三年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練上02265

1、第一講 和倍問(wèn)題（一） 知識(shí)要點(diǎn)和倍問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。此類題我們常采用畫線段圖的方法解答。解答此類題首先要找倍數(shù)關(guān)系，通過(guò)倍數(shù)關(guān)系畫出線段圖，然后在圖上根據(jù)題意標(biāo)出倆個(gè)數(shù)的倍數(shù)與倆個(gè)數(shù)的和。于是根據(jù)圖產(chǎn)生這樣的思路：相對(duì)小的數(shù)自己是自己的一倍，而相對(duì)大的數(shù)是相對(duì)小的數(shù)的幾倍,當(dāng)然倆個(gè)數(shù)相等時(shí)這個(gè)幾就是1），那么就有大數(shù)和小數(shù)的和就是小數(shù)的幾+1倍，又因?yàn)榇髷?shù)和小數(shù)的和已知，于是這個(gè)題就變成了一個(gè)簡(jiǎn)單的，已知一個(gè)數(shù)和這個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍求另一個(gè)數(shù)的簡(jiǎn)單除法題。從而可以求出相對(duì)較小的也就是自己是自己一倍的數(shù)，我們簡(jiǎn)稱為1倍數(shù). （二） 例題選講例1

2、甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？精妙解答    160÷（3+1）=40（本）-作為一倍數(shù)的乙班的40×3=120（本）-根據(jù)題意關(guān)系求的甲班的或者：160-40=120（本答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2時(shí)后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時(shí)各行多少千米？精彩思路已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數(shù)是乙車的速度?，F(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時(shí)共行

3、 360千米，故1時(shí)共行 360÷2180(千米)，這就是兩輛車的速度和。精妙解答乙車的速度為(360÷2)÷(21)= 60(千米/時(shí))，甲車的速度為60×2=20(千米/時(shí))，或180-60=120(千米/時(shí))。答：甲車每時(shí)行120千米，乙車每時(shí)行60千米。從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰(shuí)，“和”是誰(shuí)。例1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個(gè)“1倍”數(shù)不太明顯的例子。例3 甲隊(duì)有45人，乙隊(duì)有75人。甲隊(duì)要調(diào)入乙隊(duì)多少人，乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍？精彩

4、思路容易求得“二數(shù)之和”為 4575=120(人)。如果從“乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊(duì)人數(shù)”那就錯(cuò)了，從75不是45的3倍也知是錯(cuò)的。這個(gè)“1倍”數(shù)是誰(shuí)？根據(jù)題意，應(yīng)是調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動(dòng)后的人數(shù)關(guān)系，即“調(diào)入人后的乙隊(duì)人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊(duì)剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下：從圖中看出，把甲隊(duì)中“？”人調(diào)入乙隊(duì)后，(4575)就是甲隊(duì)剩下人數(shù)的 314(倍)。從而，甲隊(duì)調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。精妙解答甲隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)為(4575)÷(31) 30(人)，故甲隊(duì)調(diào)入乙隊(duì)的人數(shù)為45-3015(人

5、)。答：甲隊(duì)要調(diào)15人到乙隊(duì)。例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？仿照例3的分析可得如下解法。精妙解答兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(61)倍，根據(jù)和倍公式，妹妹剩下(5324)÷(61)11(本)。故妹妹給哥哥書24-1113(本)。答：妹妹給哥哥書13本。例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個(gè)。后來(lái)大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個(gè)，而小灰兔自己又采了10個(gè)。這時(shí)，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問(wèn)：原來(lái)大白兔和小灰兔各采了多少個(gè)蘑菇？精彩思路及解答這道題仍是和倍應(yīng)用題，因?yàn)橛小昂汀?、有“倍?shù)”。但這里的“和”不是

6、160，而是1602010150，“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個(gè)后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下：根據(jù)和倍公式，小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù))(160-2010)÷(51)25(個(gè))，故小灰兔原有蘑菇25-1015(個(gè))，大白兔原有蘑菇160-15145(個(gè))。答：原來(lái)大白兔采蘑菇145個(gè)，小灰兔采15個(gè)。練習(xí)初試牛刀1.小敏與爸爸的年齡之和是64歲，爸爸的年齡是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年齡各是多少歲？2.一肉店賣出豬肉和牛肉共560千克，賣出的豬肉是賣出的牛肉的4倍。豬、牛肉各賣了多少千克？3.甲、乙兩桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么這時(shí)甲桶中的汽油等于乙

7、桶中的汽油的3倍。甲、乙兩桶原有汽油各多少千克？挑戰(zhàn)自我1.甲、乙兩人共生產(chǎn)零件100個(gè)，其中甲有2個(gè)零件、乙有5個(gè)零件不合格。已知乙生產(chǎn)的合格零件是甲生產(chǎn)的合格零件的2倍。甲、乙各生產(chǎn)了多少個(gè)零件？2.團(tuán)結(jié)村原有水田290公頃，旱田170公頃。要把多少公頃旱田改為水田，才能使水田的公頃數(shù)比旱田的公頃數(shù)多2倍？3.紅星小學(xué)圖書館內(nèi)，科技書是故事書的3倍，連環(huán)畫書又是科技書的2倍。已知這三種書共有1600本，那么每種書各有多少本？第二講 還原問(wèn)題（三） 知識(shí)要點(diǎn)對(duì)于有些問(wèn)題，當(dāng)順著題目條件的敘述去尋找解法時(shí)，往往有一定的困難，但是，如果改變思考順序，從問(wèn)題敘述的最后結(jié)果出發(fā)，一步一步倒著思考，一

8、步一步往回算，原來(lái)加的用減，減的用加，原來(lái)乘的用除，除的用乘，那么問(wèn)題便容易解決。這種解題方法叫做還原法或逆推法，用還原法解題的問(wèn)題叫做還原問(wèn)題。（四） 例題選講例1有一個(gè)數(shù)，把它乘以4以后減去46，再把所得的差除以3，然后減去10，最后得4。問(wèn)：這個(gè)數(shù)是幾？精彩思路這個(gè)問(wèn)題是由 （×446）÷3104，求出。我們倒著看，如果除以3以后不減去10，那么商應(yīng)該是41014；如果在減去46以后不除以3，那么差該是14×342；可知這個(gè)數(shù)乘以4后的積為424688，因此這個(gè)數(shù)是88÷4=22。精妙解答（410）×346÷422。答：這個(gè)數(shù)是

9、22。例2小馬虎在做一道加法題目時(shí)，把個(gè)位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，結(jié)果得到的“和”是123。問(wèn)：正確的結(jié)果應(yīng)是多少？精彩思路利用還原法。因?yàn)榘褌€(gè)位上的5看成9，所以多加了4；又因?yàn)榘咽簧系?看成3，所以少加了50。在用還原法做題時(shí)，多加了的4應(yīng)減去，多減了的50應(yīng)加上。精妙解答123-450169。答：正確的結(jié)果應(yīng)是169。例3學(xué)校運(yùn)來(lái)36棵樹(shù)苗，樂(lè)樂(lè)與歡歡兩人爭(zhēng)著去栽，樂(lè)樂(lè)先拿了若干樹(shù)苗，歡歡看到樂(lè)樂(lè)拿得太多，就搶了10棵，樂(lè)樂(lè)不肯，又從歡歡那里搶回來(lái)6棵，這時(shí)樂(lè)樂(lè)拿的棵數(shù)是歡歡的2倍。問(wèn)：最初樂(lè)樂(lè)拿了多少棵樹(shù)苗？精彩思路先求樂(lè)樂(lè)與歡歡現(xiàn)在各拿了多少棵樹(shù)苗。學(xué)校共有樹(shù)苗36棵

10、，樂(lè)樂(lè)拿的樹(shù)苗數(shù)是歡歡的2倍，所以歡歡現(xiàn)在拿了36÷（21）=12（棵）樹(shù)苗，而樂(lè)樂(lè)現(xiàn)在拿了12×224（棵）樹(shù)苗，樂(lè)樂(lè)從歡歡那里搶走了6棵后是24棵，如果不搶，那么樂(lè)樂(lè)有樹(shù)苗24-618（棵），歡歡看樂(lè)樂(lè)拿得太多，去搶了10棵，如果歡歡不搶，那么樂(lè)樂(lè)就有 181028（棵）。精妙解答36÷5（12）×2-610=28（棵）。答：樂(lè)樂(lè)最初拿了28棵樹(shù)苗。例4甲、乙、丙三組共有圖書90本，乙組向甲組借3本后，又送給丙組5本，結(jié)果三個(gè)組擁有相等數(shù)目的圖書。問(wèn)：甲、乙、丙三個(gè)組原來(lái)各有多少本圖書？精彩思路及解答盡管甲、乙、丙三個(gè)組之間將圖書借來(lái)借去，但圖書的總

11、數(shù)90本沒(méi)有變，由最后三個(gè)組擁有相同數(shù)目的圖書知道，每個(gè)組都有圖書90÷330（本）。根據(jù)題目條件，原來(lái)各組的圖書為甲組有30333（本），乙組有303532（本），丙組有30525（本）。例5、一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米？精彩思路由逆推法知，第二次用完還剩下157=22（米），第一次用完還剩下（2210）×224（米），原來(lái)電線長(zhǎng)（243）×254（米）。 精妙解答（15710）×23×254（米）。答：這捆電線原有54米。練習(xí)初試牛刀1.某數(shù)加上11

12、，減去12，乘以13，除以14，其結(jié)果等于26，這個(gè)數(shù)是多少？2.某數(shù)加上6，乘以6，減去6，其結(jié)果等于36，求這個(gè)數(shù)。3.在125×÷3×81=1999中，內(nèi)應(yīng)填入什么數(shù)？4.小樂(lè)爺爺今年的年齡數(shù)減去15后，除以4，再減去6之后，乘以10，恰好是100。問(wèn)：小樂(lè)爺爺今年多少歲？挑戰(zhàn)自我1.糧庫(kù)內(nèi)有一批面粉，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半少7噸，還剩4噸。問(wèn)：糧庫(kù)里原有面粉多少噸？ 2.有一筐梨，甲取一半又一個(gè)，乙取余下的一半又一個(gè)，丙再取余下的一半又一個(gè)，這時(shí)筐里只剩下一個(gè)梨。這筐梨共值8.80元，那么每個(gè)梨值多少錢？ 3.某人去銀行取款，第1

13、次取了存款的一半還多5元，第二次取了余下的一半還多10元，這時(shí)存折上還剩125元。問(wèn)：此人原有存款多少元？第三講 巧求長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)（一）知識(shí)要點(diǎn)我們知道：長(zhǎng)方形、正方形的公式看起來(lái)十分簡(jiǎn)單，但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形)的周長(zhǎng)問(wèn)題。這是因?yàn)橹苯嵌噙呅慰偪梢苑指畛扇舾蓚€(gè)正方形或長(zhǎng)方形。下面的圖形都可以分割成若干個(gè)正方形或長(zhǎng)方形，當(dāng)然分割的方法不是唯一的。由此，可以演變出許多只涉及正方形、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式的題目。（二）例題選講例1一個(gè)苗圃園(如左下圖)，周邊和中間有一些路供人行走(圖中線段表示“路”)，幾個(gè)小朋友在里面觀賞時(shí)發(fā)現(xiàn)：從A處出發(fā)，在

14、速度一樣的情況下，只要是按“向右”、“向上”方向走，幾個(gè)人分頭走不同的路線，總會(huì)同時(shí)達(dá)到B處。你知道其中的道理嗎？分析與解：如右上圖所示，將各個(gè)交點(diǎn)標(biāo)上字母。由A處到B處，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六條路線：(1)ACDEB；(2)ACOEB；(3)ACOFB；(4)AHGFB；(5)AHOEB；(6)AHOFB。因?yàn)锳C與HO，GF的路程一樣長(zhǎng)，所以可以把它們都換成AC；同理，將OE，F(xiàn)B都換成CD；將AH，CO都換成DE；將HG，OF都換成EB。這樣換過(guò)之后，就得到六條路線的長(zhǎng)度都與第(1)條路線相同，而第(1)條路線的長(zhǎng)“AD+DB”就是長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)+寬”，也就是說(shuō)，每條路線的

15、長(zhǎng)度都是“長(zhǎng)+寬”。路程、速度都相同，當(dāng)然到達(dá)B處的時(shí)間就相同了。例2 計(jì)算下列圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米)。解：(1)將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動(dòng)到虛線處(見(jiàn)左下圖)，這樣正好移補(bǔ)成一個(gè)正方形，所以它的周長(zhǎng)為25×4=100(厘米)。 (2)與(1)類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)為(1015)×2=50(厘米)。例3 求下面兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米)。解：(1)與例2類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)(151015)厘米、寬(1220)厘米的長(zhǎng)方形，所以周長(zhǎng)為(151015)×2(1220)×2144(厘米)。(2)設(shè)想先把長(zhǎng)20厘米的線段向上平移

16、到兩條長(zhǎng)15厘米的線段中間，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)60厘米，寬(152015)厘米的長(zhǎng)方形，此時(shí)，還有兩條長(zhǎng)35厘米的豎線段。所以周長(zhǎng)為60×2(152015)×235×2290(厘米)。例4在一張紙上畫出由四個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的正方形拼湊或組合成的圖形(重疊的線段只算畫一次)。顯然，這個(gè)圖形有多種多樣的畫法，下列各圖是其中的一部分畫法。在所有的這些畫法中，(1)哪種畫法畫出的線段總長(zhǎng)最長(zhǎng)？有多長(zhǎng)？(2)哪種畫法畫出的線段總長(zhǎng)最短？有多長(zhǎng)？分析與解：畫的線段重疊部分越少，畫的線段就越長(zhǎng)。反之，重疊部分越多，畫的線段就越短。因此，類似圖1那樣畫的線條最長(zhǎng)，共畫了3×4&#

17、215;4=48(厘米)。右圖畫的線條最短，共畫了(33)×6=36(厘米)。例5下圖是一個(gè)方形螺線。已知兩相鄰平行線之間的距離均為1厘米，求螺線的總長(zhǎng)度。分析與解：如左下圖所示，按箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)虛線部分，于是得到了三個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，5，7厘米的正方形和中間一個(gè)三邊圖形(見(jiàn)右下圖)。所以螺線總長(zhǎng)度為(357)×41×3=63(厘米)。（三）練習(xí)1.試求左下圖的周長(zhǎng)(單位：厘米)。2.上頁(yè)右下圖是由邊長(zhǎng)為1厘米的11個(gè)正方形堆成的“土”字圖形。試求出其周長(zhǎng)。3.右圖是某小學(xué)教學(xué)樓的平面示意圖，設(shè)計(jì)者在圖上只標(biāo)明了三條線段的長(zhǎng)度(單位：米)。請(qǐng)你算出它的周長(zhǎng)。4.下圖是

18、由七個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的相同長(zhǎng)方形經(jīng)過(guò)豎放、橫放而成的圖形。求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。5.下面兩圖中的小方格的大小相同。圖(1)的周長(zhǎng)為48厘米，圖(2)的周長(zhǎng)等于多少？6.如右圖所示，一個(gè)正方形被分成了三個(gè)相同的長(zhǎng)方形。如果其中一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是16米，那么這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少米？（四）參考答案1、 移動(dòng)成長(zhǎng)3+5+4、寬6+7的長(zhǎng)方形，所以周長(zhǎng)=（12+13）*2=502、移動(dòng)成5+1的長(zhǎng)方形，沒(méi)有寬、長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形，再加上4段邊。（5+1）*2+2*4+4=243、移動(dòng)成長(zhǎng)50、寬28+16的長(zhǎng)方形，所以周長(zhǎng)=（50+28+16）*2=1884、移動(dòng)成長(zhǎng)4*3+5*3、寬5的長(zhǎng)方形，再加上6

19、個(gè)（5-3）所以（12+15+5）*2+6*2=765、圖一移動(dòng)成長(zhǎng)5寬3的長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)段為（5+3）*2=16，周長(zhǎng)為48，每段為48/16=3，圖二移動(dòng)后為（7+1）*2+4=20，每段為3，共60。6、把長(zhǎng)方形的寬看作一份，長(zhǎng)為3份。一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是8份，8份是16，1份是2，3份是6，正方形的周長(zhǎng)是6*4=24第四講 圖形計(jì)數(shù)（五） 知識(shí)要點(diǎn)小朋友，你想學(xué)會(huì)數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地?cái)?shù)出線段、角、三角形那就必須要有次序、有條理地?cái)?shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以便得到正確的結(jié)果。要正確數(shù)出圖形的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個(gè)，然后再數(shù)出由基本

20、圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。（六） 例題選講例題1 數(shù)出下面圖中有多少條線段？ 精彩思路我們可以采用以線段左端點(diǎn)分?jǐn)?shù)數(shù)的方法，我們還可以把圖中線段AB、BC、CD看作基本線段來(lái)數(shù)，精妙解答采用以線段左端點(diǎn)分?jǐn)?shù)數(shù)的方法。以A點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD共3條；以B點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：BC、BD共2條；以C點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：CD共1條。所以，圖中共有線段321=6條。我們還可以這樣想：把圖中線段AB、BC、CD看作基本線段來(lái)數(shù)，那么：由1條基本線段構(gòu)成的線段：AB、BC、CD共3條；由2條基本線段構(gòu)成的線段：AC、BD共2條；由3條基本線段構(gòu)成的線段：AD只1條。所以，圖中共有3

21、21=6條線段。例題2 數(shù)出下圖中有幾個(gè)角。 精彩思路數(shù)角的個(gè)數(shù)可以采用與數(shù)線段相同的方法來(lái)數(shù)。 精妙解答以AO為一邊的角有：AOB、AOC、AOD三個(gè)；以BO為一邊的角有：BOC、BOD兩個(gè)；以CO為一邊的角有：COD一個(gè)。所以圖中共有321=6個(gè)角。小朋友，如果把圖中AOB、BOC、COD看作基本角，那應(yīng)該怎樣數(shù)呢？動(dòng)動(dòng)腦筋。例題3 數(shù)出下面圖中共有多少個(gè)三角形。 精彩思路數(shù)三角形的個(gè)數(shù)也可以采用按邊分類的方法來(lái)數(shù)，還可以數(shù)出圖中三角形的個(gè)數(shù)，只需數(shù)出ABE的底邊中包含幾條線段就可以了。 精妙解答數(shù)三角形的個(gè)數(shù)也可以采用按邊分類的方法來(lái)數(shù)。以AB為邊的三角形有：ABC、ABD、ABE三個(gè)；

22、以AC為邊的三角形有：ACD、ACE二個(gè)；以AD為邊的三角形有：ADE一個(gè)。所以圖中共有三角形321=6個(gè)。我們還發(fā)現(xiàn)，要數(shù)出圖中三角形的個(gè)數(shù)，只需數(shù)出ABE的底邊中包含幾條線段就可以了，即321=6條。所以圖中共有6個(gè)三角形。例題4 數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。 精彩思路數(shù)圖形中有多少個(gè)長(zhǎng)方形和數(shù)三角形的方法一樣，長(zhǎng)方形是由長(zhǎng)寬兩對(duì)線段圍成，線段CD上有321=6條線段，其中每一條與AC中一條線段對(duì)應(yīng)，分別作為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，這里共有6×1=6個(gè)長(zhǎng)方形；而AC上共21=3條線段也就有6×3=18個(gè)長(zhǎng)方形。 精妙解答 長(zhǎng)方形的總數(shù)=長(zhǎng)邊線段的總數(shù)×寬邊線段的總數(shù)6&

23、#215;3=18（個(gè)）長(zhǎng)方形例題5 有10個(gè)小朋友，每2個(gè)人照一張合影，一共要照多少?gòu)?精彩思路這道題可以用數(shù)線段的方法來(lái)解答。根據(jù)題意，畫出線段圖，每一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)小朋友：從圖上可以看出，第1個(gè)小朋友要與其余9個(gè)小朋友合影，要照9張照片；第2個(gè)小朋友還要與其余8個(gè)小朋友合影，再照8張照片以此類推，第9個(gè)小朋友只要再與1個(gè)小朋友合影，再照1張照片。精妙解答 一共要照987654321=45張照片。練習(xí)初試牛刀1，數(shù)出下圖中各有多少條線段？             2，數(shù)出下圖中有幾個(gè)

24、角。3、數(shù)出下面圖中共有多少個(gè)三角形。         4、數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。      挑戰(zhàn)自我 1，三年級(jí)有6個(gè)班，每?jī)蓚€(gè)班要比賽拔河一次，這樣一共要組織多少場(chǎng)比賽？2，有紅、黃、藍(lán)、白四只氣球，如果每?jī)芍粴馇蛟梢皇?，共有多少種不同的扎法？3，有16六個(gè)數(shù)字，能組成多少個(gè)不同的兩位數(shù)？ 參考答案初試牛刀1、 4+3+2+1 = 10（條） 5+4+3+2+1 = 15（條）2、1+2+3 = 6（條）3、 1+2 = 3（個(gè)） 1+2+3+4 = 10（個(gè)）4、

25、 （1+2+3+4）×（1+2）= 30（個(gè)） （1+2+3+4）×（1+2+3）= 60（個(gè)） 挑戰(zhàn)自我1、假設(shè)班號(hào)為、。班和其他班比賽的場(chǎng)次是：、，5場(chǎng)；班因?yàn)橐呀?jīng)和班比賽過(guò)，不能重復(fù)計(jì)算，還可以比賽的場(chǎng)次是：、，4場(chǎng)；同理，班還可以比賽的場(chǎng)次是：、，3場(chǎng)；同理，班還可以比賽的場(chǎng)次是：、，2場(chǎng)；同理，班還可以比賽的場(chǎng)次是：，1場(chǎng)共計(jì)：5+4+3+2+1 = 15（次）2、可以扎的方法：紅黃、紅藍(lán)、紅白、黃藍(lán)、黃白、黃、藍(lán)白。共計(jì)：3+2+1 = 6（種）3、1可以和其他5個(gè)數(shù)組成5種：12、13、14、15、16；2可以和其他4個(gè)數(shù)組成4種：23、24、25、26； 3

26、可以和其他3個(gè)數(shù)組成3種：34、35、36；4可以和其他2個(gè)數(shù)組成2種：45、46；5可以和其他1個(gè)數(shù)組成1種：56。與前面題目類型不同的是，這兩個(gè)數(shù)可以顛倒，比如1、2，可以組成12或者21。此題共有：（5+4+3+2+1）×2 = 30（種） 第五講 和差問(wèn)題（一）知識(shí)要點(diǎn)和差問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)的一種應(yīng)用題，它在日常生活中應(yīng)用很廣泛，解題的關(guān)鍵在于找出題目中的和與差，再利用以下的數(shù)量關(guān)系式去解答，就顯得容易了。（和差）÷2較大的數(shù)； （和差）÷2較少的數(shù)或 和較大的數(shù)較少的數(shù)； 和較少的數(shù)較大的數(shù)（二）例題選講 精彩思路精妙解答 （1）32=（3+2）

27、7;2=2.5精妙思路精妙解答 精彩思路 精妙解答精彩思路精妙解答 精妙思路 精妙解答練習(xí)初試牛刀1、學(xué)校做掃除，張娟和陳芳一共擦玻璃31塊，又知張娟比陳芳少擦9塊，張娟、陳芳各擦玻璃多少塊？2、小蘭期末考試時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)平均分是96分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多4分，問(wèn)小蘭語(yǔ)文多少分？數(shù)學(xué)多少分？ 3、今年弟弟16歲，哥哥20歲，當(dāng)兩人的年齡和是52時(shí)，弟弟多少歲。 4、一個(gè)兩位數(shù)由兩個(gè)數(shù)字組成，兩個(gè)數(shù)字之和是 8 ，兩個(gè)數(shù)字之差是 2，這個(gè)數(shù)是多少？ 挑戰(zhàn)自我 1、甲框里有蘋果 30 千克，乙框里有桔子若干千克，如果從乙框里取出12千克桔子，蘋果就比桔子多10千克，乙框原有桔子多少千克。 2、甲乙兩船共載

28、客623人，若甲船增加34人，乙船少57人，這時(shí)兩船乘客同樣多，甲船原來(lái)有乘客多少人。 3、 無(wú)線電廠、二廠共有工人864人，為了照顧工人就近上班，從一廠調(diào)入二廠32名工人，這樣一廠工人數(shù)還比二廠多48，一廠、二廠原來(lái)各有工人多少人？4、一部書有上、中、下三冊(cè)，上冊(cè)比中冊(cè)貴5角，中冊(cè)比下冊(cè)貴7角，這樣的四部書共值340角，上、中、下冊(cè)多少角？5、兩筐蘋果共重90千克，如果從第一框中取出6千克，放入第二筐后，兩筐的重量相等，兩筐蘋果原來(lái)各多少千克？ 6、兩個(gè)水桶共盛水50千克，如果把第一桶里的水倒出6千克，兩個(gè)水桶的水就一樣多了。第一桶原盛水多少千克？ 參考答案初試牛刀1、陳芳；（31÷

29、;9）÷220（塊） 張娟；20911塊2、數(shù)學(xué)（96×24）98分 語(yǔ)文98494分3、弟弟【52 （2016）】÷224歲4、（82）÷25 523挑戰(zhàn)自我1、30101232千克2（6233457）÷22663、 一廠；（86448）÷232488人 二廠； 864488376人4、上；（342557）÷3119角 中；1195114角 下；1147107角5、 90÷2639（千克） 903951（千克）答； 第一筐有51千克， 第二筐有39千克6、（506）÷ 222（千克） 502228（千克

30、） 答； 第一桶原盛水28千克。第六講 余數(shù)問(wèn)題（七） 知識(shí)要點(diǎn)在三年級(jí)上期的學(xué)生開(kāi)始初步接觸有余數(shù)的除法，知道了余數(shù)必須比除數(shù)小，余數(shù)是余下的不能夠再分（整數(shù)）的數(shù)。盡管學(xué)生初次接觸，但余數(shù)這個(gè)概念在數(shù)學(xué)上有著非常重要的地位，故在此進(jìn)行一些拓展。這里，主要介紹一些在整數(shù)范圍內(nèi)的余數(shù)問(wèn)題。1、利用直觀體驗(yàn)的方法，使學(xué)生會(huì)觀察、學(xué)會(huì)深入思考問(wèn)題，從中領(lǐng)悟如何利用余數(shù)解決一些有關(guān)余數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的能力，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2、弄清一些數(shù)量關(guān)系：被除數(shù)÷除數(shù)商余數(shù)；商×除數(shù)余數(shù)被除數(shù)；進(jìn)一步弄清余數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：兩個(gè)數(shù)相除，余數(shù)一定小于除數(shù)；兩個(gè)數(shù)相除，若除數(shù)

31、是a，那么，余數(shù)就有(a1)種可能。（八） 例題選講例1、如圖：，那么,第13個(gè)圖是什么形? 第115個(gè)圖是什么形?精彩思路通過(guò)觀察可以看出這些圖形的排列是有規(guī)律的，按照“”一組，不斷的在重復(fù)出現(xiàn)。第一小題，可以讓學(xué)生根據(jù)自己觀察到的規(guī)律，自己接著往后面畫，就能夠得出第13個(gè)圖形是什么圖形了。第二小題，學(xué)生根據(jù)觀察的規(guī)律，如果再往后邊畫，到第115個(gè)圖形，顯然有些復(fù)雜，很花費(fèi)時(shí)間。此時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生觀察這樣的一組“”有3個(gè)圖形，13里面最多能夠有這樣的幾組？還剩下幾個(gè)？學(xué)生很直觀觀察到了其結(jié)果。進(jìn)一步引導(dǎo)用算式表示，并說(shuō)出算式與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。用這樣的思維來(lái)解決第二小題，從而提升學(xué)生解決問(wèn)題

32、的能力，并鍛煉了其思維。 精妙解答因?yàn)?，是按照這樣“”3個(gè)為一組在不斷的重復(fù)。115÷3=38（組）1（個(gè)）所以，第115個(gè)圖形應(yīng)該是“”。例2、一段路上的樹(shù)，按2棵桑樹(shù)，3棵槐樹(shù)，4棵柏樹(shù)的順序栽種，第50棵樹(shù)是什么樹(shù)? 精彩思路學(xué)生按照2棵桑樹(shù)，3棵槐樹(shù)，4棵柏樹(shù)的順序畫圖，不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律按是2棵桑樹(shù)，3棵槐樹(shù)，4棵柏樹(shù)為一組在不斷地重復(fù)，故可以按照有余數(shù)的問(wèn)題的思維來(lái)解決。精妙解答因?yàn)榘?棵桑樹(shù)，3棵槐樹(shù)，4棵柏樹(shù)為一組在不斷地重復(fù)，50÷9=4（組）5（棵）所以，第50棵樹(shù)是槐樹(shù)。 例3、今天是星期一，從今天算起第100天是星期幾？精彩思路今天是星期一，求第10

33、0天是星期幾，因?yàn)榻裉煲呀?jīng)算第1天，實(shí)際上從明天算起第99天是星期幾就是本題的解。精妙解答99÷7=14（周）1（天）99天共有14個(gè)星期又1天，今天是星期一，過(guò)14個(gè)星期還是星期一，再過(guò)一天就是星期二。例4、有同樣大小的紅、黃、藍(lán)三色珠子共360個(gè)，按先3個(gè)紅色珠子，再2個(gè)黃色珠子，再4個(gè)藍(lán)色珠子排列。三色珠子各是多少個(gè)？ 精彩思路按先3個(gè)紅色珠子，再2個(gè)黃色珠子，再4個(gè)藍(lán)色珠子排列，一個(gè)循環(huán)就是9（423=9），在360個(gè)珠子里包含有360÷9=40（個(gè)）循環(huán)（循環(huán)也稱為周期）。以求黃珠子為例，每個(gè)周期里有2個(gè)黃色珠子，共40個(gè)周期，因此2×40=80（個(gè)），

34、同理可求紅珠子和藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)。精妙解答360÷（423）=40（個(gè)）3×40=120（個(gè)）；2×40=80（個(gè)）；4×40=160（個(gè)）例5、2008個(gè)學(xué)生按照下列的方法編號(hào)排列：A B C D E1 2 3 4 59 8 7 6 10 11 12 1317 16 15 1418 19 20 21 25 24 23 22那么，最后一名學(xué)生應(yīng)該排在第幾列？ 精彩思路仔細(xì)觀察排列規(guī)律，除15以外，從第二行開(kāi)始8個(gè)數(shù)按一個(gè)循環(huán)依次不斷地重復(fù)排列，每個(gè)循環(huán)的第一個(gè)數(shù)排列在的后面。如果2008名學(xué)生先去掉5名，還剩下20085=2003（名）學(xué)生，把2003名學(xué)生

35、按每8個(gè)一組，2003÷8=250（組）3（名），從而得到所求的解。精妙解答 （20085）÷8=250（組）3（名）所以，最后一名學(xué)生應(yīng)該排在B列。練習(xí)初試牛刀1、如圖：那么第38個(gè)圖是什么形？ 第121個(gè)圖是什么形？ 第60個(gè)圖是什么形？2、學(xué)校插彩旗，按照2面紅旗，1面藍(lán)旗，4面黃旗的順序插旗子，這樣第82的面是什么旗子？3、有一堆圍棋，按“二白三黑”的順序排列，那么第31個(gè)是白子還是黑子？4、國(guó)慶節(jié)掛燈，按“紅、黃、紅、藍(lán)、綠”的順序掛，一共掛了100盞，這些燈各有多少盞？5、今年六月一日是星期三，那么今年八月一日是星期幾？6、下面有一列數(shù)：1、3、5、1、3、5、

36、1、3、5第32個(gè)數(shù)是幾？這32個(gè)數(shù)的和是多少？7、1993年9月1日是星期三，再過(guò)58日是星期幾？ 那年的10月15日是星期幾？ 挑戰(zhàn)自我1、某年的9月1日是星期三，問(wèn)該年的4月1日是星期幾？2、今年的1月1日是星期四，問(wèn)今年的5月1日是星期幾？3、某年的十月里有五個(gè)星期六，4個(gè)星期日，問(wèn)這年的10月1日是星期幾？參考答案初試牛刀1、38÷6=6（組）2（個(gè)），第38個(gè)圖是形。121÷6=20（組）1（個(gè)），第121個(gè)圖是形。60÷6=10（組），第60個(gè)圖是形。2、82÷（2+1+4）=11（組）5（面）所以，這樣第82的面是黃旗子。3、31

37、7;（2+3）=6（組）1（個(gè)）所以，第31個(gè)是白子。4、國(guó)慶節(jié)掛燈，按“紅、黃、紅、藍(lán)、綠”的順序掛，一共掛了100盞，這些燈各有多少盞？100÷5=20（組）2×20=40（盞），1×20=20（盞）所以，紅燈有40盞，黃、紅、藍(lán)、綠各有20盞。5、（29+31+1）÷7=8（周）5（天）那么今年八月一日是星期一。6、32÷3=10（組）2（個(gè)）第32個(gè)數(shù)是3。（1+3+5）×10+1+3=94.所以這32個(gè)數(shù)的和是94。7、1993年9月1日是星期三，58÷7=8（周）2（天），所以再過(guò)58日是星期五。 （29+15）

38、÷7=6（周）2（天）那么，那年的10月15日是星期五。 挑戰(zhàn)自我1、（29+31+30+31+31+1）÷7=21（周）5（天），那么該年的4月1日是星期五。2、今年是2009年，是平年，所以二月只有28天。（30+28+31+30+1）÷7=17（周）1（天），那么，今年的5月1日是星期五。3、這年的10月1日是星期三。 第七講 豎式數(shù)字謎（一） 知識(shí)要點(diǎn)在豎式中，有一些待定的數(shù)字，如何根據(jù)運(yùn)算法則和式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)掌握數(shù)的加、減的“拆分”。關(guān)鍵是通過(guò)綜合觀察、分析，靈活運(yùn)用運(yùn)算法則和整數(shù)的性質(zhì)，找出解題的“突破口”，把待定的數(shù)字確定出來(lái)，使原式成立。這里

39、我們所用的數(shù)字都為整數(shù)中的數(shù)字。（二）例題選講例1 在下面的豎式中，A，B，C，D各代表什么數(shù)字？ 【精彩思路】：顯然，C=5，D=1(因兩個(gè)數(shù)字之和只能進(jìn)一位)。由于A41即A5的個(gè)位數(shù)為3，且必進(jìn)一位(因?yàn)?3)，【精妙解答】C=5,D=1A5=13，從而A13-5=8。同理，由7B1=12，即B812，得到B12-84。故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。例2 求下面各豎式中兩個(gè)加數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和： （）（） （） （）+ （）（） + （） （） 1 4 9 1 9 5【精彩思路】：(1)由于和的個(gè)位數(shù)字是9，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和不大于9918，所以兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位上的兩個(gè)

40、方框里的數(shù)字之和只能是9。(這是“突破口”)再由兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)之和未進(jìn)位，因而兩個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字之和就是14。故這兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是914=23。(2)由于和的最高兩位數(shù)是19，而任何兩個(gè)一位數(shù)相加的和都不超過(guò)18，因此，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)相加后必進(jìn)一位。(這是“突破口”，與(1)不同)這樣，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字相加之和是15，十位數(shù)字相加之和是18。所求的兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是151833。注意：(1)(2)兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。(1)是從和的個(gè)位著手分析，(2)是從和的最高兩位著手分析。例3 在下面的豎式中，A，B，C，D，E各代表什么數(shù)？ A B C D+ E

41、B E D E B C A D 精彩思路由于四位數(shù)加上四位數(shù)其和為五位數(shù)，所以可以確定和的首位數(shù)字E=1。又因?yàn)閭€(gè)位上D+D=D，所以D=0。此時(shí)算式為：A B C 0+ 1 B 1 0 1 0 C A 0下面分兩種情況進(jìn)行討論：（1） 若百位沒(méi)有向千位進(jìn)位，則由千位可確定A=9，由十位可確定C=8，由百位可確定B=4，由此得到問(wèn)題的一個(gè)解。（2） 若百位向千位進(jìn)1，則由千位可確定A=8，由十位可確定C=7，百位上不論B為什么樣的整數(shù)，B+B的個(gè)位都不可能為7，因此不成立。【精妙解答】 9 4 8 0+ 1 4 1 0 1 0 8 9 0例4 在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個(gè)不

42、同的數(shù)字。請(qǐng)把這個(gè)文字式寫成符合題意的數(shù)字式。炮 車 車 炮 車 馬 車 _ 馬 車 馬精彩思路例3是從個(gè)位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。由一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)的差是三位數(shù)知“炮”1被減數(shù)與減數(shù)的百位數(shù)相同，其相減又是退位相減，所以，“馬”9。至此，得到下式：由上式知，個(gè)位上的運(yùn)算也是退位減法，由11-“車”=9得到“車”2。【精妙解答】炮=1，馬=9，11-車=9則車=2因此，符合題意的數(shù)字式為： 1 2 2 1 - 2 9 2 9 2 9例5 在下面的豎式中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數(shù)字，它們各等于多少？謎式謎填式謎+ 巧填式謎2 0 0 0精彩思路由(4×謎

43、)的個(gè)位數(shù)是0知，“謎”0或5。當(dāng)“謎”0時(shí)，(3×式)的個(gè)位數(shù)是0，推知“式”0，與“謎”“式”矛盾。當(dāng)“謎”5時(shí)，個(gè)位向十位進(jìn)2。由(3×式+2)的個(gè)位數(shù)是0知，“式”6，且十位要向百位進(jìn)2。由(2×填+2)的個(gè)位數(shù)是0，且不能向千位進(jìn)2知，“填”4。最后推知，“巧”1。精妙解答“巧”1，“填”4，“式”=6，“謎”5。練習(xí)【初試牛刀】1.在下面的乘法豎式中，每個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，那么“學(xué)”代表的數(shù)字是（ ） 數(shù) 學(xué) × 數(shù) 學(xué) （）（） 學(xué)（） 0 8 勤 奮 好 學(xué)2 在下面的算式中，漢字“珊，瑚，小，學(xué)，三，年，級(jí)”代

44、表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，使得加法算式成立，則“珊，瑚，小，學(xué)，三，年，級(jí)”所代表的7個(gè)數(shù)字的和等于（ ） 珊 瑚 小 學(xué) + 三 年 級(jí) 2 0 0 93.【挑戰(zhàn)自我】1.在下面的豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，記被減數(shù)的數(shù)字和為A，減數(shù)的數(shù)字和為B，差的數(shù)字和為C，而且要求A>B，那么A-B與C得差是（ ）第八講 找規(guī)律【知識(shí)要點(diǎn)】先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4

45、) 1，1，2，3，5，8，13。一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。如，數(shù)列(1)的第3項(xiàng)是3，數(shù)列(2)的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項(xiàng)記作an。數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列(2)年個(gè)(4)，也可以是無(wú)限多個(gè)，如數(shù)列(1)(3)。許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)+1，或第n項(xiàng)ann。數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)×2，或第n項(xiàng)數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和，即a3

46、=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常見(jiàn)的較簡(jiǎn)單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。第二類是前后幾項(xiàng)為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4來(lái)作一些說(shuō)明。例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)4，7，10，13，( )，(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，(4)625，125，25，( )，( )；(5)

47、1，4，9，16，( )，(6)2，6，12，20，( )，( )，【精彩思路】：通過(guò)對(duì)已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(1)的規(guī)律是：前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。(2)的規(guī)律是：前項(xiàng)-12=后項(xiàng)。 (3)的規(guī)律是：前項(xiàng)×3=后項(xiàng)。、(4)的規(guī)律是：前項(xiàng)÷5=后項(xiàng)。、(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4，(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，說(shuō)明：本例中各數(shù)列的每一項(xiàng)都只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來(lái)表示。各數(shù)列的第n項(xiàng)分別可以表示為(1)an3n+1；(2)an96-12n；(3)an2×3n-1；(4)an55-n；(5)ann2；(6)ann(n+1)。這樣表示的好處在于，如果求第100