【KS5U解析】江蘇省南京市秦淮中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、南京市秦淮中學(xué)2019-2020高二（上）數(shù)學(xué)期末考試試卷一單選題：1.下列結(jié)論正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】a【解析】【分析】不等式的兩邊同時乘以，得到，不等式的兩邊同時乘以，得到，即可判斷a選項(xiàng)；利用特殊值排除b,c,d選項(xiàng)即可.【詳解】不等式的兩邊同時乘以，得到，不等式的兩邊同時乘以，得到,所以，故a正確；當(dāng)時，故b錯誤；當(dāng)時，故c錯誤；當(dāng)時，故d錯誤.故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）a. 4b. 3c. 2d. 1【答案】c【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡得到，再由題意，即可得出結(jié)

2、果.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，因此.故選c【點(diǎn)睛】本題主要考查由復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)，熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可，屬于基礎(chǔ)題型.3.若向量，且，則實(shí)數(shù)的值是（ ）a. b. 0c. d. 1【答案】c【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，利用可得，代入坐標(biāo)計(jì)算即可.詳解】解：由已知，由得：，故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，其中是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.4.若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，-4），故選d.考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時，需結(jié)合漸近線從數(shù)

3、形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；（2）若漸近線方程為，則可設(shè)為；（3） 雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置.5.在公差d不為零的等差數(shù)列中，且，成等比數(shù)列，則( )a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，可得首項(xiàng)和公差的方程，解方程可得所求公差【詳解】在公差d不為零的等差數(shù)列中，且，成等比數(shù)列，可得，且，即，解得，故選：c【點(diǎn)睛

4、】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6.已知，且，則的最小值是a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】通過常數(shù)代換后，應(yīng)用基本不等式求最值.【詳解】x0，y0，且9x+y=1， 當(dāng)且僅當(dāng)時成立，即時取等號. 故選d.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用基本不等式求最值；關(guān)鍵是注意“1”的整體代換和幾個“=”必須保證同時成立.7.關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是()a. b. c. d. 【答案】c【解析】關(guān)于的不等式,即的解集是，不等式,可化為，解得，所求不等式的解集是,故選c.8.已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（），那么

5、的取值范圍是（ ）a. b. c. d. ，或【答案】a【解析】【分析】先設(shè)，再由點(diǎn)差法求出，再由點(diǎn)，在橢圓內(nèi)，求出的范圍即可得解.【詳解】解：設(shè)，又點(diǎn)，在橢圓上，則，兩式相減可得：，又， 則，又點(diǎn)，在橢圓內(nèi)，則，則，所以，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓中的中點(diǎn)弦問題，重點(diǎn)考查了點(diǎn)差法，屬基礎(chǔ)題.二多選題：9.設(shè)是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）a. b. c. d. 與均為的最大值【答案】abd【解析】【分析】由是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，則，再代入逐一檢驗(yàn)即可得解.【詳解】解：由是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，則，則數(shù)列為遞減數(shù)列，即選項(xiàng)a，b正確，由，即，即選項(xiàng)c錯

6、誤，由，可得與均為的最大值，即選項(xiàng)d正確， 故選：abd. 【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.10.下列說法不正確的是（ ）a. 若，則的最大值為4b. 若，則函數(shù)的最大值為c. 若，則的最小值為1d. 函數(shù)的最小值為4【答案】ac【解析】【分析】由均值不等式逐一判斷即可得解，一定要注意取等的條件.【詳解】解：對于選項(xiàng)a，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為4，即a錯誤；對于選項(xiàng)b，當(dāng)，則函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，即b正確；對于選項(xiàng)c，若，則，即，即，則的最大值為1，即c錯誤；對于選項(xiàng)d，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即d正確，即不正確的是選項(xiàng)a,c，故選：ac.

7、【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.11.已知命題，則命題成立的一個必要不充分條件是（ ）a. b. c. d. 【答案】bd【解析】【分析】先解分式不等式，再利用充分必要條件逐一判斷即可得解.【詳解】解：由，選項(xiàng)a為命題的充要條件，選項(xiàng)b為的必要不充分條件，選項(xiàng)c為的既不充分也不必要條件，選項(xiàng)d為的必要不充分條件，故選：bd.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，重點(diǎn)考查了充分必要條件，屬基礎(chǔ)題.12.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)是是橢圓上一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率可以是（   ）a. b. c. d. 【答案】bcd【解析】【分析】由橢圓的定義和題設(shè)條

8、件， 求得，再在中，結(jié)合三角形的性質(zhì)，得到，求得離心率的范圍，即可求解.【詳解】由橢圓的定義，可得，又由， 解得，又由在中，可得，所以，即橢圓的離心率的取值范圍是.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟練橢圓的離心率的概念，合理應(yīng)用橢圓的定義和三角形的性質(zhì)，得到關(guān)于的不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.三填空題：13.命題“，”的否定是_【答案】“，”【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題，再求解即可.【詳解】解：由全稱命題的否定為特稱命題可得：命題“，”否定是“，”，故答案為：“，”.【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題與特稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題.14

9、.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則an的通項(xiàng)公式是_【答案】an=【解析】分析】由題意得，求出即可.【詳解】數(shù)列an的前n項(xiàng)和，當(dāng)時，a1=s1=2-4=-2，當(dāng)n2時，檢驗(yàn)：當(dāng)時，不適合上式，an的通項(xiàng)公式是an=故答案為an=【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，屬于基礎(chǔ)題.15.在直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值是_【答案】【解析】【分析】先找出線面角，運(yùn)用余弦定理進(jìn)行求解【詳解】連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，則，連接為異面直線與所成角在中，,同理可得,異面直線與所成角的余弦值是故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成的角，考查了空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力

10、，屬于基礎(chǔ)題16.已知點(diǎn)，為橢圓（）和雙曲線（，）的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)p為兩曲線的一個交點(diǎn)，且滿足，設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，則_【答案】2【解析】【分析】先結(jié)合橢圓及雙曲線的定義可得，再結(jié)合離心率公式求解即可.【詳解】解：設(shè)p為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為左、右交點(diǎn)，由橢圓定義有，由雙曲線定義有，則，即，又，則，即，所以，即2，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓及雙曲線的定義，重點(diǎn)考查了離心率的求法，屬中檔題.四解答題：17.已知復(fù)數(shù)，（，是虛數(shù)單位）.（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）； （2）1

11、3.【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)落在的象限列不等式求解即可；（2）由虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】解：（1）由條件得，因?yàn)樵趶?fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，故有，即，即，解得.（2）因?yàn)樘摂?shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以，即，把代入，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且成等比數(shù)列.（1）求及；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）；或，；（2）或【解析】【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件

12、列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，結(jié)合公式即可求出結(jié)果；（2）先由（1）得到，或，再由錯位相減法或常數(shù)列求和，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且成等比?shù)列，所以有，即，解得或 ，所以，；或，.（2）由（1）可得，或=64.因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時，所以，因此，兩式作差得，整理得.當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列，以及數(shù)列的求和，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及錯位相減法求數(shù)列的和即可，屬于基礎(chǔ)題.19.已知不等式（1），不等式恒成立，求m的范圍；（2），不等式恒成立，求m的范圍；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，利用判別式小于0，即

13、可判斷不等式恒成立，求范圍；（2）通過對一切的實(shí)數(shù)不等式恒成立，判斷對稱軸的位置，以及的值，即可求范圍【詳解】（1）不等式，轉(zhuǎn)化為：不等式，所以，解得：（2）不等式，轉(zhuǎn)化為不等式令，對一切的實(shí)數(shù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為：或，所以或，解得：所以【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)不等式、恒成立問題，考查分類討論思想和運(yùn)算求解能力20.四棱錐中，面，底面為菱形，且有，為中點(diǎn)（1）證明：面；（2）求二面角的平面角的余弦值【答案】(1)證明見解析；(2) 二面角eabc的平面角的余弦值為【解析】【分析】（1）因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直，所以，再由的中位線，得到，結(jié)合面，所以面，從而最后根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得到面

14、；（2）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則可得到、各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量、的坐標(biāo)，然后利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，分別求出平面和平面的一個法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式計(jì)算出它們的夾角的余弦值最后根據(jù)題意，二面角是銳二面角，得到二面角平面角的余弦值為余兩個法向量夾角余弦的絕對值【詳解】解：（1）設(shè)為底面中心，連接，底面為菱形，中，、分別是、的中點(diǎn)又面，面面，又、是平面內(nèi)的兩條相交直線面（2）以原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則可得設(shè)是平面一個法向量由，解得，所以取，可得，因?yàn)槠矫?，所以向量即為平面的一個法向量，設(shè)根據(jù)題意可知：二面角是銳二面角，其余弦

15、值等于二面角的平面角的余弦值為 【點(diǎn)睛】本題給出底面為菱形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，證明線面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和用空間向量求平面間的夾角的知識點(diǎn)，屬于中檔題21.在直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線c：y22px（p0）的焦點(diǎn)為f，過f垂直于x軸的直線與c相交于a、b兩點(diǎn)，aob的面積為2（1）求拋物線c的方程；（2）若過p（，0）的直線與c相交于m，n兩點(diǎn)，且2，求直線l的方程【答案】（1）y24x（2）或【解析】【分析】（1）先得出直線ab的方程，將直線ab的方程與拋物線c的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)a、b的坐標(biāo)，可求出|ab|，然后利用三角形的面積公

16、式可求出p的值，即可求出拋物線的方程；（2）設(shè)直線l的方程為xmy1，設(shè)點(diǎn)m（x1，y1）、n（x2，y2），將直線l的方程與拋物線c的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由得出y12y2，并將此關(guān)系式代入韋達(dá)定理，可求出m的值，即可得出直線l的方程【詳解】（1）易知直線ab的方程為，將該直線方程代入拋物線c的方程得，、，且|ab|2p，aob的面積為，p0，解得p2因此，拋物線c的方程為y24x；（2）設(shè)直線mn的方程為，設(shè)點(diǎn)m（x1，y1）、n（x2，y2），y24my+4016m2160，解得m1或m1，y12y2，由韋達(dá)定理得y1+y23y24m，則，得，因此，直線l的方程為，即或【點(diǎn)睛】本題考

17、查直線與拋物線的綜合問題，考查韋達(dá)定理設(shè)而不求法在拋物線綜合問題中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題22.已知點(diǎn)是圓：上的一動點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)曲線與軸的正半軸，軸的正半軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，斜率為的動直線交曲線于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可得，化簡得，利用橢圓的定義，即可求得動點(diǎn)的軌跡方程（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，求得和，在利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)到直線的距離 和點(diǎn)到直線的距離為，得出四邊形面積，即可求解【詳解】（1）由題意， ，. ，點(diǎn)的軌跡是