(nèi)部的認知結(jié)構(gòu)的改變確認為學(xué)習(xí)。（36）“學(xué)習(xí)”的定義是一個典型的困難問題。（從行為主義和認知主義關(guān)于學(xué)習(xí)的不同定義表明，學(xué)習(xí)是一個典型的困難

29、問題，從而是一個科學(xué)研究的課題。）（36）人類學(xué)習(xí)的實質(zhì)，是人的能力、思想、情感的變化。（36）行為主義強調(diào)對學(xué)習(xí)研究的客觀觀察和測量。（36）認知主義強調(diào)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是內(nèi)在能力和傾向的變化。（36）教育情境下的學(xué)習(xí)可以解釋為：按照教育的目的和要求，由經(jīng)驗產(chǎn)生的、比較持久的行為、能力或傾向的變化。（37）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以認為是學(xué)生通過獲得數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗而引起的持久行為、能力和傾向變化的過程。（37）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一般學(xué)習(xí)的所有特點，尤其是：以系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容、方法、思想為主，是人類發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的再發(fā)現(xiàn)；在教師指導(dǎo)下進行，按照一定的教材和規(guī)定的時間進行，為后繼學(xué)習(xí)和社會實踐奠定基礎(chǔ)。（37）

30、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有自身明顯的特點，所以，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時：需要提高抽象思維的水平；需要發(fā)展邏輯推理能力；需要必要的解題練習(xí)。（37）只有通過由具體到抽象的概括，才能既掌握數(shù)學(xué)結(jié)論的形式，又掌握形式背后的實質(zhì)。（37）在數(shù)學(xué)解題中需要很高的抽象概括能力。（37）很多學(xué)生解題能力不強，是沒有很好掌握抽象概括思維方法的結(jié)果。（37）數(shù)學(xué)證明所采用的最基本、最主要的形式是邏輯推理。（37）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法主要有模仿學(xué)習(xí)、操作學(xué)習(xí)、創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。（38）模仿學(xué)習(xí)就是按照一定的模式去進行學(xué)習(xí)，它直接依賴于教師的示范。（在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)符號的讀寫、學(xué)具的使用、運算步驟

31、的順序、解題過程的表達、數(shù)學(xué)方法的運用、學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成等都含有模仿的成分。）模仿是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本的方法。（38）模仿可以是有意的，也可以是無意的。模仿有兩個層次：簡單模仿和復(fù)雜模仿。簡單模仿是一種機械性模仿，往往不是有意義學(xué)習(xí)。復(fù)雜模仿一般需要很強的邏輯思維能力復(fù)雜模仿經(jīng)常伴有“嘗試錯誤”的過程，（因為學(xué)生很少能一次就學(xué)會用某個模式去解決數(shù)學(xué)問題.）（38）復(fù)雜模仿是看出方法與問題兩方面實質(zhì)性的聯(lián)系以后，根據(jù)這些聯(lián)系對方法加以靈活運用，雖然有模仿的成分，但含有對實質(zhì)的理解，是在理解實質(zhì)的基礎(chǔ)上模仿。（38）數(shù)學(xué)操作學(xué)習(xí)指可以對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果產(chǎn)生強化作用的學(xué)習(xí)行為。（38）操作學(xué)習(xí)的主要形式就是練

32、習(xí)。（38）（一般地，學(xué)生在獲得知識的過程中所形成的數(shù)學(xué)概念、原理和方法，在起始階段往往不夠深刻，這就需要通過練習(xí)來強化和加深。經(jīng)常性的練習(xí)，不僅能起到鞏固知識、保持記憶、減少遺忘的作用，而且對提高技能，培養(yǎng)能力，掌握思維方法也是必不可少的。）數(shù)學(xué)創(chuàng)造性學(xué)習(xí)主要在解決問題過程中進行，其基本模式是：問題情境轉(zhuǎn)換尋求解法求的解答。（39）轉(zhuǎn)化是創(chuàng)造性學(xué)習(xí)關(guān)鍵的一步。（即把問題轉(zhuǎn)換成自己的語言和表述，在轉(zhuǎn)換中弄清問題的實質(zhì)，與已有的概念、原理、方法和問題聯(lián)系起來，最終把問題轉(zhuǎn)換成易于解決的或者較為熟悉的問題。）（39）創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的特點創(chuàng)造性學(xué)習(xí)有兩個特點：一是知識技能向新的問題情境遷移；二是在熟悉的

33、問題情境中發(fā)現(xiàn)新問題。（39）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的再創(chuàng)造，在于能夠利用已掌握的數(shù)學(xué)知識和技能去尋找解決新問題的方法，更重要的在于能夠提出和發(fā)現(xiàn)新問題。（39）如果模仿學(xué)習(xí)和操作學(xué)習(xí)是解決知與不知，會與不會的問題的話，那么，再創(chuàng)造性學(xué)習(xí)是解決怎樣想，為什么這樣想的問題。（39）實例見教材（39）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的類型按照學(xué)習(xí)的性質(zhì)看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有兩個最基本類型：數(shù)學(xué)的有意義接受學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)的有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。（40）數(shù)學(xué)的有意義接受學(xué)習(xí)指的是，學(xué)習(xí)的全部內(nèi)容是以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者。（即把問題的條件、結(jié)論以及推導(dǎo)過程都敘述清楚，不需要學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)，但要求他們積極主動地與自己認知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識建立非人為和實質(zhì)性

34、聯(lián)系，使新舊知識融為一體。）（40）數(shù)學(xué)的有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)指的是，不把學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容提供給學(xué)生，只是提供問題或背景材料，由學(xué)生自己獨立地發(fā)現(xiàn)主要內(nèi)容。（包括：揭示問題的隱蔽關(guān)系，發(fā)現(xiàn)結(jié)論和推導(dǎo)方法，將所提供的信息經(jīng)過加工和重新組合，然后與認知結(jié)構(gòu)中的適當知識聯(lián)系起來。）（41）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個維度，一個維度是數(shù)學(xué)的有意義學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)的機械學(xué)習(xí)，另一個維度是數(shù)學(xué)的接受學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。（41）（這就是說，接受學(xué)習(xí)可以是有意義的，也可以是機械的，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也是如此。）廣為流傳的一種觀點是，接受學(xué)習(xí)一定是機械的，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)必定是有意義的，這種觀點其實并無根據(jù)。（41）（錯誤的觀點）數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)認知結(jié)構(gòu)是人

35、們在對客觀事物的感知和理解的基礎(chǔ)上在頭腦里形成的一種心理結(jié)構(gòu)。（它是由個人過去的知識和經(jīng)驗組成，是個體認知活動的產(chǎn)物，是通過學(xué)習(xí)和認知活動逐步構(gòu)造起來的。）（42）數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)是存在于學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與認識結(jié)構(gòu)有機結(jié)合而成的心理結(jié)構(gòu)。（數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)含義的界定有不同）（42）學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是課程教材里的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和老師的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦里的反映。（42）“認知” ，顧名思義，不認不知，有認才有知，認知是知識的高度概括。（42）學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中的一般思維動作主要是：分析與綜合、比較與類比、抽象與具體化、概括與專門化、分類與系統(tǒng)化等學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)

36、的特殊思維動作主要是：數(shù)學(xué)操作性思維動作、方法技巧性思維動作、思想觀念性思維動作和策略定向性思維動作。（42）數(shù)學(xué)操作性思維動作有：歸入概念、推出性質(zhì)、作出判斷、重新理解、模式識別。方法技巧性思維動作有消元、降次、換元、配方、待定系數(shù)、反證、完全歸納等等。思想觀念性思維動作有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、映射與函數(shù)思想、極限思想、隨機思想等。（42）策略定向性思想動作有等價轉(zhuǎn)化、劃歸、類比、歸納猜想等等。（42）數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)相關(guān)的特征有：數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)具有學(xué)生的個性特點且數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)按照數(shù)學(xué)知識的包攝水平、概括水平，以及抽象度的高低形成階梯層次；學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)新知識的加工廠，及提供加工

37、的原料，又提供加工的方法；數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)隨著認知的不斷深入而更加細化和融會貫通。（43）4.2數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是用數(shù)學(xué)的語言文字符號表示的，數(shù)學(xué)的語言文字和符號不僅代表客觀的事物和現(xiàn)象，而且反映了前人抽象和概括出來的概念和原理。（43）學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，一方面要掌握一整套的數(shù)學(xué)語言符號體系，另一方面要掌握數(shù)學(xué)語言符號所代表的事實、概念和原理，其中后者更為重要，他們是數(shù)學(xué)符號真正的認知內(nèi)容。通過數(shù)學(xué)的語言符號使學(xué)生在頭腦中獲得相應(yīng)認知內(nèi)容的學(xué)習(xí)，就是數(shù)學(xué)的有意義學(xué)習(xí)。（43）數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的實質(zhì)數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的實質(zhì)是，數(shù)學(xué)的語言或符號所代表的新知識與學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中已有的適當知

38、識建立非人為的實質(zhì)性的聯(lián)系。（43）認知結(jié)構(gòu)中已有的適當知識的“適當知識”，是指學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有的、與新知識存在某種聯(lián)系的那些知識。（它們可以是數(shù)學(xué)知識，也可以是其他方面的知識、經(jīng)驗或者某種觀念。）（43）所謂“適當”就是與新知識有關(guān)。與新知識有關(guān)的適當知識，又稱為新知識有意義學(xué)習(xí)的生長點或固著點。（44）建立非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系學(xué)生所學(xué)的新知識與認知結(jié)構(gòu)已有的適當知識，本身就存在某種固有的聯(lián)系，這種聯(lián)系就是非人為和實質(zhì)性的，它們只是目前存在于不同的載體中，學(xué)生如果能把兩者原有的非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系認識出來、建立起來，也就建立起了非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系。（44）如果學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，能把新舊知

39、識之間在數(shù)學(xué)體系中的內(nèi)在聯(lián)系建立起來，就是在新舊知識之間建立起了非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系。反之，如果學(xué)生把新知識與自己認知結(jié)構(gòu)中不適當、不相關(guān)的知識強行聯(lián)系起來，那不是非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系，而是人為和非實質(zhì)的聯(lián)系。（44）要建立非認為和實質(zhì)性聯(lián)系，就是對某一數(shù)學(xué)認知內(nèi)容，學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有了一種數(shù)學(xué)語言符號的表達形式，現(xiàn)在的新知識則是同一認知內(nèi)容的另一數(shù)學(xué)語言符號的表達形式，那么學(xué)生如果能把這些不同語言符號的表達形式聯(lián)系起來，把它們所代表的同一認知內(nèi)容認識出來，就是建立起了非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系。（44）由于把握了同一數(shù)學(xué)對象的不同表達形式，一種解決問題的方法就應(yīng)運而生。這說明，盡管數(shù)學(xué)語言符號

40、的外表形式不同，但學(xué)生能夠透過表面形式認識出兩者實質(zhì)相同，就是建立了實質(zhì)性聯(lián)系，這樣產(chǎn)生的學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)。（45）數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的條件數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的條件分為客觀條件與主觀條件兩方面。（45）目前合理的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料滿足具有邏輯意義這一客觀條件是不言而喻的。數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的主觀條件是：1）學(xué)生必須具備數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的心向；2）新知識對學(xué)習(xí)者必須有潛在意義；3）學(xué)習(xí)者必須具備有意義學(xué)習(xí)的思維潛能；4）數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的結(jié)果。（45）數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的基本形式（簡答）數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的基本形式有：數(shù)學(xué)的表征學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)的同化學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)的順應(yīng)學(xué)習(xí)。（46）數(shù)學(xué)的表征學(xué)習(xí)是將數(shù)學(xué)的名詞、符號所

41、代表的具體對象，在認知結(jié)構(gòu)里建立起等值關(guān)系。這種具體對象稱為數(shù)學(xué)名詞、符號的指代物。（名詞解釋）數(shù)學(xué)表征學(xué)習(xí)的特點是，對數(shù)學(xué)名詞符號所獲得的表征意義只代表特殊的和單個的事物。（46）數(shù)學(xué)的表征學(xué)習(xí)大部分是認知水平上的學(xué)習(xí)，而不像其他學(xué)科的代表學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上是感知水平上的，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其他學(xué)科學(xué)習(xí)的一個很大區(qū)別。（原因在于大部分數(shù)學(xué)名詞符號的指代物本身就是抽象的，不是憑感知可把握的，所以數(shù)學(xué)的表征學(xué)習(xí)比起一般學(xué)科的代表學(xué)習(xí)來是較高級的學(xué)習(xí)。這也是數(shù)學(xué)比其他學(xué)科難學(xué)的原因之一。）（47）對數(shù)學(xué)的名詞符號一般從表征學(xué)習(xí)開始，但僅僅只達到表征學(xué)習(xí)的水平是不行的，因為指代物畢竟不是相應(yīng)數(shù)學(xué)名詞符號的本質(zhì)屬

42、性，只停留在表征學(xué)習(xí)水平，容易導(dǎo)致非本質(zhì)性幻泛化的錯誤。（47）數(shù)學(xué)是抽象性很強的學(xué)科，早期進行表征學(xué)習(xí)，可以增強數(shù)學(xué)名詞符號的直觀性，獲得有關(guān)它們的直觀北京和豐富經(jīng)驗，有關(guān)的指代物可以成為掌握相關(guān)數(shù)學(xué)對象抽象意義的必要階梯，為數(shù)學(xué)名詞符號的抽象意義提供直觀模型。（47）數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)名詞符號不僅代表了數(shù)學(xué)概念的對象（指代物），同時也代表了數(shù)學(xué)概念的抽象意義和抽象關(guān)系。（47）（這就是說，數(shù)學(xué)的名詞符號不僅代表了單個的數(shù)學(xué)對象，更代表了一類數(shù)學(xué)對象，這類數(shù)學(xué)對象的全體形成了一個數(shù)學(xué)概念，相應(yīng)的名詞符號就是這個數(shù)學(xué)概念的表示形式。）（填空）數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)是要獲得數(shù)學(xué)名詞的概念意義，即掌握它們

43、所代表的一類事物的共同的本質(zhì)屬性。（填空）數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)的特點是，數(shù)學(xué)名詞符號所獲得的概念意義代表了一類事物，的共同本質(zhì)屬性，在概念學(xué)習(xí)水平上，數(shù)學(xué)的名詞符號代表了一類事物，在代表學(xué)習(xí)水平上，數(shù)學(xué)的名詞符號只代表單個或特殊的事物。（47）同樣的數(shù)學(xué)名詞符號，存在著兩種不同水平的有意義學(xué)習(xí)：表征學(xué)習(xí)水平上的有意義學(xué)習(xí)和概念學(xué)習(xí)水平上的有意義學(xué)習(xí)。（48）（但是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中僅僅達到表征學(xué)習(xí)水平上的有意義的學(xué)習(xí)是不夠的，必須達到概念學(xué)習(xí)水平上的有意義學(xué)習(xí)才是真正獲得了數(shù)學(xué)對象的意義，才是真正的數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)。）數(shù)學(xué)的同化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系有：類屬關(guān)系、總括關(guān)系、并列關(guān)系。（48）建立在內(nèi)容之間的

44、關(guān)系基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形式，主要有兩種：同化學(xué)習(xí)和順應(yīng)學(xué)習(xí)。（48）同化的概念是指把給定的東西整合到一個早先就存在的結(jié)構(gòu)之中。（48）所謂同化學(xué)習(xí)，就是當新的數(shù)學(xué)內(nèi)容輸入以后，主體并不是消極地接受他們，而是利用已有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)對新知識內(nèi)容進行改造，使新內(nèi)容納入到原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中。（48）（填空）在同化的過程中，主要是辨識新舊知識的聯(lián)系，并由原有的舊知識作為生長點或固著點，把新知識歸屬于原認知結(jié)構(gòu)，同時使原認知結(jié)構(gòu)得到分化和擴充。（48）同化學(xué)習(xí)的例子。如：學(xué)習(xí)用配方法解一元二次方程。就認知結(jié)構(gòu)中已有知識而言，對于其是類屬關(guān)系的新知識的學(xué)習(xí)主要是同化，對與其是總括關(guān)系和并列關(guān)系的新知識的學(xué)習(xí)

45、有一部分是同化。（48）一般來說。從學(xué)習(xí)新知識到練習(xí)中對新知識的保持是再認性同化；在其他知識中又遇見那個新知識時而對新知識的學(xué)習(xí)是再生性同化；在各種新問題中不斷地遇到那個新知識以后對新知識的學(xué)習(xí)是概括性同化。（49）數(shù)學(xué)的順應(yīng)學(xué)習(xí)如果數(shù)學(xué)新知識在原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中沒有密切聯(lián)系的適當知識，這時如果要把新知識納入到認知結(jié)構(gòu)中，像同化學(xué)習(xí)那樣通過與相關(guān)舊知識建立聯(lián)系來獲得知識的意義就比較困難。這時必須要對原來認知結(jié)構(gòu)進行改組，使之與新知識內(nèi)容相適應(yīng)，從而把它納入進去，這個過程叫作順應(yīng)。（49）（填空）如果數(shù)學(xué)新知識在原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中沒有密切聯(lián)系的適當知識，這時如果要把新知識納入到認知結(jié)構(gòu)中，必

46、須要對原來認知結(jié)構(gòu)進行改組，使之與新知識內(nèi)容相適應(yīng)，從而把它納入進去，這個過程叫作順應(yīng)。（填空）初一學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)，就是順應(yīng)學(xué)習(xí)的過程。（初一學(xué)生此前只學(xué)過算數(shù)。）這就使得教學(xué)中需要根據(jù)新舊知識間的關(guān)系來認識新知識學(xué)習(xí)的過程，決定適當?shù)男轮R學(xué)習(xí)的方法。（49）4.3學(xué)生的認知發(fā)展理論（自學(xué)）4.4數(shù)學(xué)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論建構(gòu)主義思想最早是瑞士心理學(xué)家皮亞杰提出來的。（選擇題）他認為，人類對邏輯、數(shù)學(xué)、物理的認識，都是不斷建構(gòu)的產(chǎn)物。從最初的格局建構(gòu)成結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)對認識起中介作用，結(jié)構(gòu)不斷地建構(gòu)；從比較簡單的結(jié)構(gòu)到更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，其建構(gòu)過程依賴于主體的不斷活動。高級結(jié)構(gòu)的建構(gòu)是在解決問題的過程中，依靠

47、主體的活動來實現(xiàn)和完成的。（55）數(shù)學(xué)的對象主要是抽象的形式化的思想材料，數(shù)學(xué)的活動也主要是思辨的思想活動，因此數(shù)學(xué)新知識的學(xué)習(xí)就是典型的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的過程。（55）（簡述）建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀數(shù)學(xué)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的實質(zhì)是：主體通過對抽象的形式化思想材料的思維構(gòu)造，在心理上建構(gòu)這些思想材料的意義。（55）所謂思維構(gòu)造，既是指主體在多方位地把新知識多方面的各種因素建立聯(lián)系的過程中，獲得新知識的意義。（見55）建構(gòu)學(xué)習(xí)是以學(xué)習(xí)者為參照中心的自身思維構(gòu)造的過程，是主動活動的過程，是積極創(chuàng)建的過程，最終所建構(gòu)的意義固著于親身經(jīng)歷的活動背景，溯源于自己熟悉的生活經(jīng)驗，扎根于自己已有的認知結(jié)構(gòu)。（55）建構(gòu)是新知識

48、的意義同時建立和構(gòu)造的過程。（55）整理完第五章 數(shù)學(xué)教學(xué)理論及運用數(shù)學(xué)教學(xué)理論是數(shù)學(xué)教學(xué)實踐經(jīng)驗的概括與總結(jié)，是人們對數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)象及其規(guī)律的一種系統(tǒng)化的理性認識，是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的感性經(jīng)驗上升為理性認識后的一種表現(xiàn)形態(tài)。數(shù)學(xué)教學(xué)理論主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)情境中教師引導(dǎo)、維持或促進學(xué)生學(xué)習(xí)的行為，從而提供一般性的規(guī)定或處方，以指導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂的實踐活動。（65）（填空題、簡答題）要構(gòu)建科學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論并合理地運用，就需要回答什么是數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循哪些原則，如何有效地開展數(shù)學(xué)教學(xué)，如何評價數(shù)學(xué)教學(xué)的效果等等基本問題。（65）5.1數(shù)學(xué)教學(xué)及其過程數(shù)學(xué)教學(xué)必須立足于“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”的基本原理，突出數(shù)

49、學(xué)活動的自身特征。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)過程是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)過程。（65）數(shù)學(xué)教學(xué)的認識：（1）數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)；（2）教學(xué)中的數(shù)學(xué)活動是逐步深入的分層次活動；（3）數(shù)學(xué)活動發(fā)生具有邏輯必要條件；（4）數(shù)學(xué)教學(xué)具有自身的基本特點。（65）數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。（簡答題）（65）（因為數(shù)學(xué)活動在大多數(shù)情況下是抽象的形式化的思想活動，因而將數(shù)學(xué)教學(xué)界定為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是對數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的準確把握。數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)活動既有外部的具體行為操作，又有內(nèi)部的抽象思維動作，是學(xué)生由外及里的活動，并且以內(nèi)部的積極思維活動為主要形式。）教學(xué)中數(shù)學(xué)活動是逐步深入的分層次活動。（66）（這種

50、層次性依次體現(xiàn)在下述幾個方面。第一，借助于觀察、試驗、歸納、類比、概括等活動積累事實材料（數(shù)學(xué)化的過程）；第二，由積累的材料抽象出原始概念和公式體系，并在這些概念和體系的基礎(chǔ)上演繹地建立理論（數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過程）；第三，應(yīng)用理論（實踐活動或更高級的抽象活動）數(shù)學(xué)活動的三個層次具有內(nèi)在聯(lián)系性。（66）（前一層次是后一層次的基礎(chǔ)，后一層次是前一層次的發(fā)展，呈現(xiàn)出螺旋遞進的特征。數(shù)學(xué)活動的層次性也是個體數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗水平的一種標志，即數(shù)學(xué)活動的各個層次都有其相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗水平。上述三個層次就明顯地呈現(xiàn)由感性到理性、由低級到高級的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗水平。）將數(shù)學(xué)活動分成幾個層次具有明顯的優(yōu)越性，（簡答題）將

51、抽象的數(shù)學(xué)活動具體化，突出了數(shù)學(xué)活動的過程性，使得數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)活動具有明顯的可操作性。（66）如果從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建構(gòu)主義理論出發(fā)，分層次認識數(shù)學(xué)活動則有助于設(shè)計數(shù)學(xué)建構(gòu)學(xué)習(xí)。（66）（因為由簡單到復(fù)雜的分層次數(shù)學(xué)活動恰恰是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動的基本方式。對新的數(shù)學(xué)知識的理解是借助已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和知識，超越所提供的新數(shù)學(xué)知識而建構(gòu)的。也就是說，較高層次數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)是以較低層次數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)的。）數(shù)學(xué)活動發(fā)生的邏輯必要條件（在確立了數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)之后，必須明確，怎樣才能使數(shù)學(xué)活動在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有效地展開，即數(shù)學(xué)活動的發(fā)生必須具有什么樣的邏輯必要條件。）數(shù)學(xué)活動發(fā)生的邏輯必要條件：（6

52、7）第一、引起學(xué)生學(xué)習(xí)的心向；第二，數(shù)學(xué)活動內(nèi)容的潛在邏輯性；第三，數(shù)學(xué)活動要以學(xué)生的已有學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)；第四，學(xué)生要具備參與數(shù)學(xué)活動的思維潛能。數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特點數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特點：第一，數(shù)學(xué)教學(xué)高度強調(diào)學(xué)生智力參與和獨立思考；第二，數(shù)學(xué)教學(xué)要把握大觀點和核心概念（大觀點見P68）；第三，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是一種科學(xué)探究活動；第四，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)解題；第五，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視過程知識。（67）數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，需要給學(xué)生留出較多思考的空間，對于具有一定難度和靈活性的數(shù)學(xué)問題，不一定非要要求學(xué)生做出漂亮、完整的結(jié)論，或者產(chǎn)生多少了不起的創(chuàng)造。只要用心去鉆研、去探索，哪怕遭遇更多的是挫折與失敗，也會獲得一

53、種基于體驗的過程知識，在日后的學(xué)習(xí)中發(fā)揮作用。因此，有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)重在使學(xué)生親歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，體驗數(shù)學(xué)的思考方式，從而獲得相關(guān)的過程知識。（70）數(shù)學(xué)教學(xué)過程數(shù)學(xué)教學(xué)過程是數(shù)學(xué)教師組織和引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識，進行積極的思維活動，形成良好的認識與發(fā)展相統(tǒng)一的育人過程。數(shù)學(xué)教學(xué)過程的實質(zhì)體現(xiàn)在三個方面：從結(jié)構(gòu)上看，它是一個以教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等為基本要素的多維結(jié)構(gòu)；從性質(zhì)上講，它是一個有目的、有計劃、的多邊活動過程；從功能上講，它又是一個教師引導(dǎo)下的學(xué)生主動探究、發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，促進情感、態(tài)度、價值觀等各方面素質(zhì)全面發(fā)展的育人過程。（70）數(shù)

54、學(xué)教學(xué)過程中最基本的因素是：教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法。教師是教學(xué)向?qū)У闹鹘?；學(xué)生是學(xué)的活動的主體；教學(xué)內(nèi)容是師生活動的載體；教學(xué)方法是指引教學(xué)過程展開的行動方式。（70）數(shù)學(xué)教學(xué)過程的基本規(guī)律數(shù)學(xué)教學(xué)過程展開的基本規(guī)律需要從“教什么”、“怎么教”、“教學(xué)結(jié)果如何”等三個方面來考察。（71）數(shù)學(xué)教學(xué)中“教什么”是指教學(xué)生學(xué)什么，教學(xué)生怎樣學(xué)?！敖淌裁础笔菙?shù)學(xué)教學(xué)過程展開的首要問題?！敖淌裁础钡膶嵸|(zhì)在于“教學(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎樣學(xué)”。而不是單純意義上的教的內(nèi)容。（71）“教學(xué)生學(xué)什么”明確了教學(xué)過程中教師是教學(xué)向?qū)У闹鹘呛蛯W(xué)生是學(xué)的活動的主體這樣一層關(guān)系。（72）“教學(xué)生怎么學(xué)”就是在明

55、確“學(xué)什么”的基礎(chǔ)上，如何引導(dǎo)學(xué)生去主動地學(xué)，即啟發(fā)學(xué)生去質(zhì)疑、去發(fā)現(xiàn)、去探究、去歸納、去判斷、去概括的策略和方法上的暗示。（72）數(shù)學(xué)教學(xué)“怎么教”是指“教學(xué)生學(xué)什么”，“教學(xué)生怎么學(xué)”?！霸趺唇獭辈皇菃渭兊刂覆捎檬裁捶椒ê褪侄瓮七M數(shù)學(xué)教學(xué)，而是包含著“怎樣教學(xué)生學(xué)什么”與“怎樣教學(xué)生怎樣學(xué)”的深刻含義。教師作為教學(xué)的引導(dǎo)著，就是要求一定要把學(xué)生放在探究的位置上，讓他自己去探究，自己去發(fā)現(xiàn)，他必須成為主動的學(xué)習(xí)者。（72）教學(xué)引導(dǎo)的基本手段是啟發(fā)。數(shù)學(xué)教學(xué)中的啟發(fā)主要是暗示。教師通過啟發(fā)給學(xué)生以必要的暗示，學(xué)生通過自己的思維活動獲得暗示。數(shù)學(xué)中啟發(fā)教學(xué)的方法主要有三種：一是設(shè)計問題情境；二是

56、設(shè)計動態(tài)的直觀圖形啟發(fā)學(xué)生；三是運用“元認知提示語”發(fā)問（提示語見P125）數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)果是構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)（72）5.2數(shù)學(xué)教學(xué)原則（73）數(shù)學(xué)教學(xué)原則是指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)的一般性原則，是進行數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)遵循的原則。數(shù)學(xué)教學(xué)原則是根據(jù)數(shù)學(xué)教育的目標，數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的心理特征以及數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐經(jīng)驗等概括而成的。數(shù)學(xué)教學(xué)原則包括兩類：數(shù)學(xué)教學(xué)的一般原則和數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊原則。（73）數(shù)學(xué)教學(xué)的一般原則數(shù)學(xué)教學(xué)的一般原則：（1）主動性原則；（2）發(fā)展性原則；（3）啟發(fā)性原則；（4）理論聯(lián)系實際的原則。（73）主動性是教學(xué)的普遍原則。它要求學(xué)習(xí)者必須積極主動地參與數(shù)學(xué)活動，在“做數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)”，也就是說數(shù)學(xué)教學(xué)必須遵循主動性原則。主動性原則的基本標志是獨立思考和智力參與。（73）在教學(xué)中突出主動性原則的途徑主要有兩個：一是注重培養(yǎng)學(xué)生主動探究的意識（要充分將學(xué)生置身于探究的情境中，注意激發(fā)學(xué)生主動參與的興趣和動力。）；二是在主動學(xué)習(xí)的方法上多加引導(dǎo)（通過介紹、討論、對比思考的角度和方法，提高學(xué)生獨立思考和智力參與的