高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題(附習(xí)題)經(jīng)典.doc

1、精品文檔高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、 有關(guān)外接球的問題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面 體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球 .有關(guān)多面體外接 球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查 學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要 運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的 有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在 解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面 積為 27例2 一個(gè)正方體的各

2、頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的 表面積為24 ,則該球的體積為 4/32、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問題例3一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的表面積為.14 .例4、已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為體積為16,則這個(gè)球的表面積為（）.CA. 16 B. 20 C. 24D. 323.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知 該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為8,底面周 長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為解 設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x ,高為h,則有6x 3,32h,41x 2,h ,3.正六

3、棱柱的底面圓的半徑r球心到底面的距離d .外接球的半徑R 32 d2 .體積：V R3.3小結(jié) 本題是運(yùn)用公式R2 r2 d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）1、構(gòu)造正方體例5若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 由，則其外接球的表面積是 9 .例3若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 由，則其外 接球的表面積是.故其外接球的表面積S 4 R2 9 .小結(jié)：一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分 別為a、b、c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體， 于是長(zhǎng)方體的 體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R ,則有2R a2 b

4、2 c2.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體。【原理】：長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為 4瓦t,則 體對(duì)角線長(zhǎng)為l Ja2 b2 C2 ,幾何體的外接球直徑為2R體對(duì)角線長(zhǎng)l 即r4廠c2 2練習(xí)：在四面體 細(xì)理中,共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分 別為176,3,若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。球的表面積為S 4 R2 16例6一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為72,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A. 3B. 4 C. 3 3 D. 6A.（如圖2）例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E為AB的中 點(diǎn)，將ADE與BEC分布沿

5、ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P ,4、3A. 27解析：（如圖3）則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（） 666 B. 2C. 8D. 24因?yàn)?AE=EB=DC=1 , DAB= CBE= DEA=60所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱錐P-DCE為正四面體，至止匕這與例6就完全相同了，故選C.例8 （2已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D, DA 平面ABC , AB BC ,DA=AB=BC= V3 ,則球O的體積等于解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA平面ABC,AB BC,聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線

6、段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長(zhǎng)方體， 又因?yàn)镈A=AB=BC=邪,則此長(zhǎng)方體為正方體，所以CD長(zhǎng)即為外接球9的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球0的體積等于2 .（如圖4）2、例9 （2008年安徽高考題）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，AB 平面 BCD , BC DC ,若 AB 6,AC=2 13,AD=8 ,則球的體積是解析：首先可聯(lián)想到例8,構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是AD為球的 直徑，O為球心，OB=OC=4為半徑，要求B、C兩點(diǎn)間的球面距離， 只要求出 BOC即可，在Rt ABC中，求出BC=4,所以 BOC=600,故4B、C兩點(diǎn)間的球面距離是3 .（如圖5）圖5本文章在給出圖

7、形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是A.16B.20C.24D.32 .選 C.小結(jié) 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直 徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 五，點(diǎn)S A B C、D都在同一球面上，則此球的體積為 .解 設(shè)正四棱錐的底面中心為O1,外接球的球心為0,如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得001 平面 ABCD又SO1平面ABCD，.二球心O必在S。所在的直線上.ASC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓

8、的半徑就 是外接球的半徑.在 ASC中，由 SA SC AC 2,得 SA2 SC2 AC2.ASC是以AC為斜邊的Rt .a1V球t. 2是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故3 .小結(jié) 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元 素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半 徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方 法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們 學(xué)習(xí).五.確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB 4, BC 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B A

9、C D,則四面體ABCD的外接球的體積為125125125A. 12B. 9C. 6125D. 3設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為0,則由矩形對(duì)角線互相平分，可知OA OB OC 0D.點(diǎn)0到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D的距離相等，即點(diǎn)0為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半徑125豆.選C.-543R OA - V 球一R32.故 3出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，破且F工三7 , FE=5, FC二百，比=1口，求球。的體積。解：且巴4 = 7,列?=5|, F-反，金1

10、口因?yàn)椴史?行所以知所以所以可得圖形為：在RtLABC中斜邊為AC在RtSPAC中斜邊為AC取斜邊的中點(diǎn)Q,在RCU中。4=0萬FC 所以在幾何體中|op-。出。月即為該四面體的外接球的球心R=1月C=52獷4# 50。元V 威=所以該外接球的體積為33【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。1.（陜西理？ 6） 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 1的球面上,其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上， 則該正三棱錐的體積A. 3-3B答案 B.3722 .直三棱柱ABC A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ,則此球的表面積等于解:在 A

11、BC中AB AC 2, BAC 120，可得BC 2曲，由正弦定理，可得ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為O ,球心為。，在RT OBO中，易得球半徑R非,故此球的表面積為4 R2 20 .3 .正三棱柱ABC AB1C1內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為4.表面積為2 73的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球答案 8的體積為2.23答案 A【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a的正三角形，所以由8 9 2舊知，4_a 1 ,則此球的直徑為五,故選A。5. 已知正方體外接球的體積是32 ,那么正方體的棱長(zhǎng)等于（）3A.2 2B.等C. 4YD.號(hào)答案 D

12、6. （2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）A. 1 ： 73B. 1 ： 3C. 1 ： 3/3D. 1 ： 9答案 C7. （ 2008海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為答案4-38. （2007天津理？ 12） 一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1, 2, 3,則此球的表面積為.答案 14九9. （2007全國(guó)II理？ 15） 一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1 cm,那么該棱柱

13、的表面積為 cm2.答案 2 4,210. （2006遼寧）如圖，半徑為 2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P ABCDEF ,貝U止匕正六棱錐的側(cè)面積是,答案6,711. （遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中 三角形（正四面體的截面）的面積是.答案 ,212. （2009棗莊一模）一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 （）A. 3B. 2C. 16- D.以上都不對(duì)答案C13.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 乎，則它的外接球的表面積為（3A. 8 B, 2 兀 C. 4 兀 D. 433答案C20、

14、人因?yàn)樾睦锊豢鞓罚爬速M(fèi)，是一種補(bǔ)償作用。21、我要你知道，在這個(gè)世界上總有一個(gè)人是等著你的，不管在什么時(shí)候，不管在什么地方，反正你知道，總有這么個(gè)人。22、回憶這東西若是有氣味的話，那就是樟腦的香，甜而穩(wěn)妥，像記得分明的塊樂，甜而悵惘，像忘卻了的憂愁。23、對(duì)于三十歲以后的人來說，十年八年不過是指縫間的事，而對(duì)于年輕人而言，三年五年就可以是一生一世。24、一般的說來，活過半輩子的人，大都有一點(diǎn)真切的生活經(jīng)驗(yàn)，一點(diǎn)獨(dú)到的見解。他們從來沒想到把它寫下來，事過境遷，就此湮沒了。25、男人做錯(cuò)事，但是女人遠(yuǎn)兜遠(yuǎn)轉(zhuǎn)地計(jì)劃怎樣做錯(cuò)事。女人不大想到未來一一同時(shí)也努力忘記她們的過去一一所以天曉得她們到底有什

15、么可想的!26、男人憧憬著一個(gè)女人的身體的時(shí)候，就關(guān)心到她的靈魂，自己騙自己說是愛上了她的靈魂。惟有占領(lǐng)了她的身體之后，他才能夠忘記她的靈魂。27、要是真的自殺，死了倒也就完了，生命卻是比死更可怕的，生命可以無限制地發(fā)展下去，變的更壞，更壞，比當(dāng)初想象中最不堪的境界還要不堪。28、太大的衣服另有一種特殊的誘惑性，走起路來，一波未平，一波又起，有人的地方是人在顫抖，無人的地方是衣服在顫抖，虛虛實(shí)實(shí)，極其神秘。29、因?yàn)槎?，所以慈悲?0、這世上沒有一樣感情不是千瘡百孔的想要忘記一段感情，方法永遠(yuǎn)只有一個(gè)：時(shí)間和新歡。要是時(shí)間和新歡也不能讓你忘記一段感情，原因只有一個(gè)：時(shí)間不夠長(zhǎng)，新歡不夠好。 張小嫻面包樹上的女人假如沒有遇上你，我會(huì)不會(huì)有另一種人生？不管有沒有結(jié)果，我還是寧愿與你相逢。 張小嫻只是希望能有個(gè)人，在我說沒事的時(shí)候，知道我不是真的沒事；能有個(gè)人，在我強(qiáng)顏歡笑的時(shí)候，知道我不是真的開心。 張小嫻有一些人，這輩子都不會(huì)在一起，但是有一種感覺卻可以藏在心里，守一輩子 張小嫻愛情是一百年的孤獨(dú)，直到遇上那個(gè)矢志不渝的守護(hù)你的人，那一刻，所有苦澀的孤獨(dú)，都有了歸途。 張小嫻我終究是愛你的當(dāng)你想念一個(gè)人的時(shí)候，盡情去想念吧，也許有一天，你再也不會(huì)如此想念他了。到了那一天，你會(huì)想念曾經(jīng)那么想念一個(gè)人的滋味。當(dāng)你愛一個(gè)人的時(shí)候，盡情去愛吧，也讓他知道你 是如此愛他。也