天才的創(chuàng)作 ~ 十七世紀(jì)的數(shù)學(xué)

1、天才的創(chuàng)作 十七世紀(jì)的數(shù)學(xué) 劉豐榮.tw正修科技大學(xué) 通識教育中心摘要 西方數(shù)學(xué)文明的發(fā)展在十七世紀(jì)隨著哥白尼、刻卜勒、伽利略所掀起的天文學(xué)大革命開創(chuàng)了繼古希臘數(shù)學(xué)文明後之另一高峰。初期由笛卡兒、費馬的解析幾何揭開序幕，相繼的費馬、巴斯卡的機率理論，巴斯卡、德沙格的射影幾何，最後由牛頓和萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)的微積分為這個偉大的天才創(chuàng)作時期畫下完美的句點，宣告古典數(shù)學(xué)的結(jié)束，現(xiàn)代數(shù)學(xué)新時代的來臨。本文是作者關(guān)於數(shù)學(xué)發(fā)展一系列作品之一，旨在介紹這個時代的數(shù)學(xué)成就，並探討數(shù)學(xué)在這個科學(xué)革命背景之時代意義。文分三部份，第一部份我們簡單介紹十七世紀(jì)的科學(xué)背景。在第二部份共分

2、成六小節(jié)分別以現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建立、對數(shù)的發(fā)現(xiàn)、解析幾何的誕生、現(xiàn)代機率的創(chuàng)立、過度時期的數(shù)學(xué)家群象及微積分的誕生，為主題介紹這個時期的數(shù)學(xué)家及他們的成就。在第三段之結(jié)論中我們將探討在這個偉大的科學(xué)創(chuàng)作時期數(shù)學(xué)所扮演的角色，藉以探討數(shù)學(xué)與科學(xué)間之連繫關(guān)係。Genius Creation Mathematics of the 17th CenturyFeng-Jung L.twGeneral Knowledge Education Center, Cheng Shiu UniversityAbstract Along with the astronomic revol

3、ution incited by Copernicus, Kepler and Galilei, the development of western mathematical civilization was brought to another summit in the 17th century since the ancient Greek mathematical civilization. In the very beginning, Descartes and Fermats “analytic geometry” raised the curtain on the revolu

4、tion. What followed were Fermats and Pascals “theoretic analysis of probabilities,” Desargues projective geometry, and finally Newtons and Leibnizs respective and independent discovery of “calculus,” which put a beautiful period to the “age of genius creation.” It also declared the end of “classical

5、 mathematics,” and the coming of “modern mathematics” in the new age. This paper is one of the researchers serial studies of the development of mathematics. It aims at introducing the mathematical achievements of this age, and investigating the background meaning of such “scientific revolution.” Thi

6、s paper is divided into three parts. Part 1 briefly introduces the scientific background of the 17th century. Part 2 has six sections, including the establishment of modern mathematics, discovery of logarithm, birth of analytic geometry, creation of modern probability, profiles of mathematicians dur

7、ing the transitional period, and the birth of calculus. Through these six sections of different themes, the mathematicians of this age and their achievements are introduced. Part 3 concludes this paper by investigating the role that mathematics plays in this great age of scientific creation so as to

8、 explore the interrelationship between mathematics and science.一、十七世紀(jì)之科學(xué)背景十七世紀(jì)被稱為天才的世紀(jì)(Century of Genius)。在歐洲科學(xué)大師備出，科學(xué)在各方面都有卓越的創(chuàng)舉。新的理論、儀器紛紛出籠是西方科學(xué)發(fā)展史上的一個重要輝煌時期。帶動這個世紀(jì)科學(xué)進(jìn)步的主因之一是思想與方法的突破，在思想方面前期有培根 ( Francis Bacon, 15611626 ) 的經(jīng)驗主義及笛卡兒( Rene Decartes, 15961650 )的理性主義，中期有波義耳 (Robert Boyler, 16271691 )、

9、巴斯卡 ( Blasise Pascal, 16231662 ) 的科學(xué)思想，而後期則是牛頓所創(chuàng)之大機械宇宙觀為沉睡久的中世紀(jì)文明重新注入新的活力。另一方面科學(xué)儀器如望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡、擺鐘、氣壓器，陸續(xù)被發(fā)明提供人類更方便、更精準(zhǔn)探索自然，瞭解自然的工具。近代科學(xué)史中最傲人的成就之一是由哥白尼 ( Nicholas Copernicus, 14731546)，及承繼者刻卜勒 ( Johannes Kepler, 15711630 )、伽利略 ( Galileo Galilei, 15641642 ) 所發(fā)起的天文學(xué)大革命，在他們的努力下促使西方文明由中世紀(jì)以宗教信仰為主流的思想轉(zhuǎn)為以觀察、實驗、

10、歸納為基礎(chǔ)之科學(xué)。作為現(xiàn)代科學(xué)的開創(chuàng)鼻祖的伽利略除倡導(dǎo)實驗的方法外，更重要的貢獻(xiàn)在於使數(shù)學(xué)成為科學(xué)語言，促使科學(xué)以更精緻的量化型式呈現(xiàn)於世人面前。他否定自古以來主導(dǎo)西方思維的亞里斯多得 ( Aristotle, 384322 B.C. ) 思想，將物理世界由探討為什麼why ?的目的因轉(zhuǎn)為專注注於探討如何how?之機械因。此思想經(jīng)由牛頓的推廣，創(chuàng)造出領(lǐng)導(dǎo)西方思想長達(dá)300年之大機械宇宙觀。受文藝復(fù)興(Renaissance) 時代人文主義 (Humanism) 興起的影響，在這個時期的科學(xué)使命已經(jīng)由為宗教服務(wù)，肯定上帝的存在轉(zhuǎn)變成為探索上帝用來掌握自然運行的規(guī)則?？茖W(xué)成了解自然，造福人群的工具

11、。這個思想的轉(zhuǎn)變主要是由培根 (Francis Bacon,15611642 )，在其所著的促進(jìn)學(xué)術(shù)(Advancement of Learning, 1605) 一書中所倡導(dǎo)的科學(xué)必須要有人性的目標(biāo)，改善人類物質(zhì)條件和促進(jìn)貿(mào)易與工業(yè)，而非製造戰(zhàn)爭奪取人的性命。而在新工具(Novum Orgnum, 1620 )書中更強調(diào)：人類做為自然的僕人與闡釋者，能做的與能理解的頂多是經(jīng)由行動與思想從自然的秩序中觀察。此外，人類並不知道任何事，也沒有能力做任何事。此外他更鼓勵鼓勵人類必須善用科學(xué)的發(fā)明主宰自然，增進(jìn)人類的福祉。笛卡兒在方法論( Discourse on Method, 1637 )書中亦強

12、調(diào)類似想法，他認(rèn)為適當(dāng)發(fā)展科學(xué)可使人們主宰自然，擁有自然。他說：農(nóng)業(yè)方面的發(fā)明將使人們享受農(nóng)業(yè)成果與大地豐富的資源，而不需要太多勞力。他更希望將來的醫(yī)療科技能減輕病人疼痛，延長壽命。波義耳更認(rèn)為科學(xué)家應(yīng)注重探討宇宙奧秘，至於理論若能產(chǎn)生實際用途最好，但卻不能列為主要考慮目的。在上述科學(xué)思想的帶動下、實用科技方面舉凡醫(yī)學(xué)、物理、天文、化學(xué)等各方面都有重要的突破：在醫(yī)學(xué)方面英國的哈維(William Harvey, 15781657 )發(fā)現(xiàn)血液循環(huán)系統(tǒng)。在機械設(shè)計方面1629年布蘭卡(G. Brance )設(shè)計第一臺蒸器渦輪機。在計算器方面，巴斯卡、萊布尼茲 ( Gottfried Wilhelm

13、 Leibniz, 16471716) 分別發(fā)明計算機。在天文方面刻卜勒在16091610年間提出行星三大運動定律：(1)行星繞太陽依橢圓路徑運行，太陽位於橢圓之焦點。(2)行星之內(nèi)徑在等時間內(nèi)所掃過的面積相等。(3)行星繞行太陽之周期平方與與至太陽之平均距離的立方成正比，即。伽利略於1609年改良望遠(yuǎn)鏡觀測月球，使得觀察天文不單靠肉眼。在化學(xué)方面波義耳為近代化學(xué)奠立基礎(chǔ)，它排斥煉丹說法分辨化合物與混合物。在物理知識方面，伽利略發(fā)現(xiàn)自由落體原理：物體降落距離與所花時間平方成正比，即。英國的吉伯特(William Gibert ) 發(fā)現(xiàn)天然磁石的特性，並在他的著作論磁(De magnete) 中

14、指出地球為一大磁場，並將電的概念引入物理的領(lǐng)域。而牛頓 (Sir Isaac Newton，16421726) 則提出著名的運動三大定律巔覆人類傳統(tǒng)的思維。以力與運動取代上帝主宰宇宙運行的規(guī)律。正如科學(xué)專欄作家M. Ornstein所說：這個時代吸收了豐富的新知識，忙著根絕落伍的迷信，從過去的傳統(tǒng)中解脫出來，對於未來抱著巨大的奢望。在這兒，每一位科學(xué)家都知道即使對知識的總和增加上只是無限小的一部份，大家也感到滿足和驕傲。簡言之，在這裡已經(jīng)培養(yǎng)出現(xiàn)代的科學(xué)家。11, p220226二、十七世紀(jì)的西方數(shù)學(xué)概述(一)、伽利略 ( Galileo Galilei, 15641642) 定量科學(xué)的創(chuàng)始者

15、 揭開現(xiàn)代科學(xué)序幕的是義大利的數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家伽利略。1564年2月15日出生於以斜塔著名的義大利城市比薩(Pisa)，其父是一位著名的音樂家，同時也是科學(xué)的愛好者。伽利略成長的年代正值西方著名的文藝復(fù)興時期，科學(xué)、藝術(shù)各方面都蓬勃發(fā)展，人們忙於追求知識。在11歲以前都是由父親親自教育。他在充滿音樂與科學(xué)的環(huán)境中渡過其童年。 在父親的安排下，18歲的伽利略被送往比薩大學(xué)學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)。但也同時接觸了亞里斯多得的思想。而在當(dāng)時數(shù)學(xué)老師著名的的幾何學(xué)家歐斯迪羅.里奇 (Ostillo Ricci) 的教導(dǎo)下，伽利略很快將學(xué)習(xí)的方向轉(zhuǎn)向歐幾里得幾何，甚至於不惜違背父親的習(xí)醫(yī)期許轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué)。在比薩大學(xué)求學(xué)期間

16、，伽利略開始對亞里斯多得的科學(xué)思想感到懷疑，他經(jīng)常在公開或私下的場合大肆批評，他認(rèn)為亞里斯多得一生從未認(rèn)真作過實驗，而其科學(xué)理論基礎(chǔ)常都憑空想像而來，這樣的知識是不可靠的。他堅持科學(xué)的應(yīng)該建立於實驗的基礎(chǔ)上，沒有經(jīng)過實驗證明的理論是不可信為真。伽利略第一個實驗是在1583年於比薩教堂中觀察被風(fēng)吹動的吊燈所發(fā)現(xiàn)的鐘擺原理。在沒有電子鐘表的年代，伽利略以脈搏跳動計時發(fā)現(xiàn)出這個結(jié)果鐘擺完成一次的擺盪的時間皆相同，與擺盪的振幅無關(guān)。，後來伽利略繼續(xù)深入探討這個結(jié)果，並以實驗證明鐘擺的周期與擺垂的重量無關(guān)，它與吊擺的繩長之平方根成正比，寫成數(shù)學(xué)公式即。1585年，21歲的伽利略在沒有獲得文憑的情況下離開

17、比薩大學(xué)，回到佛羅倫斯的家中，並開始兼任數(shù)學(xué)家教賺錢，另一方面繼續(xù)研究物理和數(shù)學(xué)。在1586年完成了流體力學(xué)( La Balancitta ) 一書，以實驗方法重新印證阿基米得所提之浮力原理固態(tài)物體放入水中，所溢出水的重量等於此物體的重量。這本書在義大利的科學(xué)界深受好評。1589年伽利略重返比薩大學(xué)擔(dān)任教職，並繼續(xù)其科學(xué)研究，在次年提出名為運動論(De Motu, 1590 )之著作，在書中正式批評亞里斯多得之關(guān)於自由落體運動理論錯誤，亞里斯多得認(rèn)為物體下落時會因重量不同產(chǎn)生不同速度，愈重者下落速度愈快。他首先由邏輯上否定這個說法，伽利略認(rèn)為若將一1仟克的鐵球與一10仟克的鐵球牓在一起由高處拋

18、下，若依亞里斯多得的說法較輕的1仟克的鐵球?qū)p緩較重的10仟克鐵球降落的速度，故總重11仟克的二鐵球降落速度將比10仟克鐵球降落速度慢。另一方面因當(dāng)兩個鐵球綁在一起時之總重11仟克大於10仟克故降落的速度應(yīng)比10仟克鐵球降落的速度來得快，這是相互矛盾的。為了正式反駁亞里斯多得的說法，傳說伽利略不惜冒生命危險爬上比薩斜塔進(jìn)行實驗。並在論運動書中寫下自由落體定率：落體下落的距離與所發(fā)的時間平方成正比。1592年，伽利略離開比薩大學(xué)至帕度亞(Padua)大學(xué)任教，在這個思想開放，學(xué)術(shù)自由的環(huán)境中，伽利略的科學(xué)才華可以盡情地綻放。他製造了一種唧水器、改良羅盤、並發(fā)明一種計算尺。同時由於收入較前為豐，

19、伽利略得以與心愛的女友瑪麗那.賈瑪 (Marina Gamba ) 同居，並生有二女及一子。1597年德國的科學(xué)家刻卜勒出版神秘的宇宙 ( Mysterium Cosmographica) 一書，公開支持哥白尼的日心說理論，他寫信給伽利略希望能得到伽利略的公開支持，而伽利略則對其書中的內(nèi)容表示稱讚。1608年荷蘭的眼鏡商李普希 ( Jan Lipershey ) 製造史上第一部望遠(yuǎn)鏡，伽利略得知後即著手改良製造，他於1609年8月將所製成的望遠(yuǎn)鏡呈現(xiàn)給威尼斯總督，並使用它來觀測月亮，伽利略發(fā)現(xiàn)月球表面與地球一樣充滿了山脈和深坑，這正式宣告遺光學(xué)天文儀器時代的來臨。伽利略後來還以望遠(yuǎn)鏡觀測到太陽

20、的黑子及木星的衛(wèi)星。伽利略將其觀測所得寫成星空信使(Nunius Sidereus, 1610 )。1611年伽利略帶著他所製作的望遠(yuǎn)鏡來到羅馬進(jìn)見教宗保祿五世。他的科學(xué)魅力在羅馬造成一股旋風(fēng)，但也讓自己捲入無淵的悲劇中。許多亞里斯多得的信徒早已開始策劃如何打擊這位異教的科學(xué)巨人。1623年伽利略寫了一本名為試金者( The Assayer )的書，公然向耶穌教會挑戰(zhàn)，書中採用哥白尼的理論闡釋他所觀測到的慧星軌跡是一曲線，再次否認(rèn)亞里斯多得所稱之直線。1624年伽利略被召到羅馬接受宗教法庭審判，判決結(jié)果有罪，後來經(jīng)由許多朋友的奔走關(guān)說，教宗同意減輕其罰，但要求他必須撰寫一本有關(guān)協(xié)調(diào)宗教與科學(xué)衝

21、突的書，但結(jié)論必須是否定哥白尼的太陽為宇宙中心的觀點。伽利略在被迫的情形下花了9年的時間於1632年完成偉大的鉅著兩大世界體系的對話(Dialogue Concerning the Two Chief World System Ptolemaic and Copernican ) 書中伽利略設(shè)定不同的人物以日常對話的方式討論科學(xué)上爭議性的話題。每天討論一篇，每一篇都由三個人對話，主角分別是菲利浦.沙爾威阿弟 ( Salvati )(哥白尼的信徒)、森布里吉爾 (Simplicio) (亞里斯多得的門生)及若望.方濟各沙克利多(開明的辯論裁判)。這本書事實上是伽利略個人對抗整個經(jīng)院學(xué)派的大辯論。

22、在第一天伽利略以他在望遠(yuǎn)鏡觀測所得的結(jié)果，支持地球只是太陽之一個行星之論點。在第二天談?wù)摰氖顷P(guān)於地球的運動，伽利略提出兩個物理重要觀點慣性定律及相對理論，支持地球環(huán)繞太陽旋轉(zhuǎn)的論點。在第三天則討論地球公轉(zhuǎn)問題，伽利略則以其新的發(fā)現(xiàn)金星之各種現(xiàn)象及木星之衛(wèi)星支持地球為中心理論不成立，而若改為以太陽為中心則可合理解釋。第四天則是關(guān)於潮汐現(xiàn)象，伽利略以它說明地球自轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，這個說法後來被牛頓所否決。21，p195217這本書是科學(xué)史上最重要的著作之一，伽利略不但提出天文與物理間之關(guān)連，否定許多當(dāng)時科學(xué)之錯誤觀念，更重要的是伽利略所強調(diào)之實驗方法及數(shù)學(xué)的重要性，他說：實驗的作業(yè)並不是偶然性的，也不是純

23、粹的經(jīng)驗主義方式。實驗過程中所發(fā)生的現(xiàn)象，都可以加以分析和研究，然後除掉混亂與錯誤的因素，還要把握任何造成事物原理的其它因素。在實驗所獲得的成果資料，在數(shù)學(xué)的定理演繹時必須加以演算。數(shù)學(xué)的定理會連結(jié)各種有關(guān)的數(shù)值。這本書使伽利略再次遭到宗教法庭的拘提，1632年6月22日這位69歲的垂暮老人在不堪長期的審問、侮辱的情形下中寫下懺悔錄承認(rèn)自己支持哥白尼的學(xué)說是一種錯誤，並承認(rèn)自己沒有能力證明日心說理論。同年12月在教會的監(jiān)督下伽利略回到故鄉(xiāng)，但不久又繼續(xù)科學(xué)研究工作，而其愛女、兒子及弟子們給他最大的精神鼓勵。1634年其愛女瑪麗亞( Sister Maria Celeste)死後，伽利略便將其所

24、有精力放在其所熱愛的科學(xué)研究上，他又完成另一偉大著作關(guān)於兩個新科學(xué)對話的新證明( Discourses and mathematical demonstrations concerning the two new sciences )，又名(新科學(xué)對話) (The Two New Science)此書於1638於荷蘭的萊登 (Leyden) 公開發(fā)表，書中仍採用問答方式，伽利略提出很多科學(xué)概念如：光速的有限說、音響問題聲音振動乃由具有彈性的媒體所造成及關(guān)於運動(力學(xué))的問題不管自由落體的重量如何其下落之加速度是相等的。1637年悲劇再度發(fā)生於這位老人的身上，在受細(xì)菌感染的情形下他的雙眼逐漸退化

25、，最後導(dǎo)致完成失明。但這位從不向命運低頭的科學(xué)鬥士仍然繼續(xù)從事科學(xué)研究四年，他以口述的方式配合其學(xué)生記錄作他有關(guān)運動方面的研究。1642年1月8日這位偉大的鬥士終於在嚴(yán)冬中離開世界。綜觀伽利略一生的成就在於他所提倡的實驗方法。他強調(diào)科學(xué)的基礎(chǔ)必須建立在實驗上，尋找科學(xué)現(xiàn)象獨立於任何物理解釋的定量描述，這有別於他之前的傳統(tǒng)思想。希臘科學(xué)家們努力尋求現(xiàn)象為什麼會發(fā)生或會發(fā)生甚麼現(xiàn)象之定性描述，他們致力於解釋為甚麼會發(fā)生的原因。而伽利略認(rèn)為關(guān)於事件發(fā)生的原因和結(jié)果的玄想並不能給人類增進(jìn)揭示自然和控制自然的力量，基於上述理由他提倡以定量的描述取代那些玄想，而定量描述的工具是數(shù)學(xué)語言即量與量間的對應(yīng)，也

26、就是我們所稱的函數(shù)。以函數(shù)的形式描述自然現(xiàn)象成為現(xiàn)代科學(xué)的重要特徵。9，p192此外伽利略的科學(xué)重要的貢獻(xiàn)之一是為科學(xué)建立數(shù)學(xué)模型，其方法包括：(1) 以實驗方法尋找出自然現(xiàn)象之定行量描述，將它寫成數(shù)學(xué)公式。 (2) 分離出且測量出最基本的現(xiàn)象性質(zhì)，即公式中的變數(shù)。(3) 在基本的物理原理基礎(chǔ)上，建立演繹推演。9，p194在天主教方面肯定伽利略在科學(xué)的貢獻(xiàn)是相當(dāng)遲緩的，直到1992年秋天，伽利略死後350年教宗若望保祿二世 ( Pope John Paul II ) 才取消教會對伽利略的譴責(zé)，並承認(rèn)對伽利略的判決是一個因為存在於這位比薩科學(xué)家與宗教法庭的審判者相互間的不諒解而產(chǎn)生的事件。26,

27、 p154155(二)、延長科學(xué)家的壽命之計算工具-耐普爾的對數(shù) 隨著天文學(xué)的發(fā)展及航海貿(mào)易的熱烙的刺激下，科學(xué)家們急迫需要更簡捷快速的計算技術(shù)用來處理繁雜的計算問題，在此時期最引人注目的發(fā)明是是耐普爾( John.Napier, 15501617 )所完成的對數(shù)表。 耐普爾是蘇格蘭的貴族，出生時父親才16歲。其大部份生活多在蘇格蘭的首府愛丁堡附近渡過，耐普爾把大部份時間花在當(dāng)時的政治與宗教的爭議中，他強烈反對天主教，擁護(hù)清教徒領(lǐng)袖。1593年曾發(fā)表清晰地看見聖徒約翰整個顯現(xiàn)一書對羅馬教會進(jìn)行強烈的攻擊。耐普爾在進(jìn)行政、教爭議之於則喜歡研究科學(xué)及數(shù)學(xué)。其主要成果有：(1)對數(shù)表的發(fā)現(xiàn)。(2)解

28、直角、球面三角形公式，幫助記憶的方法。(3)用手解非直角、球面三角形之一組四個三角公式(Napiers analogies)。(4)耐普爾尺(Napiers rods)的發(fā)明。6，p327328 事實上在耐普爾發(fā)現(xiàn)對數(shù)以前，在文藝復(fù)興時期德國的數(shù)學(xué)家斯蒂弗爾( M. Stidel, 14871567 )於1544年在其所著的綜合算術(shù)(Arithmetica Integra) 一書中已指出幾何數(shù)列 ，與它的各項次羃 ，之對應(yīng)關(guān)係。並指出幾何數(shù)列中之任兩項乘積之次冪為其原兩項之次羃之和，幾何數(shù)列中之任兩項之商的次冪為其原兩項之次羃之差，即 ， ，其中s，t 為自然數(shù)。他更聯(lián)想到，只是沒有正式的將對

29、數(shù)的概念具體的指出來。1614年耐普爾發(fā)表奇妙的對數(shù)定理說明書( Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ) 一書，討論對數(shù)的理論之發(fā)現(xiàn)。耐普爾一開始所選的底數(shù)a = ，(選定的理由據(jù)他在1619年死後才發(fā)表的Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio中解釋因為在球面三角所遇之正弦問題時，他學(xué)習(xí)托勒密(Ptolemy, 168 B.C.) 之方法將圓半徑分為個單位以度量所對應(yīng)之弧長所致。耐普爾考慮如下圖：設(shè)動點P在直線上作變速度移動，其速度隨著它與A點的距離改變而改變，而且在單位時間內(nèi)P點的位移，滿足，呈遞減

30、的等比數(shù)數(shù)列，且其公比為。其次他考慮動點Q在上作等差速度移動，且其速度為P點在直線運動時在A點的速度。當(dāng)P點到達(dá)時，Q點也到達(dá)。令，則滿足N = ，耐普爾稱L為N的對數(shù)。因此得當(dāng) N =時，L = 0，耐普爾以下列方法計算：當(dāng)L = 0時，N=10000000.0000000。當(dāng)L = 1時，N=9999999.0000000。當(dāng)L = 2時， = 9999999 (= 9999999-0.9999999 = 9999998.0000001。作出其對數(shù)表：N =，L = 0至100列出100個數(shù)值。10000000.0000000 ，L = 0 1.0000000_9999999.000000

31、0 ，L = 1 .9999999 9999998.0000001 ，L = 2 .9999998 9999997.0000003 ，L = 3 這相當(dāng)於，其中a = ，e為自然對數(shù)之底數(shù) (即Euler數(shù))。值得注意的是，若如此當(dāng)x =時，並不會滿足而是。1, p276278、 20，p244250此書一發(fā)表即引起倫敦格雷莎姆學(xué)院(Gresham College)幾何教授布里格斯( Henry Briggs, 15611631 )之注意。他於1615年專誠前往愛丁堡與耐普爾討論相關(guān)性質(zhì)，並相約以10為底數(shù)，產(chǎn)生今日常用之常用對數(shù)(Common Logarithm)。6，p3071624年布里

32、格斯發(fā)表對數(shù)算術(shù) ( Arithmetica Logarithmica ) 包括從1至20000和90000到100000的14位的常用對數(shù)表，而荷蘭的書商弗拉格 ( A. Vlacq, 16001666 ) 又將20000至90000之對數(shù)補齊。在十七世紀(jì)早期，對數(shù)還不能用指數(shù)之型式表示即 ，其中a、b > 0且，因為當(dāng)時還沒有負(fù)指數(shù)及有理指數(shù)的觀念，一直到1742年仲斯 ( William Jones, 16751749) 在介紹伽那得 ( William Gardiner ) 之對數(shù)表 ( Table of Logarithms ) 時才提出。而數(shù)學(xué)大師尤拉 ( Euler, 17

33、041783 )在1728年之未發(fā)表論文Oper Posthuma中，介紹以e為底數(shù)之自然對數(shù)。1，p279 對數(shù)的發(fā)明大大減輕了繁雜的計算工作量，因為它將大量的乘、除的計算簡化為較簡易的加、減計算。這個方法很快就風(fēng)行全歐洲。數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace, 17491827)曾讚譽：對數(shù)的發(fā)明以節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)家的壽命。(三)、當(dāng)代數(shù)碰到幾何-解析幾何的誕生 十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中最偉大的發(fā)明之一是由笛卡兒 ( Rene Descartes, 15961650 )及費馬 ( Pierre de Fermat, 16011665 ) 所引進(jìn)的解析幾何( Analytic Geometry)。這個

34、建立在座標(biāo)及現(xiàn)代代數(shù)符號的數(shù)學(xué)把代數(shù)觀念引入幾何研究中，進(jìn)而連結(jié)曲線、曲面及代數(shù)方程式間的關(guān)係。解析幾何奠定現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)，更重要的是它為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的寵兒微積分摧生。 笛卡兒，第一位現(xiàn)代最偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、生物學(xué)家、數(shù)學(xué)家1596年生於法國圖爾 ( Touraine )附近的La Haye。其父親是一位中產(chǎn)階級的律師。八歲進(jìn)入拉弗甚 ( La Fleche )之耶穌學(xué)校就讀。由於自幼身體潺弱，他被允許在床上度過早晨時光，因而養(yǎng)成臥床思考的習(xí)慣。十六歲他離開這所學(xué)校不久來到巴黎，在巴黎結(jié)識了著名的科學(xué)家梅森 ( Marin Mersenne, 15881648 )神父。這位聖方濟教會的神

35、父以梅森數(shù)，(即，p為質(zhì)數(shù))，留名於數(shù)學(xué)界。在這個沒有定期刊物發(fā)行的時期，科學(xué)家們藉由定期或不定期的聚會或經(jīng)由書信的方式交換彼此的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。而梅森是當(dāng)時重要的資訊連繫人。他與同時代的著名的科學(xué)家笛卡兒、費馬、托里切利、卡瓦列里、霍布士等保持密切交往，並在其所主持的教會中舉辦定期或不定期的科學(xué)聚會，他曾編輯許多希臘數(shù)學(xué)家的作品，並對各式課題發(fā)表論述?？茖W(xué)界曾留傳一句名言：將消息傳給梅森，等於宣告全歐洲。 1617年笛卡兒加入摩里斯 ( Prince Maurice of Organ) 親王的軍隊當(dāng)兵，其後9年斷斷續(xù)續(xù)進(jìn)出軍隊，遊歷歐洲各地足蹟遍佈德國、丹麥、荷蘭、瑞士、義大利。最後定居荷蘭，長達(dá)

36、20年從事哲學(xué)、自然科學(xué)、數(shù)學(xué)研究。在此期間陸續(xù)發(fā)表許多重要的作品如：世界體系(Le Monde, 1634)、引導(dǎo)心智的法則( Requlae ad Directionem Inqenii，1628年完成，1692年發(fā)表)、更好的指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論，簡稱方法論( Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les science, 1637 )、沉思錄 ( Meditiones, 1641 )、哲學(xué)原理 ( Principia Philosophiae, 1644)

37、。而在方法論書候附有三篇論文：折光學(xué)( La Dioptrique ) 、氣象學(xué)( Les Metores )和幾何學(xué)( La Geometrie )。在其幾何學(xué)一書正式引入現(xiàn)代解析幾何的觀念。而方法論、沉思錄和幾何學(xué)是研究笛卡兒哲學(xué)思想及數(shù)學(xué)之重要文獻(xiàn)。 1649年笛卡兒接受瑞典女王克麗斯丁娜 ( Queen Christina of Sweden )之邀至瑞典為皇室講學(xué)，因不堪嚴(yán)寒氣候於隔年染患肺炎死於斯德哥爾摩。 笛卡兒的哲學(xué)支配17世紀(jì)的西方思想發(fā)展，這位偉大的思想家試圖以科學(xué)方法證明上帝的存在，正如他所言：聖經(jīng)並非科學(xué)知識的來源，單用推理就足以顯示神的存在，人類只需要接受他所能理解的

38、。1，p330332 在1619年11月10日笛卡兒參與一場軍事戰(zhàn)後之一寧靜夜晚，他作了著名的三個夢，從夢境中悟出尋求宇宙真理的方法，它是一種數(shù)學(xué)的方法，他說：幾何學(xué)家們以單純，易於推理獲致最困難的演證，使我推斷：人類的知識所能勝任的對象，都是在相同的方式上相互關(guān)聯(lián)。13，p26 他受幾何學(xué)家的啟示，謹(jǐn)慎建構(gòu)其尋找真理的規(guī)則：(1) 絕不把任何沒有明確認(rèn)識為真的東西加以接受。(2) 把大問題分解成為小問題。(3) 採用由簡而繁的漸進(jìn)方式並以演繹方法推理之。(4) 列舉並審查每一個推理步驟，以真正做到徹底毫無遺漏。 他用上述規(guī)則建立了其理性哲學(xué)體系的公理基礎(chǔ)：(1) 我思故我在。(2) 凡象必有

39、因。(3) 果不能大於因。(4) 人的心中本來就俱有完美、空間、時間及運動的概念。接著他認(rèn)為事實上，人的疑心重重，易於犯錯，所知甚少，故不可能是一個完美的存在體。由上述的公理(4)人的確思想中擁有完美的觀念，故這個觀念必來自於一個永恆的存在體上帝，故上帝存在。9，p166 數(shù)學(xué)對笛卡兒而言只是用來處理其哲學(xué)與科學(xué)的工具，儘管他花在數(shù)學(xué)的時間是如此少，但所得的成果卻是如此非凡。 在討論解析幾何發(fā)展之前，我們必須先了解當(dāng)時的數(shù)學(xué)概況。17世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)主仍以歐幾里得的幾何及阿波羅尼斯 (Apollonius, 210 B.C. )的錐線為主流，而現(xiàn)代代數(shù)只是剛萌芽的階段基本上仍屬於幾何的附庸。而歐

40、氏幾何本身所研究的課題只局限於直線、圓的性質(zhì)上。隨著新的科技發(fā)展，許多新的圖形陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)如擺線(Cycloid)。同時隨著炮彈的發(fā)明、光學(xué)、天文學(xué)研究的需要拋物線、橢圓的性質(zhì)研究重新被重視。然而歐氏幾何並沒有充分提供解決這些問題的能力。笛卡兒曾直接批評：希臘的幾何過於抽象，而且過於依賴圖形，以致它只能使人在想像力十分疲乏的情形下運用理解力。，他也對當(dāng)時代數(shù)提出批評：代數(shù)因為完全受到法則和公式的約束，以致於成為一門充滿混亂和晦澀有意用來阻礙思想的技藝，而不是一門有益於思想發(fā)展的藝術(shù)。但另一方面他也肯定其各自的功能：代數(shù)用來對抽象的未知量進(jìn)行推理。、幾何提供了有關(guān)於真實世界的知識和真理。故笛卡兒主

41、張將幾何與代數(shù)中的一切精華的東西結(jié)合起來，取長補短。9，p169 笛卡兒將他的數(shù)學(xué)成就寫於幾何( La Geometrie )一書中，這本書共分為三冊，其標(biāo)題分別為關(guān)於只用圓和直線的作圖之可能問題( Problems The Construction of Which Requires Only Straight Line And Circles )、曲線的性質(zhì)( On The Nature of Curved Lines )及關(guān)於立體和超立體之作圖( On The Construction of Solid or Suppersolid Problem)。 在書一開始，笛卡兒就學(xué)維塔 ( V

42、ieta, 15301603 )之代數(shù)方法解幾何問題，他說：幾何結(jié)構(gòu)需要借助於對線之加、減、乘、除，這些運算在代數(shù)中已經(jīng)存在，所以它們也能用代數(shù)的術(shù)語表達(dá)之。而解題時，笛卡兒要求我們必須先設(shè)答案為已知，並用字母表示所有線段包括未知的和已知的，然後解開這些線段之間的難題，接著找出以兩式表示同一量之法而建立方程式。1，p334例如 假設(shè)幾何問題要求一未知數(shù)滿足二次方程式，其中a、b為已知長度。經(jīng)代數(shù)演算得，笛卡兒描述他的作圖方法如下：先作直角三角形，取，並延長至O點，使得，則。 笛卡兒並未在他的書中給出詳細(xì)的說明，這是他一貫的手法，正如他所言：他只是提示大概結(jié)構(gòu)，而將細(xì)節(jié)部份留給讀者自行補充。，他

43、說：這是不想剝奪讀者自行探索的樂趣。在第一冊的後半部他引用帕伯斯(Pappus)問題之具體解題方式介紹其所謂的新幾何的方法。我們必須認(rèn)知笛卡兒的幾何並不像現(xiàn)的解析幾何面貌，在整本書中完全找不到座標(biāo)系建立的方法。但其主要特色是透過具體例子說明如何結(jié)合代數(shù)與幾何間的連繫關(guān)係，這就是現(xiàn)在解析幾何的本質(zhì)。Pappus問題是：給定四條線AB、AD、EF、GH，然後從某點C直線CB、CD、CF、CH，各與一條所給定直線構(gòu)成已知角 CAB、CDA、CFE、CHG，要求滿足 之C點軌跡。 笛卡兒的解法如下：先假設(shè)C點已經(jīng)找出，並將給定直線之一與所求直線之一如AB及BC作為主線考慮使其發(fā)生關(guān)係。這相當(dāng)於選定AB

44、與BC為座標(biāo)軸。 先令A(yù)B = x，BC = y，然後解得 ，其中b、c、d、e、f、g、k為常數(shù)， CB、CD、CF、CH都為x、y之一次數(shù)式代入方程式得本問題之解為x、y之次數(shù)不高於2之方程式，型如。29，p32、20，p509510 笛卡兒特別強調(diào)若我們?nèi)芜x一個x值則可以得到一個含有y之二次方程式，故y可以用直線或圓給出其圖型。 笛卡兒的方法是以A為原點，x值為沿此線之長，而y為此線開始沿一定夾角方向之長度，固所得之座標(biāo)系相當(dāng)於今日所謂的斜座標(biāo)系。 在第二冊一開始，笛卡兒則以批判的觀點討論希臘人對於平面、立體和線性曲線所作的分類。他說：希臘人稱在平面上能以直尺或圓規(guī)所作的圖形為平面曲線(

45、plane lines)，而圓錐曲線為立體曲線 ( solid lines )其餘皆統(tǒng)稱為線性 ( linear )曲線如蔓葉線 ( cissoid )、螺線 ( spiral )、求方線 ( quardratrix )、擺線 ( cycloid )、蚌線 ( conchoids )等。而希臘人又將線性曲線稱為機械 ( mechanical )曲線，因為這些曲線作圖時需要用到機械儀器。但笛卡兒認(rèn)為即使僅用圓規(guī)或直尺作圖也算是使用作圖儀器，他認(rèn)為在數(shù)學(xué)中只有推理才算是正統(tǒng)(這個想法來自於柏拉圖)，因此他反對這種分類方式，笛卡兒大膽提出他的想法，他說：所謂幾何曲線是能以唯一之x、y之有限次方程式表

46、示之曲線。接著笛卡兒又將幾何曲線依x、y之次方加以分類。他稱一次、二次曲線為第一類，三次、四次為第二類、以此類推。同時他認(rèn)為所有高次方程式都可以簡化為以低次方程式之聯(lián)集方式表示，這個想法顯然不妥。29，48 值得注意的是，在第二冊的中笛卡兒提出他對於解曲線之法線(normal line)之作法，他曾自豪的表示：這是截至目前最有效的一般方法。 如下圖，假設(shè)CE為已知曲線，求過C點且垂直曲線CE之直線CP。 先令 令因為直角，得即故我們可得兩個含有x，y之方程式，這足以表達(dá)P點的軌跡。 笛卡兒所設(shè)計之作曲線CE之切線(法線)的方法一般稱為圓法，其原理以現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表之如下：令y = f(x)，在點

47、C(x，f(x)作切線。 先在x軸上取一點P(v，o)作圓心與PC = s作半徑作一圓交曲線於另一點E。若CP為曲線y=f(x)過C點的法線，則C點應(yīng)為曲線y = f(x) 與圓 之交點，解聯(lián)立方程式得.(#)而當(dāng)PC為法線時，C點與E點必須重合若x = e為重根則上式(#)必須出現(xiàn)之形式。故笛卡兒先改寫成然後比較次冪、係數(shù)解出v來以x = e表示。例如 求物線 之法線得比較係數(shù)得解得即代入e=x得故在拋物線上點之法線斜率為27，p142、19，p323 至於第三冊笛卡兒則將主題擺在經(jīng)代數(shù)處理後轉(zhuǎn)化為三次或四次之代數(shù)方程式之作圖問題如：求已知二數(shù)a、b之二調(diào)和平均數(shù)問題，即已知二數(shù)a、b求x、

48、y滿足作法如下：先取直線YE及線上一點A，將YE旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角至YX。以Y為圓心YA為半徑作圓交YX於B。過B作BC垂直YX並交YE於C。過C作CD垂直於YE於E令YA=YB=a，YE=b，YC=x，YD=y則有 ，即 ，且xy = ab。故得x，y的解為兩條拋物線及一條雙曲線之交點。29，p156 正如M. Kline 說：笛卡兒不止希望能說明如何以代數(shù)和錐線解立體的問題，並且一心一意要將它們分類，使得一般人知道它們的內(nèi)涵及如何著手處理。他的分類方法是依據(jù)作圖經(jīng)過代數(shù)處理以後獲得的代數(shù)式的次數(shù)；若其次數(shù)為一次或二次，則可以用直線板或圓規(guī)完成；若是三次或四次，則需要借助於圓錐曲線，他自始自終認(rèn)為三

49、次以上的問題可以轉(zhuǎn)化為三等分角以及倍積問題，而且不求助於比圓更複雜的曲線，必?zé)o法處理；若方程式的次數(shù)高過四次，則處理必須借助比錐線更複雜的曲線。，這個論點頗具爭議。他似乎乎略了三次方程式如的圖形比四次方程式的圖形更複雜。1, p339、29,192193 由於笛卡兒強調(diào)方程式的次數(shù)是用來衡量其曲線之複雜程度的標(biāo)準(zhǔn)，所以他在第三冊的大部份內(nèi)容用來討論如何將一方程式分解為較低次數(shù)之方程式的乘積，他甚至於提出著名的正負(fù)根數(shù)判別法則(Descartes rule of signs)： 一方程式之正根 ( true roots ) 數(shù)目為其係數(shù)正負(fù)符號由 + 改為 ，或由 改為 + 的數(shù)目。而其負(fù)根 (

50、 false roots) 的數(shù)目為連續(xù)兩個 + 號或 - 號的數(shù)目。例如可分解為(x-2)(x-3)(x-4)(x+5) = 0，其正根共有2, 3, 4三個，而其係數(shù)符號改變數(shù)亦為三，而負(fù)根一個 -5 ，連續(xù)負(fù)號的情形也出現(xiàn)一次。 但笛卡兒的結(jié)論似乎下了太大膽，乎略了方程式缺項的情形：例如可分解為數(shù)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) = 0，其負(fù)根有二個-2, -3，但並沒有連續(xù) + 號或 - 號出現(xiàn)的情形。 這本偉大的數(shù)學(xué)著作儘管在發(fā)表後批評不斷，然而它確實是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一大創(chuàng)舉，正如E. T. Bell所說：笛卡兒不是在改造幾何，他創(chuàng)造了它。、直接地是由於笛卡兒本人，間接地是由

51、於下一世紀(jì)從另一方面作出的努力，導(dǎo)致了整個數(shù)學(xué)科學(xué)觀念的革命。確實，笛卡兒徹底理解他所作的工作的意義，當(dāng)他自誇像西塞羅 ( Cicero ) 的修辭學(xué)超過了a、b、c一樣，他已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了他以前的一切幾何。10, p54 笛卡兒以數(shù)學(xué)為工具作為一種追求真理和發(fā)現(xiàn)科學(xué)的一般方法(general method of thinking)，他以數(shù)學(xué)本身特有的公理化體系之邏輯特質(zhì)作為使人信服的最佳佐證，在歷史上創(chuàng)造了今日所謂的解析幾何(Analytical Geometry)，但這本書卻很難視為歷史上第一本解析幾何教科書。在書中我們找不到有所為的座標(biāo)(coordinates)這個字眼，整本書幾乎都在討論以

52、代數(shù)方程式討論幾何圖形間的關(guān)係，故將它稱為代數(shù)幾何(A lgebraic Geometry )較為恰當(dāng)些。 與笛卡兒同時發(fā)現(xiàn)解析幾何的另一位大功臣是法國的業(yè)餘數(shù)學(xué)天才費馬( Pierre de Fermat，16011665 )，這位皮革商的兒子1601年8月17日生於法國圖盧茲(Toulouse)附近的博忙特德.落馬格( Beaumont-de-Lomagre )，早年在家鄉(xiāng)接受教育，後來進(jìn)入圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律。30歲時他任職圖盧茲地方法議會之辯論士。他以謙卑、專注的態(tài)度投入律師工作，而業(yè)餘時間則以研究數(shù)學(xué)自娛。他一生發(fā)表的作品雖不多，但他與當(dāng)時一流的數(shù)學(xué)家通信交換心得。其重要貢獻(xiàn)足以使他被

53、譽為本世紀(jì)最偉大的法國數(shù)學(xué)家。 費馬最偉大的成就在於數(shù)論( Numerical Theorem )方面，其中最吸引世人注目的是他所提之費馬最後定理( The Last Theorem of Fermat )：不存在整數(shù)x、y、z使?jié)M足，其中n為大於2的整數(shù)。這個延盪三百年的著名問題直到1993年才由普林斯頓的數(shù)學(xué)教授安德魯.懷爾斯(Andrew Wiles)解決。30 費馬除在數(shù)論方面的偉大貢獻(xiàn)外，他在其他領(lǐng)域也取得傲人的成果，如他與笛卡兒同時創(chuàng)造了解析幾何。他與另一位法國數(shù)學(xué)家巴斯卡 ( Blasie Pascal, 16231662) 藉由通信為現(xiàn)代機率理論奠基。而在光學(xué)上他以最省時的理論

54、( Principle of Least Time )證明1626年由史奈爾(Snell)所題出的折射定律：，其中。他的求曲線的極值切線的方法是在微積分誕生以前重要的成果。費馬一生平淡安靜，1665年1月12日在處理完最後一件法律案件後於故鄉(xiāng)安祥死去，年65。 數(shù)學(xué)史家Carl B. Boyer寫道：肯定費馬在分析學(xué)上的重要性是緩慢的，一部份是因為他附著於維塔的代數(shù)符號，而在笛卡兒的幾何論中又給予許多過時的回報，這場不公平的競爭導(dǎo)致費馬的數(shù)論領(lǐng)域乏人問津，更不幸的是他得不到能與通信者共享他對數(shù)學(xué)的狂熱。 在解析幾何方面，費馬的重要文獻(xiàn)是平面與立體軌跡引論( Introduction aux L

55、ieux Plane et Solides )20，p515。該論文完成於1636年之前，而在他死後由他的兒子所編輯的數(shù)學(xué)論集(Varia Opera Mathematica，D. Petri de Fermat Senatoris Tolosani , Toulouse, 1679)發(fā)表。在文中費馬試圖重寫阿波羅尼斯的論平面之軌跡( On Plane Loci )所得之重要成果。與笛卡兒著重於代數(shù)方程式之結(jié)構(gòu)不同，費馬著重於不定方程式的作圖，他強調(diào)由方程式出發(fā)，不一定先要有幾何作圖問題，才考慮相對應(yīng)之方程式。 他說：每當(dāng)在最後的方程式中出現(xiàn)兩個未知量，我們就得一個軌跡，其中一個未知量的端點描

56、繪出一條直線或一條曲線。這條直線簡單且唯一曲線的種類則無限地多如圓、拋物線、雙曲線、橢圓等。20，p515 費馬考慮任意曲線及其上一點J，J點之位置取決於從基線上O點至Z之長度a及從Z至J之長度e之關(guān)係式，即我們所稱的斜座標(biāo)(Oblique Coordinate)。他將a、e視為不定量b、d視為已知量，並並以d a = b e時J點的軌跡表示直線，而以方程式表示一圓。 我們必須再次強調(diào)，笛卡兒和費馬在解析幾何上的手法是完全不相同的。在觀念上笛卡兒希望打破希臘的傳統(tǒng)，而費馬則祈望能承繼希臘的數(shù)學(xué)思想。而真正發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法之潛能的是笛卡兒，但以方程式處理曲線觀念則是費馬較為出色。以現(xiàn)代觀點評論費馬的方法似乎比笛卡兒的方法更貼近現(xiàn)代解析幾何的面貌。 數(shù)學(xué)發(fā)展史上則發(fā)生誰先發(fā)現(xiàn)解析幾何之爭議，費馬的作品雖寫成於1636年但遲至1679年才出版，這比笛卡兒之幾何(La Geometrie)則出版於1637年更早。至於座標(biāo)的觀