中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)(含答案)附詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué) 直角三角形的邊角關(guān)系 培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)(含答案)附詳細(xì)答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A (0, - 6),點(diǎn)B (6, 0) . RtACDE中， /CDE=90, CD=4, DE=4后，直角邊CD在y軸上，且點(diǎn)C與點(diǎn)A重合.RtCDE沿y軸 正方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng).解答下列問題：(1)如圖(2),當(dāng)RtA CDE運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D與點(diǎn)。重合時(shí)，設(shè) CE交AB于點(diǎn)M,求/ BME 的度數(shù).(2)如圖(3),在RtA CDE的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng) CE經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求BC的長.(3)在RtACDE的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè) AC=h, OAB與 C

2、DE的重疊部分的面積為 S,請寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積 S的最大值.即圄2圖3【答案】(1) / BME=15 ;(2BC=4后 ;(3) hW2時(shí)，S=-h2+4h+8, 4當(dāng) h2時(shí)，S=18- 3h.【解析】試題分析：(1)如圖2,由對頂角的定義知，/BME=/ CMA,要求/BME的度數(shù)，需先求出/CMA的度數(shù).根據(jù)三角形外角的定理進(jìn)行解答即可；(2)如圖3,由已知可知 /OBC=/ DEC=30,又OB=6,通過解直角 BOC就可求出BC的長度；(3)需要分類討論： hW2時(shí)，如圖4,作MNy軸交y軸于點(diǎn)N,作MFLDE交DE于試題解析：解：(1)如圖2,點(diǎn) F, S=

3、Sedc Saefm; 當(dāng) h2時(shí)，如圖 3, S=Sobc.圖22 .在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A (0, - 6),點(diǎn)B (6, 0).OA=OB,Z OAB=45 ；3 / CDE=90 , CD=4, DE=4晅,/ OCE=60 ；/ CMA=Z OCE- / OAB=60 -45 =15 ;/ BME=/CMA=15 ;如圖3,圖3/ CDE=90 , CD=4, DE=4g ,/ OBC=Z DEC=30,.OB=6,4 BC=4百；(3)hW2時(shí)，如圖4,作MNy軸交y軸于點(diǎn)N,作MFLDE交DE于點(diǎn)F,V個(gè)B y甲圖4. CD=4, DE=4后，AC=h, AN=NM , .CN

4、=4- FM, AN=MN=4+h - FM,.CMNACEDCX MN二一CD 力 尸 1解得 FM=4 h ,一 _】.匚1 ,.心事-11、/+1 S=Sedc- Saefm= X 4X3 (4 J3 4 h) X (4 一-百)= h2+4h+8,一一24如圖3,當(dāng)h*時(shí)，1 1 . .S=8obc= OCX OB= (6-h) X6=18 3h.考點(diǎn)：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形2.如圖，AB是。的直徑，弦 CD，AB于H,過CD延長線上一點(diǎn) E作。的切線交 AB 的延長線于切點(diǎn)為 G,連接AG交CD于K.（1）求證：KE=GE（2）若K=KD?GE試判斷AC與E

5、F的位置關(guān)系，并說明理由；3（3）在（2）的條件下，若sinE=5, AKpV，求FG的長.25小【答案】（1）證明見解析；（2） AC/ EF,證明見解析；（3） FG= 8 【解析】試題分析：（1）如圖1,連接OG.根據(jù)切線性質(zhì)及 CD）1AB,可以推出/KGE=Z AKH=Z GKE,根據(jù)等角對等邊得至U KE=GE（2） AC與EF平行，理由為：如圖 2所示，連接GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出 GKD與 EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到 /C=/ AGD,可推知/E=/ C,從而得到 AC/ EF;（3）如圖3

6、所示，連接OG, OC,先求出KE=GE再求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在 RtOGF中，解直角三角形即可求得 FG的長度.試題解析：（1）如圖1,連接OG.G圖1.EG為切線,3 / KGE吆 OGA=90 ；4 .CDXAB,5 / AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG,/ KGE=/ AKH=Z GKE, . KE=GE又 / KGE=/ GKE6 .GKDAEGK；/ E=Z AGD,又 ZC=Z AGD,/ E=Z C,7 .AC/ EF；(3)連接OG, OC,如圖3所示,產(chǎn) GE圖3.EG為切線,8 / KGE-+Z OGA=90

7、 ；9 .CDXAB,10 / AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG,11 / KGE4 AKH=Z GKE,KE=GE3sinE=sinZ ACH=,設(shè) AH=3t,則 AC=5t, CH=4t,12 KE=GE AC/ EF,，CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根據(jù)勾股定理得 AH2+HK2=AK2, 即（3t） 2+t2= （2%再）2,解得 t=J .設(shè)。半徑為 r,在 RtOCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t, 由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,125 25即（r-3t） 2+ （4t） 2=r2,解得 r= 6 t

8、=A .EF為切線, .OGF為直角三角形，25CII 4在 RtOGF 中，OG=r=6 , tan Z OFG=tanZ CAH=H -,CH;UllZOFt；3【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角 三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性 質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.3 .問題背景:如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最 小，我們可以作出點(diǎn) B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B連接A B與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點(diǎn)A在。O上，/ACD

9、=30, B為弧AD的中點(diǎn)，P為 直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則 BP+AP的最小值為.（2）知識(shí)拓展：如圖（c）,在RABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E、F分別是 線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求 BE+EF的最小值，并寫出解答過程.【答案】解：（1） 272 .（2）如圖，在斜邊 AC上截取AB =AB連接BB.f. AD平分/ BAG 點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線 AD對稱. 過點(diǎn)B作B MAB,垂足為F,交AD于E,連接BE.則線段B酌長即為所求（點(diǎn)到直線的距離最短）.在 RtA AFB/中，Z BAC=4。, AB =AB= 10 ,.BE+EF的最/、值為50【

10、解析】試題分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置，根據(jù)題意先求出/C AE再根據(jù)勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最小值：如圖作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)巳此時(shí)PA+PB最小，且等于 A.作直 徑AC,連接C F根據(jù)垂徑定理得弧 BD=M DE.J / ACD=30 ,/ AOD=60 ； / DOE=30 :，/ AOE=90 ./ C AE=45 又AC為圓的直徑，.1. / AEC =90./CAC AE=4 5C E=AE=AC2石.AP+BP的最/、值是 2亞.(2)首先在斜邊 AC上截取AB =

11、AB連接BB,再過點(diǎn)B作B 1AB,垂足為F,交AD于 E,連接BE,則線段B的長即為所求.9時(shí)太陽光線與中午12時(shí)太陽光線15 米（B、E、C 在4 .如圖，某公園內(nèi)有一座古塔 AB,在塔的北面有一棟建筑物，某日上午 水平面的夾角為32 ,此時(shí)塔在建筑物的墻上留下了高 3米的影子CD.與地面的夾角為 45。，此時(shí)塔尖A在地面上的影子 E與墻角C的距離為一條直線上），求塔 AB的高度.（結(jié)果精確到 0.01米）參考數(shù)據(jù)：sin32 =0.5299cos32 = 0.8480tan32 =0.62499 1.4142.【答案】塔高 AB約為32.99米.【解析】【分析】過點(diǎn)D作DHLAB,垂足為

12、點(diǎn)H,設(shè)AB= x,則AH= x- 3,解直角三角形即可得到結(jié)論. 【詳解】解：過點(diǎn)D作DHLAB,垂足為點(diǎn) H.o/ ADH = 32 .=BC, /ABC =/ AHD = 90；設(shè) AB = x,則 AH = x - 3.在 RtABE 中,Z AEB = 45 ；得 tan AEBtan45AB 1EBEB = AB = x.HD = BC = BE + EC= x + 15.在 RtAHD 中,/ AHD = 90 ；得 tan ADHAHHD即得tan32x 15解得x塔 tWj【點(diǎn)睛】15 tan32 3 ” “ 32.99 .1 tan32AB約為32.99米.本題考查的是解直

13、角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題 的關(guān)鍵.5 .某條道路上通行車輛限速 60千米/時(shí)，道路的AB段為監(jiān)測區(qū)，監(jiān)測點(diǎn) P到AB的距離PH為50米（如圖）.已知點(diǎn) P在點(diǎn)A的北偏東45方向上，且在點(diǎn) B的北偏西60 方向 上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東75方向上，那么車輛通過 AB段的時(shí)間在多少秒以內(nèi)，可認(rèn)定為 超速？（參考數(shù)據(jù)：J3= 1.7 J2 = 1.4 .【答案】車輛通過 AB段的時(shí)間在8.1秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速 【解析】分析：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，然后利用解直角三角形的應(yīng)用，解 直角三角形即可詳解：如圖，由題意知 /CAB=75, /CAP=4

14、5, / PBD=60 ,/ PAH=Z CAB-/ CAP=30 ,50 / PHA=Z PHB=90 ； PH=50,AH=向=5073 ,an31. AC/ BD,/ ABD=180CAB=105/ PBH=Z ABD/ PBD=45 ,貝U PH=BH=50, . AB=AH+BH=50匹+50,5050 3 50_.60千米/時(shí)=上米/秒，時(shí)間t= 50=3+3j3 = 8.1（秒），33即車輛通過AB段的時(shí)間在8.1秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速.，一16.如圖，直線y=-x+2與x軸父于點(diǎn)2點(diǎn)睛：該題考查學(xué)生通過構(gòu)建直角三角形，利用某個(gè)度數(shù)的三角函數(shù)值求出具體邊長，即 實(shí)際路程，并進(jìn)行判斷

15、相關(guān)的量。A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y= - 3x2+bx+c經(jīng)過2A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 C.（1）求拋物線的解析式;(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足1x+2x2+bx+c的x的取值范圍;22(3)設(shè)點(diǎn)D為該拋物線上的一點(diǎn)、連結(jié)AD,若/ DAC= / CBO,求點(diǎn) D的坐標(biāo).2)當(dāng)xRO或xw- 4; (3) D點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 2)或1 2 3c【答案】(1) y - x x 2 ； 22(2, - 3).【解析】【分析】(1)由直線丫=1*+2求得人、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析 2亡；(2)觀察圖象，找出直線在拋物線上方的x的取值范圍；(3)如圖，過 D點(diǎn)作x

16、軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E,先求出CO= 1, AO= 4,再由/ DACD的坐標(biāo)./CBO,得出tan/DAC= tan/CBO,從而有， DE CO，最后分類討論確定點(diǎn)AE BO【詳解】 解：(1)由y= -x+2可得：2當(dāng) x= 0 時(shí)，y=2；當(dāng) y=0 時(shí)，x= - 4,A (-4, 0) , B (0, 2),把A、B的坐標(biāo)代入y= - - x2+bx+c得:2八123 c拋物線的解析式為：y -x -x 222(2)當(dāng) x0或 x/3 ,0 ODtan30向，解得 OD=1,PO PD2 OD2=2, .PA=PO- AO=2- 1=1；(3)如圖2,依題意得：/ ADF=Z PDA

17、 / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF, .AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ；設(shè) / PBD=x ,貝U / DAF=Z PAD=90 +x, / DBF=2x ,四邊形AFBD內(nèi)接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,即 90+x+2x=180,解得 x=30,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ,.BE、ED是。的切線， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,BDE是等邊三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / D

18、BF=2x =60,.BDF是等邊三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔題，難度較大.8.如圖1,以點(diǎn)M (1, 0)為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點(diǎn) A、B C、D,直線y=X x-與。M相切于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F.(1)請直接寫出 OE、OM的半徑r、CH的長；(2)如圖2,弦HQ交x軸于點(diǎn)P,且DP：PH= 3:2,求cos/ QHC的值；(3)如圖3,點(diǎn)K為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)(不與 E、C重合)，連接BK交。M于點(diǎn)T,弦AT 交x軸于點(diǎn)N.是否存在一個(gè)常數(shù) a,始終滿足 MIN- MK

19、=a,如果存在，請求出 a的值；如 果不存在，請說明理由.F、圖工【答案】(1) OE=5, r=2, CH=23 =-(2) 匕(3) a=4【解析】【分析】(1)在直線y=- X x-中，令y=0,可求得E的坐標(biāo)，即可得到 OE的長為5;連接 MH,根據(jù)4EMH與EFO相似即可求得半徑為 2;再由EC=MC=2 / EHM=90 ,可知CH 是RTA EHM斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上白中線等于斜邊的一半即可得出CH的長；(2)連接DQ、CQ.根據(jù)相似三角形的判定得到 CH/QPD,從而求得DQ的長，在直角三角形CDQ中，即可求得/D的余弦值，即為 cos/ QHC的值；(3)連接A

20、K, AM,延長AM,與圓交于點(diǎn) G,連接TG,由圓周角定理可知， /GTA=90, Z3=Z4,故 / AKC玄 MAN,再由AMKsNMA 即可得出結(jié)論.【詳解】(1) OE=5, r=2, CH=2(2)如圖 1,連接 QC QD,則/CQD =90, /QHC =/ QDC,(3)如圖2,連接AK, AM,延長AM, 與圓交于點(diǎn) G,連接TG,則圖2+g = 也+ 3 = 9/由于上林。+ 23=90)故上麗。二2； .BKO - Z2 故 1 = 2 在和口加加中， 故 AMKsNMAMN AM;,即：:二* 二二一I r故存在常數(shù)風(fēng)始終滿足反 支K = 口常數(shù)a=4解法二：連結(jié)BM

21、,證明AMB s”的得三二9 .超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測車速，如圖，觀測點(diǎn)設(shè)在到萬豐路(直線AO)的距離為120米的點(diǎn)P處.這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為5秒且NAP、60。，/ BPO= 45 :(1)求A、B之間的路程；(2)請判斷此車是否超過了萬豐路每小時(shí)65千米的限制速度？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：22 1.414,J3 1.73) .S O【答案】【小題1】73.2【小題2】超過限制速度.【解析】解：(1) AB 100(73 1)飛73.2 (米).6分73 2(2)此車制速度v二y= 二

22、18.3米/秒10 .拋物線 y=ax2bx+4 (aQ 過點(diǎn) A(1, - 1), B(5, - 1),與 y 軸交于點(diǎn) C.(1)求拋物線表達(dá)式；(2)如圖1,連接CB,以CB為邊作？CBPQ若點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標(biāo) 平面內(nèi)的一點(diǎn)，且 ？CBPQ的面積為30,求點(diǎn)P坐標(biāo)； 過此二點(diǎn)的直線交 y軸于F,此直線上一動(dòng)點(diǎn) G,當(dāng)GB+ GF最小時(shí)，求點(diǎn)G坐標(biāo).2(3)如圖2,。01過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn) M為上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) A, E重 合)，/MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于 N,求線段BN長度的最大值21I【答案】(1) y=x2- 6x+4 (2)P(2

23、, -4)或 P(3,-5)G(0,-2) (3) 3質(zhì)【解析】【分析】(1)把點(diǎn)A (1, -1) , B (5, -1)代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，連接PC,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線 BC于R,可求彳#直線BC的解析式1為：y=-x+4,設(shè)點(diǎn) P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4),因?yàn)?？CBPQ的面積為 30,所以 Sapbc=-2X (-t+4-t2+6t-4) 書 15,解得t的值，即可得出點(diǎn) P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P為(2,-4)時(shí)，求2得直線QP的解析式為：y=-x-2,得F (0, -2) , / GOR=45,因?yàn)镚B

24、+X22GF=GB+GR所以當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，即可得出點(diǎn) G的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P為(3,- 5)時(shí)，同理可求；(3)先用面積法求出 sin/ACB=Z3, tan Z ACB=2 ,在RtABE中，求得圓的直徑，133因?yàn)?MBLNB,可得 /N=/AEB=/ ACB,因?yàn)?tanN=MB = 2,所以 BN=- MB 當(dāng) MB 為 BN 32直徑時(shí)，BN的長度最大.【詳解】 解：(1)二.拋物線 y=ax2+bx+4 (aw。過點(diǎn) A (1, -1) , B (5, -1),1= a b 41= 25a 5b 4a=1，解得, cb= 61拋物線表達(dá)式為 y=x2- 6x+4.(2)

25、如圖，連接PC,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線 BC于R,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,. B (5, -1) , C (0, 4),1= 5k m k= 1.,解得4= mm= 4直線BC的解析式為：y=-x+4,設(shè)點(diǎn) P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4), .?CBPQ的面積為30, SapbC=- X (-t+4-t2+6t-4)15,解得t=2或t=3 ,當(dāng) t=2 時(shí)，y=-4當(dāng) t=3 時(shí)，y=-5, 點(diǎn) P坐標(biāo)為（2, -4）或（3, -5）;當(dāng)點(diǎn)P為（2,-4）時(shí)， 直線 BC 解析式為：y=-x+4, QP/ BC, 設(shè)直線QP的解析式為：y=-x+n,將

26、點(diǎn)P代入，得-4=-2+n, n=-2, 直線QP的解析式為：y=-x-2, .F （0, -2） , /GOR=45； .GB+-GF=GB+GR當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，此時(shí)點(diǎn) G的坐標(biāo)為（0, -2）,同理，當(dāng)點(diǎn)P為（3, -5）時(shí)，直線QP的解析式為：y=-x-2, 同理可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0, -2）,）.A （1, -1） , B （5,-1） C （0, 4）,1一 ABX 5,2 AC=/26 , BC=5a/2 ，. . Saabc= 1 ACX BCsM ACB=2sin / ACB=, tan / ACB=一,13AE 為直徑，AB=4,/ ABE=90 ,/ 入 2

27、 134. sin / AEB=sinZ ACB=1=,13 AE .AE=2 而3,. MBXNB, /NMB=/EAB, / N=/AEB=/ ACB,MB 2tanN= 一 ,BN 3.BN=3MB,2當(dāng)MB為直徑時(shí)，BN的長度最大，為 3 而.【點(diǎn)睛】題考查用到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形性質(zhì).解決(3)問的關(guān)鍵是找到 BN與BM之間的數(shù)量關(guān)系.11.已知 RtAABC, /BAC= 90。，點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn)，AD= AC, BC= 4 J3 ,過 A, D 兩點(diǎn)作OO,交AB于點(diǎn)E,(1)求弦AD的長；(2)如圖1,當(dāng)圓心

28、O在AB上且點(diǎn)M是。上一動(dòng)點(diǎn)，連接 DM交AB于點(diǎn)N,求當(dāng)ON 等于多少時(shí)，三點(diǎn) D、E、M組成的三角形是等腰三角形？(3)如圖2,當(dāng)圓心 O不在AB上且動(dòng)圓。與DB相交于點(diǎn) Q時(shí)，過 D作DHLAB (垂 足為H)并交。于點(diǎn)P,問：當(dāng)。變動(dòng)時(shí)DP- DQ的值變不變？若不變，請求出其值； 若變化，請說明理由.卻） KI2 【答案】(1) 2J3(2)當(dāng)ON等于1或J3 - 1時(shí)，三點(diǎn)D、E M組成的三角形是等腰三角形(3)不變，理由見解析【解析】 【分析】 (1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長；(2)連DE、ME,易得當(dāng)ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰，根據(jù)垂徑定

29、理得推論得OE DM,易得到4ADC為等邊三角形，得 /CAD=60,則/ DAO=30 , / DON=60 ,然后根據(jù)含30的直角三角形三邊的關(guān)系得DN=1 AD=73 , ON=DN=1;當(dāng) MD=ME, DE 為底邊，作 DHAE,由于 AD=2 強(qiáng)，/ DAE=30。，得到 DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,貝U / ADM=90 -75 =15,可得到/DNO=45；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NH=DH=J3,則ON=j3-1;(3)連AP、AQ, DP, AB,彳導(dǎo)AC/

30、 DP,則/ PDB=/ C=60 ,再根據(jù)圓周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,則/PAQ=60, / CAQ=/ PAD,易證得AQ84APD,得到 DP=CQ 則 DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 為等邊三角形， CD=AD=273 ,即可得至U DP-DQ 的 值.【詳解】解：(1)Z BAC= 90,點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn)，BC= 4日 .AD= 1-BC= 2/3 ；(2)連 DE、ME,如圖， DMDE, 當(dāng)ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰， OEXDM,又 AD= AC, .ADC為等邊三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 , 1在 RtADN 中，DN=1AD=T32，在 RtA ODN 中,ON= DN= 13， 當(dāng)ON等于1時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形;