中考數(shù)學與圓與相似有關的壓軸題附詳細答案

1、中考數(shù)學與圓與相似有關的壓軸題附詳細答案一、相似1 .如圖，在於，曲中，%'，點M是AC的中點，以AB為直徑作日， 分別交AC,剛于點。，E .sC11）求證：M ；（2）填空：|若出當M 珈時,DE ；連接如，金，當 的度數(shù)為 時，四邊形ODME是菱形.【答案】 （1）證明：Z ABC=90 , AM=MC , . . BM=AM=MC , ，/A=/ABM. .四邊形 ABED 是圓 內接四 邊形， ，/ADE+/ ABE=180° , 又 / ADE+/ MDE=18CT , . / MDE=/MBA,同理證明： /MED=/A, . . / MDE=/MED, . M

2、D=ME 2;倒【解析】【解答】解：（2）由（1）可知，/A=/MDE,DE/ AB, . . Ab =. AD=2DM, DM: MA=1 : 3, DE= i AB= ' X 6=2故答案為：2. 當/A=60°時，四邊形 ODME是菱形.理由如下：連接OD、OE.OA=OD , Z A=60 °,.AOD 是 等邊三 角形， ，/ AOD=60 °,DE/ AB ,，/ODE=/ AOD=60 ； / MDE=/MED=/A=60 ； .ODE, DEM 都是等邊三角形， .OD=OE=EM=DM, .四邊形 OEMD 是菱形.故答案為：60

3、6;.【分析】（1）要證 MD=ME,只須證/MDE=/MED即可。根據(jù)直角三角形斜邊上的中線 等于斜邊的一半可得BM=AM=MC ,則/ A=Z ABM ,由圓內接四邊形的性質易得 /MED=/A, ZMDE=Z MBA,所以可得 /MDE=/MED;DE 媽(2)由(1)易證得DE/ AB,可得比例式AB .明，結合中的已知條件即可求解； 當/A=60°時，四邊形 ODME是菱形.理由如下：連接OD、OE,由題意易得 AODE, DEM都是等邊三角形，所以可得 OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。2.如圖1,在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=8cm, E、F分別

4、是 AB> BD的中點，連接 EF, 點P從點E出發(fā)，沿EF方向勻速運動，速度為 1cm/s,同時，點Q從點D出發(fā)，沿DB方 向勻速運動，速度為 2cm/s,當點P停止運動時，點 Q也停止運動.連接 PQ,設運動時間 為t (0vtv4) s,解答下列問題：BlK2青用及(1)求證：ABEFADCB;(2)當點Q在線段DF上運動時，若4PQF的面積為0.6cm2 ,求t的值;(3)當t為何值時，4PQF為等腰三角形？試說明理由.【答案】(1)解：二四邊形ABCD是矩形，. 助"& AD/BC,力=%：在Ri 板中,BD 10區(qū)F分別是陶航的中點，1133S =-PF X

5、 QM = -(4 - t) X -(5 - 2t) =0.6 二二QOr -. 二(舍)或f 二二秒(3)解：當點Q在DF上時，如圖2, PF g當點Q在BF上時，F(xiàn)F ,如圖3,.二-；七田凡時，如圖4,杼時，如圖5,，一）1962G綜上所述，t=1或3或7或6秒時，4PQF是等腰三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)題中的已知條件可得 4BEF和4DCB中的兩角對應相等，從而 可證BEQ4DCB; （2）過點 Q作QMLEF于 M ,先根據(jù)相似三角形的預備定理可證 QMF s BEF;再由QM F s BEF可用含t的代數(shù)式表示出 QM的長；最后代入三角 形的面積公式即可求出t的值。（3）由題

6、意應分兩種情況：（1）當點Q在DF上時，因為/PFQ為鈍角，所以只有 PF = QF。（2）當點Q在BF上時，因為沒有指明腰和底，所 以有PF=QF； PQ = FQ PQ = PF三種情況，因此所求的 t值有四種結果。3.已知在 ABC中，/ABC=90°, AB=3, BC=4點Q是線段 AC上的一個動點，過點 Q作AC的垂線交線段 AB （如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P(1)當點P在線段AB上時，求證： APQsABC;(2)當4PQB為等腰三角形時，求 AP的長.【答案】(1)證明： Z A+Z APQ=90 , /A+/C=90, . . / APQ=/ C.在

7、APQ與ABC中，. /APQ=/C, / A=Z A, .APQsMBC.（2）解：在 RtABC中，AB=3, BC=4,由勾股定理得： AC=5./BPQ為鈍角，當APQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ.（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示，由（1）可知， APQABC,PA PQ 3 - PB PB4F - T - pb -吟即 5 ,解得： 目.45AP - AB - PB - 3 -3 J .（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖 2所示， BP=BQ,/ BQP=Z P. / BQP+Z AQB=90 ； / A+Z P=90 ； ：. / AQB=Z A。. BQ

8、=AR.AB=BP,點B為線段 AB中點。.AP=2AB=2 X 3=6.綜上所述，當4PQB為等腰三角形時，AP的長為或6.【解析】【分析】（1）由兩對角相等（/APQ=/ C, /A=/A）,證明APQsABC。(2)當4PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論 .(I)當點P在線段 AB上 時，如題圖1所示.由三角形相似(APQsABQ關系計算 AP的長；(II)當點P在線 段AB的延長線上時，如題圖 2所示.利用角之間的關系，證明點 B為線段AP的中點，從 而可以求出AP.4.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=匕x2+ & x- 2與x軸交于A, B兩點(點A在點B

9、的左側)，與y軸交于點C,直線l經(jīng)過A, C兩點，連接BC.(2)若直線x=m (m<0)與該拋物線在第三象限內交于點E,與直線l交于點 D,連接OD.當ODLAC時，求線段DE的長；(3)取點 G (0, - 1),連接 AG,在第一象限內的拋物線上，是否存在點P,使/BAP=/ BCO- / BAG?若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：二拋物線y=工x2+ 士 x2,，當 y=0 時，得 xi =1, x2= - 4,當 x=0 時，y= - 2, i S拋物線y= - x2+上x- 2與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C, .點

10、A 的坐標為(4, 0),點 B ( 1, 0),點 C (0, - 2),直線l經(jīng)過A, C兩點，設直線l的函數(shù)解析式為y=kx+b,4kb = G /一三'白=T ,得小，/即直線l的函數(shù)解析式為y=(2)解：直線ED與x軸交于點F,如右圖1所示,AO=4, OC=2, /AOC=90°, .AC=2 ., x 2 a/3.OD=,. ODXAC, OAXOC, /OAD=/ CAO, .AODAACO,AD A6.元一元，AD _ 4隊后即 / - 得 AD= T ,. EFLx軸,/ ADC=90 ；.EF/ OC,. .AD。ACO, AF DF AL.M OC M

11、 ,H 0解得，AF= 5 , DF=4,B 士OF=4 LH=, * m= - $ ,當 m= $時，y=上 x(- J ) 2+ J x( J) 2=心,，ef=:,72 8 32DE=EF- FD=(3)解：存在點 P,使/ BAP=/ BCO- / BAG,理由：作GM LAC于點M,作PN±x軸于點N,如右圖2所示,圖2 點 A ( 4, 0)，點 B (1, 0)，點 C (0, - 2), .OA=4, OB=1, OC=2,OC 21OB i . tan / OAC=由/, tan Z OCB=8 £ , AC=2t后, . / OAC=Z OCB, / B

12、AP=Z BCO- / BAG, / GAM=Z OAC- / BAG,Z BAP=/GAM, 點 G (0, - 1) , AC=2k 方，OA=4,，OG=1, GC=1,AC * GM a； , OA. 1X4.AG=1叼，22,即？ J解得，GM= ,. am=叱-c# =1、"，丁GM _5 贏" tanZ GAM= g .tan / PAN= 5 ,設點P的坐標為(n, - n2+ 2 n-2),1. AN=4+n, PN= - n2+ * n - 2, i , 3 才可- = 一解得，n1 =n2= - 4 (舍去),13當n= 9時，Jn2+13 9b點P的

13、坐標為( ,更)，13 囹即存在點 P ( 3 ,司)，使/ BAP=Z BCO- / BAG【解析】【分析】(1)利用拋物線的解析式求出點A、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式。(2)直線 ED與x軸交于點 F,在RtAAOC中，利用勾股定理求出AC的長，再證明 AODsACO,利用相似三角形的性質求出AD的長，再由EF/ OC得出對應線段成比例求出OF的長，可得出 m的值，然后求出 EF的長，根據(jù)DE=EF FD,可求出答案。(3)存在點 P,使/BAP=/ BCO- /BAG,彳GM，AC于點M,作PN，x軸于點N,根據(jù) 點A、B、C的坐標，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC、A

14、G的長，再利用同一個三角形的面積相等，求出 GM的長，利用勾股定理求出AM的長，從而求出tan/PAN的值，然后設點P的坐標，求出 AN、PN,再根據(jù)tan / PAN的值建立方程求出 n的值，就可得出點 P的 坐標。5.如果三角形的兩個內角“與3滿足2a + 3 =9 0那么我們稱這樣的三角形為準互余三角(1)若 ABC是 準互余三角形 "，/C>90°, / A=60°,則 ZB= ;(2)如圖，在RtABC中，/ACB=90, AC=4, BC=5若AD是/ BAC的平分線，不難證明4ABD是 推互余三角形”試問在邊BC上是否存在點 E (異于點D),

15、使得 ABE也是 準 互余三角形”？若存在，請求出 BE的長；若不存在，請說明理由.(3)如圖，在四邊形 ABCD 中，AB=7, CD=12, BD± CD, /ABD=2/BCD,且 ABC 是 推互余三角形”，求對角線AC的長.【答案】(1) 15(2)解：如圖中，B E D C圖在 RtA ABC 中， Z B+Z BAC=90 , / BAC=2Z BAD,/ B+2/ BAD=90 ；.ABD是 準互余三角形”，ABE也是 準互余三角形”，. 只有 2 / B+Z BAE=90 ,° / B+/BAE+/ EAC=90,° /CAEB, ,. /C=/

16、C=90； .CAECBA,可得 CA2=CE?CB.-CE= $ , 16 g .BE=5- 5 = /.(3)解：如圖 中，將4BCD沿BC翻折得到4BCF. .CF=CD=12 /BCF=/ BCD, / CBF=/ CBD, / ABD=2/ BCD, / BCD+Z CBD=90 ,° / ABD+Z DBC+Z CBF=180 , °. A、B、F共線，Z A+Z ACF=90 ° .2/ACB+/ CABw 90 °. 只有 2/BAC+Z ACB=90 ,°/ FCB=/ FAC 1 / F=Z F, .FCBAFAC .CF2

17、=FB?FA 設 FB=x,則有：x (x+7) =122 , . .x=9 或-16 (舍去)，AF=7+9=16,在RtMCF中，AC= 盧+ 盧=H +"%【解析】【解答】(1)4ABC是 準互余三角形"，ZC>90°, /A=60°, .2/ B+/A=90 ；解得，/B=15°【分析】(1)根據(jù) 準互余三角形”的定義構建方程即可解決問題；(2)只要證明 CA&4CBA 可得 CA2=CE?CB由此即可解決問題；(3)如圖中，將 BCD沿BC翻 折得到 4BCF只要證明FOFAC 可得 CF=FB?FA,設 FB=x) 則

18、有：x (x+7) =122 , 推出x=9或-16 (舍棄)，再利用勾股定理求出AC即可；6.如圖1,在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線 y = ax2+bx+5與x軸交于A,點B,與y軸交于點 C,過點C作CD>±y軸交拋物線于點 D,過點B作BEXx軸，交DC延 長線于點E,連接BD,交y軸于點F,直線BD的解析式為y= - x+2.(1)寫出點E的坐標；拋物線的解析式.(2)如圖2,點P在線段EB上從點E向點B以1個單位長度/秒的速度運動，同時，點 Q 在線段BD上從點B向點D以也 個單位長度/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一 個點隨之停止運動，當 t為何

19、值時，4PQB為直角三角形？力(3)如圖3,過點B的直線BG交拋物線于點 G,且tan/ABG=2 ,點M為直線BG上方 拋物線上一點，過點 M作MH ± BG,垂足為H,若HF= MF,請直接寫出滿足條件的點 M 的坐標.【答案】(1)解：將點D (-3, 5)點B (2, 0)代入y=ax2+bx+5b=-解得 -，拋物線解析式為:(2)解：由已知 /QBE=45, PE=t, PB=5-t,QB= Pl t當/QPB=90時， PQB為直角三角形 / QBE=45 °.QB= A PB/ t=忑(5-t)解得t= I當/ PQB=90時， PQB為直角三角形 BPQs

20、BDEbq?bd=bp?be 5 (5-t) = Et?5 V-解得：t= PQB為直角三角形（3）點 M 坐標為（-4, 3）或（0, 5）.【解析】【解答】（3）由已知tan/ABG=2,且直線GB過B點/則直線GB解析式為：y= Jx-1延長MF交直線BG于點K .HF=MF/ FMH=/ FHM. MHBG 時 / FMH+Z MKH=90 °/ FHK+Z FHM=90 °/ FKH=Z FHKHF=KF，F(xiàn)為MK中點設點M坐標為(x, - - x2-上x+5)-F (0, 2)x-1)，點K坐標為（-x,把K點坐標代入y= X x-1把x=0代入y=-x+5,解

21、得 y=5把x=-4代入y=- 解得y=3x+5解得 Xi=0, X2=-4,2）根據(jù)題意，4DEB為等腰直角則點M坐標為（-4, 3）或（0, 5）【分析】（1）由待定系數(shù)法求點坐標及函數(shù)關系式；（ 三角形，通過分類討論 / PQB=90或/ QPB=90的情況求出滿足條件 t值；（3）延長MF交7 .問題提出;GB于K,由/MHK=90 , HF=MF可推得HF=FK即F為MK中點，設出 M坐標，利用中點 坐標性質，表示 K點坐標，代入 GB解析式，可求得點 M坐標.6 P cQ C 3CEI1卻圖3（1）如圖1,矩形ABCD, AB= 4, BC= 8,點E為CD的中點，點 P為BC上的

22、動點，CP= 時， APE的周長最小.（2）如圖2,矩形 ABCD, AB= 4, BC= 8,點E為CD的中點，點 P、點Q為BC上的動 點，且PQ= 2,當四邊形APQE的周長最小時，請確定點 P的位置（即BP的長） 問題解決；（3）如圖3,某公園計劃在一片足夠大的等邊三角形水域內部（不包括邊界）點 P處修一 個涼亭，設計要求 PA長為100米，同時點 M, N分別是水域 AB, AC邊上的動點，連接 P、M、N的水上浮橋周長最小時，四邊形 AMPN的面積最大，請你幫忙算算此時四邊形 AMPN面積的最大值是多少？【答案】（1）工（2）解：點A向右平移2個單位到 M,點E關于BC的對稱點F,

23、連接MF ,交BC于Q, 此時MQ+EQ最小，N p Q ：,. PQ=3, DE= C曰2, AE= 2短,，要使四邊形APQE的周長最小，只要 AP+EQ最小就行,即 AP+EQ= MQ+EQ,過 M 作 MNLBC于 N,.MN / CD .MNQs"CQcf a. .盅V 瓶2 E -KQ.NQ=4 .BP= BQ- PQ= 4+2- 2=4(3)解:如圖，作點 P關于AB的對稱點 G,作點P關于AC的對稱點H,連接GH,交 AB, AC于點M, N,此時APMN的周長最小.,-.AP = AG= AH=100 米，/GAM=/PAM, Z HAN = Z PAN, / PA

24、M+Z PAN= 60 °,/ GAH= 120 ;且 AG= AH,/ AGH= ZAHG= 30 °,過點A作AOXGH, .AO=50 米，HO= GO=50米，.GH= 100 & 米，口 Sa agh= -GH X AO 2500平方米，S 四邊形 ampn= Saagm+Saanh= Skagh _ SaamnSaamn的值最小時，S四邊形ampn的值最大，,-.MN = GM=NH=3 時二. S 四邊形 AMPN = SzAGH SaAMN = 2500 3=平方米.【解析】【解答】（1） 四邊形ABCD是矩形，Z D= 90=/ABC, AB= C

25、D= 4, BC= AD= 8, .E為CD中點,.DE=CE= 2,在RtADE中，由勾股定理得： AE= 416+疵=k/出*4=2行, 即 APE的邊AE的長一定，要 APE的周長最小，只要 AP+PE最小即可，延長AB到M ,使BM = AB= 4,則A和M關于BC對稱，連接EM交BC于P ,此時AP+EP的值最小, 四邊形ABCD是矩形， .AB/ CD ,.,.ECFAMBP ,故答案為：【分析】（1）延長AB至ij M,使BM=AB,則此時AP+EP的值最小，根據(jù)勾股定理求出 ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出 點E關于BC的對稱點 F,連接 MF,交A和MAE長, CP長

26、；關于BC對稱，連接 根據(jù)矩形性質得出（2）點A向右平移EM交BC于P, AB/ CD,推出2個單位到 M ,BC于Q,要使四邊形 APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，證 MNQsFCQ即可求BP的長；（3）作點P關于AB的對稱點 G, 作點P關于AC的對稱點H,連接GH,交AB, AC于點M, N,此時 PMN的周長最小.S四 邊形AMPN=SAGM+SxANH=SAAGH-S AMN ,即Sa AMN的值最小時，S四邊形AMPN的值最大.8.在4ABC 中，ZACB= 90°, AB= 25, BC= 15.(1)如圖1,折疊ABC使點A落在AC邊上的點D處，折痕交 AC

27、 AB分別于Q、H,若Saabc= 9S；adhq , 求 HQ 的長.(2)如圖2,折疊ABC使點A落在BC邊上的點M處，折痕交 AC、AB分別于E、F.若使得4CMP和4HQP相似？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由.FM/AC,求證：四邊形 AEMF是菱形;(3)在(1)(2)的條件下，線段 CQ上是否存在點P,圖1在4ABC中，. /AC- 90°, AB= 25, BC= 15.AC=- 故=20,設 HQ=x ,.AQ= x ,- Saabc= 9SZx dhq ,.x=5 或-5 (舍棄)，.HQ=5,故答案為5.(2)解：如圖2中,C M 3圖2由翻折不變性可

28、知： AE= EM , AF=FM , . FM / AC ,/ AEF= / MFE ,/ AEF= / AFE ,.AE= AF ,.AE=AF= MF= ME ,四邊形AEMF是菱形.FB= 5m ,設 AE= EM=FM = AF=4m ,則 BM=3m4m+5m= 25,15m =2G,. QG=5, AQ= 3 ,46.QC=16解得：x=10或3 ,J6經(jīng)檢驗：x= 10或3是分式方程的解，且正確，綜上所，滿足條件長 QP的值為7或10或J .【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出 AC,設HQ=x,根據(jù)Saabc=9Sa dhq ,構建方程 即可解決問題；（2）想辦法證明四邊相

29、等即可解決問題；（ 3）設AE=EM=FM=AF=4m,則 BM=3m , FB=5m,構建方程求出 m的值，分兩種情形分別求解即可解決問題 二、圓的綜合9.如圖，。的半徑為6cm,經(jīng)過。上一點C作。的切線交半徑 OA的延長于點B, 作/ACO的平分線交。于點D,交OA于點F,延長DA交BC于點E.（1）求證：AC/ OD;試題分析：（1）由OC=OD, CD平分/ACQ 易證得/ACD=/ODC,即可證得 AC/ OD;（2） BC切。于點C, DELBC,易證得平彳T四邊形 ADOC是菱形，繼而可證得 4AOC是等邊三角形，則可得：/AOC=60。，繼而求得弧 AC的長度.試題解析：（1）

30、證明：OC=OD,ZOCD=Z ODC. .CD 平分/ACQ . / OCD=/ACD, . / ACD=/ODC, . AC/ OD；(2) BC 切。于點 C,BC± OC. DE，BC, . OC/ DE. AC/ OD, .四邊形 ADOC是平行四邊形.OC=OD,.平行四邊形 ADOC是菱形，.OC=AC=OA,4AOC是等邊三 角形，ZAOC=60°, .弧 AC 的長度=9°6 =2 兀180點睛：本題考查了切線的性質、等腰三角形的判定與性質、菱形的判定與性質以及弧長公 式.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.10.四邊形ABCD的對角線交于

31、點 E,且AE= EQ BE= ED,以AD為直徑的半圓過點 E,圓 心為O.(1)如圖，求證：四邊形 ABCD為菱形;(2)如圖，若BC的延長線與半圓相切于點 F,且直徑AD = 6,求弧AE的長._一 ”.?！敬鸢浮?1)見解析；(2)2【解析】試題分析：(1)先判斷出四邊形 ABCD是平行四邊形，再判斷出 AC± BD即可得出結論； (2)先判斷出 AD=DC且DEL AC, / ADE=/ CDE，進而得出 / CDA=30°,最后用弧長公式 即可得出結論.試題解析：證明：(1)二.四邊形ABCD的對角線交于點 E,且AE=EC, BE=ED, .四邊形ABCD是平

32、行四邊形.二以AD為直徑的半圓過點 E,/ AED=90°,即有AC BD, 四邊形ABCD是菱形；(2)由(1)知，四邊形 ABCD是菱形， 4ADC為等腰三角形，AD=DC且DEL AC, /ADE=/CDE如圖2,過點C作CG,AD,垂足為G,連接FO. 丁 BF切圓。于點F,1.OFXAD,且 OF -AD 3 ,易知，四邊形 CGOF為矩形，CG=OF=3. 2在 RtCDG中，CD=AD=6, sinZADC=CG- =1 ,，/CDA=30°,，/ADE=15°.CD 2 o303連接 OE,貝U/ AOE=2X/ ADE=30, . Ae303一1

33、802 ,FCE字點睛：本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質、切線的性質，熟練掌握其判定與性 質并結合題意加以靈活運用是解題的關鍵.11.已知：如圖，在矩形 ABCD中，點O在對角線BD上，以OD的長為半徑的。與AD, BD分別交于點E、點F,且/ABE=/ DBC.(1)判斷直線BE與。的位置關系，并證明你的結論；(2)若 sin/ABE=Y3, CD=2,求。的半徑.【答案】(1)直線BE與。相切，證明見解析；(2)。的半徑為J：.【解析】分析：(1)連接OE,根據(jù)矩形的性質，可證 /BEO=90。，即可得出直線 BE與。相切;(2)連接EF,先根據(jù)已知條件得出 BD的值，再在BEO中

34、，利用勾股定理推知 BE的 長，設出。的半徑為r,利用切線的性質，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.詳解：(1)直線BE與。相切.理由如下：連接 OE,在矢巨形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OD=OE,Z OED=Z ODE.又/ ABE=/DBC,Z ABE=Z OED, 矩形 ABDC, / A=90 °,Z ABE+ / AEB=90 °, . / OED+/AEB=90 ； /BEO=90； .直線 BE 與。O 相切；(2)連接EF,方法1：.四邊形 ABCD是矩形，CD=2,Z A=ZC=90 °, AB=CD=2.

35、 ZABE=ZDBC, . .sinZ CBD=sin ABEBD -DC 273, sin CBD在 RtA AEB 中， CD=2BC272. tan / CBD=tanZABE,DCBCAEAB22,2AEAE金,由勾股定理求得BE J6 .在 RtBEO中，/BEO=90°, EC2+eB?=OB2.設。的半徑為 r,則 r2 (76)2 (2</3 r)2, -r=,2方法 2: DF是。的直徑，./DEF=90°.AB=CD=2.四邊形 ABCD是矩形，/ A=/ C=90 °, ZABE=ZDBC. .sin/CBD=sin ABE設 DC x

36、, BDpx,則BC. . CD=2, BC2V2. tan / CBD=tanZABE,DCAEBCABAE，AE J2 ,2E為AD中點. DF 為直徑，Z FED=90EF/ AB,DF1bd J3,，。的半徑為當£B點睛：本題綜合考查了切線的性質、勾股定理以及三角函數(shù)的應用等知識點，具有較強的 綜合性，有一定的難度.12.如圖，。是ABC的內心，BO的延長線和4ABC的外接圓相交于 D,連結DC DA、OA、(1)(2)C【答案】（1）證明見解析；（2）OC,四邊形OADC為平行四邊形.求證：BOCCDA.若AB=2,求陰影部分的面積.43、,39分析：（1）根據(jù)內心性質得

37、/1 = /2, /3=/4,則AD=CD,于是可判斷四邊形 OADC為菱形，則BD垂直平分 AC, Z4=Z5=Z6,易得 OA=OG /2=/3,所以OB=OC,可判斷點 O 為4ABC的外心，則可判斷 ABC為等邊三角形，所以 Z AOB=Z BOC=Z AOC=12 0,BC=AC再根據(jù)平行四邊形的性質得 ZADC=Z AOC=120°, AD=OQ CD=OA=OR則根據(jù)“SA院明BOXACDA；(2)作OHU AB于H,如圖，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到 / BOH=30 ；根據(jù)垂徑定理得到 BH=AH=1AB=1,再利用含30度的直角三角形三邊的關系2得到

38、OH=3bH=3, OB=2OH=2_J,然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式，利用 333S陰影部分S扇形 AOB-Skx AOB進行計算即可.詳解：(1)證明：:。是4ABC的內心，/2=/3, /5=/6, / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CO,/ 4=7 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AQ/3=/4=/6,/ ABC=Z ACB .AB=AC .ABC是等邊三角形 .O是4ABC的內心也是外心.OA=OB=OC設E為BD與AC的交點，BE垂直平分AC在 RtOCE中，CE=1AC=-AB=1 Z OCE=3O° 22

39、OA=OB=OC= / AOC=120 ,°“ 影=$扇 AOB SVAOB1202,3o 1 -3=()- 2 36032343,39點睛：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，： 角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內心 就是三角形三個內角角平分線的交點.也考查了等邊三角形的判定與性質和扇形面積的計 算.13.如圖，OB是以（O, a）為圓心，a為半徑的OOi的弦，過B點作。Oi的切線，P為劣MOB上的任一點，且過 P作OB、A® OA的垂線，垂足分別是 D、E、F.(1)求證：PD2=PE?P（2

40、）當/BOP=30, P點為OB的中點時，求D、E、F、P四個點的坐標及S/XDEF.【答案】（1）詳見解析；（2） D （-旦a, -a） , E （- 至 a, -a） , F （-立a,444420）, P （理 a,亙）；* de尸點 a?.2216【解析】試題分析：（1）連接PB, OP,利用AB切。O1于B求證PBa4POD,得PBOPPE,同理,PDPB OPFA BPD),得出 OPPD，然后利用等量代換即可.PF（2）連接O1B, O1P,得出O1BP和OHO為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質即可解得D、E F、P四個點的坐標.再利用三角形的面積公式可直接求出三角形DEF的面

41、積.試題解析：（1）證明：連接PB, OP, -. PE± AB, PD)± OB,/ BEP=/ PDO=90 ；. AB 切。O1 于 B, /ABP=/ BOP,.,.PBEAPOD),PB PE麗=麗同理，AOPFABPDPBJDOP=PF7,也叩PD=PF5pd2=pe?p(2)連接 OiB, OiP,. AB 切。0i 于 B, Z POB=30 ,Z ABP=30 ； Z OiBP=90 -30 =60 ,OiB=OiP, .Ch BP為等邊三角形，.OiB=BP, P為弧BO的中點，BP=OP,即OlPO為等邊三角形，. op=op=a Z OiOP=60

42、,又P為弧BO的中點，. .OiP±OB,在OiDO 中，J /=OiOP=60 OiO=a,OiD=-a, OD=._-a,過 D作 DMLOQ 于 M, ,.DM=駟呼a,OM=V3DM=-ya, D ( Z OiOF=90 ,Z POF=30 ;ZOiOP=60°v PE± OA,.-.PF=r-OP=r-a,?？糰,a亙)a,2)c、 亍 a, °),. AB 切。Oi 于 B, Z POB=30 ,L ABP=Z BOP=30 ；. PEXAB, PB=aZ EPB=60 °1 PE-a,.P為弧BO的中點,BP=PO,Z PBO=Z

43、 BOP=30 ,Z BPO=120 /Z BPE吆 BPO=120 +60 =180 ,即OPE三點共線,-OE= a+aa,過E作EMx軸于M, .AO切。O1于O,E (一a,a,DE邊上的高為:a,Sa de3/316a2.故答案為：D （-a) , F (一a, 0) , P (-a,I ； Sxdef=3叵a2. ： 1&B514.如圖1,四邊形ABCD為。內接四邊形，連接 AC、CQ BO,點C為弧BD的中點.（1）求證：/ DAC=Z ACO+Z ABO;（2）如圖2,點E在OC上，連接 EB,延長 CO交AB于點F,若/ DAB=/ OBA+Z EBA 求 證：EF=

44、EB（3）在（2）的條件下，如圖 3,若OE+EB=AB CE=Z AB=13,求AD的長.CCB【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析;(3) AD=7.【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接OA,只要證明/CAB=/ 1 + /2=/ACO+/ABO,由點C是?D 中點，推出 Cd Cb，推出 / BAC=/ DAC,即可推出 /DAC=/ ACO+/ ABO;(2)想辦法證明/ EFB± EBF即可；(3)如圖3中，過點O作OHU AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于 G,作BNXCF 于N,作Ch AD于K,連接OA/CTZ XABTT.首先證明4EFB是等邊三角形，

45、再證明 AC右 ACT, RtA DK(BTC,延長即可解決問題;試題解析：(1)如圖1中，連接OA,-. OA=OC,Z1 = Z ACO,. OA=OB, .1. Z2=Z ABO, uuur _ _ujin丁點C是bd中點，CD/ CAB=Z 1+/ 2=/ ACO+Z ABO,uuuCB ， 1 / BAC=Z DAC,Z DAC=Z ACO+Z ABO部(2)如圖2中, / BAD=Z BAC+Z DAC=2/ CAB, / COB=2/ BAC,/ BAD=Z BOC, / DAB=Z OBA+Z EBA,. / BOC=Z OBA+Z EBA,/ EFB=Z EBF,EF=EB圖

46、2(3)如圖3中，過點O作OH, AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于 G,作BNXCF 于 N,作 CKLAD 于 K,連接 OA. CC CTZ LAB 于 T.£ ? / EBA+Z G=90 : / CFB+Z HOF=90 ； / EFB=Z EBF,/ G=Z HOF, / HOF=Z EOG,/ G=Z EOGEG=EQ .OHXAB,AB=2HB, . OE+EB=AB . .GE+EB=2HB . . GB=2HB,HB 1 cosZ GBA= -,，/GBA=60 ,GB 2 .EFB是等邊三角形，設 HF=a, / FOH=30 ,° OF=2FH

47、=2a . AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a+3 ,2 .OE=EF- OF=FB- OF=13 - a,2OB=OC=OE+EC身-a+2=- -a,1 13NE= EF= a+ - .ON=OE=EN=( 13 - a) 2. BO2 - on2=eb2- en2,1a+13) =133a2442,(2a+2,解得a=3或-10 (舍棄)，2.OE=5, EB=8, OB=7, . /K=/ ATC=90 , ° Z KAC=Z TAG AC=AQAACKAACT, . CK=CT AK=AT,uur uuu.CD CB，,DC=BCRtA DKG RtA BTC； . . DK=BT,. FT=1FC=5,DK=TB=FB- FT=3, . AK=AT=AB- TB=10, . AD=AK- DK=10- 3=7.215.如圖1,已知。是AADB勺外接圓，/ADB的平分線 DC交AB于點M,交。O于點C,連接 AC, BC.(1)求證：AC=BQ(2)如圖