中考16講蘇科版數(shù)學(xué)-第11講-不一樣的旋轉(zhuǎn)

1、中考16講蘇科版數(shù)學(xué)第 11講不一樣的旋轉(zhuǎn)一、填空題（本大題共4小題，共12.0分）1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知原點(diǎn)O，A（0，4），B（2，0），將OAB繞平面內(nèi)一點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使得旋轉(zhuǎn)后的三角形的兩個頂點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)y=-6x(x<0)的圖象上，則旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為_。2. 如圖，在矩形ABCD中，AB5，BC3，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，點(diǎn)A落在矩形ABCD的CD邊上的點(diǎn)G處，連接CE，則CE_。3. 如圖，在矩形ABCD中，將ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，BC的對應(yīng)邊B'C'交CD邊于點(diǎn)G連接B

2、B'，CC'，若AD7，CG4，AB'B'G，多CC'BB'_。4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），將BOA繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得CDA，連接OD當(dāng)DOA=OBA時，直線CD的解析式為_ 二、解答題（本大題共8小題，共64.0分）5. 例題講解    【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上。    （1）請按要求畫圖：將ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C&#

3、39;，連接BB'；    （2）在（1）所畫圖形中，AB'B的度數(shù)為_。    【問題解決】如圖，在等邊ABC中，AC7，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且APC90°，BPC120°，求APC的面積。    小明同學(xué)通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：    想法一：將APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到AP'B，連接PP'，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；    想法

4、二：將APB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到AP'C，連接PP'，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；    請參考小明同學(xué)的想法，完成該問題的解答過程。（一種方法即可）    【靈活運(yùn)用】如圖，在四邊形ABCD中，AEBC，垂足為E，BAEADC，BECE2，CD5，ADkAB（k為常數(shù)），求BD的長（用含k的式子表示）6. 例題講解    在等腰ABC中，ACBC，P為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接PA。以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段PA順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角與C相等

5、，得到線段PD，連接DB     （1）當(dāng)C90°時，請你在圖中補(bǔ)全圖形，并直接寫出DBA的度數(shù)；    （2）如圖，若Ca求DBA的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；    （3）連接AD，若C30°，AC2，APC135°，請寫出求AD長的思路。（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）7. 在矩形ABCD中，將對角線CA繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到CE，連接AE，取AE的中點(diǎn)F，連接BF，DF。     （1）若點(diǎn)E在CB的延長線上，    依

6、題意補(bǔ)全圖；    判斷BF與DF的位置關(guān)系并加以證明；    （2）若點(diǎn)E在線段BC的下方，ACE90°，ACB28°，AC6，請寫出求BF長的思路。（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）8. 已知在ABC中，ABAC，BAC60°。     （1）如圖，若點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且APC150°，PA3，PC4，把APC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，得到ADB，連接DP，    依題意補(bǔ)全圖；    直接寫出PB的長；

7、    （2）如圖，若點(diǎn)P在ABC外，且PA3，PB5，PC4，求APC的度數(shù)。9. 已知有兩個以O(shè)為頂點(diǎn)且不全等的RtAOB和RtCOD，其中ABODCO30°。 （1）如圖，設(shè)BODa（0°a60°），E，F(xiàn)，M分別是AC，CD，DB的中點(diǎn)，連接FM，EM。請問：隨著a的變化，F(xiàn)MEM的值是否發(fā)生變化?若不變，請求出FMEM的值；若變化，請說明理由；（2）如圖，若BO3，點(diǎn)N在線段OD上，且NO1，點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，將COD固定，AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最大值為_，最小值為_。10. 在銳角ABC中，AB

8、6，BC11，ACB30°，將ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到A1BC1。     （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)C1在CA延長線上時，則CC1A1_；    （2）如圖，連接AA1，CC1若ABA1的面積為24，求CBC1的面積；    （3）如圖，E為線段AB的中點(diǎn)，P是線段AC上的動點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是P1，求在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EP1長度的最大值與最小值的差。11. 如圖，四邊形ABCD中，已知A=C=30°，D=60°，AD=8，CD=10（

9、1）求AB、BC的長；（2）已知，半徑為1的P在四邊形ABCD的外面沿各邊滾動（無滑動）一周，求P在整個滾動過程中所覆蓋部分圖形的面積12. 如圖，在ABC中，B90°，A30°，AC2。     （1）將ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°得A'B'C。    求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長；    求線段BB'的長；    （2）如圖，過點(diǎn)C作AC的垂線與AB的延長線交于點(diǎn)D，將ACD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得A'C

10、D'。在圖中畫出線段AD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)所形成的圖形（用陰影表示），并求出該圖形的面積。答案和解析1.【答案】（-32，-12）【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)變換.掌握旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)變換是解題的關(guān)鍵.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），A（0，4），B（2，0），則點(diǎn)A'（m+n-4，n-m），點(diǎn)B'（m+n，n-m+2），根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的三角形的兩個頂點(diǎn)恰好落在雙曲線上，列出方程，解得m、n的值，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo).【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），A（0，4），B（2，0），點(diǎn)A'（m+n-4，n-m），點(diǎn)B'（m+n，n-m+2），點(diǎn)

11、A'和點(diǎn)B'在雙曲線上，解得（不合題意，舍去）或.故答案為（，）.2.【答案】3105【解析】【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握勾股定理，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵連接AG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到，ABG=CBE，BA=BG，根據(jù)勾股定理求出CG，AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可【解答】解：連接AG，菁優(yōu)網(wǎng)由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ABG=CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG=4，DG=DC-CG=1，則AG=，ABG=CBE，ABGCBE，解得CE=.故答案為3.【答案】745【解析】【分析】本題主要考查了

12、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，將轉(zhuǎn)化為，并依據(jù)直角三角形的勾股定理列方程求解，從而得出矩形的寬AB，這也是本題的難點(diǎn)所在先連接AC，AG，AC'，構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，根據(jù)ABB'ACC'，可得到=，設(shè)AB=AB'=x，則，DG=x-4，RtADG中，根據(jù)勾股定理可得方程，求得AB的長以及AC的長，即可得到所求的比值【解答】解：連接AC，AG，AC'，由旋轉(zhuǎn)可得，AB=AB'，AC=AC&#

13、39;，BAB'=CAC'，=，ABB'ACC'，=，AB'=B'G，AB'G=ABC=90°，AB'G是等腰直角三角形，設(shè)AB=AB'=x，則，DG=x-4，RtADG中，AD2+DG2=AG2，解得x1=5，x2=-13（舍去），AB=5，RtABC中，AC=，=，故答案為：4.【答案】y=-724x+4【解析】解：BOA繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得CDA， BOACDA， DOA=OBA，OAM=BAO， AOMABO， AMO=AOB=90°， ODAB， AO=AD， OAM=DAM， 在AOB和

14、ABD中， ， AOBABD（SAS）， OM=DM， ABDACD， ADB=ADC=90°， B，D，C三點(diǎn)共線， 設(shè)直線AB解析式為y=kx+b， 把A與B坐標(biāo)代入得：， 解得：， 直線AB解析式為y=-x+4， 直線OD解析式為y=x， 聯(lián)立得：， 解得：，即M（，）， M為線段OD的中點(diǎn)， D（，）， 設(shè)直線CD解析式為y=mx+n， 把B與D坐標(biāo)代入得：， 解得：m=-，n=4， 則直線CD解析式為y=-x+4 故答案為：y=-x+4 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形BOA與三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM與三角形AOB相似，確定出OD與AB垂直，再由

15、OA=DA，利用三線合一得到AB為角平分線，M為OD中點(diǎn)，利用SAS得到三角形AOB與三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，進(jìn)而確定出B，D，C三點(diǎn)共線，求出直線OD解析式，與直線AB解析式聯(lián)立求出M坐標(biāo)，確定出D坐標(biāo)，設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，把B與D坐標(biāo)代入求出m與n的值，即可確定出解析式 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出B，D，C三點(diǎn)共線是解本題的關(guān)鍵5.【答案】解：【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖所示，ABC即為所求；（2）45°；【問題解決】如圖，將APB繞點(diǎn)A按逆時

16、針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到APC，APP是等邊三角形，APC=APB=360°-90°-120°=150°，PP=AP，APP=APP=60°，PPC=90°，PPC=30°，PP=32PC，即AP=32PC，APC=90°，AP2+PC2=AC2，即（32PC）2+PC2=72，PC=27，AP=21，SAPC=12APPC=73；【靈活運(yùn)用】如圖中，AEBC，BE=EC，AB=AC，將ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ACG，連接DG，則BD=CG，BAD=CAG，BAC=DAG，AB=AC，AD=AG，ABC=

17、ACB=ADG=AGD，ABCADG，AD=kAB，DG=kBC=4k，BAE+ABC=90°，BAE=ADC，ADG+ADC=90°，GDC=90°，CG=DG2+CD2=16k2+25，BD=CG=16k2+25.【解析】【分析】本題考查相似形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題.【操作發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可；（2）只要證明ABB是等腰直角三角形即可；【問題解決】如圖，將APB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60

18、6;，得到APC，只要證明PPC=90°，利用勾股定理即可解決問題；【靈活運(yùn)用】如圖中，由AEBC，BE=EC，推出AB=AC，將ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ACG，連接DG則BD=CG，只要證明GDC=90°，可得CG=，由此即可解決問題.【解答】解：【操作發(fā)現(xiàn)】（1）見答案；（2）連接BB，將ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，AB=AB，BAB=90°，ABB=45°，故答案為45°；【問題解決】見答案；【靈活運(yùn)用】見答案.6.【答案】解：（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，過點(diǎn)P作PEAC，PEB=CAB，AB=BC，CBA=CA

19、B，PEB=PBE，PB=PE，BPD+DPE=EPA+DPE=90°，BPD=EPA，PA=PD，PDBPAE，PBA=PEB=12180°-90°=45°，PBD=PEA=180°-PEB=135°，DBA=PBD-PBA=90°；（2）如圖2，過點(diǎn)P作PEAC，PEB=CAB，AC=BC，CBA=CAB，PEB=PBE，PB=PE，BPD+DPE=EPA+DPE=，BPD=EPA，PA=PD，PDBPAE，PBA=PEB=12180°-=90°-12，PBD=PEA=180°-PEB=90

20、°+12，DBA=PBD-PBA=；（3）如圖3，作AHBC，ACB=30°，AC=2，AH=1，CH=3，BH=2-3，根據(jù)勾股定理得，AB=AH2BH2=22-3，APC=135°，APH=45°，AP=2AH=2，APD=ACB=30°，AC=BC，AP=DP，PADCAB，ADAB=APAC=22，AD=22AB=22×22-3=22-6.【解析】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷PDBPAE是解本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)（1）依題意畫出圖形，如圖1所示，先判斷出BPD=E

21、PA，從而得出PDBPAE，簡單計(jì)算即可；（2）先判斷出CBA=CAB，BPD=EPA，從而得出PDBPAE，簡單代換即可；（3）先求出，再根據(jù)勾股定理得，然后判斷出PADCAB，從而求出AD7.【答案】解：（1）補(bǔ)全圖形，如圖1，所示，BFDF證明：延長DF與CE的延長線交于點(diǎn)G，如圖2，連接BD，矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，AC=BD，ADF=G，在AFD和EFG中，AFD=EFGADF=GAF=EF，AFDEFG，EG=AD，GF=DF，EG=BC，BG=EC，BG=BD，GF=DF，BFDF；（2）如圖3，由（2）有，BFDF，在矩形ABCD中，ACB=28°，BA

22、C=90°-ACB=62°，AOB=2ACB=56°，OA=OC，AF=EF，OFEC，AOF=ACB=28°，BOF=AOB-AOF=28°，在RtBFD中，OB=OD，OF=OD，BDF=12BOF=14°，在RtBFD中，BD=AC=6，sinBDF=BFBD，BF=BD×sinBDF=6sin14°6×0.241921901.452【解析】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，推導(dǎo)出BDF是解本題的關(guān)鍵（1）由題意，補(bǔ)全圖形，如圖1，（2）由矩形的性

23、質(zhì)，得到AFDEFG，再用等量代換即可；（3）先計(jì)算出BAC，AOB，在求出BOF，BDF，最后利用三角函數(shù)計(jì)算即可8.【答案】解：（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，  由旋轉(zhuǎn)有，AD=AP，BD=PC，DAB=PAC， DAP=BAC=60°， ADP為等邊三角形， DP=PA=3，ADP=60°， ADB=APC=150°， BDP=90°，在RtBDP中，BD=4，DP=3，根據(jù)勾股定理得，PB=5； （2）如圖2，  把APC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)

24、C與點(diǎn)B重合，得到ADB，連接PD， APCADB， AD=AP=3，DB=PC=4，PAC=DAB，APC=2， DAP=BAC， BAC=60°， DAP=60°， DAP是等邊三角形， PD=3，1=60°， PD2+DB2=32+42=52=PB2， PDB=90°， 2=30°， APC=30°.（3）根據(jù)題意可知：APC=30°.【解析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有關(guān)知識.（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ADP為等邊三

25、角形，從而判斷出BPD為直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可； （2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DAP是等邊三角形，根據(jù)勾股定理得逆定理判斷出BPD為直角三角形，即可； （3）根據(jù)題意直接進(jìn)行解答即可.9.【答案】解：（1）不變；FMEM=32，如圖1，連接AD，BC交于一點(diǎn)Q，AD交BO于P，AOB=COD=90°，ABO=DCO=30°，OAOB=ODOC=33，AOD=BOC，AODBOC，OAD=CBO，ADBC=33，APO=BPQ，BQP=AOB=90°，ADBC，點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，EFAD，EF=12AD，MFBC，MF

26、=12BC，在RtEFM中，F(xiàn)MEM=32；（2）4；12.【解析】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)三角形的中位線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系時解決本題的關(guān)鍵（1）連接AD，BC，由AOB=COD=90°，ABO=DCO=30°，得到，AOD=BOC，推出AODBOC，求得OAD=CBO，證得ADBC由于點(diǎn)E、F、M分別是AC，CD，DB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EFAD，于是得到MFAD，在RtEFM中，=；（2）過O作OEAB于E，由已知條件求出當(dāng)P在點(diǎn)E處時，點(diǎn)P到O點(diǎn)

27、的距離最近為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長線時，NP取最大值OB+ON=4【解答】（1）見答案；（2）如圖2，過O作OEAB于E，BO=3，ABO=30°，當(dāng)P在點(diǎn)E處時，點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離最近為，這時當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長線時，NP取最大值OB+ON=3+1=4，線段PN長度的最小值為，最大值為4故答案為4；10.【答案】解：（1）60°；（2）如圖2，ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1，BABC=B

28、A1BC1，ABA1=CBC1，ABA1CBC1，SABA1SCBC1=ABAC2=6112=36121,SABA1=24，SCBC1=2423.（3）如圖4，過點(diǎn)B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形， 點(diǎn)D在線段AC上，在RtBCD中，BD=BC×sin30°=5.5， 以B為圓心，BD為半徑畫圓交AB于P1，BP1有最小值BP1EP1的最小值為5.5-3=2.5， 以B為圓心，BC為半徑畫圓交AB的延長線于P1，BP1有最大值BP1 此時EP1的最大值為11+3=14， 線段EP1的最大值與最小值的差為14-2.5

29、=11.5【解析】【分析】本題是三角形旋轉(zhuǎn)的綜合題，考查了三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等；考查了全等三角形和相似三角形的對應(yīng)邊的關(guān)系，本題利用兩三角形全等的對應(yīng)邊相等，列比例式證明另外兩三角形相似，這一證明思路值得借鑒（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：A1C1B=30°，再由等邊對等角得BC1C=30°，則CC1A1=60°；（2）由ABCA1BC1得比例式，證明ABA1CBC1，根據(jù)面積比等于相似比的平方求出CBC1的面積；（3）作輔助線，當(dāng)點(diǎn)P在D處時BP最小，則BP1最小，EP1最??；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時，BP最大，則BP1最大，EP1最大，代入計(jì)算 

30、;【解答】解：（1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：A1C1B=C=30°，BC=BC1，C=BC1C=30°，CC1A1=60°，故答案為：60°；（2）見答案;（3）見答案.11.【答案】解：（1）延長AB交CD于E，如圖1所示：則AED=180°-A-D=180°-30°-60°=90°，CEB=90°，DE=12AD=4，AE=ADsin60°=8×32=43，CE=CD-DE=6，BC=CEcos30=632=43，BE=12BC=23，AB=AE-BE=23；（2）半徑為1的P在四邊形ABCD的外面沿各邊滾動（無滑動）一周，如圖2所示：根據(jù)題意得：1=120°，2=3=150°，4=5=60°，HF=HG=2，BF=BG=HFtan60=23=233，CF=43-233=1033