專題5.3解析幾何中的范圍問題-玩轉壓軸題突破140分之高三數(shù)學選填題高端精品.

1、一方法綜述圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（ 1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（ 2）代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：利用判別式來構造不等關系，從而確定取值范圍；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出取值范圍；利用基本不等式求出取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定取值范圍二解題策略類型一 利用題設條件，結合幾何特征與性質求范圍【例 1】【安徽省淮北一中 20172018第四次月考】若 A 點坐標為 1,1 ， F1 是橢圓

2、 5y29x245 的下焦點，點 P 是該橢圓上的動點，則 PAPF1 的最大值為 M ，最小值為 N ，則 M N_【答案】 2 2【指點迷津】本題求最值的方法采用了幾何法，在圓錐曲線的最值問題中，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義時，則考慮用圖形性質來解決，這樣可使問題的解決變得直觀簡捷【舉一反三】 【湖北省重點高中聯(lián)考協(xié)作體2016-2017x24 y21(a 0) 的右期中考試】已知雙曲線 C :2a頂點到其一條漸近線的距離等于3 ，拋物線 E : y22 px 的焦點與雙曲線 C 的右焦點重合， 則拋物線 E 上4的動點 M 到直線 l1 : 4x 3 y 60 和 l2 :

3、 x1 的距離之和的最小值為 _【答案】 2類型二通過建立目標問題的表達式，結合參數(shù)或幾何性質求范圍【例 2】【 2017 屆云南省云南師范大學附屬中學適應性月考（五）】拋物線上一點到拋物線準線的距離為，點關于軸的對稱點為，為坐標原點，的內(nèi)切圓與切于點，點 為內(nèi)切圓上任意一點，則的取值范圍為_【答案】【解析】因為點在拋物線上，所以，點A 到準線的距離為，解得或當時，故舍去，所以拋物線方程為，所以是正三角形， 邊長為為參數(shù)），則，其內(nèi)切圓方程為 ，如圖所示， ，設點（【指點迷津】本題主要考查拋物線性質的運用，參數(shù)方程的運用，三角函數(shù)的兩角和公式合一變形求最值，屬于難題，對于這類題目，首先利用已知

4、條件得到拋物線的方程，進而可得到為等邊三角形和內(nèi)切圓的方程，進而得到點的坐標，可利用內(nèi)切圓的方程設出點含參數(shù)的坐標， 進而得到，從而得到其取值范圍，因此正確求出內(nèi)切圓的方程是解題的關鍵【舉一反三】【河南省漯河市高級中學2018 屆上學期第三次模擬】已知橢圓是橢圓上的兩點，線段的垂直平分線與軸相交于點，則的取值范圍是 _ （用表示）【答案】即答案為.類型三利用根的判別式或韋達定理建立不等關系求范圍【例3】【江西省九江市2017 年三?！吭谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，已知拋物線C : x24 y，點P 是 C的準線l上的動點，過點P 作 C 的兩條切線，切點分別為A,B，則AOB面積的最小值為（）A2

5、B2C22D4【答案】 B【指點迷津】解決本題的難點在于利用導數(shù)的幾何意義確定兩個切點A, B 的橫坐標間的關系，便于確定直線 AB 在 y 軸上的解截距【舉一反三】【 2016-2017 學年江蘇泰州中學月考】已知直線yx 1與橢圓 x2y21 a b 0 相交a2b2于 A,B 兩點，且 OAOB（ O 為坐標原點），若橢圓的離心率 e1 ,3 ，則 a 的最大值為 _22【答案】102類型四利用基本不等式求范圍【例 4】【江西省南昌市第二中學2017-2018 期中考試】 如圖，已知拋物線 y24x 的焦點為 F ，直線 l 過 F2y21于點 A,B, C,D 四點，則 AB4 CD

6、的最小值為（且依次交拋物線及圓 x 1）4A17B2【答案】 C15C13D11222【解析】由題意得F 1,0 ，即為圓的圓心，準線方程為x1 由拋物線的定義得AFxA1，又 AFAB1，所以 AB xA122同理 CDxD1 2當直線 l 與 x 軸垂直時，則有xAxD 1 ， AB4 CD33154222當直線 l 與 x 軸不垂直時，設直線l 方程為 ykx1 ，由 y kx 1消去 y 整理得 k 2 x22k 24xk20 ，y24x xA xD1, xAxD2k 24k2， AB4 CDxA4xD54xA xD513，當且僅當 xA4xD 時等號成立2222綜上可得AB4 CD1

7、3選 C2【指點迷津】 （ 1）與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑（ 2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件【舉一反三】【吉林省普通中學 2018 屆第二次調(diào)研】已知F 為拋物線 y2x 的焦點，點 A, B 在該拋物線上且位于 x 軸的兩側，而且OAOB6 （ O 為坐標原點） ，若ABO 與AFO 的面積分別為 S1 和 S2 ，則S1 4S2 最小值是（）A73B6C13D4322【答案】

8、 B設點 A 在 x 軸的上方，則 y10 ， F 1,0 4 S14S21y21133193 y144y1y1y1y1 2 y1622222 y1當且僅當 2 y19y13，即時取等號2 y12 S14S2 的最小值是 6，故選 B.類型五求解函數(shù)值域得范圍【例 5】【云南省師范大學附屬中學2018屆 12月適應性月考】已知橢圓C ： x2y21的右焦點為 F ，43過點 F 的兩條互相垂直的直線l1 ， l2 ， l1 與橢圓 C 相交于點 A ， B ， l2 與橢圓 C 相交于點 C ， D ，則下列敘述不正確的是（）A 存在直線 l1 ， l 2 使得 ABCDB 存在直線 l1 ，

9、 l 2 使得 ABCD值為 748值為7C 弦長 AB 存在最大值，且最大值為4D 弦長 AB 不存在最小值【答案】 DCD12 1k2， 特 別 地 當 k 21時， AB CD24 ，即 ABCD48，則B正確；由3k2477AB12 1k233，故當 k0 時， AB 取到最大值4 ，則 C正確；由 AB 333，34k 234k 24k23但當弦 AB 的斜率不存在時，AB3 ，故 AB 存在最小值 3 ，故 D 選項不對，故選 D【指點迷津】解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關系，將目標量表示

10、為一個( 或者多個 ) 變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決【舉一反三】 【河南省2018 屆 12 月聯(lián)考】已知過拋物線C ： y28x 的焦點 F 的直線 l 交拋物線于 P ， Q兩點，若 R 為線段 PQ 的中點，連接 OR 并延長交拋物線C于點 S，則OS）的取值范圍是（ORA0,2B 2,C 0,2D2,【答案】 D類型六利用隱含或已知的不等關系建立不等式求范圍【例 6】【福建省2016 屆高三畢業(yè)班總復習形成性測試】設直線l 與拋物線 y22 px 相交于 A，B 兩點，與圓 x 52r 2 (r 0) 相切于點 M，且 M為線段 AB的中點若這樣的直線l 恰有

11、4 條，則 r 的取值范y2圍是（）A1,3B1,4C2,3D2,4【答案】 D【舉一反三】 【 2017-2018 學年黑龍江省黑河市孫吳一中期中考試】已知橢圓x2y21(a b 0) 的上、a2b2下頂點、右頂點、右焦點分別為B2、 B1、 A、 F，延長 B1F 與 AB2 交于點 P，若 B1PA 為鈍角，則此橢圓的離心率 e 的取值范圍為 _【答案】1 5,12【解析】由題意得橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、 b、 c，（ c= a2b2）可得 B1PA等于向量 B2 A 與 F2 B1的夾角，A（ a， 0）， B1（ 0， b），B2（0， b）， F2（ c， 0） B2

12、 A =（ a， b）， F2 B1 =（ c， b），1的夾角大于，B PA為鈍角， B2 A 與 F2 B12由此可得 B2 A? F2 B1 0，即 ac+b2 0，將 b2=a2 c2 代入上式得： a2 ac c20，不等式兩邊都除以222a ，可得 1e e 0，即 e +e1 0，解之得 e 15 或 e 15 ，22結合橢圓的離心率e（ 0， 1），可得15 e 1，即橢圓離心率的取值范圍為（15 ， 1）故答22案為（15 ，1）2三強化訓練1【遼寧省凌源市2018 屆上學期期末】已知直線l : xy 10截圓: x2y2r 2 r0所得的弦長為14，點M,N在圓上，且直線

13、l : 1 2m xm1 y3m 0過定點 P ，若 PMPN，則MN的取值范圍為 _ 【答案】62,62所以 MN 的取值范圍是62,622【福建省莆田市第二十四中學2017-2018 期第二次月考】已知橢圓x2y21(ab 0) 上一點 A 關于a2b2原點的對稱點為點 B, F 為其右焦點， 若 AFBF ，設 ABF，且6,，則該橢圓的離心率 e4的取值范圍是 _ 【答案】2,312故答案為：2 , 31 23【江西省臨川第二中學2018 屆上學期第四次月考】如圖所示，點F 是拋物線 y28x 的焦點，點 A, B 分y28x 及圓2216 的實線部分上運動， 且 AB 總是平行于 x

14、 軸，則 FAB 的周長的別在拋物線x 2y取值范圍是 _ 【答案】8,125【福建省 2016 屆高三畢業(yè)班總復習形成性測試】如圖，P 是雙曲線 x2y21(a，b，xy 0)上的a2b200動點， F1，F(xiàn)2 是雙曲線的焦點， M是F1PF2 的平分線上一點， 且 F2 M MP0 某同學用以下方法研究|OM|：延長 F M 交 PF 于點 N，可知 PNF 為等腰三角形，且M為 F N 的中點，得1|NF |= =a類似地： P|OM|=212221是橢圓 x2y 21 (a b， xy 0)上的動點，1，2是橢圓的焦點，M是F12的平分線上一點，且a2b2 0FFPFF2M MP0 ，

15、則 |OM| 的取值范圍是 _【答案】 0 |OM| c【解析】延長F2M交 PF1 于點 N，可知 PNF2 為等腰三角形，且M為 F2N 的中點，得 |OM|= |NF |=（ |PF |-|PF| ）， |PF |+|PF2|=2 a， |OM|= a-|PF | ，11212 a- c|PF 2| a+c， P、 F1、 F2 三點不共線 0 a-|PF 2| c， 0 |OM| c6【貴州省凱里市第一中學2016-201722效果檢測】點P 是圓 x 2y 51上的點，點 Q 是拋物線y24x 上的點，則點 Q 到直線 x 1的距離與到點P 的距離之和的最小值是_【答案】261【解析

16、】如下圖，dPQQMAQ1QFAF261 ，所以填261 7【山東省日照第一中學 2017 屆高三 4 月考試】過拋物線 y22 px( p 0) 的焦點的直線交拋物線于A，B兩點，且 AB4 ，這樣的直線可以作 2 條，則 P 的取值范圍是 _【答案】 0p2A x1, y1 , B x2 , y2x1 x2k2 p2 p， 則k 2，根據(jù)拋物線性質，得AB AF BF p x1x22p2p2 p 則 拋 物 線 的 焦 點 弦 中通 徑 長 最 短 ， 則 要 使 滿 足k2AB 4 的直線可以作2 條，則通徑 2p4 ，即 p2那么 p 的取值范圍是 0,2 故本題應填 0 p 2y28

17、【 2017 屆上海市奉賢區(qū) 4 月調(diào)研測試（二模） 】雙曲線 x21的左右兩焦點分別是 F1, F2 ，若點 P 在3雙曲線上，且F1PF2為銳角，則點P 的橫坐標的取值范圍是_【答案】7,7；22229【河南省豫南六市 2016-2017 第一次聯(lián)考】 已知橢圓 C：x2y2 1(ab 0)的左右焦點分別為F1 ，F(xiàn)2 ，ab點 P在橢圓 C上，線段 PF2 與圓：x2y2b2 相切于點 Q，若 Q是線段 PF2的中點，e 為 C的離心率，則 a2e23b的最小值是 _【答案】53【解析】連接 PF1 ,OQ ， 由 OQ 為中位線，可得 OQ / / PF1， OQ1 PF1，2圓 x2

18、y2b2 ，可得 OQb 且 PF12b ，由橢圓的定義可得PF1PF22a ，可得PF22a2b ，又 OQ PF2 ，可得 PF1 PF2 ，即有 2b22a2b22a22abb2c2a2b2 ，2c ，即為 b2化為 2a3b ，即 b2 a ，3ca2b25 a ，即有 ec5，3a3a2e2a251515592，則3b2a2a2a39a9a522當且僅當 a時，即 a5時等號成立，所以ae的最小值為5 9a33b310【 2016-2017學年湖北省黃岡市黃岡中學上學期期末】如圖，已知拋物線的焦點為，直線 過 且依次交拋物線及圓于點四點，則的最小值為 _ 【答案】，所以，應填答案11【遼寧省實驗中學、大連八中、大連二十四中、鞍山