2020屆三輪沖刺上海高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧輔導(dǎo)講義：第八講向量(教師版)

1、世紀(jì)野旨Ufwr iir 2 vcri 7V eom中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺2020屆上海高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧輔導(dǎo)講義第八講向量基礎(chǔ)知識、向量的概念: (1)向量的概念：既有大小又有方向的量.向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？(向量可以任意平移) (2)零向量：長度為0的向量叫零向量，記作： 0,注意零向量的方向是任意的； (3)單位向量：長度為一個單位長度 的向量叫做單位向量； (4)相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量； (5)平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：36,規(guī)定零向量和任何向量平行； (6)位置向

2、量：起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.、向量的幾何運(yùn)算:1、向量的基本運(yùn)算 (1)向量的加法運(yùn)算：三角形法則和平行四邊形 法則； (2)向量的減法運(yùn)算：三角形法則；(減數(shù)指向被減數(shù))Ml ( 3)實數(shù)與向量的乘積：實數(shù) 與非零向量a的積是一個 向量，記作 a . 0,ga與a方向相同，長度為I|ga|； 0,ga與a方向相反，長度為|ga|；r r 0, ga 0.2、向量的數(shù)量積：r ruuu r uuu r (1)向量的夾角：對于兩個非零向量 a和b,如果以O(shè)為原點(diǎn)，作OA a,OB b,那么射線uA與OBu的夾角 叫做：和b的夾角， 的取值范圍是 0,；-r- (2)向量的投影：b在a上的投影為|b|c

3、os , 為向量a和b的夾角；21 世紀(jì)教育網(wǎng)() ( 3)向量的數(shù)量積公式：a* = a b cos2;(aa2)犬也史戮自 Uf ill 2 >CJFI jrv eom中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺21 世紀(jì)教育網(wǎng)()a b的幾何意義：ab等于其中一個向量 a的模a與另一個向量b在向量a的方r向上的投影bcos的乘積. 3、向量的夾角公式：cos4、向量的平行與垂直(1)向量的平行：a/ b 5、(2)向量的垂直：平面向量分解定理r一向量a,有且只有一對實數(shù)6、三點(diǎn)共線： ( 1)平面上有A、點(diǎn)共線;：如果agDir.ua.e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個 不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任B

4、、C三點(diǎn)，若uuuABur2 e2 uuurBC R ,貝U A、B、Cuuu uuu 一(2)設(shè)OA、OB不平行，點(diǎn) P在AB上 存在實數(shù) ， 使得uur OPuurOAuurOB且、向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算:1、向量的坐標(biāo)表不： (1)i : x軸正方向單位向量，j： y軸正方向單位向量; (2)向量的坐標(biāo)表不：平面直角坐標(biāo)系中，以 i , j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可r r 表示為a xir yjx,y，稱x, y為向量a的坐標(biāo); (3)X1, y1,BuuuX2, y2AB(X2x1，y2 y1)2、向量的模 ( 1)X1,y； (2)已知X1,y1r,則a的單位向量uuaorara3

5、、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：r (1) arX1,y1 ,bX2,y2X1X2,y y2 ；N 7世紀(jì)卦昌uicifujzvfri-fv eom中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺21 世紀(jì)教育網(wǎng)()r (2) a Xi,yi ,X,yirr (3) a Xi，yi ,bX2,y2r ragbXX2NiV24、向量的平行與垂直 ( 1)r向量的平行：axi,yir,bX2,y2,a/ /bxi y2X2W ; (2)r向量的垂直：axi,yir,bX2,y2r r,a bX1X2yi y20 5、定比分點(diǎn)i )定比分點(diǎn)公式：知 A(Xi,yi)、B(x2, y2)是直線上任一點(diǎn)，且uuuAPuuuPB( R,i

6、),令 P(x, y),則:XiX2iyiy2iXiX22小y22 ( 3)重心公式:若點(diǎn)G x, y為ABC重心，且 A(Xi,y)、 B(X2,y2)、C(X3, y3),x (2)中點(diǎn)公式：若點(diǎn)P(x, y)為A(x , y1)、B(x2, y2)兩點(diǎn)中點(diǎn)，則 iXiX2X33yiy2y3題型與方法、向量的概念與運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘)1例U在下列命題中：(i)rb ; (2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相uuu同，終點(diǎn)相同；(3)若ABuuuruur uuurDC ,則ABCD是平行四邊形；(4)若ABCD是平行四邊形，則AB DC ;r r r r r(5)若 a b,b c

7、,貝U arc ； (6)若r r r r r ra/b,b/c,則a/c.其中正確的是【答案】(4) (5)【例2】已知a 4,5 ,【難度】【答案】6.2【例3】已知點(diǎn)A(1,3), B(4, 1),則與向量AB同方向的單位向量為().34-43八 3 4_4 3A- 5, 5B- 5, 5C- 5, 3D-5, 5【難度】【答案】A【例4】已知a (1,x) , b (4,2)，若a b,則實數(shù)x 【難度】【答案】-21 一 一【例5】如圖：在梯形ABCD中，AD/BC且AD 1 BC , AC與BD相交 2uiu r umr r r r uuu uuu于。，設(shè) AB a, DC b,用

8、 a,b表示 BO ,則 BO =.【難度】、4 i 2【答案】一a b33I uumluuLTi【例6】在直角坐標(biāo)系內(nèi) R(4, 3), P2( 2,6),點(diǎn)P在直線PP2上，且|PP2仔叫，求出P的坐標(biāo).【難度】【答案】P( 8,15)【鞏固訓(xùn)練】1.判斷下列命題是否正確，并說明理由.若向量a與b同向，且|a|>|b|,則a>b;若向量|a|=|b|,則a與b的長度相等且方向相同或相反；對于任意|a|=|b|,且a與b的方向相同，則 a=b;向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反.【難度】【答案】不正確；不正確；正確；不正確.I-I-fe-*-t2 .設(shè) x R ,向量

9、 a(x,1), b(1, 2),且 ab,則 | ab | 中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺【難度】【答案】.102 .3.已知向量a k ,k1 ,b k,4，若a/b ,則實數(shù)k的值是【難度】一一1【答案】k 0或k 134.已知 A(3, 1),B( 4,uuu2) , P是直線AB上一點(diǎn)，若2APuur3AB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【難度】【答案】P(15 52, 25.有以下命題成立：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Ai, A2, A3, A4, A5是uuruuuuuuiu uuuu uuur0AlOA2OA3 OA4 OA5【難度】【答案】5 2uur uuurP,Q是線段AB的三等分點(diǎn)，則有OP OQuuu u

10、uirOA OB .將此命題推廣,線 段 AB 的uuu uuu OA OB .六 等 分 點(diǎn)， 則6.已知點(diǎn)P、Q是 ABC所在平面上的兩個定點(diǎn)，且滿足 uuuruuir|PQ|= |BC|,則正實數(shù)=.uuuPAuur r uuu uur uur uuirPC 0, 2QA QB QC BC，若【難度】、-1【答案】1 2二向量的數(shù)量積向量數(shù)量積運(yùn)算的基本方法： rr【例7】已知向量a 3, 4 ,b【難度】1、向量的分解；2、坐標(biāo)法；3、向量數(shù)量積的幾何意義.0, 1 ,則向量a在向量b的方向上的投影是 【例8】平面向量a與b的夾角為60 ,r rr ra1 , b (3,0)，則 2a

11、 b21 世紀(jì)教育網(wǎng)()式N 7世紀(jì)野目 Uf Uf tu 2eom中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺【難度】【答案】.192【方法】a【例9】在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動，則EC EM的最大值為.【難度】【答案】32【方法】向量的分解；坐標(biāo)法【例10】已知 ABC的外接圓的圓心為 O, AC 6,BC 7, AB 8,則人O 的 【難度】【答案】14【方法】向量數(shù)量積的幾何意義【鞏固訓(xùn)練】uuulUULTiuur uuir1.在平行四邊形 ABCD 中，若 AB 2,|AD| 1, BAD 60°,則 AB BD 【難度】【答案】3T T UU UT

12、 T T2,已知向量a與向量b , a| 2, |b| 3 , a、b的夾角為60 ,當(dāng)1 m 2, 0 n 2時,r rma nb 的最大值為.【難度】【答案】2、，19LULL LUIT3 .在Rt ABC中，AB AC 3, M ,N是斜邊BC上的兩個三等分點(diǎn)，則 AM AN的值為【難度】【答案】4【方法】向量的分解；坐標(biāo)法21 世紀(jì)教育網(wǎng)()犬7N1世紀(jì)教目中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺uur uur 4 .如圖，在圓 O中，若弦AB = 3,弦AC = 5,則AO BC的值是【方法】向量數(shù)量積的幾何意義三、向量的應(yīng)用（一）三點(diǎn)共線的應(yīng)用;（二）三角形2.3.4.【例GAuuirAPOA

13、HAGB GCuur|AB|OBABC的重心.umr AC)( |AC|OCHB HB HC。為0） P經(jīng)過ABC的內(nèi)心.ABC的外，HC HA H為ABC的垂心.11】已知點(diǎn)G是4ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且uuuu AMuur uuir uuurxAB, AN yAC ,則xy-的值為【方法】三點(diǎn)共線ir uu【例12】設(shè)e1,號是平面內(nèi)兩個不共線的向量,uuuAB (air ur uur1)0 e2, ACirurb0 2e2, a 0,b 0.1 2右A, B, C二點(diǎn)共線，則的最小值是 a b【難度】【答案】4【方法】平面向量分解定理，三點(diǎn)共線21

14、世紀(jì)教育網(wǎng)()世紀(jì)野后Uf Uf ilr z vcri JV tom中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺uur uur uuu uur【例13】已知同一平面上的向量 PA, PB , AQ , BQ滿足如下條件：uur uuuuiruur uurabAQuur | PAPB| | AB |2 ; -un-uuu-BQ0| AB | | AQ|uur uuir uuu ; | AB AQ| |ABuuu uuuAQ |,則| PQ |的最大值與最小值之差是【難度】【答案】2【方法】三角形“四心”【鞏固訓(xùn)練】C1 .如圖，在 ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線 AB,uuu uuuu um

15、ruurAC于不同的兩點(diǎn) M , N ,若AB mAM , AC nAN ,則m n的值為【難度】【答案】2【解析】取特殊位置，設(shè) M與B重合，N與C重合，則 m n 1,所以 m n 2.【方法】三點(diǎn)共線2 .已知點(diǎn)。是 ABC的重心，內(nèi)角 A、B、C所對的邊長分別為a、B c,且 uuu uuu 2 3 uur r2a OA b OB c OC 0 ,則角C的大小是 3【難度】【答案】 3【方法】三角形重心易錯題型零向量、向量的夾角 【例1】已知點(diǎn)A 1,3 , B4, 1 ,則與AB共線的單位向量為【難度】、34一3 4【答案】,一和555 5 a【解析】與向量a同向的單位向量為二aa【

16、易錯點(diǎn)】長度為 1個單位的向量叫單位向量；與向量a同向的單位向量為 ：。學(xué)生記憶時大a多會記得第二點(diǎn)，容易忽略反向的單位向量?！咀兪接?xùn)練】1 .與a 8, 15垂直的單位向量為【難度】8 15,17 17,815【答案】_8_, 15和17172.已知向量p【難度】c均為非零向量，則 p的取值范圍是21 世紀(jì)教育網(wǎng)()【答案】03【例2】設(shè) 為兩個非零向量a、b的夾角，已知對任意實數(shù)，b t0|的最小值為1,則 （）A、若確定，則a唯一確定B、若 確定，則B唯一確定C、若a確定，則【難度】【答案】B唯一確定 D、若b確定，則 唯一確定【解析】不妨設(shè) aOA, bOB ,過點(diǎn)B作OA的平行線l

17、,設(shè)BP ta ,則P點(diǎn)在l上，即OP b ta,顯然當(dāng)OP BP時，Op|最小。此時，OP |b sin （圖1）,或者同lb sin（圖2）,即1 |b|sin ,所以若 確定，則|b唯一確定；若 付確定，則 可能有兩解，故選 B【易錯點(diǎn)】題目的難度在于未知量多，分析起來不好著手，容易犯錯。這類向量的題型需要定量來分中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺tom析和求解?！咀兪接?xùn)練】1滿足：對任意t R,恒有ateA、 aB、 a2.已知3.已知2,1 與 b1,2 ,要使a tb最小,則實數(shù)t的值是是向量a、b的夾角，且對任意的t R, bta的最小值為1,則bsec【例3】在 ABC中，過中線AD

18、中點(diǎn)E任作一直線分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，設(shè)AMAN yAC xy 0 ,則4x y的最小值是1 - -D為BC中點(diǎn)知AD -AB22 Ac,又 AM xAB , AN yAC xyE為ADAE1 - -AD21 =一 AM4x AN4y點(diǎn)共線，4x4x14x14yy4xM 、2y x - 4x y5 9 y一 一,當(dāng)且僅當(dāng)4 44x4x4y38'3 .y 3時取等號。4【易錯點(diǎn)】若OAOBOC為常數(shù)），則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是21 世紀(jì)教育網(wǎng)()中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺urcifUJZTfn-vv eom【變式訓(xùn)練】1 .在 ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的

19、中點(diǎn)，AN AB AC ,則 的值為【難度】【答案】12 .在 ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線 AB, AC于不同的兩點(diǎn) M, N,若 AB mAM', AC mAN',則 m n的值為【難度】【答案】23 .已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若OB 310A a2000c，且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過原點(diǎn)0),則S200 【難度】【答案】1004 .已知在平面直角坐標(biāo)系中， A 2,0 , B1,3,0為原點(diǎn)，且0m'OA oB (其中1, 均為實數(shù))，若 N 1,0 ,則|M的最小值是【難度】【答案】3 2 2【例4】已知a, b, c分別為

20、 ABC中 A, B, C的對邊，點(diǎn) G為 ABC的重心，且a GA b GB c GC 0,則 ABC 為 ()A、等腰直角三角形B、直角三角形 C、等腰三角形D、等邊三角形【難度】【答案】D【解析】 點(diǎn)G是 ABC的重心， Ga Gb Gc 0,又aGA b GB c GC 0 ,a GA b GB c GA GB 0 ,即 a c GA b c GB 0 , GA , GB 不共線，21 世紀(jì)教育網(wǎng)()acbc0,SPabc,ABC為等邊三角形，故選 D【易錯點(diǎn)】運(yùn)用平面向量判定圖形形狀,主要是將“邊相等、邊平行、邊垂直”分別對應(yīng)轉(zhuǎn)化為“向量的模相等、向量的平行、向量的垂直”等問題。【變

21、式訓(xùn)練】1 .已知。為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足 OB OC OB OC 2由，則 ABC一定是（）A、等腰直角三角形B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等邊三角形【難度】【答案】B2,已知 ABC,若對任意 t R, |bA tBC |aC|,則 ABC （）A、必為銳角三角形B、必為鈍角三角形C、必為直角三角形D、答案不確定【難度】【答案】C 2CB,則 ABC是A、等邊三角形 B、銳角三角形C、鈍角三角形D、直角三角形4.已知非零向量AB與AC滿足AB ACAB| ACBCAB ACAB ACA、三邊均不相等的三角形B、直角三角形C、等腰非等邊三角形D、等邊三角形ABC 所在的平面內(nèi)并

22、且滿足-OB OCOP ABab|cosBACACcosC0 ,則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過ABC 的()A、重心B、垂心 C、內(nèi)心 D、夕卜心3.在 ABC中，若 AB AB AC BA BC CAurcifitu2Tfn>v eom【難度】【答案】D【解析】BCABACBC BC 0BC 與AB cos BAC cosCABAB|cosBAC一 OB OC 一 一：一AC一 垂直，不妨設(shè) BC中點(diǎn)為M ,則OP OP OMAC cosC2可得MP與BC垂直，MP所在直線為BC的中垂線，故點(diǎn) P的軌跡經(jīng)過 ABC的外k【易錯點(diǎn)】在轉(zhuǎn)化ABAB cos BAC和田ABaCACcosC| Ab| co

23、s B| Ac| cosC關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練】1.已知 ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長依次為 a、b、c, M為該三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若 aMA bMB” cMC 0,則 M 是 ABC 的（）A、重心 B、垂心 C、內(nèi)心 D、外心【難度】【答案】C2.已知O為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足,2OBABC 的（）A、重心 B、垂心 C、內(nèi)心 D、夕卜心【難度】3.已知O是平面上一定點(diǎn)，AB、 C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP OAABAC0,則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的AB sin BACsin C4N1世史或昌, wuftu tejri-TV. eom中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺A、重心B、垂心 C、內(nèi)心 D、外心【難度】【答案】A【例6】設(shè)點(diǎn)O在 ABC的內(nèi)部，且有 OA 2OB 3OC 0,則 ABC的面積與 AOC的面積之比為【難度】【答案】3【解析】可根據(jù)“奔馳引理”，若點(diǎn)O在 ABC的內(nèi)部，xOA yOB zOC 0,則必有S B0c : S A0c : S AOB x: y : z。也可以常規(guī)的轉(zhuǎn)化向量去求解?！疽族e點(diǎn)】在求解平面三角形的面積比時，對向量的條件需要轉(zhuǎn)化成同底或等底、同高或等高，需要 將題中的向量條件轉(zhuǎn)化成較少的向量，再利用共線的條件