數(shù)學建模方法詳解-三種最常用算法

1、數(shù)學建模方法詳解-三種最常用算法一、層次分析法層次分析法1 (analytic hierarchy process，AHP)是美國著名的運籌學家TLSaaty教授于20世紀70年代初首先提出的一種定性與定量分析相結(jié)合的多準則決策方法2，3，4該方法是社會、經(jīng)濟系統(tǒng)決策的有效工具，目前在工程計劃、資源分配、方案排序、政策制定、沖突問題、性能評價等方面都有廣泛的應用(一) 層次分析法的基本原理層次分析法的核心問題是排序，包括遞階層次結(jié)構(gòu)原理、測度原理和排序原理5下面分別予以介紹1 遞階層次結(jié)構(gòu)原理一個復雜的結(jié)構(gòu)問題可以分解為它的組成部分或因素，即目標、準則、方案等每一個因素稱為元素按照屬性的不同把

2、這些元素分組形成互不相交的層次，上一層的元素對相鄰的下一層的全部或部分元素起支配作用，形成按層次自上而下的逐層支配關(guān)系具有這種性質(zhì)的層次稱為遞階層次2 測度原理 決策就是要從一組已知的方案中選擇理想方案，而理想方案一般是在一定的準則下通過使效用函數(shù)極大化而產(chǎn)生的然而對于社會、經(jīng)濟系統(tǒng)的決策模型來說，常常難以定量測度因此，層次分析法的核心是決策模型中各因素的測度化3 排序原理0 / 44層次分析法的排序問題，實質(zhì)上是一組元素兩兩比較其重要性，計算元素相對重要性的測度問題(二) 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本思路與人對一個復雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一致的11 成對比較矩陣和權(quán)向量

3、為了能夠盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高結(jié)果的準確度TLSaaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比，二是對比時采用相對尺度假設(shè)要比較某一層個因素對上層一個因素的影響，每次取兩個因素和，用表示和對的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對比較陣 表示，稱為正互反矩陣一般地，如果一個正互反陣滿足： （1）則稱為一致性矩陣，簡稱一致陣容易證明階一致陣有下列性質(zhì)：的秩為1，的唯一非零特征根為；的任一列向量都是對應于特征根的特征向量如果得到的成對比較陣是一致陣，自然應取對應于特征根的、歸一化的特征向量（即分量之和為1）表示諸因素對上層因素的權(quán)重，這個向量稱為權(quán)向量如果成對

4、比較陣不是一致陣，但在不一致的容許范圍內(nèi)，用對應于最大特征根(記作)的特征向量（歸一化后）作為權(quán)向量，即滿足： （2）直觀地看，因為矩陣的特征根和特征向量連續(xù)地依賴于矩陣的元素，所以當離一致性的要求不遠時,的特征根和特征向量也與一致陣的相差不大（2）式表示的方法稱為由成對比較陣求權(quán)向量的特征根法2 比較尺度當比較兩個可能具有不同性質(zhì)的因素和對于一個上層因素的影響時，采用Saaty等人提出的尺度，即的取值范圍是及其互反數(shù) 3 一致性檢驗 成對比較陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對應于特征根的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量，其不一致程度應在容許范圍內(nèi)若已經(jīng)給出階一致陣的特征根是，則階正互反陣的最

5、大特征根，而當時是一致陣所以比大得越多，的不一致程度越嚴重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大因而可以用數(shù)值的大小衡量的不一致程度Saaty將 (3)定義為一致性指標時為一致陣；越大的不一致程度越嚴重注意到的個特征根之和恰好等于，所以相當于除外其余個特征根的平均值為了確定的不一致程度的容許范圍，需要找到衡量的一致性指標的標準，又引入所謂隨機一致性指標，計算的過程是：對于固定的，隨機地構(gòu)造正互反陣，然后計算的一致性指標123456789101100058090112124132141145149151表1 隨機一致性指標的數(shù)值表中時，是因為階的正互反陣總是一致陣 對于的成對比較陣，將它的一致

6、性指標與同階（指相同）的隨機一致性指標之比稱為一致性比率，當 (4)時認為的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量對于利用(3)，(4)式和表1進行檢驗稱為一致性檢驗當檢驗不通過時，要重新進行成對比較，或?qū)σ延械倪M行修正4 組合權(quán)向量由各準則對目標的權(quán)向量和各方案對每一準則的權(quán)向量，計算各方案對目標的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量一般地，若共有層，則第層對第一層（設(shè)只有個因素）的組合權(quán)向量滿足： （5）其中是以第層對第層的權(quán)向量為列向量組成的矩陣于是最下層對最上層的組合權(quán)向量為: （6）5 組合一致性檢驗在應用層次分析法作重大決策時，除了對每個成對比較陣進行一致性檢驗外，還常要進行所謂組合

7、一致性檢驗，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù)組合一致性檢驗可逐層進行如第層的一致性指標為(是第層因素的數(shù)目)，隨機一致性指標為，定義則第層的組合一致性比率為: (7)第層通過組合一致性檢驗的條件為定義最下層(第層)對第一層的組合一致性比率為： (8)對于重大項目，僅當適當?shù)匦r，才認為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗層次分析法的基本步驟歸納如下: (1) 建立層次結(jié)構(gòu)模型 在深入分析實際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用，而同一層的各因素之間盡量相互獨立最上層

8、為目標層，通常只有個因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有個或幾個層次，通常稱為準則或指標層，當準則過多時（比如多于個）應進一步分解出子準則層 (2) 構(gòu)造成對比較陣 從層次結(jié)構(gòu)模型的第層開始，對于從屬于上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和比較尺度構(gòu)造成對比較陣，直到最下層(3) 計算權(quán)向量并做一致性檢驗 對于每一個成對比較陣計算最大特征根及對應特征向量，利用一致性指標，隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，重新構(gòu)造成對比較陣(4) 計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗 利用公式計算最下層對目標的組合權(quán)向量，并酌情作組合一致性檢驗若

9、檢驗通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進行決策，否則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較陣(三) 層次分析法的優(yōu)點1 系統(tǒng)性 層次分析把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具2 實用性 層次分析把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應用范圍很廣同時，這種方法將決策者與決策分析者相互溝通，決策者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可了解層次分析的基本原理和掌握它的基本步驟，計算也非常簡便，且所得結(jié)果簡單明確，容易為決策者了

10、解和掌握(四) 層次分析法的局限性層次分析法的局限性可以用囿舊、粗略、主觀等詞來概括第一，它只能從原有的方案中選優(yōu)，不能生成新方案；第二，它的比較、判斷直到結(jié)果都是粗糙的，不適于精度要求很高的問題；第三，從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人的主觀因素的作用很大，這就使得決策結(jié)果可能難以為眾人接受當然，采取專家群體判斷的方法是克服這個缺點的一種途徑(五) 層次分析法的若干問題層次分析法問世以來不僅得到廣泛的應用而且在理論體系、計算方法等方面都有很大發(fā)展，下面從應用的角度討論幾個問題1 正互反陣最大特征根和對應特征向量的性質(zhì)成對比較陣是正互反陣層次分析法中用對應它的最大特征根的特征向量作為權(quán)向

11、量，用最大特征根定義一致性指標進行一致性檢驗這里人們碰到的問題是：正互反陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指標的大小是否反映它接近一致陣的程度，特別，當一致性指標為零時，它是否就為一致陣下面兩個定理可以回答這些問題定理1 對于正矩陣（的所有元素為正數(shù)）1）的最大特征根是正單根；2）對應正特征向量（的所有分量為正數(shù)）；3），其中，是對應的歸一化特征向量定理2 階正互反陣的最大特征根；當時是一致陣定理2和前面所述的一致陣的性質(zhì)表明,階正互反陣是一致陣的充要條件為 的最大特征根2 正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法眾所周知，用定義計算矩陣的特征根和特征向量是相當困難的，特別是矩陣階數(shù)

12、較高時另一方面，因為成對比較陣是通過定性比較得到的比較粗糙的量化結(jié)果，對它精確計算是不必要的，下面介紹幾種簡單的方法(1) 冪法 步驟如下：a任取維歸一化初始向量b計算c歸一化,即令d對于預先給定的精度,當 時,即為所求的特征向量；否則返回be. 計算最大特征根這是求最大特征根對應特征向量的迭代法,可任選或取下面方法得到的結(jié)果(2) 和法 步驟如下：a. 將的每一列向量歸一化得b對按行求和得c將歸一化即為近似特征向量d. 計算，作為最大特征根的近似值這個方法實際上是將的列向量歸一化后取平均值，作為的特征向量(3) 根法 步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對按行求積并開次方，即根法是將和法中求

13、列向量的算術(shù)平均值改為求幾何平均值3 為什么用成對比較陣的特征向量作為權(quán)向量當成對比較陣是一致陣時,與權(quán)向量的關(guān)系滿,那么當不是一致陣時，權(quán)向量的選擇應使得與相差盡量小這樣,如果從擬合的角度看確定可以化為如下的最小二乘問題： (9)由(9)式得到的最小二乘權(quán)向量一般與特征根法得到的不同因為(9)式將導致求解關(guān)于的非線性方程組，計算復雜，且不能保證得到全局最優(yōu)解,沒有實用價值如果改為對數(shù)最小二乘問題： (10)則化為求解關(guān)于的線性方程組可以驗證，如此解得的恰是前面根法計算的結(jié)果特征根法解決這個問題的途徑可通過對定理2的證明看出4 成對比較陣殘缺時的處理專家或有關(guān)學者由于某種原因無法或不愿對某兩個

14、因素給出相互比較的結(jié)果，于是成對比較陣出現(xiàn)殘缺應如何修正,以便繼續(xù)進行權(quán)向量的計算呢？一般地，由殘缺陣構(gòu)造修正陣的方法是令 (11)表示殘缺已經(jīng)證明，可以接受的殘缺陣的充分必要條件是為不可約矩陣(六) 層次分析法的廣泛應用層次分析法在正式提出來之后，由于它在處理復雜的決策問題上的實用性和有效性，很快就在世界范圍內(nèi)得到普遍的重視和廣泛的應用從處理問題的類型看，主要是決策、評價、分析、預測等方面 這個方法在20世紀80年代初引入我國，很快為廣大的應用數(shù)學工作者和有關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)人員所接受，得到了成功的應用層次分析法在求解某些優(yōu)化問題中的應用5 舉例 假設(shè)某人在制定食譜時有三類食品可供選擇：肉、面包、

15、蔬菜這三類食品所含的營養(yǎng)成分及單價如表所示表 肉、面包、蔬菜三類食品所含的營養(yǎng)成分及單價食品維生素A/(IU/g)維生素B/(mg/g)熱量/(kJ/g)單價/（元/g）肉面包蔬菜 0. 該人體重為kg，每天對各類營養(yǎng)的最低需求為：維生素A 國際單位 (IU)維生素Bmg熱量 RkJ考慮應如何制定食譜可使在保證營養(yǎng)需求的前提下支出最??？用層次分析法求解最優(yōu)化問題可以引入包括偏好等這類因素具體的求解過程如下： 建立層次結(jié)構(gòu) 每日需求營養(yǎng)蔬菜支出維生素肉價格面包維生素熱量 根據(jù)偏好建立如下兩兩比較判斷矩陣表3 比較判斷矩陣，主特征向量故第二層元素排序總權(quán)重為表4 比較判斷矩陣 ，主特征向量故相對權(quán)

16、重 第三層組合一致性檢驗問題因為,故第三層所有判斷矩陣通過一致性檢驗，從而得到第三層元素維生素A、維生素B、熱量Q及支出的總權(quán)重為：求第四層元素關(guān)于總目標的排序權(quán)重向量時，用到第三層與第四層元素的排序關(guān)系矩陣，可以用原始的營養(yǎng)成分及單價的數(shù)據(jù)得到注意到單價對人們來說希望最小，因此應取各單價的倒數(shù)，然后歸一化其他營養(yǎng)成分的數(shù)據(jù)直接進行歸一化計算，可得表5表5 各營養(yǎng)成分數(shù)據(jù)的歸一化食品維生素維生素熱量單價肉 面包蔬菜則最終的第四層各元素的綜合權(quán)重向量為：，結(jié)果表明，按這個人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取較為合適引入?yún)?shù)變量，令，代入則得容易求得，故得最優(yōu)解；最優(yōu)值 ，即肉g，面g，蔬菜g，每日的

17、食品費用為元總之，對含有主、客觀因素以及要求與期望是模糊的優(yōu)化問題，用層次分析法來處理比較適用二、模糊數(shù)學法模糊數(shù)學是1965年美國控制論專家 LAZadeh創(chuàng)立的模糊數(shù)學作為一門新興學科，它已初步應用于模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判等各方面在氣象、結(jié)構(gòu)力學、控制、心理學方面已有具體的研究成果(一) 模糊數(shù)學的研究內(nèi)容第一， 研究模糊數(shù)學的理論，以及它和精確數(shù)學、隨機數(shù)學的關(guān)系；第二， 研究模糊語言和模糊邏輯，并能作出正確的識別和判斷；第三， 研究模糊數(shù)學的應用(二) 模糊數(shù)學在數(shù)學建模中應用的可行性1 數(shù)學建模的意義在于將數(shù)學理論應用于實際問題6而模糊數(shù)學作為一種新的理

18、論，本身就有其巨大的應用背景，國內(nèi)外每年都有大量的相關(guān)論文發(fā)表，解決了許多實際問題目前在數(shù)學建模中較少運用模糊數(shù)學方法的原因不在于模糊數(shù)學理論本身有問題，而在于最新的研究成果沒有在第一時間進入數(shù)學建模的教科書中，就其理論本身所具有的實用性的特點而言，模糊數(shù)學應該有助于我們解決建模過程中的實際問題2 數(shù)學建模的要求是模型與實際問題盡可能相符對實際問題有這樣一種分類方式：白色問題、灰色問題和黑色問題毫無疑問，引進新的方法對解決這些問題大有裨益在灰色問題和黑色問題中有很多現(xiàn)象是用“模糊”的自然語言描述的在這種情況下，用模糊的模型也許更符合實際3 數(shù)學建模活動的目的之一是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神用新理論、新

19、方法解題應該受到鼓勵近年來，用神經(jīng)網(wǎng)絡法、層次分析法等新方法建立模型的論文屢有獲獎，這也說明了評審者對新方法的重視我們相信，模糊數(shù)學方法應該很好，同樣能夠?qū)懗鰞?yōu)秀的論文(三) 模糊綜合評判法中的最大隸屬原則有效度在模糊統(tǒng)計綜合評判中，如何利用綜合評判結(jié)果向量,其中， ，為可能出現(xiàn)的評語個數(shù)，提供的信息對被評判對象作出所屬等級的判斷，目前通用的判別原則是最大隸屬原則7在實際應用中很少有人注意到最大隸屬原則的有效性問題，在模糊綜合評判的實例中最大隸屬原則無一例外地被到處搬用，然而這個原則并不是普遍適用的最大隸屬原則有效度的測量1 有效度指標的導出在模糊綜合評判中，當時，最大隸屬原則最有效；而在 時

20、，最大隸屬原則完全失效，且越大（相對于而言），最大隸屬原則也越有效由此可認為，最大隸屬原則的有效性與在中的比重有關(guān)，于是令： (12)顯然，當時，則為的最大值，當, 時，有為的最小值，即得到的取值范圍為:由于在最大隸屬原則完全失效時，而不為，所以不宜直接用值來判斷最大隸屬原則的有效性為此設(shè)： (13)則可在某種程度上測定最大隸屬原則的有效性而最大隸屬原則的有效性還與（的含義是向量各分量中第二大的分量）的大小有很大關(guān)系，于是我們定義： (14)可見： 當時，取得最大值 當時，取得最小值即的取值范圍為，設(shè)一般地，值越大最大隸屬原則有效程度越高；而值越大，最大隸屬原則的有效程度越低因此，可以定義測量

21、最大隸屬原則有效度的相對指標： (15)使用指標能更準確地表明實施最大隸屬原則的有效性2. 指標的使用從指標的計算公式看出與成反比，與成正比由與的取值范圍，可以討論的取值范圍：當取最大值，取最小值時，將取得最小值；當取最小值，取最大值時，將取得最大值：因為 ，所以可定義時，即：由以上討論，可得如下結(jié)論：當 時，可認定施行最大隸屬原則完全有效；當時，可認為施行最大隸屬原則非常有效；當時，可認為施行最大隸屬原則比較有效，其有效程度即為值；當時可認為施行最大隸屬原則是最低效的；而當時，可認定施行最大隸屬原則完全無效有了測量最大隸屬原則有效度的指標，不僅可以判斷所得可否用最大隸屬原則確定所屬等級，而且

22、可以說明施行最大隸屬原則判斷后的相對置信程度，即有多大把握認定被評對象屬于某個等級討論a 在很多情況下，可根據(jù)值的大小來直接判斷使用最大隸屬原則的有效性而不必計算值根據(jù)與之間的關(guān)系，當，且時，一定存在通常評價等級數(shù)取和之間，所以這一條件往往可以忽略，只要就可免算值，直接認定此時采取最大隸屬原則確定被評對象的等級是很有效的b 如果對進行歸一化處理而得到，則可直接根據(jù)進行最大隸屬原則的有效度測量(四) 模糊數(shù)學在數(shù)學建模中的應用模糊數(shù)學有諸多分支，應用廣泛如模糊規(guī)劃、模糊優(yōu)化設(shè)計、綜合評判、模糊聚類分析、模糊排序、模糊層次分析等等這些方法在工業(yè)、軍事、管理等諸多領(lǐng)域被廣泛應用舉例 帶模糊約束的最小

23、費用流問題8問題的提出 最小費用流問題的一般提法是：設(shè)是一個帶出發(fā)點和收點的容量-費用網(wǎng)絡，對于任意，表示弧上的容量，表示弧上通過單位流量的費用，是給定的非負數(shù)，問怎樣制定運輸方案使得從到恰好運輸流值為的流且總費用最??？如果希望盡可能地節(jié)省時間并提高道路的通暢程度，問運輸方案應當怎樣制定？模型和解法 問題可以歸結(jié)為：怎樣制定滿足以下三個條件的最優(yōu)運輸方案？(1)從到運送的流的值恰好為；(2)總運輸費用最小;(3)在容量大的弧 上適當多運輸如果僅考慮條件(1)和(2)，易寫出其數(shù)學模型為：把條件(3)中的“容量大” 看作上的一個模糊子集，定義其隸屬函數(shù)：為：其中 （平均容量） 建立是為了量化“適

24、當多運輸”這一模糊概念對條件(2)作如下處理：對容量大的弧，人為地降低運價，形成“虛擬運價”，其中滿足：越大，相應的的調(diào)整幅度也越大選取為，其中是正參數(shù)，它反映了條件(2)和條件(3)在決策者心目中的地位決策者越看重條件(3)，取值越??；當取值足夠大時，便可忽略條件(3) 一般情況下，合適的值最好通過使用一定數(shù)量的實際數(shù)據(jù)進行模擬、檢驗和判斷來決定最后，用代替原模型中的，得到一個新的模型用現(xiàn)有的方法求解這個新的規(guī)劃問題，可期望得到滿足條件(3)的解 模型的評價 此模型在原有的數(shù)學規(guī)劃模型和解法的基礎(chǔ)上，增加了模糊約束新模型比較符合實際，它的解包含了原模型的解，因而它是一個較為理想的模型隸屬度的

25、確定在模糊數(shù)學中有多種方法，可以根據(jù)不同的實際問題進行調(diào)整同樣的思想方法可以處理其他的模糊約束問題三、灰色系統(tǒng)客觀世界的很多實際問題，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征并未全部被人們了解，對部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)理論是從系統(tǒng)的角度出發(fā)來研究信息間的關(guān)系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息灰色系統(tǒng)理論包括系統(tǒng)建模、系統(tǒng)預測、系統(tǒng)分析等方面(一) 灰色關(guān)聯(lián)分析理論及方法灰色系統(tǒng)理論9中的灰色關(guān)聯(lián)分析法是在不完全的信息中，對所要分析研究的各因素，通過一定的數(shù)據(jù)，在隨機的因素序列間，找出它們的關(guān)聯(lián)性，找到主要特性和主要影響因素計算方法與步驟：1 原始數(shù)據(jù)初值化變換處理分別

26、用時間序列的第一個數(shù)據(jù)去除后面的原始數(shù)據(jù)，得出新的倍數(shù)列，即初始化數(shù)列，量綱為一，各值均大于零，且數(shù)列有共同的起點2 求關(guān)聯(lián)系數(shù) 3 取分辨系數(shù) 4 求關(guān)聯(lián)度 (二) 灰色預測1 灰色預測方法的特點(1) 灰色預測需要的原始數(shù)據(jù)少，最少只需四個數(shù)據(jù)即可建模；(2) 灰色模型計算方法簡單，適用于計算機程序運行，可作實時預測；(3) 灰色預測一般不需要多因素數(shù)據(jù)，而只需要預測對象本身的單因素數(shù)據(jù)，它可以通過數(shù)據(jù)本身的生成，尋找系統(tǒng)內(nèi)在的規(guī)律；(4) 灰色預測既可做短期預測，也可做長期預測，實踐證明，灰色預測精度較高，誤差較小2 灰色預測GM(1，1)模型的一點改進一些學者為了提高預測精度做出了大量

27、的研究工作，提出了相應的方法本文將在改善原始離散序列光滑性的基礎(chǔ)上，進一步研究GM(1，1)預測模型的理論缺陷及改進方法10問題的存在及改進方法如下：傳統(tǒng)灰色預測GM(1，1)模型的一般步驟為：（1）1-ADO：對原始數(shù)據(jù)序列進行一次累加生成序列（2）對數(shù)列進行光滑性檢驗：，當時：文獻11進一步指出只要 為的遞減函數(shù)即可（3）對作緊鄰生成：一般取 （16）為灰色微分方程的白化方程（4）按最小二乘法計算參數(shù)（5）解（16）式并進行離散化得模擬序列和的計算公式： ，其中，其中并假定文獻12,13指出：假定的理由是不充分的，文獻14認為應當以最后一個為已知條件來確定微分方程中常數(shù)項的值，理由是最后一

28、個數(shù)據(jù)是最新的，最能反映實際情況同時文獻15又進一步提出常數(shù)的確定，由于數(shù)據(jù)序列中的每一個數(shù)據(jù)都帶有一定的隨機誤差和壞數(shù)據(jù)，所以應當將個數(shù)據(jù)都分別進行計算來確定個不同的，最后選出平均相對誤差最小的一個，該方法進一步提高了預測精度但這兩種方法都有共同的特點，就是常數(shù)都局限于序列來確定，理論上真正最佳的并不一定要由序列中數(shù)據(jù)來確定，本文提出一種新的理論方法來確定較優(yōu)的值分析過程如下：解微分方程 得 （其中為待定常數(shù)）將上式用差分代替微分進行離散化得到： （17）進行累減還原得： （18）令并分別帶入（17）（18）可以得出： （19） （20）可以看出都是的函數(shù)平均相對誤差是衡量預測精度的一個重要

29、指標，設(shè)是相對誤差向量，理想的應該滿足充分接近誤差標準量如果將向量看作是維空間中的一個點的話，那么只需這兩個點的距離最小即可，于是得 (21)在實際應用中，為了便于計算也常將第一項忽略掉，則上式可變成 (22)(三) 灰色系統(tǒng)的應用灰色系統(tǒng)是一門處理“少數(shù)據(jù)不確定性”的新興學科，具有只需少量數(shù)據(jù)就可作系統(tǒng)分析、模型建立、未來預測、行為決策和過程控制的特點灰色系統(tǒng)在國內(nèi)生產(chǎn)總值中的應用1 建立灰色預測模型灰色預測15是指以GM(1，1)模型為基礎(chǔ)的預測，其建模方法是列出預測對象歷史發(fā)展時間序列，并對其進行一次迭加得，利用模型，然后對模型進行檢驗表6 年GDP及各產(chǎn)業(yè)增加值（億元） 根據(jù)上述方法及

30、列出的相應數(shù)據(jù)，計算得各指標預測方程如下：年份GDP第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè)137101（1） GDP預測方程為： 由于觀察到殘差較大，故考慮用GM(1，1)模型進行殘差修正其殘差序列生成的預測模型為：，即修正后的預測模型為：其中 利用該模型進行預測可得預測值（2）第一產(chǎn)業(yè)預測方程為：由于該模型數(shù)據(jù)殘差較小，故直接采用該模型為預測模型同理可得第二、第三產(chǎn)業(yè)預測方程2 各指標預測對上述預測模型進行下列關(guān)聯(lián)性檢驗，計算；經(jīng)計算得，故預測模型對歷史數(shù)據(jù)進行了較高程度的模擬利用上面預測模型對歷史數(shù)據(jù)進行模擬，可得各指標預測值如表7所示：表7 年GDP及各產(chǎn)業(yè)增加值（億元）年份GDP第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三

31、產(chǎn)業(yè)根據(jù)上述預測模型可得未來兩年各相關(guān)數(shù)據(jù)如表8所示. 從預測結(jié)果看第二產(chǎn)業(yè)發(fā)展勢頭良好，未來兩年將GDP產(chǎn)生較大影響，第一、第三產(chǎn)業(yè)增長速度相對落后第二產(chǎn)業(yè)的增長；由于第三產(chǎn)業(yè)基數(shù)較大，因此也提示我們今后應大力發(fā)展第三產(chǎn)業(yè)年份GDP第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè)表8 年GDP及各產(chǎn)業(yè)增加值的預測值（億元）3 灰色關(guān)聯(lián)分析關(guān)聯(lián)度是事物之間、因素之間關(guān)聯(lián)性的量度，借助關(guān)聯(lián)度，從而為因素分析提供依據(jù)，為決策提供基礎(chǔ)根據(jù)數(shù)據(jù)，對各序列作均值化變換：用各序列的平均值除序列的原始數(shù)據(jù)，得新序列（略）；對新序列，計算各相關(guān)系數(shù) 其中分辨系數(shù)；采用鄧氏關(guān)聯(lián)度16得各產(chǎn)業(yè)與 GDP的平均灰色關(guān)聯(lián)度：計算得各相關(guān)系數(shù)如表9所示表9 計算得各相關(guān)系數(shù)表各產(chǎn)業(yè)與GDP的灰色關(guān)聯(lián)度 關(guān)聯(lián)度由大到小的排列順序為：第三產(chǎn)業(yè)、第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)；從三個數(shù)字看大小差異不大，說明產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)在不斷優(yōu)化和改善，但三大產(chǎn)業(yè)中沒有占主要地位的產(chǎn)業(yè)；根據(jù)關(guān)聯(lián)度越大，表示兩個數(shù)列的關(guān)聯(lián)性越大，比較數(shù)列對參考數(shù)列的