2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二項式定理

1、2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二項式定理二項式定理1二項式定理(ab)n_(nN*)，這個公式所表示的規(guī)律叫做二項式定理(ab)n的二項展開式共有_項，其中各項的系數(shù)_(k0，1，2，n)叫做二項式系數(shù)，式中的_叫做二項展開式的通項，用Tk1表示，即_通項為展開式的第_項2二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即CC，CC，CC，_，CC.(2)增減性與最大值二項式系數(shù)C，當(dāng)_時，二項式系數(shù)是遞增的；當(dāng)_時，二項式系數(shù)是遞減的當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項_取得最大值當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項_和_相等，且同時取得最大值(3)各二項式系數(shù)的和(ab)n的展

2、開式的各個二項式系數(shù)的和等于_，即CCCCC_.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即CCCCCC_.自查自糾1CanCan1bCankbkCbnn1CCankbkTk1Cankbkk12(1)CC(2)kkCnCn Cn(3)2n2n2n1 (2016·四川)設(shè)i為虛數(shù)單位，則(xi)6的展開式中含x4的項為()A15x4 B15x4 C20ix4 D20ix4解：由題可知，含x4的項為Cx4i215x4.故選A. (2017·全國卷)(1x)6展開式中x2的系數(shù)為()A15 B20 C30 D35解：(1x)6展開式的通項Tr1Cxr，所以(

3、1x)6的展開式中x2的系數(shù)為1×C1×C30，故選C. (2017·全國卷)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A80 B40 C40 D80解：原題即求(2xy)5中x2y3與x3y2系數(shù)的和，即為C·22·(1)3C·23·(1)240.故選C. (2016·全國卷)(2x)5的展開式中，x3的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)解：展開式的通項為Tr125rCx，令53，得r4，故所求系數(shù)為2C10.故填10. (2016·天津)的展開式中x7的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)解：二項式展開式通項為Tr

4、1C(x2)8r(1)rCx163r，令163r7，r3，所以x7的系數(shù)為(1)3C56.故填56.類型一求特定項(1)的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項為()A40 B20 C20 D40解：令x1，可得a12，a1，的展開式中項的系數(shù)為C22(1)3，x項的系數(shù)為C23，所以(2x)5的展開式中常數(shù)項為C22(1)C2340.故選D.【點撥】令x1可得所有項的系數(shù)和；在求出a的值后，再分析常數(shù)項的構(gòu)成，便可解得常數(shù)項(2)(2015·安徽)的展開式中x5的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)解：由題意，二項式展開的通項為Tr1C(x3)7rCx214r，令214r5，得r4，

5、則x5的系數(shù)是C35.故填35.(3)(2017·浙江)已知多項式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_解：a4為含x的項的系數(shù)，根據(jù)二項式定理，a4C×12×C×22C×13×C×216，a5是常數(shù)項，a5C×13×C×224.故填16；4.【點撥】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項可依據(jù)條件寫出第r1項，再由特定項的特點求出r值即可(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r1項，由特定項得出

6、r值，最后求出其系數(shù)(1)已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項，則含x2項的系數(shù)為_解：通項Tr1CxxCx，因為第6項為常數(shù)項，所以r5時，有0，得n10.令2，得r2，所以含x2項的系數(shù)為C.故填.(2)(2016·北京)在(12x)6的展開式中，x2的系數(shù)為_(用數(shù)字填寫答案)解：展開式的通項Tr1C·16r·(2x)rC(2x)r.令r2得T3C·4x260x2，即x2的系數(shù)為60.故填60.(3)(2015·全國卷)(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A10 B20 C30 D60解：在(x2xy)5的5個因式中，2個取x2，剩

7、余的3個因式中1個取x，其余因式取y，故x5y2的系數(shù)為CCC30，故選C.類型二展開式的系數(shù)和問題在(2x3y)10的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；(5)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和解：設(shè)(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各項系數(shù)和為a0a1a10，奇數(shù)項系數(shù)和為a0a2a10，偶數(shù)項系數(shù)和為a1a3a5a9，x的奇次項系數(shù)和為a1a3a5a9，x的偶次項系數(shù)和為a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和(1)二項

8、式系數(shù)的和為CCC210.(2)令xy1，各項系數(shù)和為(23)10(1)101.(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為CCC29，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為CCC29.(4)令xy1，得a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，所以奇數(shù)項系數(shù)和為；得2(a1a3a9)1510，所以偶數(shù)項系數(shù)和為.(5)x的奇次項系數(shù)和為a1a3a5a9；x的偶次項系數(shù)和為a0a2a4a10.【點撥】“賦值法”普遍運用于恒等式，是一種處理二項式相關(guān)問題比較常用的方法對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需

9、令x1即可；對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令xy1即可若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5.(1)(2017浙江溫州模擬)在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為()A15 B45 C135 D405解：由題意64，n6，Tr1Cx6r3rCx，令63，得r2，則x3的系數(shù)為32C135.故選C.(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實數(shù)m的值為_解：令x2，得

10、a0a1a2a9(4m)9，令x0，得a0a1a2a3a9(m2)9，所以有(4m)9(m2)939，即m26m50，解得m1或5.故填1或5.(3)設(shè)a0a1xa2x2a2nx2n，則(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2_.解：設(shè)f(x)，則(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)f(1)·f(1)·.故填.類型三系數(shù)最大項問題已知(x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x1)n的展開式的二項式系數(shù)和大992.(1)求的二項式系數(shù)最大的項；(2)求的展開式系數(shù)最大的

11、項解：由題意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，所以2n32(負值舍去)，解得n5.(1)由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，即C252.所以T6C(2x)5C258 064.(2)設(shè)第r1項的系數(shù)最大，因為Tr1C(2x)10rC210rx102r，所以得 即解得r，因為rN，所以r3.故系數(shù)最大的項是第4項，第4項為T4C27x415 360x4.【點撥】(1)求二項式系數(shù)最大項：如果n是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項(第項與第1項)的二項式系數(shù)相等并最大(2)求展開式系數(shù)最大項：如求(abx)n(a，bR)的展開式系數(shù)最大的

12、項，一般是采用待定系數(shù)法，列出不等式組從而解出r，即得展開式系數(shù)最大的項已知的展開式中第3項與第4項的二項式系數(shù)相等(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項解：(1)易知n5，故展開式共有6項，其中二項式系數(shù)最大的項為第三、第四兩項所以T3C·(3x2)290x6，T4C·(3x2)3270x.(2)設(shè)展開式中第r1項的系數(shù)最大Tr1C·(x)5r·(3x2)rC·3r·x，故有即解得r.因為rN，所以r4，即展開式中第5項的系數(shù)最大T5C·x·(3x2)4405x.類型四整除問題與求近似值

13、問題(1)已知2n2·3n5na能被25整除，求正整數(shù)a的最小值；(2)求1.028的近似值(精確到小數(shù)點后三位)解：(1)原式4·6n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，顯然正整數(shù)a的最小值為4.(2)1.028(10.02)8CC·0.02C·0.022C·0.0231.172.【點撥】(1)利用二項式定理解決整除問題的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造二項式，其基本思路是：要證明一個式子能被另一個式子整除，只需證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除因此，一般將被除式化為含有相

14、關(guān)除式的二項式，然后再展開，此時常采用“配湊法”“消去法”結(jié)合整除的有關(guān)知識來處理注意：0余數(shù)<除數(shù)(2)整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應(yīng)用問題，整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項(1)設(shè)aZ，且0a<13，若512 016a能被13整除，則a()A0 B1 C11 D12解：512 016a(521)2 016a522 016C×522 015×(1)C×52×(1)2 015(1)2 016a能被13整除，只需(1)2 016a1a能被13整除即可因為0a<13，所以a12.故選D.(2)

15、設(shè)nN*，n1，求證33n26n1能被676整除證明：33n26n127n26n1(261)n26n126nC26n1C26n2C262C26C26n1262676而26n2C26n3C26n4C為整數(shù)故33n26n1能被676整除類型五特殊“三項式”(可化為二項式)的展開式求展開式中的常數(shù)項解法一：原式， 所以 (1|x|)6的展開式中|x|3的系數(shù)C(1)320就是原式展開式中的常數(shù)項解法二：將原式化為，利用二項式定理求解解法三：將原式看成三個|x|2相乘，常數(shù)項只可能由|x|··(2)和(2)3構(gòu)成，可利用計數(shù)原理分成兩類再求和故所求為C·C·(2

16、)C·(2)320.【點撥】三項式的展開式問題，通?？捎媒夥ǘ癁槎検絾栴}，或者用解法三化為計數(shù)問題(2015·江西模擬)若(x2ax1)6(a>0)的展開式中x2的系數(shù)是66，則sinxdx的值為_解：由題意可得(x2ax1)6的展開式中x2的系數(shù)為CCa2，故CCa266，所以a2或a2(舍去)故sinxdx(cosx)|1cos2.故填1cos2.1二項展開式的通項主要用于求二項式的指數(shù)、項和系數(shù)，在運用公式時要注意以下幾點：(1)Cankbk是第k1項，而不是第k項(2)求展開式的一些特殊項，通常都是由題意列出方程求出k，再求所需的某項(有時需先求n)計算時

17、要注意n，k的取值范圍及它們的大小關(guān)系(3)求展開式的某一項的系數(shù)，先要準確地寫出通項，特別要注意符號問題，然后將通項中的系數(shù)和字母分離2要注意二項展開式中二項式系數(shù)與某一項系數(shù)的區(qū)別在(ab)n的展開式中，系數(shù)最大的項是中間項；但當(dāng)a，b的系數(shù)不是1時，系數(shù)最大的項的位置就不一定在中間，需要利用通項公式，根據(jù)系數(shù)的增減性具體討論而定3對三項或三項以上的展開問題，應(yīng)根據(jù)式子的特點，轉(zhuǎn)化為二項式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題解決)，轉(zhuǎn)化的方法通常為集項、配方、因式分解，集項時要注意項與項結(jié)合的合理性和簡捷性4二項式定理的應(yīng)用方法(1)“賦值法”和“構(gòu)造法”是解決二項展開式中“系數(shù)和”問題的基

18、本思路，也是證明有關(guān)組合數(shù)恒等式的重要方法(2)“配湊法”和“消去法”是解決“整除性問題”或“余數(shù)問題”的重要方法(3)整除問題要關(guān)注的是展開式的最后幾項，求近似值問題關(guān)注的是展開式的前幾項(4)有些不等式的證明問題，也常借助二項式定理進行“放縮”處理(5)要注意二項式定理的逆用，它常用于有關(guān)化簡和求值問題1在的展開式中，常數(shù)項為()A32 B32 C24 D24解：通項Tr1Cx4r(2)r·xC(2)rx4，令40r3.故所求為32.故選A.2(2015·南昌質(zhì)檢)在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是()A7 B7 C28 D28解：由題意可知n

19、8，Tr1C(1)rC·x8.令8r0，得r6，×(1)6C7.故選B.3(2017·廣西聯(lián)考)若二項式的展開式中的常數(shù)項為m，則(x22x)dx()A. B C D.解：因為二項展開式的通項公式為Tr1CCx123r，令123r0，得r4，所以mC3，所以(x22x)dx(x22x)dx|，故選D.4(2016·貴州模擬)在二項式(x2x1)(x1)5的展開式中，含x4項的系數(shù)是()A25 B5 C5 D25解：因為(x2x1)(x1)x31，所以原式可化為(x31)(x1)4.故展開式中，含x4項的系數(shù)為C(1)3C415.故選B.5從的展開式中任取

20、一項，則取到有理項的概率為()A. B. C. D.解：的展開式的通項公式為Tk1C()20kCx5k，其中k0，1，2，20.而當(dāng)k0，4，8，12，16，20時，5k為整數(shù)，對應(yīng)的項為有理項，所以從的展開式中任取一項，取到有理項的概率為P.故選B.6若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，則log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28 C7 D8解：令x1得a0a1a2a1228，；令x3得a0a1a2a3a120，.得2(a1a3a11)28，所以a1a3a1127，所以log2(a1a3a11)7.故選C.7(2016·上海)在的二項式中，所

21、有項的二項式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項等于_解：因為所有項的二項式系數(shù)之和為2n，所以2n256，所以n8，二項展開式的通項為Tr1C()8r·(2)rCxr，令r0，得r2，所以T3112.故填112.8(2016·山東)若的展開式中x5的系數(shù)是80，則實數(shù)a_解：因為Tr1C(ax2)5rCa5rx10r，所以由10r5r2，因此Ca5280a2.故填2.9求證：32n28n9能被64整除(nN*)證明：因為32n28n932·32n8n99·9n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C·8C·1)8n99(8nC8n1C82)9·8n98n99×82(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n所以32n28n9能被64整除10已知二項式.(1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；(2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，