2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案

1、2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案一 試一、選擇題（每小題6分，共36分）1函數(shù)在上的最小值是 （ ）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）32設，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）。（A） （B） （C） （D）3甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)的期望為 （ ）。（A） （B） （C） （D） 4若三個棱長均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個正方體的體積之和為 （ ）。（A）764 cm3或586 cm3

2、（B） 764 cm3 （C）586 cm3或564 cm3 （D） 586 cm35方程組的有理數(shù)解的個數(shù)為 （ ）。（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 46設的內(nèi)角所對的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是（ ）。（A） （B） （C） （D）二、填空題（每小題9分，共54分）7設，其中為實數(shù)，若，則 .8設的最小值為，則 .9將24個志愿者名額分配給3個學校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有 種10設數(shù)列的前項和滿足：，則通項= 11設是定義在上的函數(shù)，若 ，且對任意，滿足 ，則= .12一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球

3、永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 . 三、解答題（每小題20分，共60分）13已知函數(shù)的圖像與直線 有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為，求證： 14解不等式第15題15如圖，是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值解 答1. 當時，因此，當且僅當時取等號而此方程有解，因此在上的最小值為2故選C.2. 因為有兩個實根 ，故等價于且，即且，解之得故選D。3.方法一： 依題意知，的所有可能值為2、4、6. 設每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響從而有，故故選B。方法二：

4、依題意知，的所有可能值為2、4、6.令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝由獨立性與互不相容性得， ， ，因此故選B。4. 設這三個正方體的棱長分別為，則有，即。不妨設，從而，故，只能取9、8、7、6 若，則，易知，得一組解若， 則，但，即，從而或5若，則無解；若，則無解因此c=8時無解若，則，有唯一解，若，則，此時，即。故，但，所以，此時無解綜上，共有兩組解或，體積為（cm3）或（cm3）。故選A。5. 若，則解得或若，則由得 由得 將式代入得 由式得，代入式化簡得.易知無有理數(shù)根，故，由式得，由式得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或故選B。6.設的公比為，則，而 因此，只需

5、求的取值范圍因為成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構成三角形的三邊，必須且只需且即有不等式組即解得從而，因此所求的取值范圍是故選C。7. 由題意知，由得，因此，8. ，(1) 時，當時取最小值；(2) 時，當時取最小值1；(3) 時，當時取最小值又或時，的c不能為，故，解得，(舍去)9. 方法一：用4條棍子間的空隙代表3個學校，而用表示名額如表示第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額若把每個“”與每個“”都視為一個位置，由于左右兩端必須是“”，故不同的分配方法相當于(個)位置（兩端不在內(nèi)）被2個“”占領的一種“占位法”“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個“”之間的23個空隙中選出2個

6、空隙插入“”，故有(種)又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222(種)方法二：設分配給3個學校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個名額的分法數(shù)為不定方程的正整數(shù)解的個數(shù)，即方程的非負整數(shù)解的個數(shù)，它等于3個不同元素中取21個元素的可重組合：又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222（種）10. ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以11. 方法一：由題設條件知 ，因此有，故 方法二： 令，則 ，即，故，得是周期為2的

7、周期函數(shù)，所以12. 如圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為，作平面/平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心因，故，從而記此時小球與面的切點為，連接，則（第12題圖1）第12題圖2）考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如圖2記正四面體的棱長為，過作于因，有，故小三角形的邊長小球與面不能接觸到的部分的面積為（如圖2中陰影部分） 又，所以由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為（第13題）13. 的圖象與直線 的三個交點如答13圖所示，且在內(nèi)相切，其切點為， 由于，所

8、以，即因此 14. 方法一：由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于即 分組分解 ， 所以，。所以，即故原不等式解集為 方法二： 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于即， ， 令，則不等式為， 顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價于 ，即，解得，故原不等式解集為 15. 設，不妨設直線的方程:，化簡得 又圓心到的距離為1， ，故，易知，上式化簡得，同理有 所以，則因是拋物線上的點，有，則， 所以當時，上式取等號，此時因此的最小值為8加 試答一圖1一、（本題滿分50分）如圖，給定凸四邊形，是平面上的動點，令（1）求證：當達到最小值時，四點共圓；（2）設是外接圓的上一點，滿足：，又是的切線，求的最小值

9、二、（本題滿分50分）設是周期函數(shù)，和1是的周期且證明：（1）若為有理數(shù)，則存在素數(shù)，使是的周期；（2）若為無理數(shù)，則存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足 ，且每個都是的周期三、（本題滿分50分）設，證明：當且僅當時，存在數(shù)列滿足以下條件：（1），；（2）存在；（3）， 解 答第1題圖1一、方法一：（1）如答一圖1，由托勒密不等式，對平面上的任意點，有 因此 因為上面不等式當且僅當順次共圓時取等號，因此當且僅當在的外接圓且在上時， 又因，此不等式當且僅當共線且在上時取等號因此當且僅當為的外接圓與的交點時，取最小值故當達最小值時，四點共圓（2）記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 解得或（舍去

10、），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得，從而，為等腰直角三角形因，則又也是等腰直角三角形，故，故 （第1題圖2）方法二：（1）如圖2，連接交的外接圓于點（因為在外，故在上）過分別作的垂線，兩兩相交得，易知在內(nèi)，從而在內(nèi)，記之三內(nèi)角分別為，則，又因，得，同理有，所以設，則對平面上任意點，有 ，從而 由點的任意性，知點是使達最小值的點由點在上，故四點共圓 （2）由（1），的最小值 ，記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 解得或（舍去），故，由已知=,有，即，整理得，故，可得， 所以，為等腰直角三角形，因為，點在上，所以為矩形，故，所以 方法三：（1）引進復平面，仍用等代表所對應的復

11、數(shù)由三角形不等式，對于復數(shù)，有 ，當且僅當與（復向量）同向時取等號有 ，所以 ，從而 式取等號的條件是復數(shù) 與同向，故存在實數(shù)，使得， ，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點共圓式取等號的條件顯然為共線且在上故當達最小值時點在之外接圓上，四點共圓 （2）由（1）知以下同方法一二、（1）若是有理數(shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 于是是的周期又因，從而設是的素因子，則，從而 是的周期 （2）若是無理數(shù)，令 ，則，且是無理數(shù)，令 ， ， 由數(shù)學歸納法易知均為無理數(shù)且又，故，即因此是遞減數(shù)列最后證：每個是的周期事實上，因1和是的周期，故亦是的周期假設是的周期，則也是的周期由數(shù)學歸納法，已證得均是的周期 三、必要性：假設存在滿足（1），（2），