2020-2021中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)過關(guān)培優(yōu)訓(xùn)練∶平行四邊形附答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)過關(guān)培優(yōu)訓(xùn)練：平行四邊形附答案一、平行四邊形1 .已知，在矩形 ABCD中，AB=a, BC=b,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).圖1部圖3(1)如圖1,當(dāng)b=2a,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請證明 / BMC=90 ;(2)如圖2,當(dāng)b>2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在 / BMC=90 ,若存在，請給與 證明；若不存在，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)bv 2a時(shí)，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.【答案】(1)見解析；(2)存在，理由見解析；(3)不成立.理由如下見解析 .【解析】試題分析：(1)由b=2a,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得 AB=A

2、M=MD=DC=a,又由四邊形 ABCD是矩形，即可求得 ZAMB=Z DMC=45 ,則可求得/ BMC=90 ;(2)由Z BMC=90 ,易證得ABMsDMC,設(shè)AM=x,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0,由b>2a, a> 0, b>0,即可判定即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；(3)由(2),當(dāng)bv2a, a>0, b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情況，即可求得答 案.試題解析：(1) .b=2a,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，.AB=AM=MD=DC=a,又在矩形 ABCD 中，/ A=Z D=90

3、 ,/ AMB=Z DMC=45 ；/ BMC=90 :(2)存在，理由：若Z BMC=90 ,則 / AMB+/ DMC=90 ,又 Z AMB+Z ABM=90 ,/ ABM=Z DMC,又 : / A=/ D=90 ,.ABMADMC, am AB"CD DM 'x a設(shè) AM=x,則 ，a b x整理得：x2-bx+a2=0, ,. b>2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2>0,，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，.當(dāng) b>2a 時(shí)，存在 /BMC=90； （3）不成立.理由：若/BMC=90 ,由（2）可知

4、x2-bx+a2=0, ,. b<2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2 v 0,.方程沒有實(shí)數(shù)根，當(dāng)bv 2a時(shí)，不存在/BMC=90 ；即（2）中的結(jié)論不成立.考點(diǎn)：1、相似三角形的判定與性質(zhì)；2、根的判別式；3、矩形的性質(zhì)2.如圖，在等腰RtVABC中， BAC 90°，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A、C重合）， 在 ABC的外部作等腰 RtACED ,使 CED 900,連接AD,分別以AB, AD為鄰邊 作平行四邊形 ABFD,連接AF.1請直接寫出線段 AF, AE的數(shù)量關(guān)系；2將VCED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) E在線段BC上時(shí)，如圖 ，連接AE,請判

5、斷 線段AF, AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若AB 2J5, CE 2,在圖 的基礎(chǔ)上將VCED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過 程中，當(dāng)平行四邊形 ABFD為菱形時(shí)，直接寫出線段 AE的長度.【答案】（1）證明見解析；（2）AF J2AE4J2或2J2.【解析】【分析】1如圖 中，結(jié)論：AF J2AE，只要證明VAEF是等腰直角三角形即可；2如圖中，結(jié)論：AF J2AE，連接EF，DF交BC于K,先證明VEKF且VEDA再證明VAEF是等腰直角三角形即可； 分兩種情形a、如圖 中，當(dāng)AD AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形.b、如圖 中當(dāng)AD AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形.分別求解即可 【詳解】1

6、如圖中，結(jié)論：AF J2ae .2如圖中，結(jié)論：AF理由：連接EF, DF交BC于K.Q四邊形ABFD是平行四邊形，圖理由：Q四邊形ABFD是平行四邊形,AB DF ,QAB AC ,AC DF ,Q DE EC,AE EF,Q DEC AEF 900,VAEF是等腰直角三角形，AF >/2AE 故答案為af J2ae -V2AE -AB/ /DF ,DKE ABC 450,EKF180oDKE135°,EKED,Q ADE1800EDC180045°135°,EKF ADE ,Q DKC C, DK DC ,Q DF AB AC , KF AD ,在VEK

7、F和VEDA中,EK ED EKF ADE , KF ADVEKF VEDA ,EF EA , KEF AED ,FEA BED 90°，VAEF是等腰直角三角形，AF 72ae 如圖中，當(dāng)AD AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H,易知EH DH CH B AH J(2后(拘2 372，AE AH EH 4/2，如圖中當(dāng)AD AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形，易知AE AH EH 372 72 2拒，圖綜上所述，滿足條件的 AE的長為4 J2或2我.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行 四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

8、是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找 全等的條件是解題的難點(diǎn)，屬于中考?？碱}型.3.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn) O (0, 0),點(diǎn)A (5, 0),點(diǎn)B (0,3).以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形 AOBC得到矩形ADEF,點(diǎn)O, B, C的對應(yīng)點(diǎn)分別 為 D, E, F.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H.求證ADB0AOB；求點(diǎn)H的坐標(biāo).(3)記K為矩形AOBC對角線的交點(diǎn)，S為4KDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結(jié) 果即可).S3®圖【答案】(1) D ( 1, 3) ； ( 2)詳見解

9、析；H ( g , 3) ； (3)30 3 34 30 3 34忘 w.44【解析】【分析】(1)如圖，在RtACD中求出CD即可解決問題；(2)根據(jù)HL證明即可；,設(shè) AH=BH=m,貝U HC=BC-BH=5-m 在 RtAHC中，根據(jù) AH2=HC2+AC2,構(gòu)建方程求出 m即可解決問題；(3)如圖 中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，4DEK的面積最小，當(dāng)點(diǎn) D在BA的延長線上 時(shí)，E'峰面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；【詳解】(1)如圖中，圉- A (5, 0) , B (0, 3),.OA=5, OB=3,四邊形AOBC是矩形，.AC=OB=3, OA=BC=5,

10、 /OBC=/C=90；矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到， .AD=AO=5,在 RtA ADC 中，CD= JAD2 AC2 =4, BD=BC-CD=1,.D (1 , 3).(2)如圖中，圉由四邊形ADEF是矩形，得到 /ADE=90°,點(diǎn)D在線段BE上，/ ADB=90 ;由(1)可知，AD=AO,又 AB=AB, Z AOB=90°, RtA ADBZ RtA AOB ( HL). 如圖 中，由ADB0AOB,得到/BAD=/BAO, 又在矩形AOBC中，OA/ BC,/ CBA=/OAB,/ BAD=Z CBA,.BH=AH,設(shè) AH=BH=m,貝U HC=

11、BC-BH=5-m,在 RtA AHC 中，AH2=HC2+AC2, ，m2=32+ (5-m) 2,17m =,517 BH=, 511=?DE?DK=- X 3X22(3)如圖 中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，4DEK的面積最小，最小值當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)， ADEK的面積最大，最大面積 =-XDE KD，1 X 3X 22(5+且)=30 3 342430 3.34 - 30 3.34綜上所述，.44【點(diǎn)睛】 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等 知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決 問題.4.如圖，四邊形

12、 ABCD中，對角線 AC BD相交于點(diǎn)O, AO=CO, BO=DO,且 ZABC+Z ADC=180 :(1)求證：四邊形 ABCD是矩形.(2)若/ADF: /FDG3: 2, DF±AC,求 / BDF的度數(shù).Bf C【答案】(1)見解析；(2) 180.【解析】【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出 /ABC=90,根據(jù)矩形的判定得出即可；(2)求出/FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/DCO,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC,求出/CDO,即可求出答案.【詳解】(1)證明： AO=CO, BO=DO四邊形ABCD是平行四邊形，Z ABC=Z

13、 ADC, / ABC+-Z ADC=180 ,°/ ABC=Z ADC=90 ,°四邊形ABCD是矩形；(2)解：/ADC=90, /ADF: / FDC=3: 2,/ FDC=36 ；.DFXAC,/ DCO=90 - 36 =54 ；四邊形ABCD是矩形，.OC=OD,/ ODC=54 °/ BDF=Z ODC- / FDC=18 :【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推 理是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.5.已知矩形紙片 OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點(diǎn)C在

14、第一象限，且OB 8, OD 6.現(xiàn)將紙片折疊，折痕為 EF (點(diǎn)E, F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn))，點(diǎn) P 為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。(I)若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上， 如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)； 如圖，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)，EF與DP交于點(diǎn)G,若OP 7 ,求點(diǎn)F的 坐標(biāo)：(II )若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E, F分別在邊OD,邊DC上，當(dāng)OP取最小值 時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)。第圖【答案】(I)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(6,6);點(diǎn)F的坐標(biāo)為 85,6 ; (II) P -,145 5【解析】【分析】(I) 根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DOF POF 45

15、o,再由矩形的性質(zhì)，即可求出 F的坐標(biāo)；由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得 DGF PGE,得到DF PE ,再加上平行，可以得到四邊形 DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出 YDEPF是菱形，設(shè)菱形的邊長為x,在Rt ODE中，由勾股定理建立方程即可求解 ；(II)當(dāng)O,PF點(diǎn)共線時(shí)OP的長度最短.【詳解】解：(I)二折痕為EF點(diǎn)P為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)DOF POFDOF POF 450四邊形OBCD是矩形，ODF 90DFO DOF 45DF DO 6點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6,6）二折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn).DG PG, EF PD四邊形OBCD是矩形,DC /OB,FDG EPG;Q DGF

16、PGEDGF PGEDF PEQ DF /PE四邊形DEPF是平行四邊形Q EF PD , YDEPF是菱形.設(shè)菱形的邊長為x,則DE EP xQOP 7,DE2OE 7 x,在Rt ODE中，由勾股定理得 OD2 QB262 (7 x)2 x285解得x 851485DF 14，點(diǎn)F的坐標(biāo)為85,614此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知 識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于中考壓軸題. .如圖（1）在正方形 ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AE,彳BF±AE,垂足為 G 交AD于F（1）求證：AF=DE；（2）連接DG,若DG平

17、分/EGF，如圖（2）,求證：點(diǎn) E是CD中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，連接 CG,如圖（3）,求證：CG= CD.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） CG= CD,見解析.【解析】【分析】（1）證明ABAF AADE （ASA）即可解決問題.（2）過點(diǎn)D作DMGF, DNLGE,垂足分別為點(diǎn) M, N.想辦法證明 AF= DF,即可解決 問題.（3）延長AE, BC交于點(diǎn)P,由（2）知DE= CD,利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，只要證明BC= CP即可.【詳解】(1)證明：如圖1中,B卻在正方形 ABCD中，AB = AD, Z BAD= Z D= 900,/ 2+Z 3=90 &#

18、176;又. BU AE,/ AGB= 90 °/ 1 + / 2=90 ;/ 1= / 3在 BAF與4ADE中，/ 1 = / 3 BA=AD / BAF=Z D,.BAFADE (ASA).AF= DE.(2)證明：過點(diǎn) D作DMGF, DNGE,垂足分別為點(diǎn) M, N.B圖2由(1)得/1=/3, /BGA= /AND=90°, AB= AD.BAGAADN (AAS).AG= DN,又 DG平分/EGF, DMXGF, DNXGE,.DM = DN,.DM=AG,又/AFG=/DFM, / AGF= / DMF.AFGADFM (AAS),111 AF = DF=

19、 DE= AD= CD, 22即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).(3)延長AE, BC交于點(diǎn)P,由(2)知DE= CD,圖3/ ADE= / ECA 90 °, / DEA= / CEP2 .ADEAPCE (ASA)3 .AE= PE,又 CE/ AB,BC= PC,在 RtBGP 中，BC= PC, 1-4 .CGBP= BC,2.CG= CD.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性 質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問 題，屬于中考壓軸題.7. (1)如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點(diǎn)O

20、,過點(diǎn)O作直線EFL BD,交 AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分/ABD. 求證：四邊形 BFDE是菱形；直接寫出/ EBF的度數(shù)；(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖 ，點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連 接GD,H為GD的中點(diǎn)，連接FH并延長，交ED于點(diǎn)J,連接IJIH、IF、IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說明理由；(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖 ，當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時(shí)，點(diǎn)E是對角 線AC上一點(diǎn)，連接 DE、EE DF,使4DEF是等腰直角三角形， DF交AC于點(diǎn)G.請直接寫 出線段AG、GE、EC三者之間

21、滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)詳見解析；60。. (2) IH= J3FH； (3) EG2=AG2+C左【解析】【分析】(1) 由ADO三BOF,推出EO= OF, OB= OD,推出四邊形 EBFD是平行四邊形， 再證明EB= ED即可. 先證明/ABD= 2ZADB,推出/ ADB= 30 °,延長即可解決問題.(2) IH= J3FH.只要證明IJF是等邊三角形即可.(3)結(jié)論：EG2=AG2+cm.如圖3中，將4ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCM,先證 明DE84DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩

22、形, .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOOD=OBEOD= BOF.,.DOEABOF, E0= OF, -.OB=OD, 四邊形EBFD是平行四邊形， EF± BD, OB=OD,.EB=ED, 四邊形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED, / EBA / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °, ，/ADB=30； /ABD=60 ：/ ABE= / EBO= / OBF= 30 °,/ EBF= 60 :(2)結(jié)論：IH=J3fH

23、.理由：如圖2中，延長BE至IJ M,使得EM=EJ,連接MJ. 四邊形EBFD是菱形，/ B= 60 ;,-.EB=BF= ED, DE/ BF, / JDk / FGH, 在DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GHJDH= FGH .DH乒 AGHF, .DJ=FG, JkHF,.EJ= BG=EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等邊三角形，,-.MJ=EM=NI, /M = /B=60°在ABIF和AMJI中，BI=MJB= M ,BF=IM .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH&

24、#177; JF / BF+Z BIF= 120 : / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ；. JIF是等邊三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IFH= 60°,/ FIH= 30 °,.IH=石 FH(3)結(jié)論：eG2=ag2+cE?.90°得至ij ADCM,理由：如圖3中，將4ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) / FA。/ DE已 90 °, .AFED四點(diǎn)共圓，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ； / ADF+Z EDO 45 °, / ADF= / CDM, / CDM+

25、Z CDE= 45 = / EDG,在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDMDG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD= 45 ； AG= CM, / ECM= 90 °EC2+CM2= EM2, EG= EM, AG= CM, .GE2=AG2+C邑【點(diǎn)睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定 和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn) 化的思想思'考問題.8.（問題情境）在 ABC中，AB= AC,點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作P

26、D± AB, PE± AC,垂足分別為D、E,過點(diǎn)C作CF, AB,垂足為F.當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如 圖 1）,求證：PD+PE= CF.證明思路是：如圖 2,連接AP,由4ABP與4ACP面積之和等于 4ABC的面積可以證得： PD+PE= CF.（不要證明）（變式探究）（1）當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時(shí)，其余條件不變（如圖 3）,試探索PD、PE CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；請運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：（結(jié)論運(yùn)用）（2）如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn) P作PG± BE、PHBC

27、,垂足分別為 G、H,若AD = 16, CF= 6,求 PG+PH的值.（遷移拓展）（3）在直角坐標(biāo)系中，直線 li： y=-"x+8與直線12： y= - 2x+8相交于點(diǎn)3A,直線11、12與x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線12上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) P到直線11的 距離為2.求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】【變式探究】證明見解析【結(jié)論運(yùn)用】8【遷移拓展】(-1,6), ( 1, 10)【解析】【變式探究】連接AP,同理利用4ABP與4ACP面積之差等于4ABC的面積可以證得;【結(jié)論運(yùn)用】過點(diǎn)E作EQLBC,垂足為Q,根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)解答即可;【遷移拓展】分兩種情況，利用結(jié)論，求得點(diǎn)

28、P到x軸的距離，再利用待定系數(shù)法可求出P的坐標(biāo).【詳解】變式探究：連接AP,如圖3：. PDXAB, PE! AC, CF,AB,且 S/abc= Sacp- Sabp,1 AB?CF= 1AC?PE- 1 AB?PD.222.AB= AC,.CF= PD PE;!申一 si” iiaiufj結(jié)論運(yùn)用：過點(diǎn)E作EQ，BC,垂足為Q,如圖， 四邊形ABCD是長方形，AD=BC, Z C= Z ADC= 90 . AD= 16, C曰 6,BF= BC- CF AD - CF 5,由折疊可得：DF=BF, Z BEF= Z DEF."DF=5.Z C= 90 , . DC= Vdf

29、9;CF7廂? = 8 .EQ± BC, ZC= Z ADC= 90 ,Z EQG= 90 = Z C= Z ADC.四邊形EQCD是長方形.EQ= DC=4.1. AD/ BC,Z DE已 ZEFB Z BE3 Z DEF,Z BE曰 Z EFB. BE=BF,由問題情境中的結(jié)論可得：PG+P+ EQ.PG+Pk8.PG+PH的值為8；遷移拓展：如圖，A由題意得：A （0, 8） , B （6, 0） , C（ 4, 0）AB = 62 82 = 10, BC= 10.AB= BC,（1）由結(jié)論得：PiDi+PiEi=OA= 8. PiDi = 1=2,PiEi = 6即點(diǎn)Pi的縱

30、坐標(biāo)為6又點(diǎn)Pi在直線12上，y = 2x+8= 6,x= - i,即點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為（-i , 6）；（2）由結(jié)論得：P2E2 - P2D2= OA= 8.P2D2 = 2, .P2E2=10即點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)為i0又點(diǎn)Pi在直線12上，.-.y = 2x+8= 10,x= 1 ,即點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為（1, 10）【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，利用面積 法列出等式是解決問題的關(guān)鍵.9.（感知）如圖，四邊形 ABCD CEFG均為正方形.可知 BE=DG.（拓展）如圖 ，四邊形 ABCD CEFG勻?yàn)榱庑?，?/A=/F.求證：BE=DG（應(yīng)用）如圖 ，

31、四邊形ABCQ CEFG均為菱形，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在AD延長線 上.若AE=2ED, /A=/F, 4EBC的面積為8,菱形CEFG的面積是.（只填結(jié) 果）試題分析：探究:圖圖由四邊形 ABCD,四邊形CEFG土勻?yàn)榱庑?，禾IJ用 SAS易證得 BCE DCG,貝U可得BE=DG；應(yīng)用：由 AD/ BC, BE=DG 可得 Saabe+Sacde=SabecfSacdG=8,又由 AE=3ED 可求得 CDE 的面積，繼而求得答案.試題解析：探究：二.四邊形ABCD.四邊形CEFG勻?yàn)榱庑危? ECG之 F.BC=CD CE=CG /BCD=/ A, / A=Z F,/ BCD=Z ECG

32、 / BCD-/ ECD叱 ECGjECD 即 / BCE玄 DCG.在ABCE和ADCG中,BC=CDBCE= DCGCE=CG.-.BCEADCG (SAS ,BE=DG.應(yīng)用：二.四邊形ABCD為菱形,.AD/ BC, BE=DG,Saabe+SacdefSabecfSacdg=8 , .AE=3EDSa cde= - 82 ,4SaecgfSacde+S/cdgf10二. S 菱形 cef(=2Sa ecG=20.10.如圖，在矩形ABCD中, 速度為每秒2個(gè)單位長度，到達(dá)點(diǎn)點(diǎn)P從AB邊的中點(diǎn)E出發(fā)，沿著E B C速運(yùn)動(dòng),C后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q是AD上的點(diǎn)，AQ 10,設(shè)paq的面積為y

33、,點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，y與t的函數(shù)關(guān)系如圖 所示.圖中AB=, BC=，圖中m=(2)當(dāng)t=1秒時(shí)，試判斷以PQ為直徑的圓是否與 BC邊相切？請說明理由(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，將矩形沿 PQ所在直線折疊，則t為何值時(shí)，折疊后頂點(diǎn) A的對應(yīng)點(diǎn)A落在矩形的一邊上【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，證明見解析;【解析】(1)由題意得出 AB=2B匕 t=2 時(shí)，BE=2X 2=4 求出 AB=2BE=8, AE=BE=4, t=11 時(shí),12t=22,得出BC=18,當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn) P在E處，m=4AEQ的面積=一 AQX AE=2卸可；2(2)當(dāng)t=1時(shí)，PE=2得出AP=AE+PE=6

34、由勾股定理求出 PQ=2J34,設(shè)以PQ為直徑的 圓的圓心為 O',作O'NXBC于N,延長NO交AD于M,則MN=AB=8, O'M / AB, MN=AB=8,由三角形中位線定理得出O'M=°AP=3,求出O'N=MN-O'M=5圓。'的半徑，2即可得出結(jié)論；(3)分三種情況： 當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上，A'落在BC邊上時(shí)，作QF±BC于F,則 QF=AB=8, BF=AQ=10,由折疊的性質(zhì)得：PA'=PA A'Q=AQ=10, Z PA'Q=Z A=90 °,由勾股定理求出 A

35、'F=JaQ2_QF2 =6,得出 A'B=BF-A'F=4,在 RtA'BP 中，BP=4-2t, PA'=AP=8-(4-2t) =4+2t,由勾股定理得出方程，解方程即可； 當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，A'落在BC邊上時(shí)，由折疊的性質(zhì)得： A'P=AP,證出ZAPQ=Z AQP, 得出AP=AQ=A'P=10,在 RtA ABP中，由勾股定理求出 BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=6 ,解 方程即可； 當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，A落在CD邊上時(shí)，由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP, A'Q=AQ=10,在RtA DQA

36、9;中，DQ=AD-AQ=8,由勾股定理求出 DA'=6,得出 A'C=CD-DA'=2,在 RtABP 和 RtA A'PC中，BP=2t-4, CP=BC-BP=22-2t由勾股定理得出方程，解方程即可.【詳解】(1) .點(diǎn)P從AB邊的中點(diǎn)E出發(fā)，速度為每秒 2個(gè)單位長度，.AB=2BE,由圖象得：t=2時(shí)，BE=2X 2=4,.AB=2BE=8, AE=BE=4t=11 時(shí)，2t=22 , .BC=22-4=18,11當(dāng) t=0 時(shí)，點(diǎn) P 在 E處，m=4AEQ 的面積=-AQX AE= X 10 X 4=2022故答案為8, 18, 20;(2)當(dāng)t=

37、1秒時(shí)，以PQ為直徑的圓不與 BC邊相切，理由如下：當(dāng) t=1 時(shí)，PE=2,.AP=AE+PE=4+2=6四邊形ABCD是矩形,/ A=90 ；1所示:PQ= TAO2AP ，102 62 2宿，貝U MN=AB=8, O'M / AB, MN=AB=8, .O'為PQ的中點(diǎn)， .O''M是APQ的中位線， .O'M= 1AP=3,2 .O'N=MN-O'M=5 v , 以PQ為直徑的圓不與BC邊相切；(3)分三種情況： 當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上，A'落在BC邊上時(shí)，作 QF±BC于F,如圖2所 示：貝U QF=AB=8, B

38、F=AQ=10, 四邊形ABCD是矩形，/ A=Z B=Z BCD=Z D=90 ； CD=AB=8 AD=BC=18, 由折疊的性質(zhì)得：PA'=PA A'Q=AQ=10, Z PA'Q=Z A=90° , ,.A'F= JaQ2 QF2 =6, .A'B=BF-A'F=4,在 RtA A'BP 中,BP=4-2t, PA'=AP=8- (4-2t) =4+2t,由勾股定理得：42+ (4-2t) 2= (4+2t) 2, 1解得：t=；2 當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，A'落在BC邊上時(shí)，連接 AA,如圖3所示:由折疊的性

39、質(zhì)得：A'P=AP, / APQ'=/ A'PQ,1. AD/ BC,/ AQP=Z A'PQ,/ APQ=Z AQP, .AP=AQ=A'P=10, 在RtABP中，由勾股定理得：BP=J102 82 =6， 又 BP=2t-4,-2t-4=6,解得：t=5; 當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，A'落在CD邊上時(shí)，連接 AP、A'P,如圖4所示:S14由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP, A'Q=AQ=10,在 RtA DQA'中,DQ=AD-AQ=8,由勾股定理得：DA'= J102 82 =6,.A'C=CD-DA

40、'=2,在 RtABP 和 RtA A'PC 中，BP=2t-4, CP=BC-BP=18-( 2t-4) =22-2t,由勾股定理得：AP2=82+ (2t-4) 2, A'P2=22+ (22-2t) 2, -82+ (2t-4) 2=22+ (22-2t) 2, m 17解得：t二 一 ；3綜上所述，t為1或5或17時(shí)，折疊后頂點(diǎn) A的對應(yīng)點(diǎn)A'落在矩形的一邊上.23【點(diǎn)睛】四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象、直線與圓的位置關(guān)系、三角形中位線定理、等腰三角形的判定、以及分類討論等知識(shí).11.在 VABC 中，點(diǎn)A作BD的平

41、行線,ABC 90°, BD為AC邊上的中線，過點(diǎn) C作CE BD于點(diǎn)E,過交 CE的延長線于點(diǎn)F,在AF的延長線上截取 FG BD ,連接BG,DF.求證：BDDFBDFG為菱形;求證：四邊形【分析】1利用平行線的T生質(zhì)得到CFA 90°,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證,利用平行四邊形的判定定理判定四邊形BDFG為平行四邊形，再利用 1得結(jié)論即可得證,設(shè)GF x ,則AF5 X,利用菱形的性質(zhì)和勾股定理得到CF、AF和AC之間的關(guān)解出x即可.1 證明：QAG /BD ,CF BD ,CF AG ,又Q D為AC的中點(diǎn),1 - DF AC , 2“1 -

42、又Q BD AC , 2BD DF ,2 證明：QBD/ /GF,BD FG,四邊形BDFG為平行四邊形,又Q BD DF ,四邊形BDFG為菱形,3解：設(shè)GFx ,則 AF 5 x , AC 2x ,在 RtVAFC 中,(2x)2(77)2 (5 x)2,解得：x1 2,16,、Xz一(舍去),3GF 2,菱形BDFG的周長為8.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識(shí)，正確掌握這些 定義性質(zhì)及判定并結(jié)合圖形作答是解決本題的關(guān)鍵.D重合)，GE± DC于點(diǎn)12.如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)G在對角線BD上(不與點(diǎn)B,E, GF± BC于

43、點(diǎn)F,連結(jié)AG.(1)寫出線段AG, GE, GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;(2)若正方形ABCD的邊長為1, /AGF=105,求線段AG2=Gg+GF2 (2)"十一6【解析】EGFC矩形，推出試題分析：(1)結(jié)論：AG2=gE2+GF2.只要證明GA=GC四邊形GE=CF在RtGFC中，利用勾股定理即可證明；(2)作BN± AG于N,在BN上截取一點(diǎn) M,使得AM=BM ,設(shè)AN=x.易證AM=BM=2x, MN=Jx,在 RABN 中，根據(jù) AB2=AN2+BN2,可得 1=x2+ (2x+gx) 2,解得x=,推出 BN=,再根據(jù)BG=BNF cos30即可

44、解決問題.試題解析：(1)結(jié)論：ag2=gE2+gf2.理由：連接CG. 四邊形ABCD是正方形， A、C關(guān)于對角線BD對稱， 點(diǎn)G在BD上,.GA=GC,. GE± DC于點(diǎn) E, GF± BC于點(diǎn) F, / GEC4 ECF= CFG=90 ,四邊形EGFC是矩形，.CF=GE在 RtA GFC中,CG?=gF2+CF2, .1.ag2=gF2+gE?.(2)作BN± AG于N,在BN上截取一點(diǎn) M,使得AM=BM ,設(shè)AN=x. / AGF=105 ,° / FBG=Z FGB=Z ABG=45 ,°/ AGB=60 ,° ZG

45、BN=30 ； A ABM=Z MAB=15 ;/ AMN=30 °,.AM=BM=2x, MN=gx,在 RtABN 中， AB2=AN2+BN2,1=x2+ (2x+/x) 2,考點(diǎn)：1、正方形的性質(zhì)，2、矩形的判定和性質(zhì)，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性 質(zhì)13.在矩形紙片ABCD中，AB=6, BC=8,現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn) D與點(diǎn)B重合，折痕為EF, 連接DF.(1)說明4BEF是等腰三角形；(2)求折痕EF的長.15【答案】(1)見解析；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)折疊得出 /DEF=/BEF根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 AD/ BC,求出/ DEF=/BFE,求出ZBE

46、F=Z BFE即可；(2)過E作EMLBC于M,則四邊形 ABME是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EM=AB=6,AE=BM,根據(jù)折疊得出 DE=BE,根據(jù)勾股定理求出 DE、在RtEMF中，由勾股定理求出即 可.【詳解】(1)二.現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn) D與點(diǎn)B重合，折痕為 EF,，/DEF=/BEF.四邊形 ABCD是矩形，AD/ BC, . . / DEF=/BFE . . / BEF=/BFE, . BE=BF,即 BEF 是等腰三角形；(2)過E作EMLBC于M,則四邊形 ABME是矩形，所以 EM=AB=6, AE=BM .現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn) D與點(diǎn)B重合，折痕為 EF, DE=BE, DO

47、=BO, BD± EF.25BE=DE=BF, AE=8 DE=8 4.四邊形 ABCD是矩形，BC=8, .-.AD=BC=8, / BAD=90 ：在 RtMBE中,AE2+AB2=B，,即(8-BE) 2+62=BE2,解得:1251 7125 7 19彳q=BM, -FM=y-?=2.在RtEMF中，由勾股定理得：EF=1S+ 卬 ?與. 15故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.14.如圖1,若分別以 ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形 ACDE和BCFG為正方 形，則稱這兩個(gè)正方形為外展雙葉正方形.(

48、1)發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)/C=90°時(shí)，求證：4ABC與4DCF的面積相等.(2)引申：如果ZC 90。時(shí)，(1)中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；(3)運(yùn)用：如圖3,分別以 ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形 ACDE BCFG ABMN為 正方形，則稱這三個(gè)正方形為外展三葉正方形.已知 ABC中，AC=3, BC=4.當(dāng)ZC=時(shí)，圖中陰影部分的面積和有最大值是 【答案】(1)證明見解析；(2)成立，證明見解析；(3) 18.【解析】 試題分析：（1）因?yàn)?AC=DC, /ACB=/ DCF=90, BC=FC 所以AB84DFC,從而 ABC與4DFC的

49、面積相等；(2)延長BC到點(diǎn)P,過點(diǎn)A作APLBP于點(diǎn)P;過點(diǎn)D作DQLFC于點(diǎn)Q.得到四邊形ACDE BCFG均為正方形，AC=CD BC=CF / ACP=/ DCQ.所以APCDQC.于是 AP=DQ.又因?yàn)?Saabc= BC?AP) Sadfc= FC?DQ,所以 Saabc=Sadfc;22(3)根據(jù)(2)得圖中陰影部分的面積和是 4ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形 ABC的面積最大，當(dāng) 4ABC是直角三角形，即 /C是90度時(shí)，陰影部分的面積和最大.所以S陰影部分面積和=3Sz abc=3 * X 3 X 4=182(1)證明：在 4ABC與4DFC中,A小 DCF, BC=FC.ABCADFC. ABC與 DFC的面積相等；(2)解：成立.理由如下：如圖，延長 BC到點(diǎn)P,過點(diǎn)A作APLBP于點(diǎn)P;過點(diǎn)D作DQLFC于點(diǎn)Q./ APC=Z DQC=90 :四邊形ACD