初中數(shù)學(xué)奧林匹克中的幾何問題西姆松定理及應(yīng)用附答案

1、第六章西姆松定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足點(diǎn)共線（此線常稱 為西姆松線）.證明如圖6-1,設(shè)P為4ABC的外接圓上任一點(diǎn)，從 P向三邊BC , CA, AB所在直線作垂線，垂足 分別為L(zhǎng), M, N .連PA, PC,由P, N , A, M四點(diǎn)共圓，有圖6-1ZPMN =/PAN =ZPAB =/PCB =/PCL .又P, M, C, L四點(diǎn)共圓，有 /PML =/PCL .故ZPMN =/PML，即L , N , M三點(diǎn)共線.注 此定理有許多證法.例如，如下證法：如圖 6-1 ,連 PB,令 ZPBC =a , NPCB

2、=P , N PCM =,則/PAM =a , /PAN =P , ZPBN =,且 BL =PB cosct , LC =PC cosP , CM = PC cos?,MA =PA cosa , AN =PA cosP , NB =PB cos?,對(duì) ABC ,有BL CM AN PB cos 二 PC cos PA cos:=3=1 .故由梅涅勞斯定理之逆定理，知 L , N , M 二點(diǎn)LC MA NB PC cos - PA cos: PB cos共線.西姆松定理還可運(yùn)用托勒密定理、張角定理、斯特瓦爾特定理來證（略）.西姆松定理的逆定理若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此

3、三角形的外接圓上.證明如圖6-1,設(shè)點(diǎn)P在 ABC的三邊BC , CA, AB所在直線上的射影分別為 L, M , N,且此三 點(diǎn)共線.由 PN _LAB 于 N , PM 1AC 于 M, PL_LBC于L,知P, B, L, N 及 P, N, A, M 分 別四點(diǎn)共圓，而 AB與LM相交于N,則/PBC =/PBL =/PNM =zPAM ，從而P , B, C, A四點(diǎn) 共圓，即點(diǎn)P在 ABC的外接圓上.【典型例題與基本方法】1 .找到或作出三角形外接圓上一點(diǎn)在三邊上的射影，是應(yīng)用西姆松定理的關(guān)鍵例1如圖6-2,過正4ABC外接圓的AC上點(diǎn)P作PD_L直線AB于D ,作PE _LAC于

4、E ,作PF _LBC于F .求證：,PFPD PEADP圖6-2證明由 PD，直線 AB 于 D , PE _LAC 于 E , PF _LBC 于 F,知 A, E, P, D 及 E, F, C, P分別四點(diǎn)共圓，則 NDPE =NBAE =60, /EPF =NECF =60.由西姆松定理，知 D, E, F三點(diǎn)共線，從而以 P為視點(diǎn)，對(duì) 4PDF應(yīng)用張角定理，sin. DPF sin . DPE sin. EPF sin120 sin60 sin60 毋 111中 = + ，即 = + ，故 + =PEPFPDPE PF PD PF PD PE例2如圖6-3,設(shè)AD , BE, CF

5、為 ABC的三條高線，自 D點(diǎn)作DP_LAB于P, DQ BE于Q, DR_LCF于R, DS _LAC于S,連PS .求證：Q, R在直線PS上.A圖6-3證明由于4BFH的外接圓為 BDHF ,而D為該圓上一點(diǎn)，且 D在 BFH三邊所在直線上的射影分 別為P, Q, R,于是，由西姆松定理知 P, Q, R三點(diǎn)共線.同理，可證 Q, R, S是4HEC的西姆線上三點(diǎn).由于直線PQR與直線QRS有兩個(gè)公共點(diǎn)Q, R,所以這兩直線重合，故 Q, R在直線PS上.例3如圖64 ,設(shè)P為 ABC外接圓上一點(diǎn)，作PA_LBC交圓周于A,作PB_L直線AC交圓周于B, 作PCAB交圓周于C.求證： A

6、A/ BBU CC .圖6-4證明設(shè)PA_LBC于L, PB上直線AC于N, PC _L AB于M ,則由西姆松定理知 L, M, N三點(diǎn)共 線.注意到L, B, P, M及A,，B, P, A分別四點(diǎn)共圓，連 BP,則 /AMN =/bml =Nbpl =Nbpa=Nbaa，于是 aa7/ LN .同樣，注意到 A, B, P, B及A, M, P, N分別四點(diǎn)共圓，連 PA,則/ABB = /APBF=/APN =/AMN ,于是 BB / LN .由 A, P, C C 四點(diǎn)共圓，知 /ACC*+/APCF = 180 注意到 NAPC=/APM =/ANM =/CNM , 則 /ACC

7、 十/CNM =180 工 于是 CCf/l LM，故 AA / BB / CC【例4如圖6-5,設(shè)P為ABC外接圓上BC內(nèi)一點(diǎn)，過P作PD _L BC于D ,作PF _L直線AB于F ,設(shè)H為4ABC的垂心.延長(zhǎng) PD至P,使PD=PD.求證：HP/ DF . （1979年山西省競(jìng)賽題改編）證明連AH并延長(zhǎng)交BC于A,交圓于H,則由NHCB =/BAH =jBCH 知HA = AH】又由已知PPBC ,且PD =DP ,連PH 則知PH與PH關(guān)于BC對(duì)稱，從而 ZPHH =/PH H. 由于從P點(diǎn)已向 ABC的兩邊所在直線 AB, BC引了垂線PF , PD ,再過點(diǎn)P向邊AC所在直線作 垂

8、線PE ,垂足為E ,則由西姆松定理，知 F , D , E三點(diǎn)共線，設(shè)西姆松線 EF與HA交于M .此 時(shí)，又由P, C, E, D四點(diǎn)共圓，有 /CPE=/CDE.在 RtPCE 中，/CPE 與 NPCE 互余；在 RHMDA中，NA，DM=NCD 臼 /DMA互余.故 ZDMA =/PCE =NPCA =NPH H =/PHH ,由此即知 HP* II EF ,故 HP*/ DF .例5如圖6 6 ,設(shè)P為ABC外接圓上一點(diǎn)，過點(diǎn) P分別作PL1BC于L ,作PN _L直線AB于N , 直線LN交BC邊上的高線于 K ,設(shè)H為 ABC的垂心.求證： PK II LH .F圖6-6證明由

9、于從P點(diǎn)引了 4ABC的邊BC , BA所在直線的垂線， 再過P點(diǎn)作PM .LAC于M ,則由西姆松 定理，知L , M , N三點(diǎn)共直線，即 L , M , N , K四點(diǎn)共線.設(shè)BC邊上的高線為 AD ,延長(zhǎng)AD交圓于F ,連PF交BC于G ,交西姆松線NL于Q ,連PH交西姆 松線NL于S .由 P, C, L, M 四點(diǎn)共圓及 A, F, C, P共圓，連 PC,則/MLP=/MCP =/AFP =/LPF ，從 而QP =QL ,即Q為RtAPLG的斜邊PG的中點(diǎn).連HG ,由/DFC =ZABC 旺HC ,知HD =DF , 有 ZHGD =/DGF =/LGP =/QLG ,從而

10、 HG / ML ,即 SQ是 PHG 的中位線，亦即 HS = SP .又 PL / KH ,有 NLPS =/KHS 及/PSL=NHSK ,于是 APSLAHSK ,即有 PL J KH ,亦即四邊形PKHL為平行四邊形，故 PK II LH .注由此例可得，三角形外接圓周上一點(diǎn)P與垂心H的連線段PH ,被關(guān)于P點(diǎn)的西姆松線所平分，這是西姆松線的一條重要性質(zhì).2 .注意發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓與三點(diǎn)共線的聯(lián)系，靈活應(yīng)用西姆松定理及其逆定理例6如圖6 _7 ,延長(zhǎng)凸四邊形 ABCD的邊 AB , DC交于E ,延長(zhǎng) AD , BC交于F .試證： BCE , CDF , AADE , 4ABF的四個(gè)外

11、接圓共點(diǎn).A圖6-7證明設(shè)4BCE與4CDF的兩個(gè)外接圓除交于點(diǎn) C外，另一交點(diǎn)為 M .設(shè)點(diǎn)M在直線BE, EC, BC 上的射影分別為 P, Q, R,則由西姆松定理，知 P, Q, R三點(diǎn)共線.同樣，M點(diǎn)在直線DC, CF , DF上的射影Q, R , S也三點(diǎn)共線，故 P, Q, R , S四點(diǎn)共線.在4ADE中，P在AE上，Q在DE上，S在邊AD所在直線上，且 P, Q, S三點(diǎn)共線，則由西姆松定理的逆定理，知 M點(diǎn)在4ADE的外接圓上.在4ABF中，P在直線AB上，R在BF上，S在AF上，且P , R, S三點(diǎn)共線，由西姆松定理的逆定理，知M點(diǎn)在4ABF的外接圓上.故ABCE, A

12、CDF , AADE , ABF的四個(gè)外接圓共點(diǎn).注此例題的結(jié)論實(shí)際為憲全四邊形ABECFD的四個(gè)三角形 4AED、 BEC、ACFD、 ABF的外接圓共點(diǎn)，此點(diǎn)稱為密克爾（Miquel）點(diǎn)，直線PQRS稱為完全四邊形的西姆松線.【解題思維策略分析】1 .證明點(diǎn)共線的又一工具例7如圖68,設(shè)P為四邊形AA2 A3 A4外接圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1A2,A2 A3 ,A3A4 ,A4A1 ,上的射影分別為Bj B2 , B3, B4,又點(diǎn)P在直線B1B2, B2B3, B3B4, B4B1上的射影分別為 G , C2, C3,C4.求證：Ci , C2 , C3 , C4 共線.A4圖6-8證

13、明連A1A ,過P作AA3的垂線，垂足為Q.從而，點(diǎn)P關(guān)于AA2 A3的西姆松線為BBQ同樣，點(diǎn)P關(guān)于 A1A3A4的西姆松線為 B3QB4 .由/AB4P=/AQP =/ABF ,知點(diǎn)P在QB1B4的外接圓上，由西姆松定理，知點(diǎn)P在QB1B4三邊上的垂足Ci , C3, C4共線.同理，Ci, C2 , C4三點(diǎn)也共線.故Ci, C2, C3, C4四點(diǎn)共線（此直線稱為 P點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形關(guān)于 A1A2A3A4的西姆松線）.2 .注意西姆松線在轉(zhuǎn)化問題中的媒介作用例8如圖6 9 ,設(shè)P為 ABC外接圓周上任一點(diǎn)， P點(diǎn)關(guān)于邊BC , AC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為 P ,求證：直線PB經(jīng)過4ABC

14、的垂心H .證明由于F1, P2分別為P點(diǎn)關(guān)于直線BC, AC的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)PP1交直線BC于L, PB變直線AC于N,則L, M分別為P點(diǎn)在4ABC的邊BC, CA所在直線上的射影，且 L, N分別為線段PR, PP2的中 點(diǎn).由西姆松定理，知 LN為西姆松線，此時(shí) LN / PP2.又由前面例5知，當(dāng)H為4ABC的垂心時(shí)，直線 LN平分線段PH .于是，可知 H點(diǎn)在直線P,P2上，即直線P|P2經(jīng)過H點(diǎn).例9如圖6-10, 一條直線L與圓心為O的圓不相交，E是l上一點(diǎn)，OE_Ll, M是l上任意異于 E的 點(diǎn)，從M作O的兩條切線分別切圓于 A和B, C是MA上的點(diǎn)，使得 EC_LMA, D是

15、MB上的點(diǎn)， 使得ED _LMB ,直線CD交OE于F .求證：點(diǎn)F的位置不依賴于 M的位置.（IMO -35預(yù)選題）圖 6-10證明令OE =a , O的半徑為R ,連結(jié)EA , EB , OA , OB , OM , AB ,設(shè)AB交OM于G ,交OE 于 Q,則，OA _L MA , OB_LMB, OM _L AB .由射影定理，得 OG OM =OB2,又由M , E, Q, G四點(diǎn)共圓，有 OQ QE =OG OM =OB2=R2,2 2從而知 OQ =-,由 OB =OQ OE ,有OEBs OBQ , a既有 ZBEO =/OBQ =/BAO，即/1W 左 3 .由此得 /ME

16、B +/MAB =(90/1) + (90S-Z3) =180。， 故A, B, E, M四點(diǎn)共圓.作EN _LAB交AB的延長(zhǎng)線于N ,由西姆松定理，知 C , D , F , N四點(diǎn)共線.注意到 A , N , E , C與 A , O, E, M 均四點(diǎn)共圓，有 NENF =NEAM =NEOM 又由 EN / OM ,有 NENF =2NEF , 故 ZENF =NNEF .22在RtNEQ中，由上推知 F為EQ的中點(diǎn)，因此， EF=1 EQ= 1 （OE-OQ V a -R .故F的位置不 222a依賴于M的位置.（2003年波蘭奧林匹克題） ,作TKAC于點(diǎn)K,例10已知銳角AAB

17、C, CD是過點(diǎn)C的高線，M是邊AB的中點(diǎn)，過M的直線分別與 CA、CB交于 點(diǎn)K、L ,且CK =CL .若 4CKL的外心為S ,證明：SD =SM .證明如圖 6-11 ,作AABC的外接圓，延長(zhǎng) CS交 ABC于點(diǎn)T ,聯(lián)結(jié)TM TL_LBC 于點(diǎn) Lr.圖 6-11注意到S為KLC的外且KC =LC ,所以CS為/KCL的平分線.于是 T為弧Ab的中點(diǎn).又M為AB的中點(diǎn)，則TM _LAB.由西姆松定理，知 K,、M、L,三點(diǎn)共線.又CT是NKCL的角平分線，且 K、L、M三點(diǎn)共線，則CK=CL.即直線KML是過M與CT垂 直的直線，又直線KML也是過M與CS垂直的直線，從而K與K重合

18、，L,與L重合.即ZCKT =/CLT =90%亦即知C、K、T、L四點(diǎn)共圓.故 S為四邊形CKTL的外接圓圓心，即有SC =ST ,于是 S為 TC 的中點(diǎn).又 CD AB ,則 CD / MT .故 SM =SD .3.注意西姆松線性質(zhì)的應(yīng)用三角形外接圓上一點(diǎn)的西姆松線平分該點(diǎn)與三角形垂心的連線.此性質(zhì)已在例5給出一種證法，現(xiàn)另證如下：如圖6-12,設(shè)H為4ABC的垂心，P為其外接圓上一點(diǎn)，作4HBC的外接圓 HBC ,則該圓與 ABC 關(guān)于BC對(duì)稱（參見垂心性質(zhì)7）.圖 6-12設(shè)點(diǎn)P的垂足線（即西姆松線）為 LMN，由P、B、L、M四點(diǎn)共圓，有 ZPLM =/PBM設(shè)kHBC與直線PL

19、交于點(diǎn)P、Q,則L為PP的中點(diǎn)，連 HP,由/LPH =QH的度數(shù)=PA的度數(shù)=ZPBA=ZPBM =ZPLM，知P H / LMN .由此即知PH被直線LMN平分.例11如圖6-13,由4ABC的頂點(diǎn)A引另兩頂點(diǎn)B、C的內(nèi)、外角平分線的垂線， 垂足分別為F、G、 E、D,則F、G、E、D四點(diǎn)共線，且此線與 ABC的中位線重合.L1 .AIEBC圖6-131證明延長(zhǎng)BE、CD相交于點(diǎn)K,設(shè)CG與BE相交于點(diǎn)I ,則I為4ABC的內(nèi)心.由ZCAI =-ZA ,2ZCKI =90/CIK =90 口/B +1/C ）=1/A ,知 A、I、C、 K 四點(diǎn)共圓. 222對(duì)AICK及點(diǎn)A應(yīng)用西姆松定理

20、，知 G、E. D三點(diǎn)共線.圖6-13同理，對(duì)4BCL及點(diǎn)A應(yīng)用西姆松定理，知 F、G、E三點(diǎn)共線.故F、G、E、D四點(diǎn)共線.由于C為 ICK的垂心，則由西姆松線的性質(zhì)知直線GED平分AC .同理，直線FGE平分AB ,故直線FD與 ABC的中位線重合.注由例11再回過來看例2,在例2中，是由點(diǎn)D引4DEF另兩個(gè)頂點(diǎn)E . F的內(nèi)、外角平分線的垂 線，垂足分別為P、Q、R、S.4.注意西姆松定理與托勒密定理的等價(jià)性可用西姆松定理證明托勒密定理：如圖6 _14 , ABCD為任意圓O內(nèi)接凸四邊形，連 AC ,過D向 ABC各邊作垂線， AB , AC , BC所在直線上的垂足分別為Ci,Bi,A

21、,連C1B1,Bi A,由西姆松定理，知CiBi + BiAi=CiA.有 CiBi =AD sin. CiDBi = AD sin. CiAB ,AD BC2R由A , G , Bi , D四點(diǎn)共圓，且AD為該圓直徑及正弦定理,BC .設(shè) R 為的。平徑，則 sinZCi ABi =sin/BAC =，故 Ci Bi2RCD ABAC BD2R2R同理，BiAi =, CiAi= 于是，由式有 AD BC +CD AB = AC BD .此即為托勒密定理.也可用托勒密定理證明西姆松定理：設(shè)ABCD是0的內(nèi)接四邊形，則由托勒密定理，有AD BC +AB CD =AC BD ,作DCi，直線AB

22、于G ,作DBi _L直線AC于Bi ,則由Ai, Ci , Bi, D四點(diǎn)共圓，且 AD為該圓直徑及正弦定理，有CiBi=CiBi=AD ,即CiBi=AD sin/CiABi=ADBC . （ R為0 半徑），sin . C1DB1 sin .GABi2R亦即 AD BC =2R C1B1 .同理,AB CD =2R Ai Bi ,AC BD =2R ACi .把上述三式代入式，有 C1B1 +AB1 =AC1 ,故Ai, Bi, G三點(diǎn)在一條直線上，此即為西姆松定理，因此，在應(yīng)用中，我們應(yīng)當(dāng)注意靈活處置，若應(yīng)用哪個(gè)定理方便，就應(yīng)用哪個(gè)定理.【模擬實(shí)戰(zhàn)】習(xí)題A1 .設(shè)P為ABC外接圓周劣孤

23、 BC上一點(diǎn)，P在邊BC , CA , AB上的射影分別為L(zhǎng), M, N,令 PL =l , PM =m , PN =n , BC =a , CA =b , AB =c .求證： mna =lnb +lmc .2 .設(shè)PA, PB , PC為AO的三條弦，分別以它們?yōu)橹睆阶鲌A兩兩相交于D, E . F .求證：D,E, F三點(diǎn)共線.3 .自ABC的頂點(diǎn)A作/B的內(nèi)、外角平分線 BE, BF的垂線，垂足為 E, F,再作NC的內(nèi)、外 角平分線CG , CD的垂線，垂足為 G , D .求證：F , G , E , D四點(diǎn)共線.4 .求證：正三角形外接圓周上任一點(diǎn)到三邊距離的平方和為定值.5 .若

24、三圓均經(jīng)過其三圓心所成的外接圓上任何一點(diǎn)，則此三圓兩兩相交于三個(gè)共線點(diǎn).習(xí)題B1 .點(diǎn)P, Q是 ABC的外接圓上的兩點(diǎn)（異于A, B, C）,點(diǎn)P關(guān)于直線BC, CA , AB的對(duì)稱 點(diǎn)分別是U , V , W ,連線QU , QV , QW分別與直線 BC , CA , AB交于點(diǎn)D , E , F .求證： （I）U, V, W三點(diǎn)共線；（II）D, E, F三點(diǎn)共線.2 .設(shè)ABCD是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，點(diǎn) P , Q和R分別是D到直線BC , CA和AB的射影. 證明：PQ =QR的充要條件是 /ABC =/ADC的角平分線的交點(diǎn)在 AC上.（IMO -44 試題）3 .（卡諾定理）過

25、 ABC外接圓上一點(diǎn)P,向三邊所在直線引斜線分別交 BC , CA, AB于點(diǎn)D, E, F ,且 NPDB =/PEC =/PFB .求證：D, E, F 共線.4 .過 ABC的三頂點(diǎn)引互相平行的三直線，它們和 AABC的外接圓的交點(diǎn)分別為 A, B, C在 ABC的外接圓上任取一點(diǎn) P,設(shè)PA, PB, PC與BC, CA , AB或其延長(zhǎng)線分別交 于D , E , F .求證：D , E , F共線.5 .（清宮定理）設(shè) P, Q為 ABC外接圓上異于 A, B, C的任意兩點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于BC , CA , AB 的對(duì)稱點(diǎn)分別為 U , V , W ,而QU , QV , QW和BC ,

26、 CA , AB分別交于D , E , F .求證：D , E, F共線._._,.、一._ _2 .6 .設(shè)P, Q,為 ABC外接圓半徑OK或延長(zhǎng)線上兩點(diǎn)， OP OQ=R ,其中R為外接圓半徑，P點(diǎn) 關(guān)于BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為 U , V , W ,而QU , QV , QW分別交BC , CA , AB于點(diǎn)D , E , F .求證：D , E , F共線.第六章西姆松定理及應(yīng)用習(xí)題A1 .由西姆松定理，知 L, M, N三點(diǎn)共線，注意到 P,L, N,B及P,M,C, L分別四點(diǎn)共圓，知ZLPN =/B , ZLPM =/C .又由張角定理，有 吧B上CJ=吧B+snp 即P

27、LPM PNmn sin/A=ln sin/B+lm sin/C 再應(yīng)用正弦定理，得 mn a=ln，b+lm c.2 .根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，知 ZBDP =/ADP =90 口，/BFP =/CFP =90=/CEP =/AEP=90口,即知D , A , B;B, F,C;C,E, A分別三點(diǎn)共線.又PD_LAB于D, PE_LAC于E, PF _L BC于F , P是 ABC外接圓周上一點(diǎn)，由西姆松定理，知 D, E, F三點(diǎn)共線.3 .延長(zhǎng)BE, CD相交于點(diǎn)K ,延長(zhǎng)CG , BF相交于點(diǎn)L .設(shè)CG與BE相交于點(diǎn)I ,則I為 ABC的內(nèi)心.由 NCAI =1/BAC ,而/

28、CKI =900/CIK =90-(B +ZCNBAC ,從而 A , I , C , K 222四點(diǎn)共圓.又AD 1CK于D , AE _LKB于E , AG _LCI于G , A是ICK外接圓上任一點(diǎn)， 由西姆松定理，知D , E, G 三點(diǎn)共線.同理，B, I, A, L 四點(diǎn)共圓，AE _LBI 于 E, AG _L IL 于 G , AF1BLT F , 由西姆松定理，知 E, G , F三點(diǎn)共線.故 F , G , E, D四點(diǎn)共線.4 .設(shè)正 ABC外接圓弧AB上任一點(diǎn)P到邊BC, CA , AB的距離分別為ha, hb , hc,其垂足分別3為D , E , F ,正二角形邊長(zhǎng)

29、為a .由面積等式可得ha +hb -hc =/a .此式兩邊平方，得2223 2ha +hb +hc +2(hahb hbhc hahc )=- a .由國(guó)=sin/PAC =sin/PBD =2,有 ha PA =hb PB .PAPB同理，ha PA =hc PC ,故 ha PA =hb PB =k PC .又 P,F,E,A 及 P,D,B,F 分別四點(diǎn)共圓，有/PFD =/PBD =/PAC , /PDF =/PBF =ZPCA ,得 4PFD APAC ,故 PA=N a ,同理，PB= a , PC =巫 a ,即DFDEEFha hc hb ha hc hbAc=上一=k由西

30、姆松定理，知 D, E, F共線，即DF +FE =DE .于是EF DE EF： hb -hahb -hahc -hbhc =(DE -DF EF) k=0,故 +點(diǎn) +h： =a2 .45.設(shè)以 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心的三圓，皆經(jīng)過同一點(diǎn) M ,而M在 ABC的外接圓上，人與8 另交于D , 人與X另交于,算B與AC另交于F.注意到鼻A與徘B中，公共弦MD _L連心線AB;鼻A與C中，公共弦ME _L連心線AC ;算B與C中， 公共弦MF _L連心線BC .對(duì)4ABC及其外接圓周上一點(diǎn) M ,應(yīng)用西姆松定理，知 D , E , F三點(diǎn)共 線.習(xí)題B1. (I)設(shè)從點(diǎn)P向BC, CA , A

31、B作垂線，垂足分別為 X, Y, Z.由對(duì)稱性，知 XY為 PUV的中 位線，故UV / XY同理，VW / YZ , WU / XZ ,由西姆松定理，知 X , Y , Z三點(diǎn)共線，故 U , V , W三點(diǎn)共線.（n）由 P, C, A, B 四點(diǎn)共圓，有2PCE =NABP.亦有 NPCV =2NPCE=2/ABP=/PBW . 又 NPCQ =/PBQ ,貝U ZPCV +/PCQ =/PBW +/PBQ .S-, 即.QCV =. QBW ,從而 QCV CQBQ BWSAQAWAWAQSAQBUBQ BUSAQCVSA QAW SA QBUSA QCU一 CQCU S QAV一 A

32、Q AVSA QBWSA QCUSA QAVSA QBW同理,Sa qcvSaQAW /二1SA QBW于是,BD CE AF SaqbuDC EA FBSAqcvSA QAV由梅勒勞斯定理的逆定理，知D, E, F三點(diǎn)共線.2.由西姆松定理知 P, Q, R三點(diǎn)共線.而 /DPC =NDQC =90，則D , P, C, Q四點(diǎn)共圓.于 是，/DCA =/DPQ =/DPR .同理，由 D,Q, R, A 共圓，有 /DAC =/DRP .故 DCA sDPR 類似地，ADAB s* DQP , ADBC s* DRQ ,從而DADRDCDPDB QR/BC QP BA 皿=故 PQ =QRuDB PQ / BA PQ BCDA BA=，而/ABC和/ADC的角平分線分DC BCAC的比分別為BA DA和.即可證.BC DC3 .設(shè) P 在 BC ,由/PDB =/PFB =ZPEC /EA ，知 B, P, D, F 四點(diǎn)共圓，P, F, A, E 四點(diǎn)共圓，從而 ZPFD =NPBD