高一升高二數(shù)學(xué)講義

1、夔府學(xué)堂 伴你成長第一章集合及簡易邏輯第一講基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)：一集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關(guān)集合問題時(shí)，尤其要注意元素的互異性，如（1）設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q=，若，則P+Q中元素的有_個(gè)。（答：8）（2）非空集合，且滿足“若，則”，這樣的共有_個(gè)（答：7）二遇到時(shí)，你是否注意到“極端”情況：或；同樣當(dāng)時(shí)，你是否忘記的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，則實(shí)數(shù)_.（答：）三對(duì)于含有個(gè)元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為 如滿足集合M有_個(gè)。（答：7）四集合的運(yùn)算性質(zhì)：；.如：設(shè)全集，若，則A_，B_

2、.（答：，）五研究集合問題，一定要理解集合的意義抓住集合的代表元素。如：函數(shù)的定義域；函數(shù)的值域；函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，如（1）設(shè)集合，集合N，則_（答：）；（2）設(shè)集合，則_（答：）六數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。如：已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（答：）練習(xí)： 1（2006年安徽卷）設(shè)集合，則等于（ ）A B C D解：，所以，故選B。2( 2006年重慶卷)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5,則(uA)(uB)=

3、 ( D)(A)1,6 (B)4,5(C)1,2,3,4,5,7 (D)1,2,3,6,73. （2006年上海春卷）若集合，則AB等于( B ) （A）. （B）. （C）. （D）.4（2006年全國卷II）已知集合Mx|x3，Nx|log2x1，則MN ( D )（A） （B）x|0x3（C）x|1x3 （D）x|2x3第二講:命題七.復(fù)合命題真假的判斷?！盎蛎}”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“真假相反”。如：在下列說法中：“且”為真是“或”為真的充分不必要條件； “且”為假是“或”為真的充分不必要條件； “或”

4、為真是“非”為假的必要不充分條件； “非”為真是“且”為假的必要不充分條件。其中正確的是_（答：）八四種命題及其相互關(guān)系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若p 則q” ；逆否命題為“若q 則p”。提醒：（1）互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià)；（2）在寫出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否命題時(shí)，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對(duì)命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對(duì)命題的結(jié)論否定；（4）對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價(jià)

5、關(guān)系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。（5）哪些命題宜用反證法？如：）；（1）已知函數(shù)，證明方程沒有負(fù)數(shù)根。九充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋，若，則A是B的充分條件；若，則A是B的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。如：（1）給出下列命題： 實(shí)數(shù)是直線與平行的充要條件； 若是成立的充要條件； 已知，“若，則或”的逆否命題是“若或則”；“若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是假命題 。其中正確命題的序號(hào)是_（答：）；（2）設(shè)命題p：；命題q:。若p是q的必要而不充分的條件，

6、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （答：）練習(xí)：1（2006年全國卷I）設(shè)集合，則A BC D集合M寫成區(qū)間形式為（0，1），集合N寫成區(qū)間形式為（2，2），M是N的真子集。故B成立。雖然是第一個(gè)小題兒，但是出成這個(gè)樣子也是讓人詫異的。2（2006年江蘇卷）若A、B、C為三個(gè)集合，則一定有（A）（B）（C）（D）解：由知，故選（A）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合間關(guān)系的運(yùn)算3（2006年江西卷）已知集合Mx|，Ny|y3x21，xÎR，則MÇN（ C ）AÆ B. x|x³1 C.x|x>1 D. x| x³1或x<0解：Mx|x>1或x

7、3;0，Ny|y³1故選C4（2006年遼寧卷）設(shè)集合,則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（ ）(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個(gè)數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個(gè)。故選擇答案C?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了并集運(yùn)算以及集合的子集個(gè)數(shù)問題，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。第三講十一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟化為的形式，若,則；若,則；若,則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。如已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_（答：）十一一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）。尤其當(dāng)和時(shí)的解集你會(huì)正確表示嗎？設(shè),是方程的兩實(shí)根，且，則

8、其解集如下表：或或RRR如解關(guān)于的不等式：。（答：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）十二對(duì)于方程有實(shí)數(shù)解的問題。首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0，其次若，則一定有。對(duì)于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情形？如：（1）對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是_（答：）；十三一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么？ （、）。根的分布理論成立的前提是開區(qū)間，若在閉區(qū)間討論方程有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，再令和檢查端點(diǎn)的情況如實(shí)系數(shù)方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則的取值范圍是

9、_（答：（，1）十四二次方程、二次不等式、二次函數(shù)幾個(gè)二次之間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程的兩個(gè)根即為二次不等式的解集的端點(diǎn)值，也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。練習(xí)：（1）不等式的解集是，則=_（答：）；（2）不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（答：）。第四講：專題“三步法”解一元二次不等式 利用一元二次不等式、二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系，三步可求出一元二次不等式的解集，且簡便快捷。第一步求出一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，第二步作出一元二次不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象，第三步根據(jù)圖象寫出不等式的解集。例1 解不等式。解析：方程的解為。函數(shù)的圖象如圖1。因不等式的解為拋物線在x軸

10、下方對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可得不等式的解集為。點(diǎn)評(píng)：作相關(guān)二次函數(shù)的圖象時(shí)，可不必作出y軸，因?yàn)榍蠼庖辉尾坏仁?，只需找出拋物線在x軸上（或下）方對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與y軸的位置并無關(guān)系。例2 解關(guān)于x的不等式。解析：原不等式等價(jià)于。方程的根為x=a或，拋物線開口向上。當(dāng)a=0或a=1時(shí)，如圖3，原不等式的解集為。當(dāng)時(shí)，如圖4，原不等式的解集為。當(dāng)a>1或a<0時(shí)，如圖5，原不等式的解集為。點(diǎn)評(píng)：熟練后只需在大腦中想象出二次函數(shù)圖象，不必真正畫出來。例3 若函數(shù)的值域?yàn)?，7，試確定x的取值范圍。解析：設(shè)，由函數(shù)的值域?yàn)?，7，得。作出的圖象，如圖8。由題設(shè)知，得，所以x的取值范圍是。

11、點(diǎn)評(píng)：對(duì)于不等式，也可以轉(zhuǎn)化為解不等式組，但不如上述解法直觀明了。第五講：映射與函數(shù)的概念一種特殊的對(duì)應(yīng)：映射9413-32-21-130°45°60°90°1-12-23-3149123123456開平方求正弦求平方乘以2 （1） （2） （3） （4）1對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有一個(gè)（或幾個(gè)）元素與此相對(duì)應(yīng)。2對(duì)應(yīng)的形式：一對(duì)多（如）、多對(duì)一（如）、一對(duì)一（如、）3映射的概念（記筆記）：強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)“一”即“任一”、“唯一”。4注意映射是有方向性的。5符號(hào)：f ： A B 集合A到集合B的映射。6講解：象與原象定義。（記筆記）7. 從映射

12、的觀點(diǎn)定義函數(shù)（近代定義）： 1）函數(shù)實(shí)際上就是集合A到集合B的一個(gè)映射 f：A B 這里 A, B 非空。2） A：定義域，原象的集合B：值域，象的集合（C）其中C Í B f：對(duì)應(yīng)法則 xÎA yÎB3）函數(shù)符號(hào)：y=f(x) y 是 x 的函數(shù)，簡記 f(x)函數(shù)的三要素： 對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。例：判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)？為什么？ 1。 解：不是同一函數(shù)，定義域不同 2 。 解：不是同一函數(shù)，值域不同 3 解：是同一函數(shù) 4 解：不是同一函數(shù)，定義域、值域都不同8. 關(guān)于復(fù)合函數(shù)設(shè) f(x

13、)=2x-3 g(x)=x2+2 則稱 fg(x)（或gf(x)）為復(fù)合函數(shù)。 fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1 gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11 例：已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1) 解：f()=()2-+3 f(x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x2+x+3 9. 函數(shù)定義域的求法l 分式中的分母不為零； l 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；l 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；l 對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。l 正切函數(shù) l 余切函數(shù) 函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是，函數(shù)yarccosx的定義域是

14、 1, 1 ，值域是 0, ，注意：（親愛的同學(xué)們，小心?。。?fù)合函數(shù)的定義域。如：1.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，3），則函數(shù)的定義域。2.函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域?yàn)?，解不等式，最后結(jié)果才是3.這里最容易犯錯(cuò)的地方在這里： 已知函數(shù)的定義域?yàn)?1,3),求函數(shù)的定義域；或者說，已知函數(shù)的定義域?yàn)?3,4),則函數(shù)的定義域?yàn)開?例1（1）函數(shù)的定義域是（ C ） A（，） B(，） C(，1） D(，）提示：由解得答案為C（2）已知=，則函數(shù)的定義域是( C ).ABC D提示：， ，解得，答案為C練習(xí)：1. 求下列函數(shù)的定義域：的定義域2已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域1

15、 解：由函數(shù)解析式有意義，得故函數(shù)的定義域是 (2）由 函數(shù)的定義域不可能為空集， 必有，即此時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?；第六講：函數(shù)的值域 函數(shù)值域的求法（1）、直接觀察法對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，如正比例,反比例,一次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),等等,其值域可通過觀察直接得到。 例 求函數(shù)的值域（2）、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例、求函數(shù)的值域。（3）、根判別式法對(duì)二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡,如:4、反函數(shù)法(原函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的定義域)直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的

16、值域。例 求函數(shù)值域。,分母不等于0,即5.倒數(shù)法有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過來之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)的值域6.換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，特別注意新變量的范圍。注意三角換元的應(yīng)用。如求的值域。7.單調(diào)性：特別適合于指、對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。如求值域。 注意函數(shù)的單調(diào)性。8. 數(shù)形結(jié)合例1求下列函數(shù)的值域： （1）； （2）；（3）； （4）；解：（1）， ， 所給函數(shù)的值域?yàn)?，4（2）令()，則x= ，當(dāng)時(shí)，所給函數(shù)的值域?yàn)?,1.（3）由已知得：（*）當(dāng)時(shí)，代入（*）式，不成立，當(dāng)時(shí)，則： 所給函數(shù)的值域?yàn)椋?）函數(shù)定義域?yàn)?,5當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所給練習(xí)：

17、1. 求下列函數(shù)的值域： （1）；（2）解：（1） ， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所給函數(shù)的值域?yàn)椋?）由解得：，由得兩邊平方后整理，得：，解得：，故所給函數(shù)的值域?yàn)?已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求的值解：（1）當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)函數(shù)有最大值，解得，適合；（2）當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)函數(shù)有最大值， ，解得，適合綜上所述：或第七講：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、 知識(shí)要點(diǎn)：1. 指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)yx的比較：定義圖象定義域值域性質(zhì)奇偶性單調(diào)性過定點(diǎn)值的分布最值yax（a>0且a1）叫指數(shù)函數(shù)a>1（，）（0，）非奇非偶增函數(shù)（0，1）即a01x>0時(shí)y>1；0<x<1時(shí)0<y&

18、lt;1無最值0<a<1減函數(shù)x>0時(shí)0<y<1；0<x<1時(shí)y>1y（a>0且a1）叫對(duì)數(shù)函數(shù)a>1（0，）（，）非奇非偶增函數(shù)（1，0）即loga10x>1時(shí)y>0；0<x<1時(shí)y<0無最值0<a<1減函數(shù)x>1時(shí)y<0；0<x<1時(shí)y>0對(duì)稱性函數(shù)yax 與yax （a>0且a1）關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)yax與ylogax關(guān)于yx對(duì)稱函數(shù)ylogax與y（a>0且a1）關(guān)于x軸對(duì)稱 2. 記住常見指數(shù)函數(shù)的圖形及相互關(guān)系以及常見對(duì)數(shù)函數(shù)的圖

19、形及相互關(guān)系 3. 幾個(gè)注意點(diǎn)（1）函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax（a>0，a1）互為反函數(shù)，從概念、圖象、性質(zhì)去理解它們的區(qū)別和聯(lián)系；（2）比較幾個(gè)數(shù)的大小是對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的常見題型。在具體比較時(shí)，可以首先將它們與零比較，分出正負(fù)；正數(shù)通常可再與1比較分出大于1還是小于1，然后在各類中間兩兩相比較；（3）在給定條件下，求字母的取值范圍是常見題型，要重視不等式知識(shí)及函數(shù)單調(diào)性在這類問題上的應(yīng)用。研究指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對(duì)數(shù)問題中的定義域限制?！镜湫屠}】例1. （1）下圖是指數(shù)函數(shù)（1）yax，（2）ybx，（3）ycx，（4）ydx的圖象，則a、b、c、d與1的

20、大小關(guān)系是（ ）A. ab1cdB. ba1dcC. 1abcdD. ab1dc剖析：可先分兩類，即（3）（4）的底數(shù)一定大于1，（1）（2）的底數(shù)小于1，然后再從（3）（4）中比較c、d的大小，從（1）（2）中比較a、b的大小。解法一：當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且底數(shù)越大，圖象向上越靠近于y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近于x軸.得ba1dc。故選B。解法二：令x1，由圖知c1d1a1b1，ba1dc。（簡便方法哦，特別適合選擇題）例2. 已知2（）x2，求函數(shù)y2x2x的值域。解：222（x2），x2x42x，即x23x40，得4x1。又y2x2x是4，

21、1上的增函數(shù)，2424y221。即a在x（，1）上恒故所求函數(shù)y的值域是，。 例3. 已知f（x）log3（x1）2，求f（x）的值域及單調(diào)區(qū)間。解：真數(shù)3（x1）23，log3（x1）2log31，即f（x）的值域是1，。又3（x1）20，得1x1，x（1，1）時(shí)，3（x1）2單調(diào)遞增，從而f（x）單調(diào)遞減；x1，1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增。練習(xí)：1、函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則有 （A） （B） （C） （D）2、若，當(dāng)時(shí)，的大小關(guān)系為 （A） （B） （C） （D）3、（全國卷一.文2）已知函數(shù)ABC2D24、已知，試比較與的大小關(guān)系。第八講：函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性【基礎(chǔ)

22、知識(shí)精講】1.基礎(chǔ)知識(shí)圖表2.函數(shù)的單調(diào)性（1）如果對(duì)于屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).如果對(duì)于屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間.（2）函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的.例如函數(shù)y在(-，0)上是減函數(shù)，在(0，+)上也是減函數(shù)，但不能說它在整個(gè)定義域即(-，0)(

23、0，+)因?yàn)楫?dāng)取x1-1，x21時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f(x1)-1，f(x2)1，顯然有x1x2，但f(x1)f(x2)，不滿足減函數(shù)的定義.有些函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)具有單調(diào)性.例如函數(shù)yx就是這樣.有些函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上是減函數(shù).例如函數(shù)y=x2在(-，0是減函數(shù)，在，+)上是增函數(shù).（3）函數(shù)的單調(diào)性所刻畫的是當(dāng)自變量變化時(shí)其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，函數(shù)圖像能直觀地顯示函數(shù)的這個(gè)性質(zhì).在單調(diào)區(qū)間上的增函數(shù)，它的圖像是沿x軸正方向逐漸上升的；在單調(diào)區(qū)間上的減函數(shù)，它的圖像是沿x軸正方向逐漸下降的.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域.（

24、4） 若函數(shù)f(x)，g(x)在給定的區(qū)間上具有單調(diào)性，利用增(減)函數(shù)的定義容易證得，在這個(gè)區(qū)間上：1)函數(shù)f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.2)C0時(shí)，函數(shù)f(x)與C·f(x)具有相同的單調(diào)性；C0時(shí)，函數(shù)f(x)與C·f(x)具有相反的單調(diào)性.3)若f(x)0，則函數(shù)f(x)與具有相反的單調(diào)性.4)若函數(shù)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù).5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)也是增(減)函數(shù)；若f(x)0，g(x)0，且f(x)與g(x)都是增(減)

25、函數(shù)，則f(x)·g(x)是減(增)函數(shù).（5）根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)增減性的一般步驟是：(1)設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并將此差化簡、變形；(3)判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù)，從而證得函數(shù)的增減性.利用函數(shù)的單調(diào)性可以把函數(shù)值的大小比較的問題轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較的問題.函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.這即是說，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.（6）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的根據(jù)是：設(shè)，,都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù).（1）若是上的增函數(shù)，則的增減性與的增減性相同；若是上的減函數(shù)，則的增減性與的增減

26、性相反.以上規(guī)律可總結(jié)為： “同增異減”.例題：例1證明函數(shù)在上是減函數(shù).證明：設(shè)，是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則， 由，得，又由,得,于是 ， 即.函數(shù)在上是減函數(shù).例2 ：已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，求證：在上是減函數(shù).證明：設(shè)，,且，在 上是減函數(shù)， ,又函數(shù)在R上是增函數(shù)，而， , 在上是減函數(shù).例3 討論函數(shù)f(x)(a0)在區(qū)間(-1，1)內(nèi)的單調(diào)性.分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義求解.解：設(shè)-1x1x2，則f(x1)-f(x2)- x1，x2(-1，1)，且x1x，x1-x20，1+x1x20， (1-x21)(1-x22)0于是，當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)；當(dāng)a0時(shí)，f

27、(x1)f(x2).故當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在(-1，1)上是增函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在(-1，1)上為減函數(shù).評(píng)析 根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)值，且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并將此差式變形；(3)判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.例4 求證：f(x)x+(k0)在區(qū)間(0，k上單調(diào)遞減.解：設(shè)0x1x2k，則f(x1)-f(x2)x1+-x2- 0x1x2k，x1-x20，0x1x2k2， f(x1)-f(x2)0 f(x1)f(x2)，f(x)x+中(0，k上是減函數(shù).習(xí)題：1.設(shè)函數(shù)f(x)x2-2

28、x-8，則函數(shù)f(2-x2)在( )A.區(qū)間-2，0上是減函數(shù)B.區(qū)間0，2上是減函數(shù)C.區(qū)間-1，0上是增函數(shù)D.區(qū)間0，1上是增函數(shù)2.已知函數(shù)f(x)2x2+(a+1)x+1，若f(x)在區(qū)間(-，-2上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 3 已知a、b是常數(shù)且a0, f (x), 且, 并使方程有等根.(1) 求f (x )的解析式;(2) 是否存在實(shí)數(shù)m、n, 使f (x )的定義域和值域分別為和?第九講：函數(shù)的奇偶性知識(shí)點(diǎn)精講1.如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)-f(x)，那么f(x)叫做奇函數(shù).如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)

29、f(x)，那么f(x)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.2.函數(shù)按是否具有奇偶性可分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇且偶函數(shù)(既是奇函數(shù)又是偶函數(shù))，非奇非偶函數(shù)(既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)).3.函數(shù)的奇偶性是針對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義域而言，因此奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).由于任意x和-x均要在定義域內(nèi)，故奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以，我們在判定函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域(函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.如果其定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，那么它沒有奇偶性).然

30、后再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，從而確定其奇偶性.4.判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可用定義域的等價(jià)形式f(-x)±f(x)0或±1(f(x)0)來代替.存在既奇且偶函數(shù)，例如f(x)+.當(dāng)f(-x)與f(x)之間的關(guān)系較隱蔽時(shí)，容易產(chǎn)生“非奇非偶”的錯(cuò)覺，萬萬不可草率下結(jié)論.5.函數(shù)的圖像能夠直觀地反映函數(shù)的奇偶性.f(x)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.6.奇函數(shù)和偶函數(shù)還具有以下性質(zhì)：(1)兩個(gè)奇函數(shù)的和(差)仍是奇函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)的和(差)仍是偶函數(shù).(2)奇偶性相同的兩個(gè)函數(shù)的積(商、分母不

31、為零)為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩個(gè)函數(shù)的積(商、分母不為零)為奇函數(shù).(3)奇函數(shù)在其定義域的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反.(4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和，即f(x)+.(5)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函數(shù)，則f(0)0. 例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)- (2)f(x)(x-1).解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閒(-x)-x+1-x-1 x-1-x+1-f(x).所以f(x)為奇函數(shù).(2)f(x)的定義域?yàn)閤-1x1，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).評(píng)析

32、 用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法如下：(1)求函數(shù)的定義域，并考查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(2)計(jì)算f(-x)，并與f(x)比較，判斷f(-x)f(x)或f(-x)-f(x)之一是否成立.f(-x)與-f(x)的關(guān)系并不明確時(shí)，可考查f(-x)±f(x)0是否成立，從而判斷函數(shù)的奇偶性.例2設(shè)函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)于定義域內(nèi)任意的，有，試判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論。.例3 已知為偶函數(shù)且定義域?yàn)? 的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 當(dāng)時(shí), , 為實(shí)常數(shù)，且. (1) 求的解析式; (2) 求的單調(diào)區(qū)間; (3) 若的最大值為12, 求.練習(xí)：1. 以下4個(gè)函

33、數(shù): ; ; ; .其中既不是奇函數(shù), 又不是偶函數(shù)的是 ( )A. B. C. D. （a，f（-a）2.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則等于（）A.-1 B.0C.1D.不能確定3. 定義在上的偶函數(shù)g (x), 當(dāng)x0時(shí)g (x) 單調(diào)遞減, 若, 則m的取值范圍是 .4奇函數(shù)f (x)在x<0時(shí)的表達(dá)式是f (x) = x (1 x)，則時(shí)，f (x)在x>0時(shí)的表達(dá)式為_ 第十講：抽象函數(shù)1. 函數(shù)f (x )對(duì)任意的m、nR, 都有f (mn )f (m)f (n)1, 并且x0時(shí), 恒有f (x )1.(1) 求證: f (x )在R上是增函數(shù); (2 ) 若f (3 )4, 解

34、不等式f ()2.解：(1)設(shè), , 當(dāng)時(shí), ,在R上為增函數(shù)(2) , 不妨設(shè), 在R上為增函數(shù)即2.f(x)是定義在(0，+)上的增函數(shù)，且f()f(x)-f(y).(1)求f(1)的值； (2)若f(6)1，解不等式f(x+3)-f()2.  習(xí)題設(shè)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），且在（0，+）是遞增的，（1）求證：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）設(shè)f（2）=1，解不等式。（12分）第十一講：二次函數(shù)、二次方程、一元二次不等式專題一、引入等式是關(guān)于的一元二次方程，關(guān)系式則是關(guān)于自變量的二次函數(shù)。今天我們將進(jìn)一步研究它們之間的關(guān)系。二、新授觀察思考：1

35、、 幾個(gè)具體的一元二次方程及其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)，如方程與函數(shù)；方程與函數(shù)；方程與函數(shù)。研討探究問題：一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系 ？探究點(diǎn)一：二次函數(shù)圖象與一元二次方程根的關(guān)系。以為例結(jié)論：一元二次方程的判別式0 一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（3，0），（1，0）。（2）再研究，能得類似的結(jié)論嗎？結(jié)論：一元二次方程判別式=0一元二次方程有兩等根對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與軸有唯一的交點(diǎn)為（1，0）。一元二次方程判別式0 一元二次方程 方程無實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)。聯(lián)想發(fā)散2、一元二次方程（0）根的個(gè)數(shù)及其判別式與二次函數(shù)

36、（0）圖象與軸的位置之間有什么聯(lián)系？）以0為例,如下表所示:0=00方程無實(shí)根yxx1x2oyxx1 =x2oyxo思考：當(dāng)二次函數(shù)（0）時(shí)，是否也有類似的結(jié)論呢？探究點(diǎn)二：函數(shù)的零點(diǎn) 一元二次方程的的實(shí)數(shù)根就是二次函數(shù)的值為零時(shí)自變量的的值，也就是二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此一元二次方程的的實(shí)數(shù)根也稱為二次函數(shù)的零點(diǎn)。一般地，對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)、方程f(x)=0的根、函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系：函數(shù)的零點(diǎn)方程實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。已知a0，二次函數(shù)。設(shè)的解集為A，又已知，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，知

37、二次函數(shù)的圖象必與x軸相交，其開口方向不確定，需要討論。當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，由，如圖6知從而，可得。當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸，由，如圖7知，從而，可得a<2。綜上，使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（，2）（）。點(diǎn)評(píng)：若求出方程的根，將得到無理不等式，情況復(fù)雜難解。例1 若函數(shù)的值域?yàn)?，7，試確定x的取值范圍。解析：設(shè)，由函數(shù)的值域?yàn)?，7，得。作出的圖象，如圖8。第十二講：等差數(shù)列與前n項(xiàng)和基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)（請(qǐng)記好筆記哦）1.重要關(guān)系式：對(duì)于任意數(shù)列，都有與的關(guān)系式成立。2.常見數(shù)列：分別寫出以下幾個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）1,2,3,4,

38、5,=_; （2）1,3,5,7,9, =_;（3）1,4,9,16,25,=_;(4)1,2,4,8,16,=_; (5)1,-1,1,-1,=_;（一）等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)回顧：1. 定義：如果一個(gè)數(shù)列從_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的_的差等于_，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的_,用字母_來表示。等差數(shù)列常見表示的表現(xiàn)形式有：2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：_;3.等差中項(xiàng)：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫作a與b的等差中項(xiàng)，A=_,4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：=_=_.（推導(dǎo)方法：倒序相加法）5.等差數(shù)列的性質(zhì)：(1) 在等差數(shù)列中,_ (2) 在等差數(shù)列中，若，則(3) 數(shù)列是等差數(shù)列（k

39、,b是常數(shù)）（）；(4) 數(shù)列是等差數(shù)列（A,B是常數(shù)）（）；(5) 若為等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列；且公差為_.(6) 若為等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列；且公差為_. （7）設(shè)是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列； （8）設(shè)，是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）也是等差數(shù)例；（9）若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，； （10）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，記分別表示前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，則，； （12）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，有，； （13）是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則； （14）其他衍生等差數(shù)列：若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為則為等差數(shù)列，公差為； 

40、;（即）為等差數(shù)列，公差；（即）為等差數(shù)列，公差為. 6說明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則奇偶； ；（）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則偶奇；。7（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或。例1已知為等差數(shù)列，則等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】即同理可得公差.選B?！纠?】 在等差數(shù)列an中，設(shè)前m項(xiàng)和為Sm，前n項(xiàng)和為Sn，且SmSn，mn，求Sm+n且SmSn，mnSm+n0【例3】 已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3·a7=12，a4a6=4，求它的

41、前20項(xiàng)的和S20的值解法一 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得S20180解法二 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a3a7 即a3a74 又a3·a7=12，由韋達(dá)定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根 解方程可得x1=6，x22 d0 an是遞增數(shù)列 a36，a7=2【例4】 等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件：Snan2bn 可設(shè)Sn2n2k，Tnn(3n1)k說明

42、 該解法涉及數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2bn，由k是常數(shù)，就不對(duì)了練習(xí)：1、（福建）在等差數(shù)列a中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于A.40 B.42 C.43 D.453、已知等差數(shù)列2,5,8，該數(shù)列的第3k（kN）項(xiàng)組成的新數(shù)列bn的前4項(xiàng)是。bn的通項(xiàng)公式為。4、已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn 和 Tn，且，求。5在等差數(shù)列an中,am=n,an=m,則am+n的值為（ ）（A）m+n （B）（C） （D）06設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均

43、為Sn的最大值（7）已知數(shù)列對(duì)任意的滿足，且，那么等于（ ） ABCD第十三講：等比數(shù)列1定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即： 2等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。說明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。3等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。說

44、明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。5.等比數(shù)列的性質(zhì)1）首尾項(xiàng)性質(zhì): 有窮等比數(shù)列中, 與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)積相等, 即: a1an=a2an-1=a3an-2= . 特別地, 若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù), 還等于中間項(xiàng)的平方, 即:a1an=a2an-1=a3an-2= =a中2 . 2）.若 p+q=r+s(p、q、r、sN*), 則 apaq=aras。特別地, 若 m+n=2p, 則 aman=ap23）.若數(shù)列 an 是等比數(shù)列, m, p, n 成等差數(shù)列, 則 am, ap, an 成等比數(shù)列.4）.若

45、數(shù)列 an, bn 是等比數(shù)列, 則數(shù)列 anbn, an/bn 也是等比數(shù)列.5）單調(diào)性：（做好筆記）6判斷、證明方法1.定義法; 2.通項(xiàng)公式法; 3.等比中項(xiàng)法.典型例題：例1“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當(dāng)首項(xiàng)a1<0時(shí)，a

46、n<0，則an>an，即an+1>an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題3中，若a=b=0，cR，此時(shí)有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。點(diǎn)評(píng)：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。例2（2009浙江文）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù) （I） 求及； （II）若對(duì)于任意的，成等比數(shù)列，求的值解（）當(dāng)，（） 經(jīng)驗(yàn)，（）式成立， （）成等比數(shù)列，即，整理得：，對(duì)任意的成立， 。例4.設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 若 S1=1, S2=3,

47、且 Sn+1-3Sn+ 2Sn-1=0(n2), 試判斷 an 是不是等比數(shù)列.例5.（2009全國卷理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及，有由， 則當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列， 評(píng)析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找第（II）問中由（I）易得，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以練習(xí)：1.設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且log3Sn=n (n=1，2，3，)，那么數(shù)列an是（ ）（A）公比為3的等比數(shù)列 （B）公差為3的等差數(shù)列 （C）

48、公比為的等比數(shù)列 （D）既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列2.(2009年廣東卷文)已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則= A. B. C. D.2 3等比數(shù)列an中，a9+a10=a (a0)，a18+a19=b,則a99+a100等于_4等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，已知,成等差數(shù)列（1）求的公比q；（2）若3，求 5.等比數(shù)列中，已知 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）若分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。十四講：求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法專題 一 公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例一 已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？【解析】： ， ， ，又， .反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.二 歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項(xiàng)公