2012版高考數(shù)學(xué) 3-2-1精品系列 專題05 平面向量

1、用心 愛(ài)心 專心120122012 版高考數(shù)學(xué)版高考數(shù)學(xué) 3-2-13-2-1 精品系列專題精品系列專題 0505 平面向量（教師版）平面向量（教師版）【考點(diǎn)定位考點(diǎn)定位】2012】2012 考綱解讀和近幾年考點(diǎn)分布考綱解讀和近幾年考點(diǎn)分布20122012 考綱解讀考綱解讀（4）平面向量的數(shù)量積 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.（5）向量的應(yīng)用會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題

2、.考綱解讀：考綱解讀：要掌握平面向量的概念與性質(zhì)（共線、模、夾角、垂直等）；在選擇填空中要重視平面向量的幾何運(yùn)算,也要重視坐標(biāo)運(yùn)算（有時(shí)要自己建系）；要注意三角形的重心、垂心的向量判斷；在其它知識(shí)如解析幾何中要注意平面向量的工具作用（如平行、垂直可轉(zhuǎn)化向量的關(guān)系求解）。近幾年考點(diǎn)分布近幾年考點(diǎn)分布平面向量在高考試題中，主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，突出向量的工具作用平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及基本運(yùn)算技能，考查學(xué)生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行運(yùn)算；第二，考察向量的坐標(biāo)表示，及坐標(biāo)形勢(shì)下的向量的線性運(yùn)算；第三，經(jīng)

3、常和函數(shù)、曲線、數(shù)列等知識(shí)結(jié)合，考察綜合運(yùn)用知識(shí)能力在近幾年的高考中，每年都有兩道題目其中小題以填空題或選擇題形式出現(xiàn)，考查了向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，數(shù)乘、數(shù)量積、共線問(wèn)題與軌跡問(wèn)題大題則以向量形式為條件，綜合考查了函數(shù)、三角、數(shù)列、曲線等問(wèn)題【考點(diǎn)考點(diǎn) pk】pk】名師考點(diǎn)透析名師考點(diǎn)透析考點(diǎn)一、向量的概念、向量的基本定理考點(diǎn)一、向量的概念、向量的基本定理例 1、如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量OA 、OB 、OC ,其中與OA 與OB 的夾角為 120，OA 與OC 的夾角為 30,且且| |OA |OB |1，|OC | 32，若OC OA +OB （，R R）,則+的值為 .解解：過(guò) C 作OA與

4、OC的平行線與它們的延長(zhǎng)線相交，可得平行四邊形，由角BOC=90角 AOC=30，OC=32得平行四邊形的邊長(zhǎng)為 2 和 4，2+4=6用心 愛(ài)心 專心2【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向本題考查平面向量的基本定理，向量 OC 用向量 OA 與向量 OB 作為基底表示出來(lái)后，求相應(yīng)的系數(shù)，也考查了平行四邊形法則。考點(diǎn)二、向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算例 2 2、已知平面向量), 2(),2 , 1 (mba，且ab，則ba32 =（ ） A （-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解解：由ab，得 m4，所以，b

5、a32 （2，4）（6，12）（4，8） ，故選（C） ?！久麕燑c(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算，理解兩個(gè)向量共線的含義，會(huì)判斷兩個(gè)向量的平行關(guān)系；掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算，體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。例 3、已知平面向量a=（1，3） ，b=（4，2） ，ab與a垂直，則是（ ）A. 1 B. 1C. 2D. 2例 4、已知向量a和b的夾角為0120，| 1,| 3ab，則|5|ab解解：2222552510ababaa bb =22125 11

6、0 1 33492 ，用心 愛(ài)心 專心35ab7【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】向量的模、向量的數(shù)量積的運(yùn)算是經(jīng)常考查的內(nèi)容，難度不大，只要細(xì)心，運(yùn)算不要出現(xiàn)錯(cuò)誤即可?？键c(diǎn)三、向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題三、向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題例 5、已知向量( 3sin ,cos ),(cos ,cos )axxbxx ,函數(shù)( )21f xa b (1)求( )f x的最小正周期; (2)當(dāng), 62x時(shí), 若( )1,f x 求x的值【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，考查了向量的知識(shí)，三角函數(shù)的知識(shí)，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求。向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)，但通常難度不

7、大，一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算，而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識(shí)點(diǎn).例 6、在ABC中，角ABC，的對(duì)邊分別為tan3 7abcC ，（1）求cosC；（2）若52CB CA ，且9ab，求c解解：（1）sintan3 73 7cosCCC，又22sincos1CC 解得1cos8C tan0C ，C是銳角1cos8C（2）由52CB CA ， 5cos2abC，20ab 又9ab22281aabb2241ab2222cos36cababC6c 【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等

8、內(nèi)容。用心 愛(ài)心 專心4考點(diǎn)四、平面向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯四、平面向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯例 7 已知向量a(cos23x，sin23x)，b(2sin2cosxx，)，且x0，2（1）求ba（2）設(shè)函數(shù)baxf)(+ba，求函數(shù))(xf的最值及相應(yīng)的x的值。解：（解：（I I）由已知條件： 20 x， 得：22)2sin23(sin)2cos23(cos)2sin23sin,2cos23(cosxxxxxxxxba【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】本題考查向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識(shí)，經(jīng)過(guò)配方后，變成開(kāi)口向下的二次函數(shù)圖象，要注意 sinx 的取值范圍，否則容易搞錯(cuò)。平面向量與函數(shù)交匯的問(wèn)題，主要是向量與二次

9、函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題為主，要注意自變量的取值范圍?？键c(diǎn)五、平面向量在平面幾何中的應(yīng)用五、平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例 8 如圖在 RtABC 中，已知 BC=a，若長(zhǎng)為 2a 的線段 PQ以 A 為中點(diǎn)，問(wèn)PQ與BC的夾角取何值時(shí)， BPCQ的值最大？并求出這個(gè)最大值。 解解：以直角頂點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則 A（0，0） ，B（c，0） ，C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（x，y） ，則 Q（-x，-y） ，BPxcy （，），22.CQxybBCcbPQxy （，），（，），（，）2

10、2()()()().BP CQxcxyybxycxby 2cos.| |BC PQcxbyaBCPQ cx-by=a2cos.BPCQ=- a2+ a2cos.故當(dāng) cos=1，即=0（PQBC與方向相同）時(shí)，BPCQ的值最大，其最大值為 0.OxACBayACBaQP用心 愛(ài)心 專心5【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的概念，運(yùn)算法則及函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，平面向量與幾何問(wèn)題的融合。考查學(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力。向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起因此，許多平面幾何問(wèn)題中較難解決的問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)

11、化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決【三年高考三年高考】 1010、1111、1212 高考試題及其解析高考試題及其解析20122012 年高考試題及解析年高考試題及解析一、選擇題1 （2012 年高考（重慶文） ）設(shè)xR ,向量( ,1),(1, 2),axb且ab ,則|abA5B10C2 5D10【解析】0202aba bxx ,22| |(2,1)(1, 2)|3( 1)10ab 【考點(diǎn)定位】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量垂直的充要條件,本

12、題屬于基礎(chǔ)題,只要計(jì)算正確即可得到全分. 2 （2012 年高考（重慶理） ）設(shè), x yR,向量 4, 2, 1,1 ,cybxa,且cbca/,則_ba（）A5B10C2 5D103 （2012 年高考浙江）設(shè) a,b 是兩個(gè)非零向量.（）A若|a+b|=|a|-|b|,則 abB若 ab,則|a+b|=|a|-|b| C若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù) ,使得 b=a D若存在實(shí)數(shù) ,使得 b=a,則|a+b|=|a|-|b|【解析】利用排除法可得選項(xiàng) C 是正確的,|a+b|=|a|-|b|,則a,b共線,即存在實(shí) 數(shù),使得a=b.如選項(xiàng) A:|a+b|=|a|-|b|時(shí),a,

13、b可為異向的共線向量;選項(xiàng) B:若ab,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;選項(xiàng) D:若存在實(shí)數(shù),使得a=b,a,b可為同向的共線向用心 愛(ài)心 專心6量,此時(shí)顯然|a+b|=|a|-|b|不成立.4 （2012 年高考（天津文）在ABC中,90A,1AB ,設(shè)點(diǎn),P Q滿足,(1),APAB AQACR .若2BQ CP ,則（）A13B23C43D25 （2012 年高考（天津理） ）已知ABC 為等邊三角形,=2AB,設(shè)點(diǎn) P,Q 滿足=APAB ,=(1)AQAC,R,若3=2BQ CP ,則=（）A12 B122 C1102 D32 22 【解析】=BQ AQAB =(1)AC

14、AB ,=CP APAC =ABAC , 又3=2BQ CP ,且|=|=2ABAC ,0=60AB AC ,0=|cos60 =2AB ACAB AC ,3(1)()=2ACABABAC ,2223| +(1)+(1)| =2ABAB ACAC ,所以234 +2(1)+4(1)=2,解得1=2.6 （2012 年高考（遼寧文） ）已知向量 a = (1,1),b = (2,x).若 a b = 1,則 x = （）A1B12C12D17 （2012 年高考（遼寧理） ）已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|ab|,則下面結(jié)論正確的是（）Aab Bab C0,1,3 Da+b=ab【解析】

15、法一：由|a+b|=|ab|,平方可得ab=0, 所以ab,故選 B 法二：根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|ab|分別為以向量a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng),因?yàn)閨a+b|=|ab|,所以該平行四邊形為矩形,所以ab,故選 B CBAPQ用心 愛(ài)心 專心7【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的運(yùn)算、幾何意義以及向量的位置關(guān)系,屬于容易題.解析一是利用向量的運(yùn)算來(lái)解,解析二是利用了向量運(yùn)算的幾何意義來(lái)解.8 （2012 年高考廣東）(向量、創(chuàng)新)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量 和 ,定義 ,若平面向量a、b滿足0ab,a與b的夾角0,4,且a b和b a都在集合2nnZ中,則a bA1

16、2B1C32D529 （2012 年高考廣東) 若向量1,2AB ,3,4BC ,則AC （）A4,6B4, 6C2, 2D2,2【解析】4,6ACABBC 10 （2012 年高考（福建文） ）已知向量(1,2),(2,1)axb,則ab的充要條件是（）A12x B1x C5x D0 x 【解析】由向量垂直的充要條件得 2(x-1)+2=0 所以 x=0 .D 正確11 （2012 年高考（大綱文） ）ABC中,AB邊的高為CD,若CBa ,CAb ,0a b ,| 1a ,| 2b ,則AD （）A1133abB2233abC3355abD4455ab用心 愛(ài)心 專心8【解析】由0a b

17、可得90ACB,故5AB ,用等面積法求得2 55CD ,所以4 55AD ,故4444()5555ADABCBCAab ,故選答案 D12 （2012 年高考（湖南理） ）在ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1 則_BC .（）A3B7C2 2D23【解析】由下圖知AB BC = cos()AB BCB 2( cos)1BCB . 1cos2BBC.又由余弦定理知222cos2ABBCACBAB BC,解得3BC . 【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、余弦定理等知識(shí).考查運(yùn)算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.需要注意,AB BC 的夾角為B的外角. 13

18、（2012 年高考（安徽理） ）在平面直角坐標(biāo)系中,(0,0), (6,8)OP,將向量OP 按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)34后,得向量OQ則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）A( 7 2,2)B( 7 2,2)C( 4 6, 2)D( 4 6,2)二、填空題1（2012 年高考（浙江文） ）在ABC 中,M 是 BC 的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則AB AC =_.【解析】由余弦定理ABC用心 愛(ài)心 專心9222222cos532 5 3cosABAMBMAM BMAMBAMB , 222222cos352 5 3cosACAMCMAM CMAMCAMC ,0180AMBAMC,兩式子相加為222222222 (35 )6

19、8ACABAMCM, 2222221068 100cos222ABACBCABACBACABACABACABAC, 68 100cos162AB ACAB ACBACAB ACABAC .2 （2012 年高考（上海文） ）在知形ABCD中,邊AB、AD的長(zhǎng)分別為 2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足|CDCNBCBM,則ANAM 的取值范圍是_ .解析 如圖建系,則A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1). 設(shè)tCDCNBCBM|0,1,則tBM |,tCN2|, 所以M(2,t),N(2-2t,1), 故ANAM =4-4t+t=4-3t=( )f t因?yàn)閠0,

20、1,所以( )f t遞減, 所以(ANAM )max=(0)f=4,(ANAM )min= (1)f=1. 3 （2012 年高考（課標(biāo)文） ）已知向量a,b夾角為045,且|a|=1,|2 ab|=10,則|b|=_.【解析】|2 ab|=10,平方得224410aa b+b,即22 260 |b|b|,解得|b|=3 2或2(舍) 4 （2012 年高考（江西文） ）設(shè)單位向量( , ),(2, 1)mx y b。若mb,則|2 |xy_。【解析】由已知可得20 xy,又因?yàn)?m 為單位向量所以221xy,聯(lián)立解得ABDCyx21(O)MN用心 愛(ài)心 專心10552 55xy或552 55

21、xy 代入所求即可. 【答案】5【考點(diǎn)定位】本題考查向量垂直的充要條件.5 （2012 年高考（湖南文） ）如圖 4,在平行四邊形 ABCD 中 ,APBD,垂足為 P,3AP 且AP AC = _.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量加法的幾何運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.6 （2012 年高考（湖北文） ）已知向量(1,0),(1,1)ab,則()與2ab同向的單位向量的坐標(biāo)表示為_(kāi);()向量3ba與向量a夾角的余弦值為_(kāi).【點(diǎn)評(píng)】本題考查單位向量的概念,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,向量的數(shù)量積等.與某向量同向的單位向量一般只有 1 個(gè),但與某向量共線的單位向量一般

22、有 2 個(gè),它包含同向與反向兩種.不要把兩個(gè)概念弄混淆了. 來(lái)年需注意平面向量基本定理,基本概念以及創(chuàng)新性問(wèn)題的考查.7 （2012 年高考（北京文） ）已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1,點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn),則用心 愛(ài)心 專心11DE CB 的值為_(kāi).【解析】根據(jù)平面向量的點(diǎn)乘公式| |cosDE CBDE DADEDA ,可知|cos|DEDA ,因此2|1DE CBDA ;| |cos| cosDE DCDEDCDE ,而|cosDE就是向量DE在DC邊上的射影,要想讓DE DC 最大,即讓射影最大,此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合,射影為|DC,所以長(zhǎng)度為 1 【考點(diǎn)定位】 本題是平面向量

23、問(wèn)題,考查學(xué)生對(duì)于平面向量點(diǎn)乘知識(shí)的理解,其中包含動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生最值的求法. 8 （2012 年高考（安徽文） ）設(shè)向量(1,2 ),(1,1),(2,)am bmcm,若()acb,則a _.【解析】1(3,3 ),()3(1)3022acmac bmmma 9、 （2012 年高考（新課標(biāo)理） ）已知向量, a b 夾角為45 ,且1, 210aab;則_b 22210(2)1044cos45103 2ababbbb10、 （2012 年高考（浙江理） ）在ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則AB AC =_.【解析】此題最適合的方法是特例法. 假設(shè)ABC是以AB=AC的

24、等腰三角形,如圖, AM=3,BC=10,AB=AC=34. cosBAC=343410082 3417 .AB AC =cos16ABACBAC 11、 （2012 年高考（上海理） ）在平行四邊形ABCD中,A=3, 邊AB、AD的長(zhǎng)分別為 2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足|CDCNBCBM,則ANAM 的取值范圍是【解析】如圖建系,則A(0,0),B(2,0),D(21,23),C(25,23). 設(shè)tCDCNBCBM|0,1,則tBM |,tCN2|, 所以M(2+2t,23t),N(25-2t,23),xyABCDMN用心 愛(ài)心 專心12故ANAM =(2+2t)(

25、25-2t)+23t 23=)(6) 1(5222tfttt, 因?yàn)閠0,1,所以f (t)遞減,( ANAM )max= f (0)=5,(ANAM )min= f (1)=2. 評(píng)注 當(dāng)然從搶分的戰(zhàn)略上,可冒用兩個(gè)特殊點(diǎn):M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在這兩點(diǎn)處取得最值,蒙對(duì)了,又省了時(shí)間!出題大蝦太給蒙派一族面子了!12 （2012 年高考（江蘇） ）如圖,在矩形ABCD中,22ABBC，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若2ABAF ,則AEBF 的值是_.13 （2012 年高考（北京理） ）已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1,點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn),則DE C

26、B 的值為_(kāi);DE DC 的最大值為_(kāi).【解析】 【答案】1;1根據(jù)平面向量的點(diǎn)乘公式| |cosDE CBDE DADEDA ,可知|cos|DEDA ,因此2|1DE CBDA ;| |cos| cosDE DCDEDCDE ,而|cosDE就是向量DE在DC邊上的射影,要想讓DE DC 最大,即讓射影最大,此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合,射影為|DC,所以長(zhǎng)度為 1 【考點(diǎn)定位】 本題是平面向量問(wèn)題,考查學(xué)生對(duì)于平面向量點(diǎn)乘知識(shí)的理解,其中包含動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生最值的求法.14 （2012 年高考（安徽理） ）若平面向量, a b 滿足:23ab;則a b 的最小值是_【解析】 2223494aba

27、ba b 用心 愛(ài)心 專心132294449448aba ba ba ba ba b 1111 年高考試題及解析年高考試題及解析1、 （四川文 7 理 4）.如圖，正六邊形 ABCDEF 中，BACDEF =(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D解析：BACDEFDECDEFCDDEEFCF .2、 （福建文 13.） 若向量a=（1,1） ， b （-1,2） ，則a b _.【解析】因?yàn)橄蛄縜=（1,1） ，b （-1,2） ，所以1 ( 1) 1 21a b 3（江蘇 1010） 、已知、已知21,ee是夾角為是夾角為32的兩個(gè)單位向量，的兩個(gè)單位向量，12122,aee

28、 bkee 若若0ba，則，則 k k 的值為的值為 。4（廣東文 3 3） 已知向量已知向量(1,2),(1,0),(3,4)abc，若，若為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，()/abc，則，則= = （ ）A A14 B B12 C C1 D D2【解析解析】)2 ,1 ()0 ,()2 , 1 (ba，()/abc 210324)1 ( 所以選所以選 B.B.5（廣東理 3 3） 若向量若向量 a a，b b，c c 滿足滿足 abab 且且 acac，則，則 c(a+2b)=c(a+2b)=（ ） A A4 4 B B3 3 C C2 2 D D0 06（全國(guó)文 3）設(shè)向量a b 、滿足|a|=|b|=

29、1, a b 1=2,則2ab用心 愛(ài)心 專心14（A）2 （B）3 （C）5 （D）7【答案】B【解析】2222(2 )44ababaa bb 2244aa bb 114 ()4 132 故選 B7（課標(biāo)文 13）.已知向量ba,為不共線的單位向量，Rk ，如果)()(bakba與垂直，那么_k8（湖北文 2） 若向量1,2,1, 1ab，則2ab與ab的夾角等于A.4B.6C.4D. 34解析：因?yàn)?(3,3),(0,3)abab,設(shè)其夾角為 r，故(2) ()2cos2|2| |ababrabab，即4r，所以選 C.9（遼寧文 3）已知向量 a a=（2,1） ，b b=（-1，k）

30、，a a（2a a-b b）=0，則 k=（ ）（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12解析：由題意，得 2a a-b b =（5，2-k） ，a a（2a a-b b）=25+2-k=0，所以 k=12. 答案： D10（湖南文 130設(shè)向量, a b 滿足| 2 5,(2,1),ab且ab與的方向相反，則a的坐標(biāo)為 解析：由題2|215b ，所以2( 4, 2).ab 11（安徽文 14、理 13）已知向量a a，b b滿足26abab 且1a ，2b ，則a a與b b的夾角為 .12（江西文 11） 已知兩個(gè)單位向量1e，2e的夾角為3，若向量1122bee，用心 愛(ài)心 專心15

31、21234bee，則12b b=_.【答案】-6【解析】要求1b*2b，只需將題目已知條件帶入，得：1b*2b=（1e-22e）*（31e+42e）=222121823eeee其中21e=1，21ee=60cos21ee=1*1*21=21，122e，帶入，原式=3*12*218*1=6.13（江西理 11）.已知2ab,(2 )abab（）=-2，則a與b的夾角為 14（重慶文 5） 已知向量(1, ),(2,2),ak baba且與共線，那么a b的值為A1 B2 C3 D4【命題意圖】本題考查向量共線的充要條件、向量數(shù)量積的計(jì)算，是簡(jiǎn)單題.【解析】ab=(3,2k) ab與a 3 2(2

32、) 20k 解得k=1a b=1 2 1 2 =4 故選 D.15（北京文 11、理 10）已知向量( 3,1),(0 1),( , 3)abck。若2ab與c，共線，則k= . 【解析】：2( 3,3)ab由2ab與c共線得3331kk16（重慶理 12）已知單位向量,ijc c 的夾角為60，則2ijcc 解析： 22222444 1 4 cos603ijijijijccccccc c 17（湖南理 14）.在邊長(zhǎng)為 1 的正三角形 ABC 中，設(shè),3,2CECABDBC則BEAD .解析：設(shè),bABaBC則,21abBDABAD,313231baCABCCEBCBE且用心 愛(ài)心 專心16

33、21120cosba，所以BEADab21ba3132=4121313122baba，故填4118（福建理 15）.設(shè) V 是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射:f VR滿足：對(duì)任意向量11( ,),ax yV22(,),bxyV以及任意R，均有(1) )( )(1) ( )fabf af b則稱映射f具有性質(zhì) P?，F(xiàn)先給出如下映射：11:,( ),( , )fVR f mxy mx yV 222:,( ),( , )fVR fmxy mx yV33:,( )1,( , )fVR f mxymx yV其中，具有性質(zhì) P 的映射的序號(hào)為_(kāi)。 （寫(xiě)出所有具有性質(zhì) P 的映射的序號(hào)）：(1) )fab1

34、212(1) (1) 1xxyy，11( )(1) ( )f af bxy221212(1)(1)(1)(1) (1) 1xyxxyy則(1) )( )(1) ( )fabf af b 故正確19（浙江文 15、理 140 若平面向量a、b 滿足1,1，且以向量a、b 為鄰邊的平行四邊形的面積為12，則a、b 的夾角 取值范圍是 。用心 愛(ài)心 專心17【解析】：1112sin,1,1,sin222a bab 又，又0, ,5,66 20（遼寧理 10）若a、b、c 均為單位向量，且a b =0， （ac）（bc）0，則ab-c 的最大值為（A）1-2 （B）1 （C）2 （D）2解析：由a b

35、 =0， （ac）（bc）0，得-ac- -bc-b2 2=-=-1 1，2ab-c a2 2+ b2 2+ c2 2+2ab-2ac- -2bc=3=3+2（-ac- -bc）3-2=1，故ab-c 的最小值為 1.21（課標(biāo)卷理 10）. 已知 a 與 b 均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題12:10,3Pab 22:1,3Pab 3:10,3Pab 4:1,3Pab 其中的真命題是（A）14,P P （B）13,P P （C）23,P P （D）24,P P22（山東文、理 12）設(shè)1A，2A，3A，4A是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若1312A AA A (R)，1412A A

36、A A(R)，且112,則稱3A，4A調(diào)和分割1A，2A ,已知點(diǎn) C(c，o),D(d，O)(c，dR)調(diào)和分割點(diǎn) A(0，0)，B(1，0)，則下面說(shuō)法正確的是(A)C 可能是線段 AB 的中點(diǎn) (B)D 可能是線段 AB 的中點(diǎn)(C)C，D 可能同時(shí)在線段 AB 上 (D) C，D 不可能同時(shí)在線段 AB 的延長(zhǎng)線上用心 愛(ài)心 專心18【解析】由1312A AA A (R)，1412A AA A(R)知:四點(diǎn)1A，2A，3A，4A在同一條直線上,因?yàn)?C,D 調(diào)和分割點(diǎn) A,B,所以 A,B,C,D 四點(diǎn)在同一直線上,且112cd, 故選 D.23（全國(guó)理12）設(shè)向量a b c 、滿足|

37、a|=|b|=1, a b 1=2,，,ac bc =060，則c的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1【答案】A【解析】如圖，構(gòu)造AB a, AD b, AC c,120 ,60BADBCD，所以, ,A B C D四點(diǎn)共圓，可知當(dāng)線段AC為直徑時(shí)，c最大，最大值為 2.24（天津文、理 1414）. .已知直角梯形已知直角梯形 ABCDABCD 中中,ADBC,ADBC,90ADC,AD=2,BC=1,P,AD=2,BC=1,P 是腰是腰 DCDC上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn), ,則則|3|PAPB 的最小值為的最小值為 . .【答案】5【解析】畫(huà)出圖形,容易得結(jié)果為 5.2010201

38、0 年高考試題及解析年高考試題及解析5 一、選擇題1 1（20102010 湖南文湖南文 6）若非零向量 a，b 滿足| |,(2)0ababb，則 a 與 b 的夾角為A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500【解析】由(2)0abb得220a bb 于是22| |cos|0abb又| |,ab所以1cos2 故120選 C2 2（20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 理理 8）ABCV中，點(diǎn)D在AB上，CD平方ACB若CBauur，CAbuu r，1a ，2b ，則CD uuu r（A）1233ab （B）2133ab （C）3455ab （D）4355abABDC用心

39、愛(ài)心 專心193 3（20102010 遼寧文數(shù)）遼寧文數(shù)） （8）平面上, ,O A B三點(diǎn)不共線，設(shè),OAa OBb ,則OAB的面積等于 （A）222()aba b （B）222()aba b （C）2221()2aba b （D）2221()2aba b 解析：2222111()|sin,| 1cos,| 1222| |OABa bSa ba ba ba ba bab 2221()2aba b 選 C4 4（20102010 遼寧理遼寧理 8）平面上 O,A,B 三點(diǎn)不共線，設(shè),OA=a OBb，則OAB 的面積等于 (A)222| |()|aba b (B) 222| |()|aba

40、 b(C) 2221| |()2|aba b (D) 2221| |()2|aba b5 5（20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 文數(shù)）文數(shù)） （10）ABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上，CD 平分ACB，若CB = a , CA = b , |a= 1 ，b= 2, 則CD =（A）13a + 23b （B）23a +13b （C）35a +45b （D）45a +35b【解析解析】B】B：本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)：本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)用心 愛(ài)心 專心20 CDCD 為角平分線，為角平分線， 12BDBCADAC， ABCBCAab ， 222333ADABab ， 2221

41、3333CDCAADbabab 6 6（20102010 安徽文安徽文 3）設(shè)向量(1,0)a ,1 1( , )2 2b ,則下列結(jié)論中正確的是(A)ab (B)22a b (C)/ /ab (D)ab與b垂直【解析】11( ,)22ab =，()0ab b，所以ab與b垂直.【規(guī)律總結(jié)】根據(jù)向量是坐標(biāo)運(yùn)算，直接代入求解，判斷即可得出結(jié)論.7（2010 重慶文數(shù)） （3）若向量(3,)am，(2, 1)b ，0a b ，則實(shí)數(shù)m的值為（A）32 （B）32 （C）2 （D）6解析：60a bm ，所以m=68 8 （20102010 重慶理重慶理 2）已知向量 a，b 滿足0,1,2,a b

42、ab ，則2abA. 0 B. 2 2 C. 4 D. 89 9（20102010 山東文山東文 12）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的( , )am n，( , )bp q，令abmqnp，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是(A)若 a 與 b 共線，則0ab (B)abba(C)對(duì)任意的R，有()()abab(D)2222()()| |aba bab 答案：B1010（20102010 四川理四川理 5 文文 6）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，216,BCABACABAC 則AM （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1解析：由2BC 16，得|BC|4 ，ABACABACBC 4

43、而ABACAM 用心 愛(ài)心 專心21故AM 2 答案：C 1111（20102010 天津文天津文 9）如圖，在 ABC 中，ADAB，3BC BD ，1AD ，則AC AD =（A）2 3 （B）32 （C）33 （ D）3【答案】D【解析】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于難題。| |cos| cos|sinAC ADACADDACACDACACBAC sinB3BC 【溫馨提示】近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問(wèn)題。1212（20102010 廣東文數(shù)）廣東文數(shù)）若向量a=（1,1）

44、，b=（2,5） ，c=(3,x)滿足條件 (8ab)c=30，則x= A6 B5 C4 D31313（20102010 福建文數(shù)）福建文數(shù)）若向量(x,3)(x)aR，則“x4”是“| 5a ”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件1414（20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 1 1 文文 11）已知圓O的半徑為 1，PA、PB 為該圓的兩條切線，A、B 為兩切點(diǎn)，那么PA PB 的最小值為(A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長(zhǎng)定理，著重考查最值的求法判別式法,同時(shí)也考查了

45、考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力.用心 愛(ài)心 專心22【解析 1】如圖所示：設(shè) PA=PB=x(0)x ,APO=,則APB=2，PO=21x，21sin1x，| |cos2PA PBPAPB =22(1 2sin)x=222(1)1xxx=4221xxx，令PA PBy ，則4221xxyx，即42(1)0 xy xy，由2x是實(shí)數(shù)，所以2 (1)4 1 ()0yy 2610yy ，解得32 2y 或32 2y .故min()32 2PA PB .此時(shí)21x .【解析 2】設(shè),0APB，2cos1/tancos2PA PBPAPB 2222221 sin1 2sincos2221 2

46、sin2sinsin22換元：2sin,012xx，11 21232 23xxPA PBxxx 【解析 3】建系：園的方程為221xy，設(shè)11110( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x， 2211101110110,001AOPAx yxxyxx xyx x222222221100110110221232 23PA PBxx xxyxxxxx 1515（20102010 湖北文湖北文 8、理 5.）已知ABC和點(diǎn) M 滿足0MAMBMC .若存在實(shí)m使得AMACmAM 成立，則m=A.2B.3C.4D.5PABO 22210110111001,2PA PBxxyxxyxx

47、xxy 用心 愛(ài)心 專心231616（20102010 山東理山東理 12）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下，對(duì)任意的a=(m,n)，bp,q)（，令ab=mq-np，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A.若a與b共線，則ab=0 B.ab=ba C.對(duì)任意的R，有a)b= (（ab) D. 2222(ab) +(ab) =|a| |b| 【解析】若a與b共線，則有ab=mq-np=0，故 A 正確；因?yàn)閎apn-qm，而ab=mq-np，所以有abba，故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤，故選 B?！久}意圖】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。1717（2

48、 2010010 湖南理湖南理 4） 、在Rt ABC中，C=90AC=4，則AB ACuu u r uuu r等于A、-16 B、-8 C、8 D、16二、填空題二、填空題1 1（20201010 浙江理浙江理 16）已知平面向量,(0,) 滿足1，且與的夾角為 120，則的取值范圍是_解析：利用題設(shè)條件及其幾何意義表示在三角形中，即可迎刃而解，本題主要考察了平面向量的四則運(yùn)算及其幾何意義，突出考察了對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題。 【答案】2 3(0,)32 2（20102010 陜西文陜西文 12.）已知向量2 , 1, 1,1, 2cmba，若ba c，則用心 愛(ài)心 專心2

49、4_m.3 3（20102010 江西理江西理 13）已知向量a，b滿足1a ，2b ， a與b的夾角為 60，則ab 【答案】 3 【解析】考查向量的夾角和向量的模長(zhǎng)公式，以及向量三角形法則、余弦定理等知識(shí)，如圖,aOA bOB abOAOBBA ，由余弦定理得：3ab4 4（20102010 浙江文浙江文 17）在平行四邊形 ABCD 中，O 是 AC 與 BD 的交點(diǎn)，P、Q、M、N 分別是線段 OA、OB、OC、OD 的中點(diǎn)，在 APMC 中任取一點(diǎn)記為 E，在 B、Q、N、D 中任取一點(diǎn)記為 F，設(shè) G 為滿足向量OGOE OF 的點(diǎn)，則在上述的點(diǎn) G 組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊

50、形 ABCD 外（不含邊界）的概率為 答案：345 5（20102010 浙江文浙江文 13）已知平面向量,1,2,(2 ), 則2a的值是 答案 ：106 6（20102010 天津理天津理 15）如圖，在ABC中，ADAB,3BCBD ,1AD ,則AC AD .近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問(wèn)題。用心 愛(ài)心 專心257 7（20102010 廣東理廣東理 10）若向量ar=（1,1,x）, br=(1,2,1), cr=(1,1,1),滿足條件() (2 )cabrrr=-2,則x= .10C(0,0,1

51、)cax，() (2 )2(0,0,1) (1,2,1)2(1)2cabxx ，解得2x 8 8（20102010 上海文上海文 13）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在原點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 5,0)，1(2,1)e 、2(2, 1)e 分別是兩條漸近線的方向向量。任取雙曲線上的點(diǎn)P，若12OPaebe （a、bR） ，則a、b滿足的一個(gè)等式是 4ab1 。三、解答題：三、解答題：（20102010 年高考江蘇卷試題年高考江蘇卷試題 1515） （本小題滿分 14 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn)A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。 （1） （求以線段 AB、AC 為鄰邊的平行

52、四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）設(shè)實(shí)數(shù) t 滿足(OCtAB)OC=0，求 t 的值。解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運(yùn)算、數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力。滿分 14分。（1） （方法一）（方法一）由題設(shè)知(3,5),( 1,1)ABAC ，則(2,6),(4,4).ABACABAC （2）由題設(shè)知：OC=(2,1)，(32 ,5)ABtOCtt 。由(OCtAB)OC=0，得：(32 ,5) ( 2, 1)0tt ，用心 愛(ài)心 專心26從而511,t 所以115t ?；蛘撸? AB OCtOC ，(3,5),AB 2115|AB OCtOC 【兩年模擬兩年模擬】 20122012 年名校模擬題及

53、其答案年名校模擬題及其答案【浙江省寧波四中 2012 屆高三上學(xué)期第三次月考】已知向量a的模為 1，且ba,滿足2| , 4|baba，則b在a方向上的投影等于_ 【答案】3【四川省南充高中 2012 屆高三第一次月考】已知a、b 均為單位向量，它們的夾角為60，那么 ba3A7 B10 C 13 D4 【答案】C【四川省成都市雙流中學(xué) 2012 屆高三 9 月月考】已知3,1 ,2,ab，若/ab，則實(shí)數(shù)的值為A23 B32 C 23 D32 【答案】C【四川省德陽(yáng)市 2012 屆高三第一次診斷】已知 a，b 均為單位向量，它們的夾角為60，那么26aa b等于（ ）A1 3 3B4C3D7

54、【答案】B【陜西省長(zhǎng)安一中 2012 屆高三開(kāi)學(xué)第一次考試】若兩個(gè)非零向量, a b 滿足2ababa，則向量ab與ab的夾角（ ）A6 B4 C23 D56【山東省臨清三中 2012 屆高三上學(xué)期學(xué)分認(rèn)定】已知向量 a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)，用心 愛(ài)心 專心27若(a+b)c，則 m= .【答案】2【陜西省寶雞中學(xué) 2012 屆高三上月考】已知5, 3,415, 0,baSbabCAaCBABCABC中，則ba與的夾角為（ ）A65 B6 C6或65 D65【答案】D【陜西省寶雞中學(xué) 2012 屆高三上學(xué)期月考】已知o為平面內(nèi)一定點(diǎn),設(shè)條件 p:動(dòng)點(diǎn)M滿足ACAB

55、OAOM,R;條件 q:點(diǎn)M的軌跡通過(guò)ABC 的重心則條件p 是條件 q 的（ ）A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件【答案】B【陜西省寶雞中學(xué) 2012 屆高三上學(xué)期月考】已知, 3, 2,baba且ba23 與ba垂直，則實(shí)數(shù)的值為 【答案】23【山東省冠縣武訓(xùn)高中 2012 屆高三二次質(zhì)檢】如右圖，在平行四邊形ABCD中，O 是對(duì)角線 AC，BD 的交點(diǎn)，N 是線段 OD 的中點(diǎn)，AN 的延長(zhǎng)線與 CD 交于點(diǎn) E，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ) A.ACABAD B.BDADAB C.11AOABAD22 D.5AEABAD3 【答案】D【山東省冠縣武訓(xùn)高中

56、 2012 屆高三二次質(zhì)檢】在ABC中，AB3,AC2，若 O 為ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且滿足OAOBOC0 ，則AO BC （ ） A.12 B.25 C.13 D.14【答案】C【安徽省六校教育研究會(huì)安徽省六校教育研究會(huì) 20122012 屆高三聯(lián)考屆高三聯(lián)考】連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為nm,，向量( , )am n與向量)0 , 1 (b的夾角記為，則)4, 0(的概率為 （ ）（A）185（B）125（C）21（D）127【答案】B【湖北省武昌區(qū)湖北省武昌區(qū) 20122012 屆高三年級(jí)元月調(diào)研屆高三年級(jí)元月調(diào)研】已知| 1,|2,()abaab且，則向量用心 愛(ài)心 專心28a 與向

57、量 b 的夾角為（ ）A30 B45 C90 D135【答案】B【浙江省杭州第十四中學(xué)浙江省杭州第十四中學(xué) 20122012 屆高三屆高三 1212 月月考月月考】若 ABC 內(nèi)接于以 O 為圓心，1 為半徑的圓，且 3450OAOBOC ，則 OC AB 的值為(A) 15 (B) 15 (C) 65 (D) 65【答案】A【甘肅省天水一中甘肅省天水一中 20122012 學(xué)年度第一學(xué)期高三第四階段考學(xué)年度第一學(xué)期高三第四階段考】已知 O 為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OOBOCOA2,則AOC與ABC的面積比值是（ ） A. 21 B. 31 C. 32 D. 1【答案】A【黑龍江省綏棱一中黑龍江省綏

58、棱一中 20122012 屆高三理科期末屆高三理科期末】若向量0(1, 2)A ，0( 3,4)B ，則12AB 等于 A (-2,3) B (2,-3) C (2,3) D (-2,-3)【答案】A【北京市朝陽(yáng)區(qū)北京市朝陽(yáng)區(qū) 20122012 屆高三上學(xué)期期末考試屆高三上學(xué)期期末考試】已知平面向量(3,1)a，( ,3)xb，且ab，則實(shí)數(shù)x的值為 （）A9 B1 C1 D 9【北京市西城區(qū)北京市西城區(qū) 20122012 學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)年度第一學(xué)期期末】已知向量( 3,1)a，(0, 2)b.若實(shí)數(shù)k與向量c滿足2kabc，則c可以是（ ）（A）( 3, 1)（B）( 1,3) （C）

59、(3, 1)（D）( 1, 3)【答案】D【安徽省六校教育研究會(huì)安徽省六校教育研究會(huì) 20122012 屆高三聯(lián)考屆高三聯(lián)考】給出下列命題,其中正確的命題是（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)） 非零向量 a b 、滿足| | |abab，則a與ab的夾角為30； 已知非零向量 a b 、，則“0a b ”是“ a b 、的夾角為銳角”的充要條件； 命題“在三棱錐OABC中，已知2OPxOAyOBOC ，若點(diǎn)P在ABC所在的平面內(nèi)，則3xy”的否命題為真命題； 若() ()0ABACABAC ，則ABC為等腰三角形用心 愛(ài)心 專心29【黑龍江省綏棱一中黑龍江省綏棱一中 20122012 屆高三理科期末屆高

60、三理科期末】設(shè) M 是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2 3AB AC ，030BAC，定義()( , , )f Mm n p，其中, ,m n p分別是MBC，MCA，MAB的面積，若1()( , , )2f Mx y，則14xy的最小值是 【答案】18【西安市第一中學(xué)西安市第一中學(xué) 20122012 學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)年度第一學(xué)期期中】在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，3,1ABBD，則AB AD ?！敬鸢浮?52【北京市東城區(qū)北京市東城區(qū) 20122012 學(xué)年度學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末高三數(shù)第一學(xué)期期末】若非零向量a，b滿足baba，則a與ba 的夾角為 【浙江省名校新高考研究聯(lián)盟浙江省名校新高考