初中數(shù)學(xué)相似三角形例題解析.

1、相似三角形例題解析編輯：啟慧為了幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)， 天之驕學(xué)習(xí)研究部的老師參考多種學(xué)習(xí)資料精心選編了這套相似三角形總結(jié)專題，供同學(xué)們查漏補缺。若有疑問，請速與我們聯(lián)系。相似三角形是初中幾何的重要內(nèi)容，包括相似三角形的性質(zhì)、判定定理及其應(yīng)用，是中考必考內(nèi)容，以相似三角形為背景的綜合題是常見的熱點題型，所以掌握好相似三角形的基礎(chǔ)知識至關(guān)重要，本講就如何判定三角形相似，以及應(yīng)用相似三角形的判定、性質(zhì)來解決與比例線段有關(guān)的計算和證明的問題進行探索。一、如何證明三角形相似例 1、如圖：點G 在平行四邊形ABCD 的邊 DC 的延長線上 ,AG 交 BC 、BD 于點E、 F，則 AGD EGC EAB。分

2、析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已AD4 2明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共F角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本3BE 1C例除公共角 G 外 ,由 BC AD 可得 1= 2，所以G AGD EGC。再 1= 2（對頂角），由 AB DG 可得 4= G，所以 EGC EAB 。評注：（ 1）證明三角形相似的首選方法是“兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”。（ 2）找到兩個三角形中有兩對角對應(yīng)相等，便可按對應(yīng)頂點的順序準(zhǔn)確地把這一對相似三角形記下來。例 2、已知 ABC 中， AB=AC ， A=36 °， BD 是角平分線，求證： ABC BCDA分析：證明

3、相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然C 是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計DBC算也是一種常用的方法。證明： A=36 °， ABC 是等腰三角形，ABC= C=72°又 BD 平分 ABC ，則 DBC=36 °在 ABC 和 BCD 中， C 為公共角，A= DBC=36 ° ABC BCD例 3：已知， 如圖， D 為 ABC內(nèi)一點連結(jié) ED、AD，以 BC為邊在 ABC外作 CBE= ABD， BCE= BAD求證： DBE ABC分析： 由已知條件ABD= CBE， DBC公用。所以 DBE= ABC，要證的 DBE和 ABC，

4、有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。從已知條件中可看到CBE ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明： 在 CBE和 ABD中， CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BC=BE AB BD即： BC=ABBEBD在 DBE和 ABC中 CBE= ABD, DBC公用 CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC且BC=AB BE BD DBE ABC例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、 F，是 BC 邊的三等分點，連結(jié)AE、 AF、 AC ，問圖中是否存在非全等的相似三角

5、形？請證明AD你的結(jié)論。分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找BFCE相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：（ 1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形AEDAADEBCBCBCDE(2) 如圖：其中 1= 2，則 ADE ABC 稱為“相交線型”的相似三角形。AAD1E4EE1AD1 D2C22BCBCB(3) 如圖： 1= 2， B= D，則 ADE ABC ，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形， 如果存在相似三角形只可能是“相交線型” 的相似三角形， 及 EAF與 ECA解：設(shè) AB=a ，則 BE=EF=FC=3a ，由勾股定理可求得AE= 2a ，在 EA

6、F 與 ECA 中， AEF 為公共角， 且 AEEC2D2AEFAE1所以 EAF ECA（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三E角形相似）BC注： 以上兩例中都用了相似三角形的判定定理在，應(yīng)注重加強訓(xùn)練。2，該定理的靈活應(yīng)用是教學(xué)上的難點所二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式A例 1、 ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延長線DFEBKC上截取 BE ，使 AD=BE ，求證： DFAC=BCFE分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF ： FE=BC ： AC ，再利用相似三角形或平行線的性質(zhì)進行證明：證明：過D 點作 DK AB ，交 BC 于 K，DK AB ，

7、 DF：FE=BK ： BE又 AD=BE ， DF： FE=BK ： AD ，而 BK ： AD=BC ： AC即 DF： FE= BC ： AC ， DFAC=BCFE0例 2：已知：如圖，在 ABC中， BAC=90， M是 BC的中點， DM BC于點 E，交 BA 的延長線于點 D。2求證：（2AEME1） MA=MD ME；（ 2）AD 2MD0證明：（ 1） BAC=90， M是 BC的中點， MA=MC， 1= C，D DM BC， C= D=900- B，A1E 1= D，2 2= 2，BCM MAE MDA， MAME ，MDMA MA2=MD ME，（ 2 ） MAE M

8、DA， AEMA ，AEMEADMDADMAAE 2MAMEMEAD2MDMAMD評注 ：（ 1）通過一對相似三角形來證明比例線段，是證比例線段的一種基本方法。本例第（ 1 ）小題證明2MA看作一對相似三角形的公共邊，MA=MD ME，經(jīng)?？梢园哑渲械脑偃ひ捙c確定需證相似的三角形。（ 2）本例的關(guān)鍵是證明 MAE MDA，這種具有特殊關(guān)系（有一個公共角和一條公共邊）的三角形的相似，在解題中應(yīng)用很多，應(yīng)從下面兩個方面深刻理解：命題 1 如圖，如果 1= 2，那么 ABD ACB， AB2=AD AC。命題 2如圖，如果AB2=AD AC，那么 ABD ACB， 1= 2。C1ADB例 3：如圖

9、 ABC中， AD為中線， CF為任一直線， CF 交 AD于 E，交 AB 于 F，求證： AE：ED=2AF： FB。分析 ：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE： ED”的特征，作 DG BA交 CF于 G，得 AEF DEG， AEAF 。與結(jié)論AE2AFAF相比較，顯然DEDGEDFB1BF2問題轉(zhuǎn)化為證 DG1FB。2證明： 過 D點作 DGAB交 FC 于 G則 AEF DEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）AEAF（ 1）DEDG D 為 BC的

10、中點，且 DG BF G為 FC的中點則 DG為 CBF的中位線， DG1 BF （2）2將（ 2）代入（ 1）得：AEAF2AFDE1FBBF2評注： （ 1）為了得到比例式，通常用過一點作某一直線的平行線的方法，在作平行線時必須注意緊扣與結(jié)論有關(guān)的線段。（ 2）在探索證題思路的過程中，我們可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即構(gòu)造相似形，寫出比例式時要始終注意待證結(jié)論中的有關(guān)線段，并及時與待證結(jié)論中的有關(guān)線段進行比較，以便確定下一步需要解決什么問題。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。EBAF1例 1：已知：如圖E、 F 分別是正方形ABCD的邊 AB 和 AD上的點，

11、且 ABAD3 。求證： AEF= FBD分析： 要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，F(xiàn)AD證明： 作 FG BD，垂足為G。設(shè) AB=AD=3kG則 BE=AF=k， AE=DF=2k，EBCBD=3 2k00 ADB=45， FGD=900 DFG=45 DG=FG=DF2k232k2k22k BG=AFFG1AEBG20又 A= FGB=90 AEF GBF AEF= FB

12、D評注： 本例是通過構(gòu)造一對相似三角形，而證明兩個角相等，而證明兩個三角形相似又運用了代數(shù)法，設(shè)參數(shù)，計算邊長，從而證明兩個三角形的對應(yīng)邊成比例。運用代數(shù)法解幾何題一般在遇到正方形和正三角形的條件時效果很好，同學(xué)們可以試試看。例 2、在平行四邊形 ABCD 內(nèi)， AR 、 BR 、 CP、 DP 各為四角的平分線，求證： SQ AB ， RP BCDCRSQPAB分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQ AB ，只需證明AR ： AS=BR ： DS 。證明：

13、在ADS 和 ARB 中。 DAR= RAB=1 DAB ， DCP= PCB=1 ABC22 ADS ABRARBRASDS但 ADS CBQ ， DS=BQ ，則 ARBR ， SQ AB ，同理可證， RP BCASBQ例 3、已知A 、 C、 E 和 B 、 F、 D 分別是 O 的兩邊上的點，且AB ED ， BC FE，求證： AF CDE分析：要證明 AF CD，已知條件中有平行的條件，CA因而有好多的比例線段可供利用，這就要進行正確的選OBFD擇。其實要證明AF CD，只要證明OAOFOC即可，OD因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明： AB ED， B

14、C FE OAOB ，OEOF OEODOCOBOAOF兩式相乘可得：OCOD例 4、直角三角形 ABC 中， ACB=90 °， BCDE 是正方形， AE 交 BC 于 F， FG AC 交 AB 于 G，求證： FC=FGDCFEAGB分析：要證明FC=FG ，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG ，首先要找出與FC、 FG 相關(guān)的比例線段，圖中與FC、 FG 相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、 FG 都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到FCFG，便可?（“？”代表相同的線段或相等的線段）?完成證明。證明：FG AC BE， ABE AGF則有 GFAFBEAE而 FC DE AED AFC則有 CFAFGFCFAFDEAEBEDEAE又 BE=DE （正方形的邊長相等） DF GF ，即 GF=CF 。BEBE例 5、Rt ABC 銳角 C 的平分線交AB 于 E，交斜邊上的高AD 于O，過O引BC的平行線交 AB 于 F，求證： AE=BFA1E證明： CO 平分 C， 2= 3，F(xiàn)O23故 Rt CAE Rt CDO ， AEACODCDBDC又