成都中考數(shù)學(xué)綜合題專練∶圓的綜合

1、成都中考數(shù)學(xué)綜合題專練：圓的綜合一、圓的綜合1.如圖1,已知扇形 MON的半徑為 J2 , /MON=90，點B在弧MN上移動，聯(lián)結(jié) BM , 作OD，BM,垂足為點 D, C為線段OD上一點，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑 OM于 點A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時，求 x的值.【答案】(1)證明見解析；(2) y x.(0 x 乏)；(3) x 9 件 x ,22【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進而判斷出 OAXBAM,即可得出結(jié)

2、論;(2)OAOE(3)先判斷出BD=DM,進而得出-DM ME,進而得出AE=-1(J2 x),再判斷出BD AE2OC 2DM“，即可得出結(jié)論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1)OD)± BM, AB± OM,/ ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點D作DE/AB,交OM于點E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DMBDME,AE=EM

3、.AE OM=V2， .AE=1(拒 x).21. DE/AB,OAOC 2DMOEOD ODDMOAOD 2OEy xm(0<x72)1(3) (i)當(dāng) OA=OC時. DM BM 21 -OC 2OD J'OM 2 DM 2 22 1x2 .1或x瓶八(舍).22(ii)當(dāng) AO=AC時，則 /AOO/ACO. / ACO> / COB, /COB=/AOC, . / ACO>/ AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時，貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M , Z M=90° - a, . . a> 90

4、76; a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時，x的值為 E 衣.2點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.2.如圖，已知4ABC內(nèi)接于OO, BC交直徑AD于點E,過點C作AD的垂線交AB的延長 線于點G,垂足為F.連接OC.(1)若/ G=48 ,求/ ACB的度數(shù)；(2)若 AB=AE,求證：/BAD=/ COF；(3)在(2)的條件下，連接 OB,設(shè)4AOB的面積為S, 4ACF的面積

5、為8.若1 ,、S1，tan / CAF=-,求 丁 的值.2 S2D【答案】（1） 48。（2）證明見解析（3）4【解析】 【分析】(1)連接CD,根據(jù)圓周角定理和垂直的定義可得結(jié)論；(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：/ABE=/ AEB,再證明Z BCG=Z DAC,可得Cd Pb Pd ,則所對的圓周角相等，根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系可得結(jié) 論；(3)過 O作 OG，AB于 G,證明 ACOFAOAG,則 OG=CF=x AG=OF,設(shè) OF=a,則OA=OC=2x-a根據(jù)勾股定理列方程得：(2x-a) 2=x2+a2,則a=3 x,代入面積公式可得結(jié) 4論.【詳解】(1)連接CD

6、,.AD是。的直徑，/ ACD=90 ； / ACB+Z BCD=90 ,° .ADXCG, ./AFG=/ G+/BAD=90 ； / BAD=Z BCD,/ ACB=Z G=48 ;(2) AB=AE/ ABE=Z AEB,. /ABC=/G+/BCG, / AEB=Z ACB+Z DAC,由(1)得：/G=/ACB,/ BCG=Z DAC,Cd Pb ,.AD 是。的直徑，AD± PC,Cd ?d ,Cd ?b ?d ,Z BAD=2/ DAC, / COF=2Z DAC,/ BAD=Z COF；(3)過 O作 OGLAB于 G,設(shè) CF=x，1 CFtan / CA

7、F= ,2 AF.AF=2x,. OC=OA,由(2)得：/COF=/OAG,/ OFC玄 AGO=90 ,° .,.COFAOAG, ，OG=CF=x AG=OF, 設(shè) OF=a,貝U OA=OC=2x a, RtA COF 中,CC2=Cf2+OF2,(2x-a) 2=x2+a2, a=3x,431. OF=AG=- x,4-. OA=OB, OG± AB, .AB=2AG=3x,21 3AB OG x x qSl 2 2 3S2 -CF AF x 2x 42【點睛】圓的綜合題，考查了三角形的面積、垂徑定理、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定以及解直角三角形，解題的

8、關(guān)鍵是：(1)根據(jù)圓周角定理找出 /ACB+/ BCD=90;(2)根據(jù)外角的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得：cd pB pD； ( 3)利用三角函數(shù)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程解決問題.3.如圖，AB為。O的直徑，點 E在。O上，過點E的切線與 AB的延長線交于點 D,連接 BE,過點O作BE的平行線，交OO于點F,交切線于點 C,連接AC(1)求證：AC是。的切線；(2)連接EF,當(dāng)/D=。時，四邊形FOBE是菱形.【答案】(1)見解析；(2) 30.【解析】【分析】(1)由等角的轉(zhuǎn)換證明出OCg OCE ,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得 AC是。的切線.(2)根據(jù)四邊形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=

9、EF得證 OBE為等邊三角形，而得出BOE 60 ,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】(1)證明：.CD與。相切于點E,OE CD , CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB, OEB OBE ,COE COA,y., oc=oc oa=oe OCA0 OCE(SAS ,CAO CEO 90 ,又 AB為。O的直徑， .AC為。O的切線；(2)解：二四邊形FOBE是菱形， .OF=OB=BF=EF.OE=OB=BEOBE為等邊三角形，BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答案為30.【點睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計算問

10、題，熟練掌握圓的性質(zhì)是本題的解題關(guān)Ir4.如圖，已知 4ABC中，AB=AC, /A=30°, AB=16,以AB為直徑的。與BC邊相交于點D,與AC交于點F,過點D作DE，AC于點E.(1)求證：DE是。的切線；(2)求CE的長；(3)過點B作BG/ DF,交。于點G,求弧BG的長.【答案】(1)證明見解析(2) 8-4 J3 (3) 4?！窘馕觥俊痉治觥?1)如圖1,連接AD, OD,由AB為。O的直徑，可得 AD± BC,再卞據(jù)AB=AC,可得BD=DC,再卞K據(jù) OA=OB,則可得 OD/ AC,繼而可得 DEX OD,問題得證；(2)如圖2,連接BF,根據(jù)已知可推

11、導(dǎo)得出 DE=1 BF, CE=EF根據(jù)/A=30°, AB=16,可得BF=8,繼而得DE=4,由DE為。的切線，可得 ED2=EF?AE即42=CE? (16-CE),繼 而可求得CE長；(3)如圖3,連接OG,連接AD,由BG/ DF,可得Z CBG=Z CDF=30 ,再根據(jù)AB=AQ可推導(dǎo)得出Z OBG=45 ,由OG=OB,可得Z OGB=45 ,從而可得/ BOG=90 ,根據(jù)弧長公式即可求得?G的長度.【詳解】(1)如圖1,連接AD, OD；.AB為。的直徑，/ ADB=90 ,° 即 ADXBC, .AB=AC,BD=DC, .OA=OB, .OD/AC,

12、 .DEXAC, DEXOD,/ ODE=Z DEA=90 ； .DE為。O的切線；(2)如圖2,連接BF,.AB為。的直徑，/ AFB=90 ,° .BF/ DE, .CD=BD, .DE=1BF, CE=EF2 / A=30 ,° AB=16,.BF=8,.DE=4,. DE為。O的切線，ED2=EF?AE.-42=CE? (16- CE),.CE=8- 473 , CE=8+4/3 (不合題意舍去)；(3)如圖3,連接OG,連接AD,1. BG/ DF,/ CBG=Z CDF=30,°.AB=AC,/ ABC=Z C=75 ；/ OBG=75 - 30 =4

13、5 ；.OG=OB,/ OGB=Z OBG=45 ；/ BOG=90 ,°【點睛】本題考查了圓的綜合題，涉及了切線的判定、三角形中位線定理、圓周角定理、弧長公式等，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵5.如圖1,以邊長為4的正方形紙片 ABCD的邊AB為直徑作OO,交對角線 AC于點E. (1)圖1中，線段AE=;(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，以點 A為端點作Z DAM=30 ,交CD于點M ,沿AM將四 邊形ABCM剪掉，使RtAADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)(如圖 3),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 a (00< a< 150°),在旋轉(zhuǎn)過程中 AD與。O交于點F.當(dāng)

14、a =3叫，請求出線段 AF的長； 當(dāng)a =60B,求出線段 AF的長；判斷此時 DM與。O的位置關(guān)系，并說明理由；當(dāng)a=。時，DM與。O相切.【答案】（1） 2V? （2）22 -F,相離當(dāng)a =90時，DM與。O相切【解析】（1）連接BE, AC是正方形ABCD的對角線，/ BAC=45°,， AEB是等腰直角三角形，又. AB=8, .AE=4/2；(2) 連接 OA、OF,由題意得， /NAD=30°, /DAM=30°,故可得 /OAM=30°,ZDAM=30 ；貝U/OAF=60 :又 / OA=OF, .OAF 是等邊三角形，1.OA=4,

15、 ，AF=OA=4;連接 B'F,此時 /NAD=60。， . AB'=8, ZDAM=30 °, . . AF=AB'cos/ DAM=8 半=布;此時DM與。O的位置關(guān)系是相離;郅AD=8,直徑的長度相等，當(dāng)DM與。相切時，點D在。上，故此時可得a 與 NAD=90BP的最大值與最小值【答案】(1)連OD,證明略;點睛：此題屬于圓的綜合題，主要是仔細觀察每一次旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)含30。角的直角三角形進行計算，另外在解答最后一問時，關(guān)鍵是判斷出點D的位置，有一定難度.6.如圖，已知 RtABC中,C=90°, O在AC上，以O(shè)C為半徑作OO,切AB

16、于D點，且BC=BD(1)求證：AB為。的切線；(2)若 BC=6, sinA=3 ,求。的半徑;52)半徑為 3; (3)最大值 375+3 , 375-3.分析：(1)連接OD, OB,證明OD®4OCB即可.(2)由sinA=3且BC=6可知，AB=10且cosA=-,然后求出 OD的長度即可.F重合(3)由三角形的三邊關(guān)系，可知當(dāng)連接 OB交。O于點E、F,當(dāng)點P分別于點 時，BP分別取最小值和最大值.詳解：(1)如圖：連接OD、OB.在AODB和OCB中:OD=OC,OB=OB,BC=BD; .,.ODBAOCB (SSS ./ ODB=Z C=90 :.AB為。O的切線.

17、AB 5 BC=6,AB=10, BD=BC=6,.AD=AB-BD=4,sinA= , cosA=,55 .OA=5,OD=3,即。O的半徑為：3.(3)如圖：連接OB,交。O為點E、F,由三角形的三邊關(guān)系可知：當(dāng)P點與E點重合時，PB取最小值.由(2)可知：OD=3, DB=6, ob=,32 623 5. . PB=OB-OE3 5 3.當(dāng)P點與F點重合時，PB去最大值，PB=OP+OB=3+3 5 .關(guān)鍵是對三角函數(shù)值、勾股定理、點睛：本題屬于綜合類型題，主要考查了圓的綜合知識 全等三角形判定與性質(zhì)的理解 .7.已知，如圖：Oi為x軸上一點，以 Oi為圓心作。交x軸于C、D兩點，交y軸

18、于M、N兩點，/CMD的外角平分線交。1于點E, AB是弦，且 AB/CD,直線DM的解析 式為 y=3x+3.(1)如圖1,求。Oi半徑及點E的坐標(biāo).(2)如圖2,過E作EFl BC于F,若A、B為弧CND上兩動點且弦 AB/ CD,試問：BF+CF 與AC之間是否存在某種等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并證明.(3)在(2)的條件下，EF交OOi于點G,問弦BG的長度是否變化？若不變直接寫出BG的長(不寫過程)，若變化自畫圖說明理由.圄1國2【答案】(1) r=5 E (4, 5) (2) BF+CF=AC (3)弦BG的長度不變，等于 572【解析】分析：(1)連接 ED. EC EQ、MOi

19、,如圖 1,可以證到 Z ECD=Z SME=/EMC=/EDC,從 而可以證到Z EOiD=ZEO1C=90 °.由直線DM的解析式為y=3x+3可得OD=1, OM=3.設(shè) 。1的半徑為r.在RtA MOO1中利用勾股定理就可解決問題.(2)過點O1作QPLEG于P,過點O1作O1Q± BC于Q,連接EQ、DB,如圖2.由AB/ DC可證到BD=AC,易證四邊形 OiPFQ是矩形，從而有 OP=FQ, Z PQiQ=90°,進而有 /EOiP=/ COiQ,從而可以證到 EPQZCQOi,則有PQ=QOi.根據(jù)三角形中位線定理 可得FQ=1bD,從而可以得到

20、BF+CF=2FQ=AC.2（3）連接 EOi, ED, EB, BG,如圖 3.易證 EF/ BD,則有 / GEB=/ EBD,從而有 Bg=?D，也就有BG=DE.在RtA EQD中運用勾股定理求出 ED,就可解決問題. 詳解：（1）連接ED EG EQ、MOi,如圖1. ME 平分 / SMC,/ SME=Z EMC. / SME=Z ECD, / EMC=Z EDC,/ ECD=Z EDC,/ EOiD=Z EOiC. ZEOiD+Z EOiC=I80 °,ZEOiD=Z EOiC=90 °. 直線DM的解析式為y=3x+3, .點M的坐標(biāo)為（0, 3）,點D的坐

21、標(biāo)為（-I , 0）, .OD=I, OM=3.設(shè)。Oi的半徑為r,則MOi=DOi=r.在 RtA MOOi 中，（r i） 2+32=r2.解得：r=5,OOi=4, EOi=5,.OOi 半徑為 5,點 E 的坐標(biāo)為（4, 5）.（2） BF+CF=AC.理由如下：過點Oi作OiPL EG于P,過點Oi作OiQBC于Q,連接EO、DB,如圖2. AB/ DC,Z DCA=Z BAC,Ad = Bc, ？d = Ac ,BD=AC-OiP± EG, OiQ± BC, EF±BF, z. ZOiPF=Z PFQ=Z OiQF=90 °, .四邊形 Oi

22、PFQ是矩 形，OiP=FQ, Z POiQ=90 °,ZEOiP=90 °- ZPOiC=ZCOiQ.EOFCOIQ在EPQ 和 ACQ。中，EPOiCQOi ,OIE QC.EPOCQO,POi=QOi,FQ=QOi.QOi± BC,.BOCQCQ=DOi, .OiQBD,FQ=1BD.22 BF+CF=FC+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,BF+CF=BD=AC.（3）連接 EQ, ED, EB, BG,如圖 3. DC是。Oi 的直徑，Z DBC=90 °,Z DBC+Z EFB=I80 °, . EF/ BD,/ GEB=Z E

23、BD,BG = ?D，BG=DE. DOi=EOi=5, EOi ± DOi , .DE=5>/2，BG=5 Q ,，弦BG的長度不變，等于 572圖I圖2圖3點睛：本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、垂徑定理、全等三 角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股 定理等知識，綜合性比較強，有一定的難度.而由 AB/ DC證到AC=BD是解決第（2）小題 的關(guān)鍵，由EG/ DB證到BG=DE是解決第（3）小題的關(guān)鍵.8. （8分）已知AB為。的直徑，OC，AB,弦DC與OB交于點F,在直線AB上有一點E, 連接ED,且有ED

24、= EF.I陽徵（1）如圖,求證：ED為。的切線；（2）如圖，直線ED與切線AG相交于G,且OF= 2,。的半徑為6,求AG的長.【答案】（1）見解析；（2） 12【解析】試題分析：（1）連接OD,由ED=EF可得出/EDF=/EFD,由對頂角相等可得出/EDF=/CFQ 由 OD=OC可得出 / ODF=/OCF 結(jié)合 OC AB 即可得知 /EDF+/ODF=90 ； 即/ EDO=90°,由此證出 ED為O O的切線；（2）連接OD,過點D作DMLBA于點M,結(jié)合（1）的結(jié)論根據(jù)勾股定理可求出ED EO的長度，結(jié)合/DOE的正弦、余弦值可得出 DM、MO的長度，根據(jù)切線的性質(zhì)可

25、知GA± EA,從而得出DM/GA,根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出 EDMs EGA根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出GA的長度試題解析：解：（1）連接 OD,ED=EF,/ EDF=Z EFD, = / EFD=Z CFO, . / EDF=/CFO.OD=OC, . . / ODF=/OCF / OCX AB, / CFG/OCF=/ EDF+Z ODF=Z EDO=90 : ：. ED為。的切線；（2）連接OD,過點D作DMBA于點M,由（1）可知 EDO為直角三角形，設(shè) ED=EF=a, EO=EF+FO=a+2,由勾股定理得， EG2=EC2+DO2,即（a+2） 2=a2+6

26、2,解得，a=8, 即 ED=8, EO=10. -. sinZ EOD=-ED 4 cos/EOD=OD 3EO 5 'OE 5 '4 243 18，DM=OD?sin/EOD=6 4 =,MO=OD?cos/EOD=6X-=, . EM=EO MO=10-5 55 518 32=,EA=EO+OA=10+6=16.55“ 入 - DM EM. GA 切。于點 A, ：.GAL EA, . DM /GA, .EDMs EGA ，即GA EA243255 ,解得 GA=12.GA 16點睛：本題考查的是切線的判定、垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、角的三角函數(shù)值、相似

27、三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)通過等腰三角形的性質(zhì)找出 / EDO=90 - ( 2)通過相似三角形的性質(zhì)找出相似比.9.如圖，AB是半圓。的直徑，半徑 OC± AB, OB= 4, D是OB的中點，點 E是弧BC上的 動點，連接AE, DE.(1)當(dāng)點E是弧BC的中點時，求 4ADE的面積；3. ，一(2)若 tan AED 一,求 AE的長；2(3)點F是半徑OC上一動點，設(shè)點 E到直線OC的距離為m,當(dāng) DEF是等腰直角三角 形時，求m的值.【答案】(1)SADE6亞；(2) AE45 ；(3)m2V3, m2灰,5(1)作 EHI±AB,連接 OE, EB

28、,設(shè) DH=a,貝U HB= 2- a, OH= 2+a,貝U EH= OH=2+a, 根據(jù)RtAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出 Sxade的值； AFAD(2)作 DF,AE,垂足為 F,連接 BE,設(shè) EF= 2x, DF= 3x,根據(jù) DFII BE故一 一.EF BD得出AF= 6x,再利用RtAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出x,進而求出 AE的長；(3)根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點進行分類討論，分別求出m的值.【詳解】解：(1)如圖，作 EHI±AB,連接OE, EB,設(shè) DH=a,貝U HB=2-a, OH=2+a,點E是弧BC中點，/ C

29、OE= / EOH= 45 °, ,-.EH=OH= 2+a, 在 RtMEB中，EH2=AH?BH,(2+a) 2= ( 6+a) ( 2 - a),解得 a= 272 2， a= 242 2，EH=2衣，1Saade= n AD n EH6 J2;2AOD H B(2)如圖，作 DF±AE,垂足為F,AOD B設(shè) EF= 2x, DF= 3x1. DF/ BEAF ADEF BDAF 6=32x 2.AF = 6x在 RtAFD 中，AF2+DF2= AD2(6x) 2+(3x) 2= (6) 2連接BE一 2 -解得x=5516 AE= 8x=55(3)當(dāng)點D為等腰直

30、角三角形直角頂點時，如圖O D H B設(shè) DH=a由 DF=DE/ DOF=Z EHD=90 , / FDO+/ DFO=Z FDO+Z EDH,/ DFO=Z EDH.,.ODFAHED.OD=EH= 2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(2) 2= ( 6+a) ? (2-a)解得 a= ±273 2m= 2點當(dāng)點E為等腰直角三角形直角頂點時，如圖O 口 H B同理得AEFCADEH設(shè) DH=a,貝U GE= a, EH= FG= 2+a在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(2+a) 2= (6+a) (2-a)解得a= 2.2 2.m= 2 衣當(dāng)點F為等腰直角三角形直角頂

31、點時，如圖同理得 EFM FDO設(shè) OF= a,則 ME=a, MF = OD = 2，EH=a+2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(a+2) 2= (4+a) ? (4- a)解得a= ±J7 1m=幣1【點睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的 判定與性質(zhì).10.如圖，4ABC中，/ACB= 90°, /A=30°, AB=6. D是線段AC上一個動點(不與點A重合)，OD與AB相切，切點為 E, OD交射線.DC于點F,過F作FG± EF交直線.BC于 點G,設(shè)。D的半徑為r.(1)求證 AE= E

32、F;(2)當(dāng)。D與直線BC相切時，求r的值;(3)當(dāng)點G落在。D內(nèi)部時，直接寫出r的取值范圍.6、35【答案】(1)見解析，(2)r= 3 ,(3) -.3 r【解析】【分析】(1)連接 DE,貝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFE 貝U / DEF=Z DFE=30 = /A, 即可求解；(2)如圖2所示，連接 DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點為 F, /A=30°, AB=6,則BF=3,AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分點F在線段AC上、點F在線段AC的延長線上兩種情況，分別求解即可.【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r；(1)連接 DE,則 /

33、ADE=60 =/ DEF+Z DFE,而 / DEF=/ DFE,貝U / DEF=/ DFE=30 = Z A, .AE=EF(2)如圖2所示，連接DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點為 FZA=30 ； AB=6,則 BF=3, AD=2r, 由勾股定理得：（3r） 2+9=36, 解得：r=J3；連接DE、DG,FC 3/3 3r, GC3FC 9 3.3r當(dāng)點F在線段AC的延長線上時，如圖 4所示，連接DE、DG,兩種情況下GC符號相反，GC2相同，由勾股定理得：DG2=CD2+C片,點G在圓的內(nèi)部，故： DG2vr2,即：(3/3 2r)2 (3.3r 9)2 r2整理得：5r2 11.3

34、r 18 0解得：3 r 6-5【點睛】本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；利用勾股定理計算線段的長.AC= 4,過點C作。的切線1,11.如圖，。的直徑AB=8, C為圓周上一點， 作l的垂線BD,垂足為D, BD與。交于點E.(1)求/ AEC的度數(shù)；(2)求證：四邊形 OBEC是菱形.【答案】(1) 30。； (2)詳見解析.【解析】根據(jù)圓周角定理得到 / AEC= 30。； 再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到【分析】(1)易得AOC是等邊三角形，則 ZAOC= 60。，(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到 OCX 1,則有OC/ BD,OB/AEB= 90 :則/ EAB= 30 :可

35、證得AB/ CE,得到四邊形 OBEC為平行四邊形，再由 = OC,即可判斷四邊形 OBEC是菱形.【詳解】(1)解：在 AOC中，AC= 4,.AO=OC= 4,.AOC是等邊三角形，/ AOC= 60 ；/ AEC= 30 -(2)證明：OCX l, BD± l.OC/ BD./ ABD= / AOC= 60 :.AB為。的直徑，/ AEB= 90 ； AEB為直角三角形，/ EAB= 30 :/ EAB= / AEC.CE/ OB,又 CO/ EB四邊形OBEC為平行四邊形.又 OB= OC= 4.四邊形OBEC是菱形.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑.

36、也考查了圓周角定理及其推論以 及菱形的判定方法.12.如圖，在矩形 ABCD中，點O在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的。與AD、AC分 別交于點 E、F,且/ ACB= / DCE(1)判斷直線CE與。的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=后，BC= 2,求。的半徑.【答案】(1)直線CE與。相切，理由見解析;2) OO的半徑為Y64(1)首先連接 OE,由OE=OA與四邊形ABCD是矩形，易求得 / DEC吆OEA=90 ,即OE± EC即可證得直線 CE與。的位置關(guān)系是相切；(2)首先易證得CD4CBA,然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得DE的長，又由勾股定理即可求得 A

37、C的長，然后設(shè) OA為x,即可得方程(局 x2 (J6 x)2,解此方程即可求得 。的半徑.【詳解】 解：（1）直線CE與。相切. 理由：連接OE, 四邊形ABCD是矩形，Z B= ZD= ZBAD=90 °, BC/ AD, CD= AB, /DCEf/DEC= 90 °, /ACB=/DAC, 又 / DCE= / ACB, / DEG/ DAC= 90 °, .OE= OA, / OE / DAC, / DEG/ OEA= 90 °,/ OEC= 90 ；.-.OE± EC, .OE為圓O半徑， 直線CE與。相切；(2) ,. /B=/D

38、, /DCE=/ACB.,.CDEACBAsBC AB一,DC DE又 CD= AB=&,BC= 2,.DE=1娓,X2 他 x)2,根據(jù)勾股定理得EC= J3,又 AC ：AB2 BC2設(shè)OA為x,則(J3)2 解得X工，4 O O的半徑為.此題考查了切線的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知 識.此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注 意輔助線的作法.13.如圖，過。外一點P作。的切線PA切。于點A,連接PO并延長，與。交于G D兩點，M是半圓CD的中點，連接 AM交CD于點N,連接AC、CM.(1)求證：CM2=MN.

39、MA;(2)若 / P=30°, PC=2,求 CM 的長.【答案】（1）見解析；（2） CM=2J2.【解析】【分析】（1）由 CM DM 知 CAM DCM，根 /CMA=/NMC 據(jù)證得；1（2）連接 OA、DM,由直角二角形 PAO中/P=30知OA PO2求得OA=OC=2再證三角形CMD是等腰直角三角形得 CM的長.【詳解】（1） QeO中，M點是半圓CD的中點，AAM6ACMRI1,一 PC CO ,據(jù)此2CAM DCM ,又Q CMA NMC ，AMCs CMN,CMMNAMCM(2)連接 OA、DM ,Q PA是e O的切線， PAO 90 ,又 Q P 30 ,1

40、 1OA - PO - PC CO2 2設(shè)e O的半徑為r,Q PC 2 ,1r -2 r , 2解得：r 2,又Q CD是直徑,CMD 90 ,QCM DM ,CMD是等腰直角三角形，在Rt CMD中，由勾股定理得 CM 2 DM 2 CD2,即2CM 2 2r 2 16 , 則 CM 2 8,CM 2我【點睛】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角 形的判定和性質(zhì)等知識點14.如圖，AB為。的直徑，BC為。的弦，過。點作OD，BC,交。的切線CD于點D,交。于點E,連接AC、AE,且AE與BC交于點F.(1)連接BD,求證：BD是。的切線；(2)若 AF： EF=2： 1,求 tan/CAF的值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/ OBD=/ OCD=90 ,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)已