數(shù)學(xué)的三股推動(dòng)力量數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾

1、.數(shù)學(xué)的三股推動(dòng)力量數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 整個(gè)數(shù)學(xué)的開(kāi)展史就是一部矛盾斗爭(zhēng)的歷史。數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾是推動(dòng)數(shù)學(xué)長(zhǎng)河滾滾向前的主要力量之一。數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系作為自己研究的對(duì)家，為了在純粹形態(tài)上研究這些形式和關(guān)系，就必須和現(xiàn)實(shí)世界的內(nèi)容割裂開(kāi)來(lái)。但是，分開(kāi)內(nèi)容的形式和關(guān)系是不存在的。因此，數(shù)學(xué)按它的本質(zhì)企圖實(shí)現(xiàn)這種割裂，是企圖實(shí)現(xiàn)一種不可能的事情。這是在數(shù)學(xué)本質(zhì)中的根本矛盾，它是認(rèn)識(shí)的普遍矛盾在數(shù)學(xué)方面的特殊表現(xiàn)。在越來(lái)越接近現(xiàn)實(shí)的各個(gè)認(rèn)識(shí)階段上，不斷解決和重復(fù)上述矛盾，數(shù)學(xué)就不斷地前進(jìn)、開(kāi)展，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由低級(jí)向高級(jí)。人類最早認(rèn)識(shí)的是自然數(shù)，引進(jìn)零和負(fù)數(shù)就經(jīng)過(guò)了斗爭(zhēng)：要么引進(jìn)這些數(shù)，要

2、么大量的數(shù)的減法就行不通。同樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運(yùn)算除法，否那么許多實(shí)際問(wèn)題也不能解決。但是接著又出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題：是否所有的量都可以用有理數(shù)來(lái)表示?發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)并最終使得第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，促使了邏輯的開(kāi)展和幾何學(xué)的系統(tǒng)化。方程解的問(wèn)題導(dǎo)致虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開(kāi)場(chǎng)就被認(rèn)為是“不實(shí)的，可是這種不實(shí)的數(shù)卻解決了實(shí)數(shù)所不能解決的問(wèn)題，從而為自己爭(zhēng)得了存在的權(quán)利。數(shù)學(xué)就是這樣在矛盾斗爭(zhēng)中開(kāi)展的。幾何學(xué)從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下開(kāi)展到多種幾何，也是如此。在19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問(wèn)題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過(guò)加、減、乘、除、開(kāi)方求出根來(lái);古希臘幾何三大問(wèn)題不能通過(guò)圓規(guī)和直尺作圖

3、來(lái)解決等等。這些否認(rèn)的結(jié)果說(shuō)明了傳統(tǒng)方法的局限性，也反映了人類認(rèn)識(shí)的深化。這些發(fā)現(xiàn)給有關(guān)學(xué)科帶來(lái)了極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。例如，代數(shù)學(xué)從此以后向抽象代數(shù)的方面開(kāi)展，而求解方程的根也變成了分析及計(jì)算數(shù)學(xué)的課題。在第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中，這種情況也屢次出現(xiàn)，尤其是包含整數(shù)算術(shù)在內(nèi)的形式系統(tǒng)的不完全性、許多問(wèn)題的不可斷定性，都大大進(jìn)步了人們的認(rèn)識(shí)，也促進(jìn)了數(shù)理邏輯的大開(kāi)展。由無(wú)窮小量的矛盾引起的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，反映了數(shù)學(xué)內(nèi)部的有限與無(wú)窮的矛盾。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)涉及集合論和數(shù)理邏輯，但它一開(kāi)場(chǎng)就牽涉到無(wú)窮集合，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)脫離無(wú)窮集合就寸步難行。一種極端的觀點(diǎn)是只考慮有限集合或至多是可數(shù)的集合，不

4、過(guò)這樣一來(lái)絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)將不復(fù)存在。即使這些有限數(shù)學(xué)的內(nèi)容也有許多要涉及無(wú)窮的方法，有很多的數(shù)學(xué)證明都要用有限的步驟解決涉及無(wú)窮的問(wèn)題。借助于計(jì)算機(jī)完成的四色定理的證明，首先也要把無(wú)窮多種可能的地圖歸結(jié)成有限的情形。對(duì)于無(wú)窮，計(jì)算機(jī)也是無(wú)能為力的?？梢?jiàn)數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)回避不了有限與無(wú)窮這對(duì)矛盾，可以說(shuō)它是數(shù)學(xué)矛盾的根源之一。數(shù)學(xué)中也一直貫穿著應(yīng)用上清楚與邏輯上嚴(yán)格的矛盾。在這方面，比較注意實(shí)用的數(shù)學(xué)家盲目應(yīng)用，而比較注意嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家那么提出批評(píng)。只有這兩方面獲得協(xié)調(diào)一致，矛盾才能解決。例如，算符演算及δ函數(shù)，開(kāi)場(chǎng)是形式演算，任意應(yīng)用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴(yán)整系統(tǒng)。微積分的應(yīng)

5、用與極限論的建立更是眾所周知的。在數(shù)學(xué)史中，一直存在著經(jīng)常起作用的兩種重要趨勢(shì)：一種是學(xué)科不斷分化的趨勢(shì)，另一種是學(xué)科不斷綜合的趨勢(shì)。這兩種矛盾的趨勢(shì)的辨證運(yùn)動(dòng)，表現(xiàn)為一個(gè)否認(rèn)之否認(rèn)的過(guò)程。自然界作為一個(gè)無(wú)限多樣性的統(tǒng)一整體，通過(guò)感覺(jué)和知覺(jué)進(jìn)入人類的意識(shí)。古時(shí)候，數(shù)學(xué)是在總體的數(shù)和形的關(guān)系上把握自然界的，算術(shù)、代數(shù)、幾何沒(méi)有彼此分開(kāi)，任何一本數(shù)學(xué)名著都包括了這三方面的內(nèi)容，并且把它們?nèi)芑谝黄?。因此，古代的?shù)學(xué)本質(zhì)上是一種感性直觀的關(guān)于數(shù)和理的綜合的科學(xué)。從17世紀(jì)產(chǎn)生解析幾何和微積分以后，學(xué)科分化的趨勢(shì)一直居于主導(dǎo)地位。單一的未經(jīng)分化的學(xué)科向許多專門分支學(xué)科開(kāi)展，每一門學(xué)科所研究的又都是詳細(xì)

6、完好的數(shù)學(xué)中數(shù)與形的某一個(gè)方面。這種不斷分化，到19世紀(jì)下半葉到達(dá)了相當(dāng)精細(xì)的程度，代數(shù)、幾何、分析等學(xué)科已經(jīng)形成了各自不同的研究領(lǐng)域，特別是分析領(lǐng)域的開(kāi)展更是蓬蓬勃勃。每個(gè)學(xué)科都可以互不聯(lián)絡(luò)地單獨(dú)向前開(kāi)展，各學(xué)科在理論、語(yǔ)言、方法等方面可以互不相通，根本談不上統(tǒng)一的數(shù)學(xué)的圖景。從1872年克萊因用“群的觀點(diǎn)統(tǒng)一各種幾何開(kāi)場(chǎng)，到康托爾建立集合論和公理化運(yùn)動(dòng)，越來(lái)越分化的數(shù)學(xué)走向綜合的趨勢(shì)逐漸明顯。到20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)學(xué)科的分化和綜合都明顯加快了。從20年代起，特別是第二次世界大戰(zhàn)后，綜合的趨勢(shì)已占主導(dǎo)地位。學(xué)科的繼續(xù)分化實(shí)際上已經(jīng)是綜合趨勢(shì)的一種表現(xiàn)形式，因?yàn)樾聦W(xué)科的不斷出現(xiàn)正在越來(lái)越消除各學(xué)科

7、之間的傳統(tǒng)界限。對(duì)于數(shù)和形的深化認(rèn)識(shí)，更多地采用多學(xué)科的方法的綜合認(rèn)識(shí)形式。因此，各門學(xué)科更加嚴(yán)密地聯(lián)絡(luò)起來(lái)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)展的辨證法就是這樣的，越是理解了整體的各個(gè)方面，就越是接近于綜合地把握整體。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問(wèn)，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。在觀察過(guò)程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住

8、事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說(shuō)話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問(wèn)幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō)“烏云跑得飛快。我加以肯定說(shuō)“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽(tīng)到雷聲驚叫起來(lái)，我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問(wèn)：“雨下得怎樣?幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹(shù)兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。這樣抓住特征見(jiàn)景生情，幼兒不僅印象深化

9、，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來(lái)，在開(kāi)展想象力中開(kāi)展語(yǔ)言。如啄木鳥的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹(shù)開(kāi)刀治病。通過(guò)聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實(shí)“教諭在明清時(shí)還有學(xué)官一意，即主管縣一級(jí)的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正?！敖淌凇皩W(xué)正和“教諭的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對(duì)于在“?；颉皩W(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師。在一些特定的講學(xué)場(chǎng)合，比方書院、皇室，也稱老師為“院長(zhǎng)、西席、講席等。也許將來(lái)會(huì)出現(xiàn)一種公認(rèn)的新觀點(diǎn)，把目前的數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來(lái)。但是，這種統(tǒng)一只是暫時(shí)的、相對(duì)的。隨著消費(fèi)和科技的開(kāi)展，又會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題，形成新的分支，促進(jìn)新的分化。數(shù)學(xué)將在這種不斷的分化和綜合中不斷前進(jìn)。一般說(shuō)來(lái)，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春