多目標(biāo)決策分析課程

1、海港港址海港港址經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)技術(shù)技術(shù)環(huán)境環(huán)境社會(huì)社會(huì)直接效益直接效益間接效益間接效益投資額投資額投資回收期投資回收期利稅總額利稅總額海運(yùn)收益海運(yùn)收益國際貿(mào)易收益國際貿(mào)易收益國內(nèi)貿(mào)易收益國內(nèi)貿(mào)易收益航道航道海灘海灘建筑建筑運(yùn)行運(yùn)行城市關(guān)系城市關(guān)系交通關(guān)系交通關(guān)系資源資源環(huán)保環(huán)保政策政策軍事軍事 圖圖6-2 6-2 單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系總目標(biāo)總目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)m目標(biāo)目標(biāo)m-1目標(biāo)目標(biāo)2目標(biāo)目標(biāo)1G.c1c2cn-1cng11g12g1n-1g1n最高層最高層中間層中間層準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層g21g22g1k-1g1k )., 2 , 1(0), 2 , 1(.), 2 , 1(min11njxmi

2、bxatsKkxcZjinjjijnjjkjk問題：?jiǎn)栴}：能否化為單目標(biāo)線性規(guī)劃問題求解？能否化為單目標(biāo)線性規(guī)劃問題求解？如何處理各目標(biāo)的主次、輕重？如何處理各目標(biāo)的主次、輕重？產(chǎn)品產(chǎn)品消耗消耗原料原料012 xx262321 xx302421 xx 0), 2 , 1(00 kkkkddKkdd，正負(fù)偏差變量分別表示實(shí)際目標(biāo)值超過和低正負(fù)偏差變量分別表示實(shí)際目標(biāo)值超過和低于期望值的數(shù)值。于期望值的數(shù)值。引入偏差變量之后，目標(biāo)就變成了約束條件，引入偏差變量之后，目標(biāo)就變成了約束條件，成為約束條件組的一部分。成為約束條件組的一部分。302426230332122211112 ddxxddxxdd

3、xx kkddfZ,min kdfZmin kdfZmin 3322211mindPddPdPZ ）（3 , 2 , 10,0,2432302426230.min121213321222111123322211iddxxxxddxxddxxddxxtsdPddPdPZi LlddnjxmibxaLleddxctsddPZlljinjjijlllnjjljKklkllklLlk, 2 , 10, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 1.min1111， ）（3 . 6.)(,),(),()(max21XxtsxfxfxfxFTm 其中其中f1(x), f2(x), , fm(x)表示表示m個(gè)目

4、標(biāo)函數(shù)，個(gè)目標(biāo)函數(shù)，X表示滿足某些約束條件的表示滿足某些約束條件的n維點(diǎn)集。維點(diǎn)集。 處理方法：處理方法：（1）化為一個(gè)單目標(biāo)問題）化為一個(gè)單目標(biāo)問題 （2）化為多個(gè)單目標(biāo)問題。）化為多個(gè)單目標(biāo)問題。 03001032404920054.23)(min01207)(max600400)(max21212121213212211xxxxxxxxtsxxxfxxxfxxxf，（污染最小）（污染最?。ɡ麧欁畲螅ɡ麧欁畲螅óa(chǎn)值最大）（產(chǎn)值最大） Xxmiaxftsxfii, 2)(.)(max1可以得到（可以得到（6.3）的一個(gè)有效解。）的一個(gè)有效解。 ，（利潤最大）（利潤最大）09232000

5、06004003001032404920054.01207)(max212121212121212xxxxxxxxxxxxtsxxxf miiixfxU1)()( 構(gòu)成單目標(biāo)決策問題：構(gòu)成單目標(biāo)決策問題：XxtsxfxUmiii .)()(max1 難點(diǎn)：難點(diǎn)：如何使多個(gè)目標(biāo)用同一尺度統(tǒng)一起來如何使多個(gè)目標(biāo)用同一尺度統(tǒng)一起來（多種方法在下一章中介紹，可以將各目標(biāo)統(tǒng)（多種方法在下一章中介紹，可以將各目標(biāo)統(tǒng)一作效用值度量）；如何選擇合理的權(quán)系數(shù)。一作效用值度量）；如何選擇合理的權(quán)系數(shù)。 XxtsxfxfT .)(),(max21記：記：)(),()()(max)()(max)1(202)2(101

6、)2(22*2)1(11*1xffxffxfxffxfxffXxXx （即（即x(1)、 x(2)分別為以分別為以f1(x)和和f2(x)目標(biāo)的單目目標(biāo)的單目標(biāo)問題的最優(yōu)解）標(biāo)問題的最優(yōu)解） XxtsxfxfT .)(),(max21要求：要求：XxtsxfxfxU .)()()(max2211 c1是任意的非零常數(shù)。是任意的非零常數(shù)。1*220111022*11cffcff 即可確定權(quán)系數(shù)。即可確定權(quán)系數(shù)。若進(jìn)一步要求若進(jìn)一步要求120201*2*101*120201*2*102*21ffffffffffff 0,342.)(),(max21212121xxxxxxtsxfxfT試用試用21

7、221123)(4)(xxxfxxxf 解：解：先分別求解先分別求解 0,342.4)(max212121211xxxxxxtsxxxf 0,342.23)(max212121212xxxxxxtsxxxf得：得： x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T0, 76, 002*201*1 ffff對(duì)目標(biāo)進(jìn)行線性加權(quán)：對(duì)目標(biāo)進(jìn)行線性加權(quán)： 0,342.1351310)(max21212121xxxxxxtsxxxU21221123)(4)(xxxfxxxf 1361370201*2*101*120201*2*102*21 ffffffffffff 2122111351310)()()

8、(xxxfxfxU 化為單目標(biāo)問題：化為單目標(biāo)問題： XxtsxfxfxfTm .)(,),(),(max21取：?。?(max1*xfffiXxiii ， 化為單目標(biāo)決策問題：化為單目標(biāo)決策問題：XxtsxfxUmiii .)()(max1 適用條件：適用條件：fi*0 21*)()( miiiifxfxU 構(gòu)成單目標(biāo)決策問題：構(gòu)成單目標(biāo)決策問題： XxtsfxfxUmiiii .)()(min12* i 權(quán)權(quán)系數(shù)，可按要求的相差程度分系數(shù)，可按要求的相差程度分別給別給出。出。 TmfffF*2*1*, 稱稱 XxtsfxfxUmiii .)()(min2112*mixfxffiiXxi,

9、2 , 1)()(max)(1* 為理想點(diǎn)。為理想點(diǎn)。若所有若所有x(i)都相同，記為都相同，記為 x(0)，則，則x(0)就是所求就是所求的多目標(biāo)決策問題的最優(yōu)解；若不然，則考慮的多目標(biāo)決策問題的最優(yōu)解；若不然，則考慮求解下面的單目標(biāo)決策問題：求解下面的單目標(biāo)決策問題：7, 0*2*1 ff 0,342.)723()4()(min21212121221221xxxxxxtsxxxxxU21221123)(4)(xxxfxxxf 2122122121212*) 723()4()()( xxxxfxfxUiii 矩陣矩陣是是，nmAxbxAtsxfxfxfxFTk 0.)(,),(),()(ma

10、x21kixcxcxfnjjijii, 2 , 1)(1 kixbxAtsxfi, 2 , 10.)(max )()(ijijxfz ijkijjzff 10*min和和 0)(10)(1*1200*120*injijiiiinjijiiiifcffffcfff kikjiii, 2 , 11 0, 2 , 1)(.min*xbxAkixfftsiii ),(,),(),(00201xfxfxfk 0,)()(, 2 , 1)(.min0*xbxAfxfxfrikixfftsrrriii ，（原原材材料料）（裝裝配配能能力力）（機(jī)機(jī)器器能能力力）072542 . 02 . 0852 . 05

11、. 0.21212121xxxxxxxxts（放放射射性性污污染染最最小?。ɡ麧櫇欁钭畲蟠螅?122115 . 1)(max3)(maxxxxfxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.5 . 1)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 625.23,00,5 .4502*201*1 ffff0.554715 . 11625.23023.625)(10.31623115 .45

12、05 .45)(12212*022212*0*1 njijiiinjijiiicfffcfff 6369. 03631. 0,21 ， 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0)5 . 1(6369. 0)35 .45(3631. 0.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， 2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0105 . 135 .45.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， Hv1w2w1v2w4w3vl wkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.圖圖6.6 序

13、列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系效用并合過程效用并合過程從下到上，逐層進(jìn)行從下到上，逐層進(jìn)行。最低一層各準(zhǔn)則的效用，經(jīng)過并合得到：最低一層各準(zhǔn)則的效用，經(jīng)過并合得到： 符號(hào)符號(hào)“”表示按某種規(guī)則和邏輯程序進(jìn)行的表示按某種規(guī)則和邏輯程序進(jìn)行的效用并合運(yùn)算。效用并合運(yùn)算。 isisikipipiiiiauauawauauawauauaw 112211第三層子目標(biāo)的效用并合得到第二層各目標(biāo)第三層子目標(biāo)的效用并合得到第二層各目標(biāo)的并合效用值：的并合效用值： iliiavavav，21最后，可得可行方案最后，可得可行方案ai 的滿意度為：的滿意度為： iliiiiavavavaHH 21

14、)8 . 6( max1*imiaHaHH 222111uud 即：即： W=W(u1，u2)的取值與的取值與d成正比。有：成正比。有： 2120 , 01 , 1,1 , 121 WWduuWW距離規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：距離規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：公式公式(6.9)可以推廣到多維情形：可以推廣到多維情形： 如：成本和效益的效用并合可以按距離規(guī)則進(jìn)如：成本和效益的效用并合可以按距離規(guī)則進(jìn)行，并合效用函數(shù)行，并合效用函數(shù) )9 . 6( 11 211,222121uuuuW )10. 6( 111,1221 niinunuuuW 2211 211,ECECuuuuW 代換規(guī)則下的二維效用函數(shù)為

15、：代換規(guī)則下的二維效用函數(shù)為： 推廣到多維情形，推廣到多維情形，n維效用并合的代換規(guī)則維效用并合的代換規(guī)則公式為：公式為： )11. 6( 111,21212121uuuuuuuuW )12. 6( 11,121 niinuuuuW推廣到多維情形，推廣到多維情形，n維效用并合的加法規(guī)則公維效用并合的加法規(guī)則公式為：式為：加法規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：加法規(guī)則下的二維效用函數(shù)為： 1 )13. 6( ,21221121 其中：其中：uuuuW )14. 6( ,1i21 niinuuuuW )15. 6( ,2121uuuuW )17. 6( ,121 niinuuuuW推廣到多維情形，推廣到多維

16、情形，n維效用并合的乘法規(guī)則公維效用并合的乘法規(guī)則公式為：式為：乘法規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：乘法規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：更一般地：更一般地： 是是正正常常數(shù)數(shù)。其其中中：212121, )16. 6( ,21 uuuuW 是是正正常常數(shù)數(shù)。其其中中：niuuuuWiniin, 2 , 1)19. 6( ln,ln1i21 更一般地，更一般地，乘法規(guī)則下的乘法規(guī)則下的n維效用函數(shù)為：維效用函數(shù)為：或表示成對(duì)數(shù)形式：或表示成對(duì)數(shù)形式： )18. 6( ,121 niiniuuuuW )20. 6( ,211221121ucucucucuuWc 其中，其中，1 1稱為形式因子。稱為形式因子。的不同取

17、值的不同取值分別表示代換、加法和乘法三規(guī)則之一。分別表示代換、加法和乘法三規(guī)則之一。推廣到多維情形，推廣到多維情形，n維效用并合的混合規(guī)則公維效用并合的混合規(guī)則公式為：式為： )22. 6( 1 11 niiiucW )21. 6( 1 1 ,1221121ucucuuW 當(dāng)當(dāng)00時(shí)，時(shí)，(6.20)可以化為較為規(guī)范的形式：可以化為較為規(guī)范的形式： 當(dāng)當(dāng)= - -1時(shí)，化為代換規(guī)則形式；時(shí)，化為代換規(guī)則形式；當(dāng)當(dāng)=0=0，且，且c1+c2=1時(shí)，化為加法規(guī)則形式；時(shí)，化為加法規(guī)則形式； 當(dāng)當(dāng)0 0時(shí)，近似于乘法規(guī)則形式：時(shí)，近似于乘法規(guī)則形式： 111121 ,ucucuuW 各國各國對(duì)比對(duì)比

18、u9我國人口總目標(biāo)我國人口總目標(biāo)HV1V2吃用吃用v1實(shí)力實(shí)力v2用用w2吃吃w1糧食糧食u1魚肉魚肉u2空氣空氣u4水水u5能源能源u6土地土地u3最低總和最低總和生育率生育率u8GNPu7目標(biāo)準(zhǔn)則體系目標(biāo)準(zhǔn)則體系987654321)1()1(uuuuuuuuuH 綜合評(píng)價(jià)科研課題綜合評(píng)價(jià)科研課題成果貢獻(xiàn)成果貢獻(xiàn)人才培養(yǎng)人才培養(yǎng)可行性可行性發(fā)展前景發(fā)展前景實(shí)實(shí)用用價(jià)價(jià)值值科科技技水水平平優(yōu)優(yōu)勢(shì)勢(shì)發(fā)發(fā)揮揮難難易易程程度度研研究究周周期期財(cái)財(cái)政政支支持持經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)效效益益社社會(huì)會(huì)效效益益H.A1A2An-1AnG11G12G1n-1G1n最高層最高層中間層中間層最低層最低層G21G22G1k-1G

19、1k層次結(jié)構(gòu)圖層次結(jié)構(gòu)圖 mmmmmmmmijWWWWWWWWWWWWWWWWWWaA212121212111mWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWAWmmmmmmm 21212121212111由線性代數(shù)知：由線性代數(shù)知：m是是A的最大特征值，的最大特征值，W是矩陣是矩陣A屬于特征值屬于特征值m的特征向量。的特征向量。 mjjijixRXmjjijixRXxaxxaximim110110maxmaxminminmax 其中：其中： 0, 0|,21 XxxxxXRiTmm0, jijiji mmii max2 )175(1.max mmIC )175(1.max mmIC ), 2

20、, 1,1mjiaaqmkkjijij （ 將將 Q 的 元 素 按的 元 素 按 行行 相 加 ， 得 到 向 量相 加 ， 得 到 向 量 ), 2 , 11miqmjiji （ 對(duì)向量對(duì)向量歸一化處理得特征向量歸一化處理得特征向量 ), 2 , 11miwmkkii （ 求最大特征值求最大特征值 miiiwAWm1max1 即對(duì)矩陣即對(duì)矩陣Q各行求算術(shù)平均得特征向量各行求算術(shù)平均得特征向量W。 14/16/1412/1621A例例 091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w 089. 0324. 0587. 0 268. 09

21、74. 0769. 1Aw010. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31 列向量列向量歸一化歸一化行算術(shù)行算術(shù)平均平均wAw 精確結(jié)果精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010一致性檢驗(yàn)：一致性檢驗(yàn)：C.I0.005，R.I0.52，C.R0.010.1), 2 , 11miaMmjiji （ 計(jì) 算計(jì) 算 Mi的的 m 次 方 根 得 到 向 量次 方 根 得 到 向 量 ), 2 , 1miMmii （ 對(duì)向量對(duì)向量歸一化處理得特征向量歸一化處理得特征向量 ), 2 , 11miwmkkii （ 求最大特征值求最大特

22、征值 miiiwAWm1max1 14/16/1412/1621A例例 0417. 0212w 090. 0323. 0587. 0 269. 0977. 0773. 1Aw011. 3)09. 0269. 0323. 0977. 0587. 0773. 1(31 每行元每行元素之積素之積歸一化歸一化wAw 一致性檢驗(yàn)：一致性檢驗(yàn)：C.I0.0055，R.I0.52，C.R0.0110.1三三次次方根方根 35. 026. 129. 20，則：，則：CWeAeeAkTkk lim3、冪法、冪法步驟步驟1）任取初始正向量任取初始正向量W(0), k=0，設(shè)置精度設(shè)置精度 )()1(kkAWW 2

23、）計(jì)算計(jì)算 mikikkWWW1)1()1()1(/3）歸一化歸一化 mikikiWWm1)()1(1 5） 計(jì)算計(jì)算4）若若 )()1(maxkikiiWW停止；否則，停止；否則，k=k+1, , 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2） miwwtswwaWFimiimimjjiij, 2 , 101.min1211，這是一個(gè)非線性規(guī)劃問題。這是一個(gè)非線性規(guī)劃問題。 miwwtswwaWFimiimimjjiij, 2 , 101.lnlnlnmin1211，目標(biāo)函數(shù)關(guān)于目標(biāo)函數(shù)關(guān)于lnwi是線性的，該方法結(jié)果與根是線性的，該方法結(jié)果與根法相同。法相同。 1 , 3, 211, 11nniwainwwawnijjijin

24、nnn mmijaA （殘殘缺缺），jiwwjiaaijijij/其中：其中： miwwtswwawwaWFimiimimjjijiijij, 2 , 101.2min111，niwwawwanjjijinjijij, 2 , 111 0 ijijjiijwwa ijij ， mjiwwtsijijjimimjijij, 2 , 1lnlnlnln.lnlnmin11， G)1(1ng)1(2g)1(1g)(nnng)(2ng)(1ngsc2c1c2a1ama總目標(biāo)總目標(biāo)n層子目標(biāo)層子目標(biāo)準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相

25、關(guān)聯(lián)相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)不完全層次結(jié)構(gòu)第第3層對(duì)第層對(duì)第2層權(quán)向量：層權(quán)向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)O教學(xué)教學(xué)C1科研科研C2P2 P1P3P4例例: 評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué)只作教學(xué), P4只作科研只作科研, P3兼作教學(xué)、科研兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等支配元素的數(shù)目不等kkknjkjkijkiniWPwpwk, 2 , 1)1()(11)1()()( ) 1 (2)()()()(WPPPWnkkcaa 權(quán)重權(quán)重 mjjjbw11 mjjj

26、bw12 mjnjjbw1)195(.1 mjjjICwIC)215(.11 mjjjmjjjIRwICwRCICRC)205(.1 mjjjIRwIR例例6.14 某市中心有一座商場(chǎng)，由于街道狹窄，某市中心有一座商場(chǎng)，由于街道狹窄，人員車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政人員車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個(gè)問題經(jīng)過有關(guān)專府決定解決這個(gè)問題經(jīng)過有關(guān)專 家會(huì)商研家會(huì)商研究究，制定出三個(gè)可行方案：，制定出三個(gè)可行方案：a1：在商場(chǎng)附近修建一座環(huán)形天橋；在商場(chǎng)附近修建一座環(huán)形天橋；a2：在商場(chǎng)附近修建地下人行通道；在商場(chǎng)附近修建地下人行通道；a3：搬遷商場(chǎng)。搬遷商場(chǎng)。改善交通環(huán)境改

27、善交通環(huán)境天橋天橋a1地道地道a2搬遷搬遷a3通車通車能力能力C1方便方便群眾群眾C2基建基建費(fèi)用費(fèi)用C3交通交通安全安全C4市容市容美觀美觀C5圖圖6.16 層次結(jié)構(gòu)模型層次結(jié)構(gòu)模型解解：( (1) )建立層次結(jié)構(gòu)模型；建立層次結(jié)構(gòu)模型；135351 / 313131 / 51 / 311 / 331 / 313131 / 51 / 31 / 31 / 31 11223344maxmaxmaxmax3, 0.455,0.455,0.091, .00.13.005, 0.648,0.230,0.122, .0.0040.13.079, 0.695,0.229,0.075, .0.0680.13

28、.018, 0.169,0.387,0.443, .0TccTccTccTccwC RwC RwC RwC R55max.0160.13.018, 0.169,0.387,0.443, .0.0160.1TccwC R1230.455 0.455 0.0910.648 0.230 0.122(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059) 0.695 0.229 0.0750.169 0.387 0.4430.169 0.387 0.4430.442,0.374,0.185Waaa排序結(jié)果：注意注意: :改善交通環(huán)境改善交通環(huán)境天橋天橋a1地道地道a2搬遷搬遷a3通車通車能力能力

29、C1方便方便群眾群眾C2基建基建費(fèi)用費(fèi)用C3交通交通安全安全C4市容市容美觀美觀C5n21m21mvvv21投入投入產(chǎn)出產(chǎn)出決策單元決策單元p21puuu21mnmmnnxxxxxxxxx212222111211pnppnnyyyyyyyyy212222111211對(duì)每個(gè)決策單元，都定義一個(gè)效率評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)每個(gè)決策單元，都定義一個(gè)效率評(píng)價(jià)指標(biāo)hj表示第表示第j個(gè)決策單元所取得的經(jīng)濟(jì)效率，可以個(gè)決策單元所取得的經(jīng)濟(jì)效率，可以適當(dāng)選擇權(quán)系數(shù)，使得適當(dāng)選擇權(quán)系數(shù)，使得hj1。), 2 , 1(11njxvyuxvyuhjTjTmiijiprrjrj 其中：其中：u=( (u1, u2, , up) )

30、T, , v=( (v1, v2, , vm) )T, xj=( (x1j, x2j, , xmj) )T, yj=(y1j, y2j, , yrj)T ，：00), 2 , 1(1.max00vunjxvyutsxvyuhPjTjTToT設(shè)第設(shè)第j0個(gè)決策單元的投入和產(chǎn)出向量分別為：個(gè)決策單元的投入和產(chǎn)出向量分別為：xj0=( (x1j0, x2j0, xmj0) )T, yj0=(y1j0, y2j0, yrj0)T效率指標(biāo)效率指標(biāo)h0=hj0評(píng)價(jià)第評(píng)價(jià)第j0個(gè)決個(gè)決策 單 元 有 效策 單 元 有 效性 （ 相 對(duì) 于性 （ 相 對(duì) 于其 它 決 策 單其 它 決 策 單元 而 言 ）

31、的元 而 言 ） 的模型為：模型為：稱為稱為CCR模型（模型（C2R）是一個(gè)分式規(guī)劃，令是一個(gè)分式規(guī)劃，令t=1/vTx0，=tv, , =tu，則可化為一個(gè)等價(jià)的線性規(guī)劃問題：則可化為一個(gè)等價(jià)的線性規(guī)劃問題：P ：001), 2 , 1(0.max)(0 xnjyxtsyVPTjTjToTp線性規(guī)劃線性規(guī)劃( (P ) )的對(duì)偶問題為：的對(duì)偶問題為：其中：其中：s- - =( (s1- -, s2-, sm-) )T, ,s+=( (s1+, s2+, , sm+) )T, 為松馳變量向量。為松馳變量向量。，： 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjysxxsxtsVDjnjj

32、jnjjjD 定義定義6.6：若線性規(guī)劃若線性規(guī)劃( (P) )的最優(yōu)解的最優(yōu)解0, ,0滿足：滿足：VP(0)Ty01則稱決策單元?jiǎng)t稱決策單元j0為弱為弱DEA有效。有效。定義定義6.7：若線性規(guī)劃若線性規(guī)劃( (P) )的最優(yōu)解的最優(yōu)解0, ,0滿足：滿足：VP(0)Ty01，且，且00，00則稱決策單元?jiǎng)t稱決策單元j0為為DEA有效。有效。決策單元決策單元j0為為DEA有效的含義：有效的含義：指決策單元指決策單元j0相相對(duì)于其它決策單元，其效率評(píng)價(jià)指標(biāo)取得最優(yōu)對(duì)于其它決策單元，其效率評(píng)價(jià)指標(biāo)取得最優(yōu)值，即在多值，即在多 ：eexnjyxtsyVPTjTjToTp 1), 2 , 1(0.

33、max)(0 維維向向量量的的是是元元素素均均為為peT11 , 1 , 1 其中：其中： 維向量維向量的的是元素均為是元素均為meT11 , 1 , 1 ，： 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjysxxsxtsseseVDjnjjjnjjjTTD 43212121 產(chǎn)出產(chǎn)出決策單元決策單元11 231343311211 0, 0,1302402330303. .max)(1212112112112112111 ：tsVPp 無無約約束束： , 0,123233433.min)(43214321432143211tsVDD解得：解得：0, 1)0 , 0 , 0 , 1(00

34、松松馳馳變變量量均均為為 T故決策單元故決策單元1為為DEA有效。有效。 0, 0,1302402330303. .max: )(1212112112112112112 tsVPp 無無約約束束： , 0,122333433.min)(43214321432143212tsVDD解得：解得：0, 1)0 , 0 , 1 , 0(00松松馳馳變變量量均均為為 T故決策單元故決策單元2為為DEA有效。有效。 0, 0,13302402330303. .max: )(1212112112112112113 tsVPp 無無約約束束： , 0,1232333433.min)(4321432143214

35、3213tsVDD解得：解得：10.5)0 , 5 . 0 , 0 , 0(00 T故決策單元故決策單元3不是不是弱弱DEA有效。有效。 0, 0,12402402330303. .max: )(1212112112112112114 tsVPp 無無約約束束： , 0,1222334433.min)(43214321432143214tsVDD解得：解得：16 . 0)0 , 2 . 0 , 6 . 0 , 0(00 T故決策單元故決策單元4不是不是弱弱DEA有效。有效。定義定義6.8：設(shè)設(shè)0，s0-,s0+,0是對(duì)偶問題是對(duì)偶問題( (D) )的的最優(yōu)解。令：最優(yōu)解。令： 0000000,

36、syysxx 稱為決策單元稱為決策單元j0對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的的相對(duì)有效面上的投影。相對(duì)有效面上的投影。),(00yx定理定理6.10：設(shè)設(shè) 為決策單元為決策單元j0對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的相對(duì)有效面上的投影。的相對(duì)有效面上的投影。則新則新決策單元相對(duì)于原來的決策單元相對(duì)于原來的n個(gè)決策單元個(gè)決策單元來說，是來說，是DEA有效的。有效的。 ),(00yx),(00yx構(gòu)造新的決策單元：構(gòu)造新的決策單元：15 . 00,)0 , 0 , 5 . 0 , 0(01210 sssT新決策單元相對(duì)于原有的新決策單元相對(duì)于原有的4個(gè)

37、決策單元是個(gè)決策單元是DEA有效的。有效的。202)5 . 1 , 5 , 1()0 , 0()3 , 3(5 . 00000000 syysxxTTT 構(gòu)造新的決策單元：構(gòu)造新的決策單元：16 . 00,)0 , 2 . 0 , 6 . 0 , 0(01210 sssT新決策單元相對(duì)于原有的新決策單元相對(duì)于原有的4個(gè)決策單元是個(gè)決策單元是DEA有效的。有效的。101)2 . 1 , 4 . 2()0 , 0()2 , 4(6 . 00000000 syysxxTTT 圖圖6.20 6.20 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)xy點(diǎn)點(diǎn)A：既技術(shù)有效又規(guī)模有效；：既技術(shù)有效又規(guī)模有效；點(diǎn)點(diǎn)C：技術(shù)有效但非規(guī)模有效

38、；：技術(shù)有效但非規(guī)模有效；點(diǎn)點(diǎn)B：既非技術(shù)有效又非規(guī)模有效。：既非技術(shù)有效又非規(guī)模有效。即是說，如果即是說，如果x1, x2分別以分別以和和( (1-) )的加權(quán)和的加權(quán)和為投入量，則為投入量，則y1, y2以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。 即是說，如果以即是說，如果以x的的倍作為投入量，則產(chǎn)出量倍作為投入量，則產(chǎn)出量y是的同樣倍數(shù)。是的同樣倍數(shù)。 公理公理2 ( (錐性錐性) )：對(duì)任意對(duì)任意(x,y)T，0，均有，均有(x, y)(x, y)T公理公理1 1( (凸性凸性) )：對(duì)任意對(duì)任意(x1, y1)T，(x2, y2)T以及以及0,1，均有均有(x1, y1)(

39、 (1) )(x2, y2)T.),()2(),()1(TyxyyTyxxx ，則則均均有有若若有有；，則則均均有有若若有有即是說，在原生產(chǎn)活動(dòng)中，單方面的增加投入即是說，在原生產(chǎn)活動(dòng)中，單方面的增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動(dòng)總是可能的。量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動(dòng)總是可能的。 公理公理4( (最小性最小性) )：生產(chǎn)可能集生產(chǎn)可能集T是滿足公理是滿足公理13的所有集合的交集。的所有集合的交集。1.生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集由由n個(gè)決策單元（個(gè)決策單元（xj, yj）的生產(chǎn)活動(dòng)所描述的）的生產(chǎn)活動(dòng)所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理生產(chǎn)可能集，滿足公理14是唯一確定的。這是唯一確定的。這個(gè)生產(chǎn)可能集可以表示為個(gè)生產(chǎn)可能集可以表示為 , 2 , 10,| ),(11njyyxxyxTjjnjjjnjj 3211產(chǎn)出產(chǎn)出決策單元決策單元15425 . 312生產(chǎn)可能集為：生產(chǎn)可能集為：3 , 2 , 10,3.52,542| ),(321321 jyxyxTj 用線性規(guī)劃模型用線性規(guī)劃模型( (D) )評(píng)價(jià)決策單元評(píng)價(jià)決策單元j0的的DEA有效性，模型有效性，模型 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjysyxsxtsseseVDjnjjjnjjjTTD，： 為了清楚起見，考慮不含松弛變量的線性規(guī)劃為了清楚起見，考慮不含松弛變