數(shù)學(xué)建模方法詳解-三種最常用算法

1、數(shù)學(xué)建模方法詳解-三種最常用算法一、層次分析法層次分析法1 (analytic hierarchy process，AHP)是美國(guó)著名的運(yùn)籌學(xué)家TLSaaty教授于20世紀(jì)70年代初首先提出的一種定性與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策方法2，3，4該方法是社會(huì)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)決策的有效工具，目前在工程計(jì)劃、資源分配、方案排序、政策制定、沖突問(wèn)題、性能評(píng)價(jià)等方面都有廣泛的應(yīng)用(一) 層次分析法的基本原理層次分析法的核心問(wèn)題是排序，包括遞階層次結(jié)構(gòu)原理、測(cè)度原理和排序原理5下面分別予以介紹1 遞階層次結(jié)構(gòu)原理一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問(wèn)題可以分解為它的組成部分或因素，即目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等每一個(gè)因素稱為元素按照屬性的不同把

2、這些元素分組形成互不相交的層次，上一層的元素對(duì)相鄰的下一層的全部或部分元素起支配作用，形成按層次自上而下的逐層支配關(guān)系具有這種性質(zhì)的層次稱為遞階層次2 測(cè)度原理 決策就是要從一組已知的方案中選擇理想方案，而理想方案一般是在一定的準(zhǔn)則下通過(guò)使效用函數(shù)極大化而產(chǎn)生的然而對(duì)于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的決策模型來(lái)說(shuō)，常常難以定量測(cè)度因此，層次分析法的核心是決策模型中各因素的測(cè)度化3 排序原理0 / 44層次分析法的排序問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是一組元素兩兩比較其重要性，計(jì)算元素相對(duì)重要性的測(cè)度問(wèn)題(二) 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本思路與人對(duì)一個(gè)復(fù)雜的決策問(wèn)題的思維、判斷過(guò)程大體上是一致的11 成對(duì)比較矩陣和權(quán)向量

3、為了能夠盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高結(jié)果的準(zhǔn)確度TLSaaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對(duì)比，二是對(duì)比時(shí)采用相對(duì)尺度假設(shè)要比較某一層個(gè)因素對(duì)上層一個(gè)因素的影響，每次取兩個(gè)因素和，用表示和對(duì)的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對(duì)比較陣 表示，稱為正互反矩陣一般地，如果一個(gè)正互反陣滿足： （1）則稱為一致性矩陣，簡(jiǎn)稱一致陣容易證明階一致陣有下列性質(zhì)：的秩為1，的唯一非零特征根為；的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于特征根的特征向量如果得到的成對(duì)比較陣是一致陣，自然應(yīng)取對(duì)應(yīng)于特征根的、歸一化的特征向量（即分量之和為1）表示諸因素對(duì)上層因素的權(quán)重，這個(gè)向量稱為權(quán)向量如果成對(duì)

4、比較陣不是一致陣，但在不一致的容許范圍內(nèi)，用對(duì)應(yīng)于最大特征根(記作)的特征向量（歸一化后）作為權(quán)向量，即滿足： （2）直觀地看，因?yàn)榫仃嚨奶卣鞲吞卣飨蛄窟B續(xù)地依賴于矩陣的元素，所以當(dāng)離一致性的要求不遠(yuǎn)時(shí),的特征根和特征向量也與一致陣的相差不大（2）式表示的方法稱為由成對(duì)比較陣求權(quán)向量的特征根法2 比較尺度當(dāng)比較兩個(gè)可能具有不同性質(zhì)的因素和對(duì)于一個(gè)上層因素的影響時(shí)，采用Saaty等人提出的尺度，即的取值范圍是及其互反數(shù) 3 一致性檢驗(yàn) 成對(duì)比較陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對(duì)應(yīng)于特征根的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量，其不一致程度應(yīng)在容許范圍內(nèi)若已經(jīng)給出階一致陣的特征根是，則階正互反陣的最

5、大特征根，而當(dāng)時(shí)是一致陣所以比大得越多，的不一致程度越嚴(yán)重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大因而可以用數(shù)值的大小衡量的不一致程度Saaty將 (3)定義為一致性指標(biāo)時(shí)為一致陣；越大的不一致程度越嚴(yán)重注意到的個(gè)特征根之和恰好等于，所以相當(dāng)于除外其余個(gè)特征根的平均值為了確定的不一致程度的容許范圍，需要找到衡量的一致性指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，又引入所謂隨機(jī)一致性指標(biāo)，計(jì)算的過(guò)程是：對(duì)于固定的，隨機(jī)地構(gòu)造正互反陣，然后計(jì)算的一致性指標(biāo)123456789101100058090112124132141145149151表1 隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表中時(shí)，是因?yàn)殡A的正互反陣總是一致陣 對(duì)于的成對(duì)比較陣，將它的一致

6、性指標(biāo)與同階（指相同）的隨機(jī)一致性指標(biāo)之比稱為一致性比率，當(dāng) (4)時(shí)認(rèn)為的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量對(duì)于利用(3)，(4)式和表1進(jìn)行檢驗(yàn)稱為一致性檢驗(yàn)當(dāng)檢驗(yàn)不通過(guò)時(shí)，要重新進(jìn)行成對(duì)比較，或?qū)σ延械倪M(jìn)行修正4 組合權(quán)向量由各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量和各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)向量，計(jì)算各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量一般地，若共有層，則第層對(duì)第一層（設(shè)只有個(gè)因素）的組合權(quán)向量滿足： （5）其中是以第層對(duì)第層的權(quán)向量為列向量組成的矩陣于是最下層對(duì)最上層的組合權(quán)向量為: （6）5 組合一致性檢驗(yàn)在應(yīng)用層次分析法作重大決策時(shí)，除了對(duì)每個(gè)成對(duì)比較陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)外，還常要進(jìn)行所謂組合

7、一致性檢驗(yàn)，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù)組合一致性檢驗(yàn)可逐層進(jìn)行如第層的一致性指標(biāo)為(是第層因素的數(shù)目)，隨機(jī)一致性指標(biāo)為，定義則第層的組合一致性比率為: (7)第層通過(guò)組合一致性檢驗(yàn)的條件為定義最下層(第層)對(duì)第一層的組合一致性比率為： (8)對(duì)于重大項(xiàng)目，僅當(dāng)適當(dāng)?shù)匦r(shí)，才認(rèn)為整個(gè)層次的比較判斷通過(guò)一致性檢驗(yàn)層次分析法的基本步驟歸納如下: (1) 建立層次結(jié)構(gòu)模型 在深入分析實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用，而同一層的各因素之間盡量相互獨(dú)立最上層

8、為目標(biāo)層，通常只有個(gè)因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有個(gè)或幾個(gè)層次，通常稱為準(zhǔn)則或指標(biāo)層，當(dāng)準(zhǔn)則過(guò)多時(shí)（比如多于個(gè)）應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層 (2) 構(gòu)造成對(duì)比較陣 從層次結(jié)構(gòu)模型的第層開(kāi)始，對(duì)于從屬于上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，直到最下層(3) 計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn) 對(duì)于每一個(gè)成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)，隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過(guò)，重新構(gòu)造成對(duì)比較陣(4) 計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn) 利用公式計(jì)算最下層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量，并酌情作組合一致性檢驗(yàn)若

9、檢驗(yàn)通過(guò)，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對(duì)比較陣(三) 層次分析法的優(yōu)點(diǎn)1 系統(tǒng)性 層次分析把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)分析的重要工具2 實(shí)用性 層次分析把定性和定量方法結(jié)合起來(lái)，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無(wú)法著手的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用范圍很廣同時(shí)，這種方法將決策者與決策分析者相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性3 簡(jiǎn)潔性 具有中等文化程度的人即可了解層次分析的基本原理和掌握它的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，且所得結(jié)果簡(jiǎn)單明確，容易為決策者了

10、解和掌握(四) 層次分析法的局限性層次分析法的局限性可以用囿舊、粗略、主觀等詞來(lái)概括第一，它只能從原有的方案中選優(yōu)，不能生成新方案；第二，它的比較、判斷直到結(jié)果都是粗糙的，不適于精度要求很高的問(wèn)題；第三，從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人的主觀因素的作用很大，這就使得決策結(jié)果可能難以為眾人接受當(dāng)然，采取專家群體判斷的方法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑(五) 層次分析法的若干問(wèn)題層次分析法問(wèn)世以來(lái)不僅得到廣泛的應(yīng)用而且在理論體系、計(jì)算方法等方面都有很大發(fā)展，下面從應(yīng)用的角度討論幾個(gè)問(wèn)題1 正互反陣最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量的性質(zhì)成對(duì)比較陣是正互反陣層次分析法中用對(duì)應(yīng)它的最大特征根的特征向量作為權(quán)向

11、量，用最大特征根定義一致性指標(biāo)進(jìn)行一致性檢驗(yàn)這里人們碰到的問(wèn)題是：正互反陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指標(biāo)的大小是否反映它接近一致陣的程度，特別，當(dāng)一致性指標(biāo)為零時(shí)，它是否就為一致陣下面兩個(gè)定理可以回答這些問(wèn)題定理1 對(duì)于正矩陣（的所有元素為正數(shù)）1）的最大特征根是正單根；2）對(duì)應(yīng)正特征向量（的所有分量為正數(shù)）；3），其中，是對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量定理2 階正互反陣的最大特征根；當(dāng)時(shí)是一致陣定理2和前面所述的一致陣的性質(zhì)表明,階正互反陣是一致陣的充要條件為 的最大特征根2 正互反陣最大特征根和特征向量的實(shí)用算法眾所周知，用定義計(jì)算矩陣的特征根和特征向量是相當(dāng)困難的，特別是矩陣階數(shù)

12、較高時(shí)另一方面，因?yàn)槌蓪?duì)比較陣是通過(guò)定性比較得到的比較粗糙的量化結(jié)果，對(duì)它精確計(jì)算是不必要的，下面介紹幾種簡(jiǎn)單的方法(1) 冪法 步驟如下：a任取維歸一化初始向量b計(jì)算c歸一化,即令d對(duì)于預(yù)先給定的精度,當(dāng) 時(shí),即為所求的特征向量；否則返回be. 計(jì)算最大特征根這是求最大特征根對(duì)應(yīng)特征向量的迭代法,可任選或取下面方法得到的結(jié)果(2) 和法 步驟如下：a. 將的每一列向量歸一化得b對(duì)按行求和得c將歸一化即為近似特征向量d. 計(jì)算，作為最大特征根的近似值這個(gè)方法實(shí)際上是將的列向量歸一化后取平均值，作為的特征向量(3) 根法 步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對(duì)按行求積并開(kāi)次方，即根法是將和法中求

13、列向量的算術(shù)平均值改為求幾何平均值3 為什么用成對(duì)比較陣的特征向量作為權(quán)向量當(dāng)成對(duì)比較陣是一致陣時(shí),與權(quán)向量的關(guān)系滿,那么當(dāng)不是一致陣時(shí)，權(quán)向量的選擇應(yīng)使得與相差盡量小這樣,如果從擬合的角度看確定可以化為如下的最小二乘問(wèn)題： (9)由(9)式得到的最小二乘權(quán)向量一般與特征根法得到的不同因?yàn)?9)式將導(dǎo)致求解關(guān)于的非線性方程組，計(jì)算復(fù)雜，且不能保證得到全局最優(yōu)解,沒(méi)有實(shí)用價(jià)值如果改為對(duì)數(shù)最小二乘問(wèn)題： (10)則化為求解關(guān)于的線性方程組可以驗(yàn)證，如此解得的恰是前面根法計(jì)算的結(jié)果特征根法解決這個(gè)問(wèn)題的途徑可通過(guò)對(duì)定理2的證明看出4 成對(duì)比較陣殘缺時(shí)的處理專家或有關(guān)學(xué)者由于某種原因無(wú)法或不愿對(duì)某兩個(gè)

14、因素給出相互比較的結(jié)果，于是成對(duì)比較陣出現(xiàn)殘缺應(yīng)如何修正,以便繼續(xù)進(jìn)行權(quán)向量的計(jì)算呢？一般地，由殘缺陣構(gòu)造修正陣的方法是令 (11)表示殘缺已經(jīng)證明，可以接受的殘缺陣的充分必要條件是為不可約矩陣(六) 層次分析法的廣泛應(yīng)用層次分析法在正式提出來(lái)之后，由于它在處理復(fù)雜的決策問(wèn)題上的實(shí)用性和有效性，很快就在世界范圍內(nèi)得到普遍的重視和廣泛的應(yīng)用從處理問(wèn)題的類型看，主要是決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等方面 這個(gè)方法在20世紀(jì)80年代初引入我國(guó)，很快為廣大的應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和有關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)人員所接受，得到了成功的應(yīng)用層次分析法在求解某些優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用5 舉例 假設(shè)某人在制定食譜時(shí)有三類食品可供選擇：肉、面包、

15、蔬菜這三類食品所含的營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)如表所示表 肉、面包、蔬菜三類食品所含的營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)食品維生素A/(IU/g)維生素B/(mg/g)熱量/(kJ/g)單價(jià)/（元/g）肉面包蔬菜 0. 該人體重為kg，每天對(duì)各類營(yíng)養(yǎng)的最低需求為：維生素A 國(guó)際單位 (IU)維生素Bmg熱量 RkJ考慮應(yīng)如何制定食譜可使在保證營(yíng)養(yǎng)需求的前提下支出最??？用層次分析法求解最優(yōu)化問(wèn)題可以引入包括偏好等這類因素具體的求解過(guò)程如下： 建立層次結(jié)構(gòu) 每日需求營(yíng)養(yǎng)蔬菜支出維生素肉價(jià)格面包維生素?zé)崃?根據(jù)偏好建立如下兩兩比較判斷矩陣表3 比較判斷矩陣，主特征向量故第二層元素排序總權(quán)重為表4 比較判斷矩陣 ，主特征向量故相對(duì)權(quán)

16、重 第三層組合一致性檢驗(yàn)問(wèn)題因?yàn)?故第三層所有判斷矩陣通過(guò)一致性檢驗(yàn)，從而得到第三層元素維生素A、維生素B、熱量Q及支出的總權(quán)重為：求第四層元素關(guān)于總目標(biāo)的排序權(quán)重向量時(shí)，用到第三層與第四層元素的排序關(guān)系矩陣，可以用原始的營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)的數(shù)據(jù)得到注意到單價(jià)對(duì)人們來(lái)說(shuō)希望最小，因此應(yīng)取各單價(jià)的倒數(shù)，然后歸一化其他營(yíng)養(yǎng)成分的數(shù)據(jù)直接進(jìn)行歸一化計(jì)算，可得表5表5 各營(yíng)養(yǎng)成分?jǐn)?shù)據(jù)的歸一化食品維生素維生素?zé)崃繂蝺r(jià)肉 面包蔬菜則最終的第四層各元素的綜合權(quán)重向量為：，結(jié)果表明，按這個(gè)人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取較為合適引入?yún)?shù)變量，令，代入則得容易求得，故得最優(yōu)解；最優(yōu)值 ，即肉g，面g，蔬菜g，每日的

17、食品費(fèi)用為元總之，對(duì)含有主、客觀因素以及要求與期望是模糊的優(yōu)化問(wèn)題，用層次分析法來(lái)處理比較適用二、模糊數(shù)學(xué)法模糊數(shù)學(xué)是1965年美國(guó)控制論專家 LAZadeh創(chuàng)立的模糊數(shù)學(xué)作為一門(mén)新興學(xué)科，它已初步應(yīng)用于模糊控制、模糊識(shí)別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評(píng)判等各方面在氣象、結(jié)構(gòu)力學(xué)、控制、心理學(xué)方面已有具體的研究成果(一) 模糊數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容第一， 研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系；第二， 研究模糊語(yǔ)言和模糊邏輯，并能作出正確的識(shí)別和判斷；第三， 研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用(二) 模糊數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用的可行性1 數(shù)學(xué)建模的意義在于將數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題6而模糊數(shù)學(xué)作為一種新的理

18、論，本身就有其巨大的應(yīng)用背景，國(guó)內(nèi)外每年都有大量的相關(guān)論文發(fā)表，解決了許多實(shí)際問(wèn)題目前在數(shù)學(xué)建模中較少運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)方法的原因不在于模糊數(shù)學(xué)理論本身有問(wèn)題，而在于最新的研究成果沒(méi)有在第一時(shí)間進(jìn)入數(shù)學(xué)建模的教科書(shū)中，就其理論本身所具有的實(shí)用性的特點(diǎn)而言，模糊數(shù)學(xué)應(yīng)該有助于我們解決建模過(guò)程中的實(shí)際問(wèn)題2 數(shù)學(xué)建模的要求是模型與實(shí)際問(wèn)題盡可能相符對(duì)實(shí)際問(wèn)題有這樣一種分類方式：白色問(wèn)題、灰色問(wèn)題和黑色問(wèn)題毫無(wú)疑問(wèn)，引進(jìn)新的方法對(duì)解決這些問(wèn)題大有裨益在灰色問(wèn)題和黑色問(wèn)題中有很多現(xiàn)象是用“模糊”的自然語(yǔ)言描述的在這種情況下，用模糊的模型也許更符合實(shí)際3 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的目的之一是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神用新理論、新

19、方法解題應(yīng)該受到鼓勵(lì)近年來(lái)，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、層次分析法等新方法建立模型的論文屢有獲獎(jiǎng)，這也說(shuō)明了評(píng)審者對(duì)新方法的重視我們相信，模糊數(shù)學(xué)方法應(yīng)該很好，同樣能夠?qū)懗鰞?yōu)秀的論文(三) 模糊綜合評(píng)判法中的最大隸屬原則有效度在模糊統(tǒng)計(jì)綜合評(píng)判中，如何利用綜合評(píng)判結(jié)果向量,其中， ，為可能出現(xiàn)的評(píng)語(yǔ)個(gè)數(shù)，提供的信息對(duì)被評(píng)判對(duì)象作出所屬等級(jí)的判斷，目前通用的判別原則是最大隸屬原則7在實(shí)際應(yīng)用中很少有人注意到最大隸屬原則的有效性問(wèn)題，在模糊綜合評(píng)判的實(shí)例中最大隸屬原則無(wú)一例外地被到處搬用，然而這個(gè)原則并不是普遍適用的最大隸屬原則有效度的測(cè)量1 有效度指標(biāo)的導(dǎo)出在模糊綜合評(píng)判中，當(dāng)時(shí)，最大隸屬原則最有效；而在 時(shí)

20、，最大隸屬原則完全失效，且越大（相對(duì)于而言），最大隸屬原則也越有效由此可認(rèn)為，最大隸屬原則的有效性與在中的比重有關(guān)，于是令： (12)顯然，當(dāng)時(shí)，則為的最大值，當(dāng), 時(shí)，有為的最小值，即得到的取值范圍為:由于在最大隸屬原則完全失效時(shí)，而不為，所以不宜直接用值來(lái)判斷最大隸屬原則的有效性為此設(shè)： (13)則可在某種程度上測(cè)定最大隸屬原則的有效性而最大隸屬原則的有效性還與（的含義是向量各分量中第二大的分量）的大小有很大關(guān)系，于是我們定義： (14)可見(jiàn)： 當(dāng)時(shí)，取得最大值 當(dāng)時(shí)，取得最小值即的取值范圍為，設(shè)一般地，值越大最大隸屬原則有效程度越高；而值越大，最大隸屬原則的有效程度越低因此，可以定義測(cè)量

21、最大隸屬原則有效度的相對(duì)指標(biāo)： (15)使用指標(biāo)能更準(zhǔn)確地表明實(shí)施最大隸屬原則的有效性2. 指標(biāo)的使用從指標(biāo)的計(jì)算公式看出與成反比，與成正比由與的取值范圍，可以討論的取值范圍：當(dāng)取最大值，取最小值時(shí)，將取得最小值；當(dāng)取最小值，取最大值時(shí)，將取得最大值：因?yàn)?，所以可定義時(shí)，即：由以上討論，可得如下結(jié)論：當(dāng) 時(shí)，可認(rèn)定施行最大隸屬原則完全有效；當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為施行最大隸屬原則非常有效；當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為施行最大隸屬原則比較有效，其有效程度即為值；當(dāng)時(shí)可認(rèn)為施行最大隸屬原則是最低效的；而當(dāng)時(shí)，可認(rèn)定施行最大隸屬原則完全無(wú)效有了測(cè)量最大隸屬原則有效度的指標(biāo)，不僅可以判斷所得可否用最大隸屬原則確定所屬等級(jí)，而且

22、可以說(shuō)明施行最大隸屬原則判斷后的相對(duì)置信程度，即有多大把握認(rèn)定被評(píng)對(duì)象屬于某個(gè)等級(jí)討論a 在很多情況下，可根據(jù)值的大小來(lái)直接判斷使用最大隸屬原則的有效性而不必計(jì)算值根據(jù)與之間的關(guān)系，當(dāng)，且時(shí)，一定存在通常評(píng)價(jià)等級(jí)數(shù)取和之間，所以這一條件往往可以忽略，只要就可免算值，直接認(rèn)定此時(shí)采取最大隸屬原則確定被評(píng)對(duì)象的等級(jí)是很有效的b 如果對(duì)進(jìn)行歸一化處理而得到，則可直接根據(jù)進(jìn)行最大隸屬原則的有效度測(cè)量(四) 模糊數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)有諸多分支，應(yīng)用廣泛如模糊規(guī)劃、模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)、綜合評(píng)判、模糊聚類分析、模糊排序、模糊層次分析等等這些方法在工業(yè)、軍事、管理等諸多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用舉例 帶模糊約束的最小

23、費(fèi)用流問(wèn)題8問(wèn)題的提出 最小費(fèi)用流問(wèn)題的一般提法是：設(shè)是一個(gè)帶出發(fā)點(diǎn)和收點(diǎn)的容量-費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于任意，表示弧上的容量，表示弧上通過(guò)單位流量的費(fèi)用，是給定的非負(fù)數(shù)，問(wèn)怎樣制定運(yùn)輸方案使得從到恰好運(yùn)輸流值為的流且總費(fèi)用最小？如果希望盡可能地節(jié)省時(shí)間并提高道路的通暢程度，問(wèn)運(yùn)輸方案應(yīng)當(dāng)怎樣制定？模型和解法 問(wèn)題可以歸結(jié)為：怎樣制定滿足以下三個(gè)條件的最優(yōu)運(yùn)輸方案？(1)從到運(yùn)送的流的值恰好為；(2)總運(yùn)輸費(fèi)用最小;(3)在容量大的弧 上適當(dāng)多運(yùn)輸如果僅考慮條件(1)和(2)，易寫(xiě)出其數(shù)學(xué)模型為：把條件(3)中的“容量大” 看作上的一個(gè)模糊子集，定義其隸屬函數(shù)：為：其中 （平均容量） 建立是為了量化“適

24、當(dāng)多運(yùn)輸”這一模糊概念對(duì)條件(2)作如下處理：對(duì)容量大的弧，人為地降低運(yùn)價(jià)，形成“虛擬運(yùn)價(jià)”，其中滿足：越大，相應(yīng)的的調(diào)整幅度也越大選取為，其中是正參數(shù)，它反映了條件(2)和條件(3)在決策者心目中的地位決策者越看重條件(3)，取值越小；當(dāng)取值足夠大時(shí)，便可忽略條件(3) 一般情況下，合適的值最好通過(guò)使用一定數(shù)量的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬、檢驗(yàn)和判斷來(lái)決定最后，用代替原模型中的，得到一個(gè)新的模型用現(xiàn)有的方法求解這個(gè)新的規(guī)劃問(wèn)題，可期望得到滿足條件(3)的解 模型的評(píng)價(jià) 此模型在原有的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型和解法的基礎(chǔ)上，增加了模糊約束新模型比較符合實(shí)際，它的解包含了原模型的解，因而它是一個(gè)較為理想的模型隸屬度的

25、確定在模糊數(shù)學(xué)中有多種方法，可以根據(jù)不同的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行調(diào)整同樣的思想方法可以處理其他的模糊約束問(wèn)題三、灰色系統(tǒng)客觀世界的很多實(shí)際問(wèn)題，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征并未全部被人們了解，對(duì)部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)理論是從系統(tǒng)的角度出發(fā)來(lái)研究信息間的關(guān)系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息灰色系統(tǒng)理論包括系統(tǒng)建模、系統(tǒng)預(yù)測(cè)、系統(tǒng)分析等方面(一) 灰色關(guān)聯(lián)分析理論及方法灰色系統(tǒng)理論9中的灰色關(guān)聯(lián)分析法是在不完全的信息中，對(duì)所要分析研究的各因素，通過(guò)一定的數(shù)據(jù)，在隨機(jī)的因素序列間，找出它們的關(guān)聯(lián)性，找到主要特性和主要影響因素計(jì)算方法與步驟：1 原始數(shù)據(jù)初值化變換處理分別

26、用時(shí)間序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)去除后面的原始數(shù)據(jù)，得出新的倍數(shù)列，即初始化數(shù)列，量綱為一，各值均大于零，且數(shù)列有共同的起點(diǎn)2 求關(guān)聯(lián)系數(shù) 3 取分辨系數(shù) 4 求關(guān)聯(lián)度 (二) 灰色預(yù)測(cè)1 灰色預(yù)測(cè)方法的特點(diǎn)(1) 灰色預(yù)測(cè)需要的原始數(shù)據(jù)少，最少只需四個(gè)數(shù)據(jù)即可建模；(2) 灰色模型計(jì)算方法簡(jiǎn)單，適用于計(jì)算機(jī)程序運(yùn)行，可作實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)；(3) 灰色預(yù)測(cè)一般不需要多因素?cái)?shù)據(jù)，而只需要預(yù)測(cè)對(duì)象本身的單因素?cái)?shù)據(jù)，它可以通過(guò)數(shù)據(jù)本身的生成，尋找系統(tǒng)內(nèi)在的規(guī)律；(4) 灰色預(yù)測(cè)既可做短期預(yù)測(cè)，也可做長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，實(shí)踐證明，灰色預(yù)測(cè)精度較高，誤差較小2 灰色預(yù)測(cè)GM(1，1)模型的一點(diǎn)改進(jìn)一些學(xué)者為了提高預(yù)測(cè)精度做出了大量

27、的研究工作，提出了相應(yīng)的方法本文將在改善原始離散序列光滑性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究GM(1，1)預(yù)測(cè)模型的理論缺陷及改進(jìn)方法10問(wèn)題的存在及改進(jìn)方法如下：傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)GM(1，1)模型的一般步驟為：（1）1-ADO：對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加生成序列（2）對(duì)數(shù)列進(jìn)行光滑性檢驗(yàn)：，當(dāng)時(shí)：文獻(xiàn)11進(jìn)一步指出只要 為的遞減函數(shù)即可（3）對(duì)作緊鄰生成：一般取 （16）為灰色微分方程的白化方程（4）按最小二乘法計(jì)算參數(shù)（5）解（16）式并進(jìn)行離散化得模擬序列和的計(jì)算公式： ，其中，其中并假定文獻(xiàn)12,13指出：假定的理由是不充分的，文獻(xiàn)14認(rèn)為應(yīng)當(dāng)以最后一個(gè)為已知條件來(lái)確定微分方程中常數(shù)項(xiàng)的值，理由是最后一

28、個(gè)數(shù)據(jù)是最新的，最能反映實(shí)際情況同時(shí)文獻(xiàn)15又進(jìn)一步提出常數(shù)的確定，由于數(shù)據(jù)序列中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都帶有一定的隨機(jī)誤差和壞數(shù)據(jù)，所以應(yīng)當(dāng)將個(gè)數(shù)據(jù)都分別進(jìn)行計(jì)算來(lái)確定個(gè)不同的，最后選出平均相對(duì)誤差最小的一個(gè)，該方法進(jìn)一步提高了預(yù)測(cè)精度但這兩種方法都有共同的特點(diǎn)，就是常數(shù)都局限于序列來(lái)確定，理論上真正最佳的并不一定要由序列中數(shù)據(jù)來(lái)確定，本文提出一種新的理論方法來(lái)確定較優(yōu)的值分析過(guò)程如下：解微分方程 得 （其中為待定常數(shù)）將上式用差分代替微分進(jìn)行離散化得到： （17）進(jìn)行累減還原得： （18）令并分別帶入（17）（18）可以得出： （19） （20）可以看出都是的函數(shù)平均相對(duì)誤差是衡量預(yù)測(cè)精度的一個(gè)重要

29、指標(biāo)，設(shè)是相對(duì)誤差向量，理想的應(yīng)該滿足充分接近誤差標(biāo)準(zhǔn)量如果將向量看作是維空間中的一個(gè)點(diǎn)的話，那么只需這兩個(gè)點(diǎn)的距離最小即可，于是得 (21)在實(shí)際應(yīng)用中，為了便于計(jì)算也常將第一項(xiàng)忽略掉，則上式可變成 (22)(三) 灰色系統(tǒng)的應(yīng)用灰色系統(tǒng)是一門(mén)處理“少數(shù)據(jù)不確定性”的新興學(xué)科，具有只需少量數(shù)據(jù)就可作系統(tǒng)分析、模型建立、未來(lái)預(yù)測(cè)、行為決策和過(guò)程控制的特點(diǎn)灰色系統(tǒng)在國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值中的應(yīng)用1 建立灰色預(yù)測(cè)模型灰色預(yù)測(cè)15是指以GM(1，1)模型為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)，其建模方法是列出預(yù)測(cè)對(duì)象歷史發(fā)展時(shí)間序列，并對(duì)其進(jìn)行一次迭加得，利用模型，然后對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)表6 年GDP及各產(chǎn)業(yè)增加值（億元） 根據(jù)上述方法及

30、列出的相應(yīng)數(shù)據(jù)，計(jì)算得各指標(biāo)預(yù)測(cè)方程如下：年份GDP第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè)137101（1） GDP預(yù)測(cè)方程為： 由于觀察到殘差較大，故考慮用GM(1，1)模型進(jìn)行殘差修正其殘差序列生成的預(yù)測(cè)模型為：，即修正后的預(yù)測(cè)模型為：其中 利用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)可得預(yù)測(cè)值（2）第一產(chǎn)業(yè)預(yù)測(cè)方程為：由于該模型數(shù)據(jù)殘差較小，故直接采用該模型為預(yù)測(cè)模型同理可得第二、第三產(chǎn)業(yè)預(yù)測(cè)方程2 各指標(biāo)預(yù)測(cè)對(duì)上述預(yù)測(cè)模型進(jìn)行下列關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)，計(jì)算；經(jīng)計(jì)算得，故預(yù)測(cè)模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了較高程度的模擬利用上面預(yù)測(cè)模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，可得各指標(biāo)預(yù)測(cè)值如表7所示：表7 年GDP及各產(chǎn)業(yè)增加值（億元）年份GDP第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三

31、產(chǎn)業(yè)根據(jù)上述預(yù)測(cè)模型可得未來(lái)兩年各相關(guān)數(shù)據(jù)如表8所示. 從預(yù)測(cè)結(jié)果看第二產(chǎn)業(yè)發(fā)展勢(shì)頭良好，未來(lái)兩年將GDP產(chǎn)生較大影響，第一、第三產(chǎn)業(yè)增長(zhǎng)速度相對(duì)落后第二產(chǎn)業(yè)的增長(zhǎng)；由于第三產(chǎn)業(yè)基數(shù)較大，因此也提示我們今后應(yīng)大力發(fā)展第三產(chǎn)業(yè)年份GDP第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè)表8 年GDP及各產(chǎn)業(yè)增加值的預(yù)測(cè)值（億元）3 灰色關(guān)聯(lián)分析關(guān)聯(lián)度是事物之間、因素之間關(guān)聯(lián)性的量度，借助關(guān)聯(lián)度，從而為因素分析提供依據(jù)，為決策提供基礎(chǔ)根據(jù)數(shù)據(jù)，對(duì)各序列作均值化變換：用各序列的平均值除序列的原始數(shù)據(jù)，得新序列（略）；對(duì)新序列，計(jì)算各相關(guān)系數(shù) 其中分辨系數(shù)；采用鄧氏關(guān)聯(lián)度16得各產(chǎn)業(yè)與 GDP的平均灰色關(guān)聯(lián)度：計(jì)算得各相關(guān)系數(shù)如表9所示表9 計(jì)算得各相關(guān)系數(shù)表各產(chǎn)業(yè)與GDP的灰色關(guān)聯(lián)度 關(guān)聯(lián)度由大到小的排列順序?yàn)椋旱谌a(chǎn)業(yè)、第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)；從三個(gè)數(shù)字看大小差異不大，說(shuō)明產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)在不斷優(yōu)化和改善，但三大產(chǎn)業(yè)中沒(méi)有占主要地位的產(chǎn)業(yè)；根據(jù)關(guān)聯(lián)度越大，表示兩個(gè)數(shù)列的關(guān)聯(lián)性越大，比較數(shù)列對(duì)參考數(shù)列的