選修2-1第三章空間向量知識(shí)點(diǎn)及例題

1、選修2-1第三章空間向量知識(shí)點(diǎn)及例題空間向量及應(yīng)用1、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，不共面，則對(duì)空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得2、三個(gè)向量，不共面，則所有空間向量組成的集合是這個(gè)集合可看作是由向量，生成的，稱為空間的一個(gè)基底，稱為基向量空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底3、設(shè)，則 若、為非零向量，則若，則，則4、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來(lái)表示向量稱為點(diǎn)的位置向量5、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量。6、平面的法向量：（1）定義：直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量（

2、2）求法：設(shè)出平面的法向量為找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)，根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組解方程組，取其中的一個(gè)解作為法向量，由于一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，故可在方程組解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量。例1、在正方體中，棱長(zhǎng)為1，G、E、F分別是的中點(diǎn)，求平面GEF的一個(gè)法向量。7、利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題（1）利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的步驟：建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；通過(guò)向量的運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角問(wèn)題；把向量的運(yùn)算結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何意義。（2）利用空

3、間向量表示立體幾何的平行、垂直設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則 線線平行：； 線面平行：面面平行： 線線垂直： 線面垂直：面面垂直：例2、根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的線面的位置關(guān)系：（1） 直線的方向向量分別為；（2） 平面的法向量分別為例3、如圖所示，在中，M、N分別是的中點(diǎn)，求證：例4、如圖所示，在中，求證：例5、如圖所示，在中，E、F分別是的中點(diǎn)，求證：6、用空間向量求空間的角（1）兩條異面直線所成的角定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線aa，bb，則把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。范圍：異面直線所成的角的范圍： 向量求法：a

4、,b的方向向量分別為，它們的夾角為例6、直三棱柱A1B1C1ABC，BCA=90，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A B C D解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1則A（1，0，0），F(xiàn)1（，0，1），B（0，1，0），D1（，1）即 =（，0，1）， =（， ，1）cos=（2）直線和平面所成角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0角范圍：直線和平面所成角范圍： 0，向量求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所

5、成的角為，與的夾角為，則有例7、在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線CE與平面BCD成的角解：如圖建立以三角形BCD的中心O為原點(diǎn)，,OD,OA依次為y軸，z 軸X軸平行于BC。設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，則 E為AD的中點(diǎn)， 又因?yàn)槠矫鍮CD的法向量為，即CE與平面BCD成的角滿足： （3）二面角二面角的取值范圍是0，向量求法：設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角為，則例8、如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCBB11，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角EBDC的正切值解法一：ABCDA1B1C1D1是長(zhǎng)方體，

6、作EF面BCD，而E為的中點(diǎn)，則F為CD的中點(diǎn)，過(guò)F作FMBD交BD于M，連EM，由三垂線定理知EMBD，EMF就是二面角EBDC的平面角， 又AB2，BB1BC1，EF1， FM1 tanEMF解法二：如圖，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，,由平面DBE的一個(gè)法向量為又因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為二面角EBDC的余弦值為：練習(xí)：已知單位正方體，E、F分別是棱的中點(diǎn)，試求：（1）與EF所成角的大小；（2）AF與平面所成角的余弦值；（3）二面角所成角的正切值。8、用向量法求空間距離：空間中點(diǎn)到面、線到面、面到面的距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離（1）點(diǎn)到平面距離的求法：如圖，垂足為O，則點(diǎn)B到平面的距離就是BO的長(zhǎng)度，若AB是平面的任一條斜線段，則在中，如果令平面的法向量為，考慮到法向量的方向，可以得到點(diǎn)B到平面的距離為：（2）求一個(gè)點(diǎn)到平面的距離的步驟：求出該平面的一個(gè)法向量；找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即