數(shù)學(xué)建模常見(jiàn)評(píng)價(jià)模型簡(jiǎn)介

1、常見(jiàn)評(píng)價(jià)模型簡(jiǎn)介評(píng)價(jià)類(lèi)數(shù)學(xué)模型是全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一類(lèi)模型，如2005年全國(guó)賽A題長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)問(wèn)題，2008年B題高校學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)體系問(wèn)題等。主要介紹三種比較常用的評(píng)價(jià)模型：層次分析模型，模糊綜合評(píng)價(jià)模型，灰色關(guān)聯(lián)分析模型，以期幫助大家了解不同背景下不同評(píng)價(jià)方法的應(yīng)用。層次分析模型層次分析法（AHP）是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和要求，將所包含的因素進(jìn)行分類(lèi)，一股按目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和子準(zhǔn)則層排列，構(gòu)成一個(gè)層次結(jié)構(gòu)，對(duì)同層次內(nèi)諸因素采用兩兩比較的方法確定出相對(duì)于上一層目標(biāo)的權(quán)重，這樣層層分析下去，直到最后一層，給出所有因素相對(duì)于總目標(biāo)而言，按重要性程度的一個(gè)排序。其主要特征是，它合理地將定性與定量

2、決策結(jié)合起來(lái)，按照思維、心理的規(guī)律把決策過(guò)程層次化、數(shù)量化。運(yùn)用層次分析法進(jìn)行決策，可以分為以下四個(gè)步驟：步驟1建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問(wèn)題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)一準(zhǔn)則或指標(biāo)一方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。步驟2構(gòu)造成對(duì)比較陣對(duì)于同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，借助19尺度，構(gòu)造比較矩陣；步驟3計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，若通過(guò)，則最大特征根對(duì)應(yīng)的特征向量做為權(quán)向量。步驟4計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)通過(guò)一個(gè)具體的例子介紹層次分

3、析模型的應(yīng)用。例（選擇旅游地決策問(wèn)題）如何在桂林、黃山、北戴河3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件、飲食、旅途條件等因素進(jìn)行選擇。步驟1建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O,準(zhǔn)則層C,方案層P;每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層圖1選擇旅游地的層次結(jié)構(gòu)步驟2構(gòu)造比較矩陣元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家A.L.Saaty教授提出的19比率標(biāo)度法（表1）對(duì)不同指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造判斷矩陣。含義1兩因素相比，具有同等重要性3 兩因素相比，前者比后者稍重要5 兩因素相比，前者比后者明顯重要7 兩因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要9 兩因素相比，前者

4、比后者極端重要2、4、6、8表示上述相鄰判斷的中間值若指標(biāo)i與指標(biāo)j比較相對(duì)重要性用上述之一數(shù)值標(biāo)度，則指標(biāo)j與指標(biāo)i的以上各數(shù)值的倒數(shù)相對(duì)重要性用上述數(shù)值的倒數(shù)標(biāo)度119設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1C2,Cn對(duì)目標(biāo)。的重要性，記判斷矩陣為A33551 12 31111顯然，A是正互反陣步驟3計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重(1)一致陣的定義與性質(zhì)一致陣的定義要由A確定Cl,C2,Cn對(duì)目標(biāo)。的權(quán)向量，我們首先考察一致矩陣的性質(zhì)。稱(chēng)滿足a。ajkaik,i,j,k1,2,產(chǎn)的正互反陣為一致陣。例如WiWiWiwiw2Wnw2w2W2Awiw2WnWnWnWnWiW2Wn一致矩陣的性質(zhì)矩陣A的秩為i,A

5、的唯一非零特征根為n0矩陣A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量矩陣A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量。然而，我們構(gòu)造的成對(duì)比較矩陣A33551 12 3中，由iiiiai2,ai394可以得到a23C22C3C2C38,而事實(shí)上a237。因此矩陣A并不是一致陣，事實(shí)上在大多情況下我們構(gòu)造的成對(duì)比較矩陣都不是一致陣。對(duì)于這樣的矩陣我們?nèi)绾蝸?lái)確定權(quán)向量呢？我們通常的作法是：對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A,建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量。(2)一致性檢驗(yàn)(確定成對(duì)比較陣不一致的允許范圍)，計(jì)算權(quán)向量。已知n階一致陣的唯一非零特征根為n,可證：n階正互反陣最大特征根n,且n時(shí)為一致陣

6、。一致性指標(biāo)：CIn,CI越大，不一致性越嚴(yán)重。ni隨機(jī)一致性指標(biāo)：隨機(jī)產(chǎn)生多個(gè)矩陣，將每個(gè)矩陣的一致性指標(biāo)相加然后取平均值得到RI。n1234567891011RI000.580.9021.411.451.491.51表2Saaty的隨機(jī)一致性指標(biāo)注：標(biāo)2中的n表示成對(duì)比較陣的維數(shù)。一致性比率如果CRCI0.1,構(gòu)造的成對(duì)比較矩陣A通過(guò)一致性檢驗(yàn)。RI步驟4計(jì)算組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則層）對(duì)第1層（目標(biāo)層）的權(quán)向量為ww1（2）,向2）丁同樣求第3層（方案層）對(duì)第2層每(3)(3)(3)WkWk1 ,Wkm（準(zhǔn)則層）的權(quán)向量T,k 1,2, ,n構(gòu)造矩陣(3)(3)(3

7、)WW1,Wn則第3層（方案層）對(duì)第1層（目標(biāo)層）的組合權(quán)向量(3)(3)(2)wWw以此類(lèi)推，第s層對(duì)第1層的組合權(quán)向量(5) (s)(s1)(3)(2)wWWWw其中Wp是由第p層對(duì)第p-1層權(quán)向量按列組成的矩陣。層次分析法的應(yīng)用1、應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。2、處理問(wèn)題類(lèi)型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。3、建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。4、構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專(zhuān)家給出。層次分析法的若干問(wèn)題2.當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對(duì)比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析

8、法？不完全層次結(jié)構(gòu)上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)，這種層次結(jié)構(gòu)稱(chēng)為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱(chēng)為不完全層次結(jié)構(gòu)，不完全層次結(jié)構(gòu)又分為兩種，一種為不完全層次出現(xiàn)在準(zhǔn)則層與子準(zhǔn)則層之間，這種不完全結(jié)構(gòu)容易處理，我們將不支配的那些因素的權(quán)向量分別簡(jiǎn)單的置0,就可以用完全層次結(jié)構(gòu)的辦法處理，但如果不完全結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在準(zhǔn)則層與方案層之間，則處理起來(lái)就有些麻煩，我們看下面的例子。例評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)（圖3）,該圖中Ci,C2支配元素的數(shù)目不等，此層次結(jié)構(gòu)稱(chēng)為不完全層次結(jié)構(gòu)。設(shè)第2層對(duì)第1層權(quán)向量22WW1,W2已定，第3層對(duì)第2層權(quán)向量已得，討論由w2,W333W1,W2力T330,0,W23,W243333T

9、3WW11,W2,W13,0,W2我們首先考察一個(gè)特例：若ChC2重要性相同，則w211T2,2Pl,P2,P3,P4能力相同,W1311J33,3,0,W2則公正的評(píng)價(jià)應(yīng)為：R:P2:P3:P41:1:2:1。若不考慮支配元素?cái)?shù)目不等的影響，仍用wWw計(jì)算，則意味著支配元素越多權(quán)重越大,用支配元素?cái)?shù)n1,n2對(duì)w2(2)(2)Tn1w1,n2w2(n1w1(2)(2)'n2w2n13,n22,WT325,53115w-,6612顯然是不合理的。加權(quán)修正，修正為再用w計(jì)算得w3(3)一23w,再計(jì)算W。本例中T,表明支配元素越多權(quán)重越小與公正的評(píng)價(jià)相吻合成對(duì)比較陣殘缺時(shí)的處理專(zhuān)家或有關(guān)

10、人士由于某種原因會(huì)無(wú)法或不愿對(duì)某兩個(gè)因素給出相互對(duì)比的結(jié)果a。，于是成對(duì)比較陣出現(xiàn)殘缺。如何對(duì)此作修正，以便繼續(xù)進(jìn)行權(quán)向量的計(jì)算呢？理。例設(shè)一成對(duì)比較陣為A2 ,為殘缺元素，試對(duì)此殘缺陣進(jìn)行處解構(gòu)造輔助矩陣C112ww12112w1w2 ,因此由12120AwwCww但是，C中包含未知量w1,w3,(1)式無(wú)法求解，進(jìn)而將A修正為A不難當(dāng)證Aww,進(jìn)而求得3,w0.5714,0.2857,0.1429T。注:般地，由殘缺陣Aa。構(gòu)造修正陣AI的方法是令a。，ij,a。由0,ij,a。mi1,iim為第i行的個(gè)數(shù)模糊綜合評(píng)價(jià)模模糊數(shù)學(xué)是從量的角度研究和處理模糊現(xiàn)象的科學(xué)。這里模糊性是指客觀事物的

11、差異在中介過(guò)渡時(shí)所呈現(xiàn)的“亦此亦比”性。比如用某種方法治療某病的療效“顯效”與“好轉(zhuǎn)”、某醫(yī)院管理工作“達(dá)標(biāo)”與“基本達(dá)標(biāo)”、某篇學(xué)術(shù)論文水平“很高”與“較高”等等。從一個(gè)等級(jí)到另一個(gè)等級(jí)間沒(méi)有一個(gè)明確的分界，中間經(jīng)歷了一個(gè)從量變到質(zhì)變的連續(xù)過(guò)渡過(guò)程，這個(gè)現(xiàn)象叫中介過(guò)渡。由這種中介過(guò)渡引起的劃分上的“亦此亦比”性就是模糊性。模糊綜合評(píng)價(jià)是以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。應(yīng)用模糊關(guān)系合成的原理，將一些邊界不清，不易定量的因素定量化，進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的一種方法。一、單因素模糊綜合評(píng)價(jià)的步驟(1)根據(jù)評(píng)價(jià)目的確定評(píng)價(jià)指標(biāo)(EvaluationIndicator)集合UUi,U2,Um例如：評(píng)價(jià)某項(xiàng)科研成果，評(píng)價(jià)指標(biāo)集

12、合為=學(xué)術(shù)水平，社會(huì)效益，經(jīng)濟(jì)效益。(2)給出評(píng)價(jià)等級(jí)(EvaluationGrade)集合VMY，Vn例如：評(píng)價(jià)某項(xiàng)科研成果，評(píng)價(jià)等級(jí)集合為=很好，好，一般，差。(3)確定各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重(Weight)權(quán)重反映各評(píng)價(jià)指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中的重要性程度，且例如：假設(shè)評(píng)價(jià)科研成果，評(píng)價(jià)指標(biāo)集合=學(xué)術(shù)水平，社會(huì)效益，經(jīng)濟(jì)效益其各因素權(quán)重設(shè)為w0.3,0.3,0.4(4)確定評(píng)價(jià)矩陣R請(qǐng)?jiān)擃I(lǐng)域?qū)＜胰舾晌?，分別對(duì)此項(xiàng)成果每一因素進(jìn)行單因素評(píng)價(jià)(One-WayEvaluation),例如對(duì)學(xué)術(shù)水平，有50%勺專(zhuān)家認(rèn)為“很好”，30%勺專(zhuān)家認(rèn)為“好”，20%勺專(zhuān)家認(rèn)為“一般”，由此得出學(xué)術(shù)水平的單因素評(píng)價(jià)結(jié)果

13、為R0.5,0,3,0,2,0同樣如果社會(huì)效益，經(jīng)濟(jì)效益兩項(xiàng)單因素評(píng)價(jià)結(jié)果分別為R20.3,0,4,0,2,0.1R30.2,0,2,0,3,0.2那么該項(xiàng)成果的評(píng)價(jià)矩陣為R0RR0.1R0.2(5)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)通過(guò)權(quán)系數(shù)矩陣W與評(píng)價(jià)矩陣R的模糊變換得到模糊評(píng)判集S。設(shè)W(j)1m,R(rji)mn那么11r12m2122r1n2nSi,S2,Snrm1rm2rmn其中“”為模糊合成算子。進(jìn)行模糊變換時(shí)要選擇適宜的模糊合成算子，模糊合成算子通常有四種(1) M(,)算子mSk(jjk)=maxminj,5,k1,2,n,符號(hào)”為取小,j

14、11jm“”為取大。運(yùn)算過(guò)程為首先對(duì)每個(gè)下標(biāo)j求出j與年的最小值，然后從這些最小值里面取最大值。(2) M(,)算子mSk(jrjk)=maxji>,k1,2,nj11jm(3) M(,)算子“”是有界和運(yùn)算，即在有界限制下的普通加法運(yùn)算.對(duì)t個(gè)實(shí)數(shù)tX1,X2,Xt有X1X2Xtmin1,x,利用M(,)算子，有1 1mSkmin1,minj,rjk,k1,2,nj1M(,)算子Skmin 1 ,rjk ,k 1,2, n以上四個(gè)算子在綜合評(píng)價(jià)中的特點(diǎn)是如下表:算子特點(diǎn)M(,)M(,)M(,)M(,)體現(xiàn)權(quán)數(shù)作用不明顯明顯不明顯明顯綜合程度弱弱強(qiáng)強(qiáng)利用R的信息不充分不充分比較充分充分類(lèi)

15、型主因素突出型主因素突出型加權(quán)平均型加權(quán)平均型表121 .如何確定權(quán)向量w1）層次分析法2）歸一化法宜歸一化公式：winc,i1,2,ni1&其中wi為評(píng)價(jià)參數(shù)i的監(jiān)測(cè)值；S；為評(píng)價(jià)參數(shù)i的n級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的算術(shù)平均值，則權(quán)重集為wW1，W2，,Wn2 .如何確定評(píng)價(jià)矩陣R1）專(zhuān)家評(píng)價(jià)法2）層次分析法（6）得出綜合結(jié)論通過(guò)對(duì)模糊評(píng)判向量S的分析作出綜合結(jié)論.一般可以采用以下三種方法：1.最大隸屬原則模糊評(píng)判集SS1,S2,Sn中Si為等級(jí)Vi對(duì)模糊評(píng)判集S的隸屬度，按最大隸屬度原則作出綜合結(jié)論，即MmaxS1,S2,Sn,M所對(duì)應(yīng)的元素為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。該方法雖簡(jiǎn)單易行，但只考慮隸屬度最大的點(diǎn)，其它點(diǎn)沒(méi)有考慮，損失的信息較多.二、多級(jí)模糊綜合評(píng)判有些情況因?yàn)橐紤]的因素太多，而權(quán)重難以細(xì)分，或因各權(quán)重都太小，使得評(píng)價(jià)失去實(shí)際意義，為此可根據(jù)因素集中各指標(biāo)的相互關(guān)系，把因素集按不同屬性分為幾類(lèi).可先在因