高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題(附習(xí)題)經(jīng)典.doc

1、精品文檔高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、 有關(guān)外接球的問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面 體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球 .有關(guān)多面體外接 球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點.考查 學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要 運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的 有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在 解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面 積為 27例2 一個正方體的各

2、頂點均在同一球的球面上，若該正方體的 表面積為24 ,則該球的體積為 4/32、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3,則此球的表面積為.14 .例4、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為體積為16,則這個球的表面積為（）.CA. 16 B. 20 C. 24D. 323.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5. 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知 該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為8,底面周 長為3,則這個球的體積為解 設(shè)正六棱柱的底面邊長為x ,高為h,則有6x 3,32h,41x 2,h ,3.正六

3、棱柱的底面圓的半徑r球心到底面的距離d .外接球的半徑R 32 d2 .體積：V R3.3小結(jié) 本題是運用公式R2 r2 d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式二、構(gòu)造法（補形法）1、構(gòu)造正方體例5若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為 由，則其外接球的表面積是 9 .例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為 由，則其外 接球的表面積是.故其外接球的表面積S 4 R2 9 .小結(jié)：一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分 別為a、b、c,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體， 于是長方體的 體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R ,則有2R a2 b

4、2 c2.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為 4瓦t,則 體對角線長為l Ja2 b2 C2 ,幾何體的外接球直徑為2R體對角線長l 即r4廠c2 2練習(xí)：在四面體 細(xì)理中,共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分 別為176,3,若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。球的表面積為S 4 R2 16例6一個四面體的所有棱長都為72,四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A. 3B. 4 C. 3 3 D. 6A.（如圖2）例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E為AB的中 點，將ADE與BEC分布沿

5、ED、EC向上折起，使A、B重合于點P ,4、3A. 27解析：（如圖3）則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（） 666 B. 2C. 8D. 24因為 AE=EB=DC=1 , DAB= CBE= DEA=60所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱錐P-DCE為正四面體，至止匕這與例6就完全相同了，故選C.例8 （2已知球O的面上四點A、B、C、D, DA 平面ABC , AB BC ,DA=AB=BC= V3 ,則球O的體積等于解析：本題同樣用一般方法時，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA平面ABC,AB BC,聯(lián)想長方體中的相應(yīng)線

6、段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長方體， 又因為DA=AB=BC=邪,則此長方體為正方體，所以CD長即為外接球9的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球0的體積等于2 .（如圖4）2、例9 （2008年安徽高考題）已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB 平面 BCD , BC DC ,若 AB 6,AC=2 13,AD=8 ,則球的體積是解析：首先可聯(lián)想到例8,構(gòu)造下面的長方體，于是AD為球的 直徑，O為球心，OB=OC=4為半徑，要求B、C兩點間的球面距離， 只要求出 BOC即可，在Rt ABC中，求出BC=4,所以 BOC=600,故4B、C兩點間的球面距離是3 .（如圖5）圖5本文章在給出圖

7、形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是A.16B.20C.24D.32 .選 C.小結(jié) 本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直 徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 五，點S A B C、D都在同一球面上，則此球的體積為 .解 設(shè)正四棱錐的底面中心為O1,外接球的球心為0,如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得001 平面 ABCD又SO1平面ABCD，.二球心O必在S。所在的直線上.ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓

8、的半徑就 是外接球的半徑.在 ASC中，由 SA SC AC 2,得 SA2 SC2 AC2.ASC是以AC為斜邊的Rt .a1V球t. 2是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故3 .小結(jié) 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元 素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半 徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方 法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們 學(xué)習(xí).五.確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB 4, BC 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B A

9、C D,則四面體ABCD的外接球的體積為125125125A. 12B. 9C. 6125D. 3設(shè)矩形對角線的交點為0,則由矩形對角線互相平分，可知OA OB OC 0D.點0到四面體的四個頂點A、B、C、D的距離相等，即點0為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半徑125豆.選C.-543R OA - V 球一R32.故 3出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點。【例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球。的球面上，破且F工三7 , FE=5, FC二百，比=1口，求球。的體積。解：且巴4 = 7,列?=5|, F-反，金1

10、口因為彩方=行所以知所以所以可得圖形為：在RtLABC中斜邊為AC在RtSPAC中斜邊為AC取斜邊的中點Q,在RCU中。4=0萬FC 所以在幾何體中|op-。出。月即為該四面體的外接球的球心R=1月C=52獷4# 50。元V 威=所以該外接球的體積為33【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。1.（陜西理？ 6） 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為 1的球面上,其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上， 則該正三棱錐的體積A. 3-3B答案 B.3722 .直三棱柱ABC A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ,則此球的表面積等于解:在 A

11、BC中AB AC 2, BAC 120，可得BC 2曲，由正弦定理，可得ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為O ,球心為。，在RT OBO中，易得球半徑R非,故此球的表面積為4 R2 20 .3 .正三棱柱ABC AB1C1內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為4.表面積為2 73的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球答案 8的體積為2.23答案 A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由8 9 2舊知，4_a 1 ,則此球的直徑為五,故選A。5. 已知正方體外接球的體積是32 ,那么正方體的棱長等于（）3A.2 2B.等C. 4YD.號答案 D

12、6. （2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）A. 1 ： 73B. 1 ： 3C. 1 ： 3/3D. 1 ： 9答案 C7. （ 2008海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長為3,則這個球的體積為答案4-38. （2007天津理？ 12） 一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1, 2, 3,則此球的表面積為.答案 14九9. （2007全國II理？ 15） 一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1 cm,那么該棱柱

13、的表面積為 cm2.答案 2 4,210. （2006遼寧）如圖，半徑為 2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P ABCDEF ,貝U止匕正六棱錐的側(cè)面積是,答案6,711. （遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中 三角形（正四面體的截面）的面積是.答案 ,212. （2009棗莊一模）一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 （）A. 3B. 2C. 16- D.以上都不對答案C13.設(shè)正方體的棱長為 乎，則它的外接球的表面積為（3A. 8 B, 2 兀 C. 4 兀 D. 433答案C20、

14、人因為心里不快樂，才浪費，是一種補償作用。21、我要你知道，在這個世界上總有一個人是等著你的，不管在什么時候，不管在什么地方，反正你知道，總有這么個人。22、回憶這東西若是有氣味的話，那就是樟腦的香，甜而穩(wěn)妥，像記得分明的塊樂，甜而悵惘，像忘卻了的憂愁。23、對于三十歲以后的人來說，十年八年不過是指縫間的事，而對于年輕人而言，三年五年就可以是一生一世。24、一般的說來，活過半輩子的人，大都有一點真切的生活經(jīng)驗，一點獨到的見解。他們從來沒想到把它寫下來，事過境遷，就此湮沒了。25、男人做錯事，但是女人遠(yuǎn)兜遠(yuǎn)轉(zhuǎn)地計劃怎樣做錯事。女人不大想到未來一一同時也努力忘記她們的過去一一所以天曉得她們到底有什

15、么可想的!26、男人憧憬著一個女人的身體的時候，就關(guān)心到她的靈魂，自己騙自己說是愛上了她的靈魂。惟有占領(lǐng)了她的身體之后，他才能夠忘記她的靈魂。27、要是真的自殺，死了倒也就完了，生命卻是比死更可怕的，生命可以無限制地發(fā)展下去，變的更壞，更壞，比當(dāng)初想象中最不堪的境界還要不堪。28、太大的衣服另有一種特殊的誘惑性，走起路來，一波未平，一波又起，有人的地方是人在顫抖，無人的地方是衣服在顫抖，虛虛實實，極其神秘。29、因為懂得，所以慈悲。30、這世上沒有一樣感情不是千瘡百孔的想要忘記一段感情，方法永遠(yuǎn)只有一個：時間和新歡。要是時間和新歡也不能讓你忘記一段感情，原因只有一個：時間不夠長，新歡不夠好。 張小嫻面包樹上的女人假如沒有遇上你，我會不會有另一種人生？不管有沒有結(jié)果，我還是寧愿與你相逢。 張小嫻只是希望能有個人，在我說沒事的時候，知道我不是真的沒事；能有個人，在我強顏歡笑的時候，知道我不是真的開心。 張小嫻有一些人，這輩子都不會在一起，但是有一種感覺卻可以藏在心里，守一輩子 張小嫻愛情是一百年的孤獨，直到遇上那個矢志不渝的守護你的人，那一刻，所有苦澀的孤獨，都有了歸途。 張小嫻我終究是愛你的當(dāng)你想念一個人的時候，盡情去想念吧，也許有一天，你再也不會如此想念他了。到了那一天，你會想念曾經(jīng)那么想念一個人的滋味。當(dāng)你愛一個人的時候，盡情去愛吧，也讓他知道你 是如此愛他。也