長度重量的數學本質概念

1、長度重量的數學本質概念 第八組 建民、宜穎、曉婷一、長度數學結構(一)長度的定義：長度係直線段所具有的唯一屬性。直線段的經驗來自視覺與觸覺。由於人工物多具筆直的邊緣，因此兒童對於直線段應不陌生。直線段和另一直線段可以任意相疊。相疊後可以將直線的兩端任意延長，並在上面來回移動。此一事實構成直線段直接比較的基礎，將兩直線段的一端疊合，檢查另一端點的位置，就可以比較長短。 (二)長度的種類1. 有時長度係指平面上兩平行線之間的距離，或空間中兩平行面之間的距離。此時的長度描述立體實物在某一方向延展的範圍。在日常語言裡，如身高（高矮）、厚度（厚?。挾龋▽捳?、口徑（粗細）均屬此類。這類長度在測量時，

2、我們自行加入的輔助直線段一定要垂直於平行線或平行面。例如：在測身高時，人要站直，讓長棒的平面頂住頭頂。這個平面與兩足站立的平面平行。此二平行面之間的距離標示在支持長棒的鐵桿（或木桿）上，即為身高。所以把鉛筆垂直立於桌面上，靠近平放的書本，在鉛筆上做出書本厚度的記號。這枝鉛筆就是自行加入的輔助直線段。我們不會把書本拿起，靜止於空中，在把鉛筆靠近書本，然後對學生說，一定要這樣擺垂直於書面才能正確的定出厚度的記號。2.曲線的長度一定要拉直以後才能加以測量。但曲線物本身是不能拉直的。原先設計課程，我們嘗試以線團和彎曲的鐵絲作為曲線的具體代表。但是，我們考慮到將鐵絲拉直時，已不是彎曲的鐵絲，因為一上學生

3、並不完全具備長度守恆的概念，所以改用繩子複製長度的方式來說明拉直後再量的概念。如：用繩子複製水桶的手把及水壺背帶的長，然後再將繩子拉直。小學生做長度測量的標準方式是用刻有公分直尺去與欲測物做直接比較後，讀取尺上的刻度，所以我們用刻有公分的直尺來描述兩項數學特性：1)是標示在直線段上的一連串刻度（數線）。2)是某一個別單位的並排。在一上先讓兒童經驗刻度，在一下再讓兒童經驗第2項。(三)度量單位1.十進位度量衡制的命名系統按照中央標準局的理想，是希望把公尺定為基本名稱，其他的單位在公尺以上，為十、百、千、萬、十萬、（公尺），公尺以下為分、厘、毫、絲、忽微、分微、厘微、毫微、微微、（公尺）。中共也是

4、採行此一原則，但是公尺用米代替。因此有下列對照：英文縮寫Kmmcmmm臺灣舊稱公里公尺公分公厘臺灣新稱千公尺公尺厘（公）尺毫（公）尺大陸千米米厘米毫米因為公分、公里極為常用，且未聞有任何更改的呼聲，包括中央標準局在內。所以我們課本仍用公分、公里。公厘會與公里在讀音上相混，而且日常不太用。所以我們按照中央標準局給國立編譯館的建議，試驗將毫尺放入課程中代替公厘。2.公分尺的結構（一階單位）公分刻度尺是一階單位尺的結構，它們的特點是：（1）刻度均在一條直線上，自0向右。（2）相鄰兩刻劃之間的長度均相等，即為這把尺的使用單位。（3）刻劃上所標示旳數字，顯示從零刻度至該刻度之間所含的單位數。毫尺的引入亦

5、可以模仿公分刻度尺的方式，特別印製毫尺刻度尺，如此150毫尺長不過是15公分長。毫尺刻度尺雖非兒童日常所見，確有令兒童注意到單位不同所造成的效果。本課程最後沒有採用此舉，而將毫尺的引入做為測量1公分以下的長的單位。3.普通的公分尺的結構（二階單位）在一把普通的公分尺上，數字僅與公分單位有關，毫尺單位僅有刻劃而無數字。通?？虅潟约釉O計,使計數容易些，如將5毫尺畫長一些，或將2、4、6、8毫尺畫得比1、3、5、7、9毫尺的刻劃長些。對三年級兒童來說，將普通公分尺視為以毫尺為基本單位，分公尺為其10倍單位，兩單位並存的尺是較容易的，而非以公分為基本單位，1毫尺為其十分之一長的單位，到三下時，我們將

6、以普通公分尺的結構檢視，導入公分毫尺間的換算。(四)量長度 1.數線或直線坐標系在一條向左右任意延伸的直線上選取一點，當做原點。並以數字標示其位置。另外選取一定長l為單位。直線上任意點A到原點的長，可以決定為l的X倍。若A點在之左側，則A之坐標為X，右側，則為X。如此一來，直線上的任何一點，恰與某一實數對應，這就是直線坐標系，簡稱數線。一階單位尺和數線的結構不同之處有二：第一，它只有整數坐標。第二，它沒有和負整數對應的部份公路或鐵路沿線標示位置和距離的方式，就像一把二階單位尺。在起點處標示，每隔1公里有一個表示至此處的公里數的標示，中間每隔100公尺，有一個很不起眼的1至9的標示，在教學時，若

7、教師能設法提醒學生在旅行時稍加注意，對學生公里、公尺的換算有很大的助益。(五)算式1. 長度與加減算式本課程引入加減算式的設計，是把它視為離散物，如：鳥、花片等的添加，拿走故事情境題的解題活動的紀錄。以長度描述連續(xù)物件的添（併）加，拿走，若要用加減算式加以描述的話，兒童必須有將連續(xù)量加以離散化的活動較符合本課程的精神。此一聯結活動是以1公分長的白色積木的併排來進行的。兒童必須能說出類似4公分就是4個1公分的話。(有關長度的量化可參閱第三冊指引。)2. 線段圖和算式（圖解算術）傳統的圖解算術，係指運用線段圖來表徵文字題中，已知數據與未知量之間的關係，由此尋出求未知量所需的運算步驟。在運用時，若要

8、表達各量之間的比例關係，則各對應線段的長度之間必須顯示相等的比例，但是在表達加減關係時，各對應線段的長度只要表示出較多或較少的關係即可，大小比例可以忽略?；蛘吒‘數卣f，線段長短和數據之間的比例關係的遵守程度依問題的需要而定。例如，某數的加2等於20，求某數，可以用下示線段圖表示：220這裏的2和20的長度並未遵守1:10，也可以接受，但是的部分則須準確些，但是少許誤差也可以忍受。用×220亦可記錄上述文字題，並達到解題的目的。兩者相比，圖解算術未必簡單。認知結構新課程中長度的低年級課程設計，注重兒童認知發(fā)展的次序。從假定兒童已知道什麼是長做教學起點，經歷複製、直接比較、間接比較、物

9、長的累積物描述、公分尺的使用與累積結構、及公尺大尺的使用與累積結構等教學活動，最後預期兒童獲得長度的保留概念，以及使用公分尺和公尺大尺做實測的能力，和初步的估測能力。然而直線和直線段畢竟是個抽象的幾何概念，我們必須確認兒童具備部分的直線段概念，因此設計將直線段從具體物上加以抽取的活動。例如：在紙上以線段表示鉛筆的長，用繩子複製課本和盒子的邊長等。許多較細膩的測量活動，必須考慮兒童手眼協調發(fā)展的水平配合問題，可以達成目標的示範，常需要他們模仿著做。但是如果只是想做給他們看，則由於兒童的注意力被分散，而和我們教師要求的焦點發(fā)生誤差，這時便會失效。一個很有意思的例子是飛機艙內有關救生衣的使用示範。雖

10、然空服員向各位旅客示範救生衣的使用方法，但遇真正需要使用時刻時，仍有眾多旅客不知如何使用，一來是因為空服員講解時旅客沒有注意聽，二來無實際操作經驗，難免知行無法合一。直接比較直線長時，一端先對齊，再比較另一端的規(guī)定，在此時的教學特別重要。兒童可以接受這兩種兩段式的測量程序。觀察兩個端點的差距出入，再加以綜合比較；即使差距極為明顯，並非此時期兒童的能力所及。這是思考的周延發(fā)展的現象。由於學生對於垂直平行僅據視覺和身體的運動覺經驗，而在量平面上兩平行線之間的距離，或空間中兩平行面之間的距離的長度時，此時的長度是描述立體實物在某一方向延展的範圍；此類經驗又侷限於和某一日?？梢姷臉藴势叫谢虼怪钡那榫?，

11、例如：地面、水平面、桌子、長方形紙張或相對於自己身體的方向。如在地面上畫一直線讓學生畫出另一條直線平行於該線，此時學生通常會將身體正面調整至與你畫的直線平行，才會畫出另一條平行線。因此我們在量取此類長度時，要盡量與日常生活情境相容。幾乎所有正常兒童都能分辨長的例子和非例子。因此不需要在那裡有長的討論上花太多時間。倒是有些兒童的例子相當有深度，例如：操場跑道的長。遇到這類例子時，教師可以記錄下來，做為日後的發(fā)展之用。在第五冊第二單元量長度是以口頭描述操作程序。直接比較用尺量出長度都有一定的操作程序。本階段的兒童被詢以怎麼做的先做什麼，再做什麼時，應該可以把用尺量一物件，分解為三個步驟加以描述。令

12、兒童發(fā)展以口頭描述操作程序的能力，對今日技術漸趨複雜的社會，愈來愈重要。例如穿救生衣，開安全門，都至少有兩、三個步驟，而且還常包括實施其中一步驟的條件，例如在艙內不可將救生衣充氣，以免妨礙行動等。在長度與線段圖表徵上，線段圖表徵應分成三個階段：1.實際表徵：畫出真實的長，因此兒童在簿子上無法表示：3公尺5公尺8公尺。2.呈現比例的表徵：任取一線段l表徵1公尺，而以l長的X倍，表徵X公尺，開始時，可以由老師來約定，例如說，讓我們用5毫尺來表示1公尺，但是對不同問題，老師要注意偶然換個比例，最好是針對不同問題的需要。最後，讓兒童自己去決定。3.可以忽略比例的示意表徵：此時兒童知道可以不按比例來呈現

13、關係，只要不妨礙尋找解題所需要的運算或轉換。此時已超過小學程度了。皮亞傑(Piaget)的認知發(fā)展理論認為人類認知發(fā)展由出生到成年分為下面四個階段：認知發(fā)展期年齡特徵感覺動作期(Sensorimotor stage)02歲Ø 憑感覺與動作發(fā)揮基模的功能Ø 由本能性的反射動作到目的性的活動Ø 對物體認識具有物體恆存性的概念前運思期(preoperational stage)27歲Ø 自我為中心Ø 做簡單的歸類Ø 用語言表示概念Ø 喜歡做想像的遊戲具體運思期(concrete operational stage)711歲

14、6; 去除自我中心化Ø 有守恆的觀念Ø 具有可逆性的觀念Ø 具邏輯思考能力形式運思期(formal operational stage)12歲以上Ø 抽像思考的能力Ø 能按假設驗證的科學法則解決問題教學注意事項1.強調兒童的同儕討論師生討論教師指導。因此在實施中，儘量以兒童討論的形式寫出。但是在評量重點中，強調兒童的討論必須包含某些關鍵性的語詞，或有效操作的描述。2.倘若有學生將尺翻轉，量報紙的長時，其情形和用幾把尺的全長來連接，所產生的錯誤是相同的，故其合理性討論，可仿實施篇中為之。3.本單元的目標著重長的分解合成問題和算式及線段圖的連結。教

15、師必須令兒童在解說中強調n公分就是n個1公分的併排的長。在畫線段圖時，實長不要畫得太離譜，且不準以比例縮小的方式來畫。4.讓學童複製測量有不可避免的誤差！不論畫的或擺的，可能不夠直；剪的可能稍長或稍短，教師應根據兒童努力的情形判斷是否接受，而非根據結果來判斷。同長複製時，更有要嘛長些，不然就短些的遺憾。我們這裡是採取避讓不出現的方式。5.在長度比較的結果接近時，我們可以用兩人的身高差不多，兩枝鉛筆可以看做（當做）一樣長等來描述。對於小朋友因為笨拙引起的不準確也不預備做嚴格矯正。但是在兒童理解的範圍內，我們可以透過示範來顯示一些減少誤差的程序。例如在複製水桶的手把時，可以用細線或白膠暫時將繩子緊

16、密的固定在把手上；或者，在比較兩人的身高時要儘量靠僅站直等。6.公厘會與公里在讀音上相混，而且日常不太用。所以我們按照中央標準局給國立編譯館的建議，試驗將毫尺放入課程中代替公厘。我們建議老師採行下述二原則：（1）在上課中，老師儘量說毫尺。（2）學生若使用公厘，老師說，那是老一輩的人如父母親們用的稱呼，所以也可以用。但是希望我們上課時用毫尺來稱呼。因為僅僅是稱呼的差異，所以相信教學上沒有問題。二、重量本質概念二年級下學期第三單元：可以裝多少水，是兒童在小學階段首次接觸重量、容量和液量的單元，其中有關重量教材係以手掂兩物件重與該兩物件置於天秤上的現象聯結為主；所以兒童在三年級時對兩物件可藉手掂或天

17、平比出輕重，已有概念。有關物件利用手掂、天秤和秤表現重量的三種類型，在教學時共有六種關係要安排，即1.由手掂感覺到天秤現象。2.由天秤現象到手掂感覺。3.由手掂感覺到秤面現象。4.由秤面現象到手掂感覺。5.由天平現象到秤面現象，及6.由秤面現象到天秤現象；其中由手掂感覺到天秤現象就是二年下學期重量教材的主要內容，而由天秤現象到手掂感覺的重量教學，則是三年級的內容。三年級部分以手掂物件感覺到稱面現象的重量教材為主，而且只能進行以50公克為計讀單位的報讀活動。數學結構1.重量為一種感官量：重量屬於實物本身具有的性質，是一種感官量，它可藉由提、拿、掂等人體動作來判斷，不同於時間是藉由時鐘所比對、測得

18、的工具量。重量除了真實存在於實物本身，並可以藉由天秤、秤等工具來測量。2.秤的刻度結構：將物件置於彈簧秤上，可就指針所指刻度報讀物重。然而一般的秤都有其秤重上限，且彈簧秤上的刻度為一數線結構，並利用此數線結構來表示物件的等比例重量。因此，一公斤秤和三公斤秤的秤面刻度結構就會有不同的顯示方式。0 1公斤秤的刻度結構 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 g 3公斤秤的刻度結構 500g 1kg 1.5kg 2kg 2.5kg 3kg 兒童此時尚無數線結構的概念，所以仍以指針所比對刻度位置直接報讀，不需要求學生理解每個小格所代表的單位量。3.以50

19、公克為物重的計讀單位：不能利用數線結構及累進觀點教學，所以配合手掂100公克物，置於1公斤秤上，就指針所指位置，認識秤面上100公克刻度，且知物重是100公克，等等。並只要以50公克與50公克的進位為重量的計讀單位即可，例如50公克、100公克、150公克、200公克等等，而且不要使用如每50公克等，以免涉及累進用語。使用方式上如下：如秤面顯示物重220公克，教學時只須以50公克為物重的計讀單位，其顯示方法為：（1）大約重200公克或大約重250公克。（2）比200公克多一點點。（3）比250公克少一點點。（4）200公克250公克之間。認知結構1.皮亞傑(Jean Piaget)重量保留概念

20、：具有重量保留概念的兒童，他們可以知道物質經過變形或分割後，其重量和原來的一樣。兒童大約在912歲發(fā)展重量保留概念。兒童對重量保留概念的認知特點：a. 重量保留概念與時間因素：兒童此時已知道重量和物件有關，而且同 一物件你秤的、我秤的、今天秤的、明天秤的都一樣重。b.重量保留概念與物件的變形：兒童此時不一定能接受物質變形前後或置放方式不同，而認為該物件重量沒有改變。c.重量保留概念與物件的分割：兒童此時幾乎不可能接受物質分割前後，該物件重量不會改變的情形。d.重量的遞移性：兒童此時也不一定能認為甲物和乙物在秤面上的刻度一樣，而一樣重；或是甲物和乙物一樣重、乙物和丙物一樣重，就表示甲物和丙物一樣

21、重的概念。2.加強用手掂物重和秤面現象的聯結：以手掂物件重量感覺，再將物件置於秤上，觀察秤面上指針所指刻度，並能以50公克為計讀單位報讀物重，所以兒童僅需有初步量感對照刻度的經驗，尚無能力就一物件說出大概有多重，或就某一刻度掂出物重。3.進行報讀活動而非實測活動：此時利用彈簧秤等工具來秤物件重量，以50公克為計讀單位來行報讀活動，尚不需實施以公克為單位的測量實際物件重的活動。4.不使用電子秤：電子秤乃顯示物件重多少公斤或多少公克，但兒童尚無量感且不知公斤和公克二階單位間的關係，所以此時不要用電子秤。5.物體所佔空間與重量不一定成比例：物體的質量、體積和密度三者之間有密切的關係，意即質量除以體積等於密度。質量在牛頓力學中，是指物體慣性的大小，不受外力影響，而重量是地心引力施予物體力的大?。毁|量不變，重量與物體的密度有關，且與質量有正比關係；所以，同一物件的重量在同一地心引力下，有其絕對的觀點，不同於力量是相對的觀點。在小學階段，不涉及質量