2015年挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題第八版

1、目 錄第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2013年上海市中考第24題例2 2012年蘇州市中考第29題例3 2012年黃岡市中考第25題例4 2010年義烏市中考第24題例5 2009年臨沂市中考第26題例6 2008年蘇州市中考第29題1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題例2 2012年揚州市中考第27題例3 2012年臨沂市中考第26題例4 2011年湖州市中考第24題例5 2011年鹽城市中考第28題例6 2010年南通市中考第27題例7 2009年江西省中考第25題1.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1

2、 2013年山西省中考第26題例2 2012年廣州市中考第24題例3 2012年杭州市中考第22題例4 2011年浙江省中考第23題例5 2010年北京市中考第24題例6 2009年嘉興市中考第24題例7 2008年河南省中考第23題1.4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題例2 2012年福州市中考第21題例3 2012年煙臺市中考第26題例4 2011年上海市中考第24題例5 2011年江西省中考第24題例6 2010年山西省中考第26題例7 2009年江西省中考第24題1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題例1 2012年上海市松江中考模擬第24題例2 2012

3、年衢州市中考第24題 例4 2011年義烏市中考第24題例5 2010年杭州市中考第24題例7 2009年廣州市中考第25題1.6 因動點產(chǎn)生的面積問題例1 2013年蘇州市中考第29題例2 2012年菏澤市中考第21題例3 2012年河南省中考第23題例4 2011年南通市中考第28題例5 2010年廣州市中考第25題例6 2010年揚州市中考第28題例7 2009年蘭州市中考第29題1.7 因動點產(chǎn)生的相切問題例1 2013年上海市楊浦區(qū)中考模擬第25題例2 2012年河北省中考第25題 例3 2012年無錫市中考第28題1.8 因動點產(chǎn)生的線段和差問題例1 2013年天津市中考第25題例

4、2 2012年濱州市中考第24題例3 2012年山西省中考第26題第二部分 圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題2.1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例1 2013年寧波市中考第26題例2 2012年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例3 2012年連云港市中考第26題例4 2010年上海市中考第25題2.2 由面積公式產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例1 2013年菏澤市中考第21題例2 2012年廣東省中考第22題 例3 2012年河北省中考第26題 例4 2011年淮安市中考第28題例5 2011年山西省中考第26題例6 2011年重慶市中考第26題第三部分圖形運動中的計算說理問題3.1 代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問

5、題例1 2013年南京市中考第26題例2 2013年南昌市中考第25題3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題例1 2013年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題例2 2013年江西省中考第24題聲 明選自東師范大學(xué)出版社出版的挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題（含光盤）一書。該書收錄當(dāng)年全國各地具有代表性的中考數(shù)學(xué)壓軸題， 并把它們分為4部分、24小類。該書最大的特色是用幾何畫板和超級畫板做成電腦課件，并為每一題錄制了視頻講解，讓你在動態(tài)中體驗壓軸題的變與不變，獲得清晰的解題思路，完成滿分解答，拓展思維訓(xùn)練。挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題自出版以來廣受讀者歡迎，被評為優(yōu)秀暢銷圖書,成為“中考壓軸題”類第一暢銷圖書。在上海、北京

6、、江蘇、浙江等省市的名牌初中的畢業(yè)班學(xué)生中，幾乎人手一本，成為沖刺名牌高中必備用書。由于格式問題，該書最具特色的電腦課件和視頻文件在此無法一并附上，敬請原諒。第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為M的拋物線yax2bx（a0）經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AOBO2，AOB120°（1）求這條拋物線的表達式；（2）連結(jié)OM，求AOM的大小；（3）如果點C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點C的坐標(biāo)圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到

7、，點C在點B的右側(cè)，有兩種情況，ABC與AOM相似請打開超級畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側(cè)，有兩種情況，ABC與AOM相似點擊按鈕的左部和中部，可到達相似的準(zhǔn)確位置。思路點撥1第（2）題把求AOM的大小，轉(zhuǎn)化為求BOM的大小2因為BOMABO30°，因此點C在點B的右側(cè)時，恰好有ABCAOM3根據(jù)夾角相等對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論ABC與AOM相似滿分解答（1）如圖2，過點A作AHy軸，垂足為H在RtAOH中，AO2，AOH30°，所以AH1，OH所以A因為拋物線與x軸交于O、B(2,0)兩點，設(shè)yax(x2)，代入點A，可

8、得 圖2所以拋物線的表達式為（2）由，得拋物線的頂點M的坐標(biāo)為所以所以BOM30°所以AOM150°（3）由A、B(2,0)、M，得，所以ABO30°，因此當(dāng)點C在點B右側(cè)時，ABCAOM150°ABC與AOM相似，存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時，此時C(4,0)如圖4，當(dāng)時，此時C(8,0) 圖3 圖4考點伸展在本題情境下，如果ABC與BOM相似，求點C的坐標(biāo)如圖5，因為BOM是30°底角的等腰三角形，ABO30°，因此ABC也是底角為30°的等腰三角形，ABAC，根據(jù)對稱性，點C的坐標(biāo)為(4,0)圖5例2 2012年蘇州市中

9、考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標(biāo)為_，點C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運

10、動，可以體驗到，點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B，可以體驗到，存在OQAB的時刻，也存在OQAB的時刻思路點撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點P的坐標(biāo)為(x

11、, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOA當(dāng)，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90°。因此OCQQOA當(dāng)時，BQAQOA此時OQB90°所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)

12、QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例3 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似

13、？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，EC與BF保持平行，但是BFC在無限遠處也不等于45°觀察右圖，可以體驗到，CBF保持45°，存在BFCBCE的時刻思路點撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作CBFEBC45°，或者作BF/EC再用含m的式子表示點F的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時，所以C(4,

14、 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小設(shè)對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標(biāo)為（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)，即時，BCEFBC設(shè)點F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45°交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4

15、）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長例4 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時點A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點D的坐標(biāo)為(1，3)，動點P從

16、點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點撥1第（2）題用含S

17、的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設(shè)交點G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時， 解得 此時點A

18、1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例5 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、

19、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo),圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示PAM與OAC相似的三個情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察DCA的形狀和面積隨

20、D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，DCA的面積最大思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長3按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為，代入點C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，x4，解方程，得

21、此時點P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，x1，解方程，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，那么點D的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時，DCA的面積最大，此時點D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例6 2008年蘇州市中考第29題圖1動感體驗請

22、打開幾何畫板文件名“08蘇州29”，拖動表示a的點在y軸上運動，可以體驗到，當(dāng)拋物線經(jīng)過點E1和E3時，直線NE1、NE3和直線AB交于同一個點G，此時POBPGN當(dāng)拋物線經(jīng)過點E2和E4時，直線NE2、NE4和直線AB交于同一個點G，可以體驗到，這個點G在點N右側(cè)較遠處思路點撥1求等腰直角三角形OAB斜邊上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值2以DN為邊畫正方形及對角線，可以體驗到，正方形的頂點和對角線的交點中，有符合題意的點E，寫出點E的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出a3當(dāng)E在x軸上方時，GNP45°，POBPGN，把轉(zhuǎn)化為4當(dāng)E在x軸下方時，通過估算得到大于10滿分解答

23、（1），（2）由拋物線的解析式，得點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為因此MN的中點D的坐標(biāo)為（2，0），DN3因為AOB是等腰直角三角形，如果DNE與AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如圖2，如果DN為直角邊，那么點E的坐標(biāo)為E1（2，3）或E2（2，3）將E1（2，3）代入，求得此時拋物線的解析式為將E2（2，3）代入，求得此時拋物線的解析式為如果DN為斜邊，那么點E的坐標(biāo)為E3或E4將E3代入，求得此時拋物線的解析式為將E4代入，求得此時拋物線的解析式為 圖2 圖3對于點E為E1（2，3）和E3，直線NE是相同的，ENP45°又OBP45°，PP，所以POBPGN因此對于

24、點E為E2（2，3）和E4，直線NE是相同的此時點G在直線的右側(cè)，又，所以考點伸展在本題情景下，怎樣計算PB的長？如圖3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC，PF，PA，所以1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，點D為邊BC的中點，DEBC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且PDQ90°（1）求ED、EC的長；（2）若BP2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長圖1 備用圖動感體驗請打開幾何畫板

25、文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況請打開超級畫板文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況思路點撥1第（2）題BP2分兩種情況2解第（2）題時，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ滿分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中

26、，CD5，所以，（2）如圖2，過點D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當(dāng)BP2，P在BM上時，PM1此時所以如圖4，當(dāng)BP2，P在MB的延長線上時，PM5此時所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時，CDQ也是等腰三角形如圖5，當(dāng)CQCD5時，QNCQCN541（如圖3所示）此時所以如圖6，當(dāng)

27、QCQD時，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時所以不存在DPDF的情況這是因為DFPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點伸展如圖6，當(dāng)CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例2 2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明

28、理由圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“12揚州27”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，當(dāng)點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小拖動點M在拋物線的對稱軸上運動，觀察MAC的三個頂點與對邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以看到，點M有1次機會落在AC的垂直平分線上；點A有2次機會落在MC的垂直平分線上；點C有2次機會落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點共線思路點撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設(shè)ya(x1)(

29、x3)，代入點C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當(dāng)點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標(biāo)為(1, 2)圖2（3）點M的坐標(biāo)為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時，AM2AC2解方程4m2

30、10，得此時點M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)如圖5，當(dāng)CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當(dāng)M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0)圖3 圖4 圖5例3 2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可

31、以體驗到，O和B以及OB的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的交點，當(dāng)點P運動到O與對稱軸的另一個交點時，B、O、P三點共線請打開超級畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P，發(fā)現(xiàn)存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形思路點撥1用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點B的坐標(biāo)為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4

32、)，代入點B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng)OPOB4時，OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時，B、O、P三點共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時，BP216所以解得當(dāng)PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標(biāo)為，如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點為因此所以DOA30°，ODA120°例4 2011年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標(biāo)；（2）過點A作A

33、Cy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當(dāng)點P到達點A時，點P和直線l都停止運動在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖象中可以看到，APR的面積有一個時刻等于8觀察APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在APAQ的情況

34、；P在CA上時，有三個時刻，APQ是等腰三角形思路點撥1把圖1復(fù)制若干個，在每一個圖形中解決一個問題2求APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標(biāo)是(3，4)令，得所以點B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討

35、論P在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以O(shè)BAB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當(dāng)APAQ時，解方程，得如圖6，當(dāng)QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當(dāng)PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6

36、 圖7考點伸展當(dāng)P在CA上，QPQA時，也可以用來求解例5 2010年南通市中考第27題如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）連結(jié)DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設(shè)CEx，BFy（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10南通27”，拖動點E在BC上運動，觀察y隨x變化的函數(shù)圖象，可以體驗到，y是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下對照圖形和圖象，可以看到，當(dāng)E是BC的中點時，y取得最大值雙擊按鈕“m

37、8”，拖動E到BC的中點，可以體驗到，點F是AB的四等分點拖動點A可以改變m的值，再拖動圖象中標(biāo)簽為“y隨x” 的點到射線yx上，從圖形中可以看到，此時DCEEBF思路點撥1證明DCEEBF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式2第（2）題的本質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值3第（3）題頭緒復(fù)雜，計算簡單，分三段表達一段是說理，如果DEF為等腰三角形，那么得到xy；一段是計算，化簡消去m，得到關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結(jié)合，代入求出對應(yīng)的m的值滿分解答(1)因為EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEE

38、BF因此，即整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為(2)如圖2，當(dāng)m8時，因此當(dāng)x4時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3 圖4考點伸展本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關(guān)系，例如：由第（1）題得到，那么不論m為何值，當(dāng)x4時，y都取得最大值對應(yīng)的幾何意義是，不論AB邊為多長，當(dāng)E是BC的中點時，BF都取得最大值第（2）題m8是第（1）題一般性結(jié)論的一個特殊性再如，不論m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程

39、總有一個根的第（3）題是這個一般性結(jié)論的一個特殊性例 6 2009年江西省中考第25題如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中點，過點E作EF/BC交CD于點F，AB4，BC6，B60°（1）求點E到BC的距離；（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PMEF交BC于M，過M作MN/AB交折線ADC于N，連結(jié)PN，設(shè)EPx當(dāng)點N在線段AD上時（如圖2），PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN的周長；若改變，請說明理由；當(dāng)點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2 圖3動感

40、體驗 請打開幾何畫板文件名“09江西25”，拖動點P在EF上運動，可以體驗到，當(dāng)N在AD上時，PMN的形狀不發(fā)生改變，四邊形EGMP是矩形，四邊形BMQE、四邊形ABMN是平行四邊形，PH與NM互相平分當(dāng)N在DC上時，PMN的形狀發(fā)生變化，但是CMN恒為等邊三角形，分別雙擊按鈕“PMPN”、“MPMN”和“NPNM”，可以顯示PMN為等腰三角形思路點撥1先解讀這個題目的背景圖，等腰梯形ABCD的中位線EF4，這是x的變化范圍平行線間的距離處處相等，AD與EF、EF與BC間的距離相等2當(dāng)點N在線段AD上時，PMN中PM和MN的長保持不變是顯然的，求證PN的長是關(guān)鍵圖形中包含了許多的對邊平行且相等

41、，理順線條的關(guān)系很重要3分三種情況討論等腰三角形PMN，三種情況各具特殊性，靈活運用幾何性質(zhì)解題滿分解答（1）如圖4，過點E作EGBC于G在RtBEG中，B60°，所以，所以點E到BC的距離為（2）因為AD/EF/BC，E是AB的中點，所以F是DC的中點因此EF是梯形ABCD的中位線，EF4如圖4，當(dāng)點N在線段AD上時，PMN的形狀不是否發(fā)生改變過點N作NHEF于H，設(shè)PH與NM交于點Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四邊形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因為PM與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN在平行四邊形

42、ABMN中，MNAB4因此PMN的周長為4 圖4 圖5當(dāng)點N在線段DC上時，CMN恒為等邊三角形如圖5，當(dāng)PMPN時，PMC與PNC關(guān)于直線PC對稱，點P在DCB的平分線上在RtPCM中，PM，PCM30°，所以MC3此時M、P分別為BC、EF的中點，x2如圖6，當(dāng)MPMN時，MPMNMC，xGMGCMC5如圖7，當(dāng)NPNM時，NMPNPM30°，所以PNM120°又因為FNM120°，所以P與F重合此時x4綜上所述，當(dāng)x2或4或5時，PMN為等腰三角形 圖6 圖7 圖8考點伸展第（2）題求等腰三角形PMN可以這樣解：如圖8，以B為原點，直線BC為x軸建

43、立坐標(biāo)系，設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，0），那么點P的坐標(biāo)為（m，），MNMC6m，點N的坐標(biāo)為（，）由兩點間的距離公式，得當(dāng)PMPN時，解得或此時當(dāng)MPMN時，解得，此時當(dāng)NPNM時，解得，此時1.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為(m, 0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四

44、邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13山西26”，拖動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當(dāng)P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形拖動點P在線段EB上運動，可以體驗到，DBQ和BDQ可以成為直角請打開超級畫板文件名“13山西26”，拖動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當(dāng)P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形拖動點P在線段EB上運動，可以體驗到，DBQ和BDQ可以成為直角

45、思路點撥1第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQDC列方程2第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個準(zhǔn)確的示意圖，先得到結(jié)論3第（3）題BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形滿分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直線DB的解析式為由點P的坐標(biāo)為(m, 0)，可得，所以MQ當(dāng)MQDC8時，四邊形CQMD是平行四邊形解方程，得m4，或m0（舍去）此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2

46、 圖3（3）存在兩個符合題意的點Q，分別是(2,0)，(6,4)考點伸展第（3）題可以這樣解：設(shè)點Q的坐標(biāo)為如圖3，當(dāng)DBQ90°時， 所以解得x6此時Q(6,4)如圖4，當(dāng)BDQ90°時， 所以解得x2此時Q(2,0)圖3 圖4例1 2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當(dāng)以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 動

47、感體驗請打開幾何畫板文件名“12廣州24”，拖動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當(dāng)直線與圓相切時，符合AMB90°的點M只有1個請打開超級畫板文件名“12廣州24”，拖動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當(dāng)直線與圓相切時，符合AMB90°的點M只有1個思路點撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個2當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合AMB90°的點M有2個；當(dāng)直線l與圓相切時，符合AMB90°的點M只有1個3靈活應(yīng)用相似比解題比較簡便滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時，點B、D到直線A