(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題12導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算(含解析)

1、專題12導(dǎo)數(shù)概念及其運(yùn)算、【知識精講】1.函數(shù)y = f(x)在x= X0處的導(dǎo)數(shù)14(1)定義：稱函數(shù)y=f(x)在x=X0處的瞬時變化率lxm0f (x0+ Ax) f (xo)A x嘰總為函數(shù)y=f(x)在x=x處的導(dǎo)數(shù)，記作(功或y一，即(xo)=則當(dāng)=11m0f (xo+ Ax) f (xo)A x(2)幾何意義：函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo)的幾何意義是在曲線y= f (x)上點(diǎn)(xo, f (xo)處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為 y yo= f，( xo)( x xo).2 .函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都

2、有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a, b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函數(shù)f (x)f (x+ A x) f (x),、，一 ,=lim 稱為函數(shù) y=f (x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù) .x o x3 .基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f (x) = c( c為常數(shù))f ( x) = 0, 、 0. 一 一*、 f ( x) = x ( a CQ)f 7 ( x) = a x tf(x)=sin xf (x) = cos xf(x)= cos xf ( x) = sin_ xf (x) = exf(x) =exf (x) =ax(ao)(x) = axinaf (x) = In x,1f (x)= xf(x)

3、= log ax(ao, aw1),1f(x)=-xln a4 .導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f (x), g ( x)存在，則有: (1) f(x)g(x) = f (x) 土 g (x)；f (x)g (x)(2) f (x) g(x)，= f (x) g(x) +f (x)g ( x)；(g(x)Rf ( x) g (x) f (x) g (x)g (x) 25 .復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y = f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u), u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 凈=y山.微點(diǎn)提醒1 .f (X0)代表函數(shù)f(x)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(X0)是函數(shù)值f(X0)的導(dǎo)數(shù)，且(f(X0) = 0.2

4、 ，一(X)3 . f(X)- f (X) 2.4 .曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點(diǎn).5 .函數(shù)y = f(X)的導(dǎo)數(shù)f (x)反映了函數(shù) f(X)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小 |f (x)|反映了變化的快慢，|f (x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.二、【典例精練】考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算角度1根據(jù)求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1.分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y = exln x；(2) y = x X2 + 1+J ； X X f(x)=ln J1 + 2x.【解析】(1) y =(ex) ln x+ ex(ln x) = ex

5、ln x + e=eXln x + -.xx(2)因?yàn)?y= X3+1 + L,所以 y =3x24 xx 1(3)因?yàn)?y= In 1 + 2x = ln (1 + 2x),1 + 2x-所以y 角度2抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算例2. (2019 福州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f (x),且滿足f(x) = 2xf (1) + ln 1,則f(1)=()xA. eB.2C. 2D.e【答案】B【解析】 由已知得 f (x) =2f (1) 1,令 x=1 得 f (1) = 2f (1) 1,解得 f (1) = 1,則 f (1)= x2f (1) = 2.【解法小結(jié)】 1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)

6、確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).2 .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元3 .抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度1求切線方程例3. (2018 全國I卷)設(shè)函數(shù)f (x) =x3+( a1) x2+ax.若f (x)為奇函數(shù)，則曲線 y=f(x)在點(diǎn)(0 , 0)處的切線方程為()A. y= - 2xB. y = xC.y=2xD.y = x【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f (x) = x3+(a 1)x2+ax為奇函數(shù)，所以a 1 = 0,則a=1,所以f(x) = x3 + x,所以f (x) =3x2+

7、1,所以f (0) = 1,所以曲線y = f(x)在點(diǎn)(0, 0)處的切線方程為y = x.角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)例4.)設(shè)曲線y = ex在點(diǎn)(0, 1)處的切線與曲線y = 1(x0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則 P的坐標(biāo)為.x【答案】(1,1)【解析】.函數(shù) y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y = ex,曲線y = ex在點(diǎn)(0 , 1)處的切線的斜率 k1 = e=1.設(shè)P(xc, yc)( x。)，.函數(shù)y=-的導(dǎo)函數(shù)為y =- L,，曲線y = 1(x0)在點(diǎn)P處的切線的斜率k2= 工，xxxxc由題意知 k1k2= 1,即 1。 -2=-1,解得 x0 = 1,又 xq0,x0= 1.xq1又.點(diǎn)P在曲

8、線y=x(x。)上，y=1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1 , 1).角度3求參數(shù)的值或取值范圍例5. (2018 全國n卷)曲線y=2ln( x+1)在點(diǎn)(0 , 0)處的切線方程為 .【答案】y= 2x.【解析】由題意得 V, = 777.在點(diǎn)(0，0)處切線斜率k=y |x=c = 2.，曲線y=2ln( x+1)在點(diǎn)(0 , 0)處的 x I切線方程為 y - 0 = 2(x- 0),即y=2x.例6.(2016山東高考)若函數(shù)y f (x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有 T性質(zhì)的是()(A) y sin x(B) y In x

9、(C) y ex(D) y x3【答案】A【解析】由函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)處的切線互相垂直可知，存在兩點(diǎn)處的切線斜率的積，即導(dǎo)函數(shù)值的乘積為 負(fù)一.當(dāng)y sin x時，y cos x ,有cos0 cos 1,所以在函數(shù)y sin x圖象存在兩點(diǎn)x 0, x使條件成立，故A正確；函數(shù)y 1nx,y ex,y x3的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù)，不符合題意，故選 A【解法小結(jié)】1.求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過某點(diǎn)的切線，曲線y = f(x)在點(diǎn)P(x。，f(x。)處的切線方程是 y f (xo) =f ( xo)( x xo)；求過某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依 據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解.2.

10、處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；切點(diǎn)在切線上；切點(diǎn)在曲線上【思維升華】1 .對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運(yùn)算失誤.對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，關(guān)鍵在于分清復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選取中間變量，然后“由外及內(nèi)”逐層求導(dǎo)2 .求曲線的切線方程要注意分清已知點(diǎn)是否是切點(diǎn).若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則可通過點(diǎn)斜式直接寫方程，若已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則需設(shè)出切點(diǎn) .3 .處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題時，一般利用曲線、切線

11、、切點(diǎn)的三個關(guān)系列方程求解【易錯注意點(diǎn)】1 .求導(dǎo)常見易錯點(diǎn)：公式(xn) =nxnT與(ax) =axln a相互混淆；公式中“ + ” “”號記混，如出 現(xiàn)如下錯誤：f J： =f( x，g (x，： ；x g一區(qū)二,(cos x) = sin x;復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)分不清g (x)g (x)內(nèi)、外層函數(shù).2 .求切線方程時，把“過點(diǎn)切線”問題誤認(rèn)為“在點(diǎn)切線”問題 三、【名校新題】1.(2018 日照質(zhì)檢)已知 f(x)=xln x,若 f (x。)=2,則 x。等于()21n 2A.eB.e0. 2-D.ln 2【答案】B【解析】f(x)的定義域?yàn)?0,2. (2019 鄭州月考)已知曲線+

12、 ), f ( x) = ln x+1,由 f2Xy=-3ln x的一條切線的斜率為4(X0)= 2,即 In xo+ 1=2,解得 xo= e.1 -2,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A.3B.2C.11 D.2【解析】設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X0( X00),2:曲線y = 3ln x的一條切線的斜率為 412,x 3 X0 31-y =2 ，即萬一XT2，解得X0=3或X0=2(舍去，不符合題意),即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.3. (2019開封市高三定位考試)曲線y=?+ 1在x=1處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是(A. 2?1?B.?2C.2?2D.【解析】由y=?+ 1,彳#?/= ?,.曲線y=?+

13、1在X=1處的切線斜率k=e,所以曲線y=?+ 1在x=1處的切線方程是y-(e+1)=e(x-1), 令x=0,則y=1,令y=0,得x=- ?,所以所求圍成 的三角形面積為1X1 X?= 2?.故選A4.(2019合肥一模)函數(shù)f(x)=x g(x)的圖象在點(diǎn)x= 2處的切線方程是y=X1,則g(2) +g (2)=A.7B.4C.0D. 4- f(x) =x-g(x) , f(x) =1 g (x),又由題意知 f(2) = 3,f (2) =- 1,g(2) +g (2)=2 f (2) + 1 f (2) = 7.5.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線y=aeX+x在點(diǎn)(1 , ae+1)

14、處的切線與直線 2exy1 = 0平行，則實(shí)數(shù)a=(e- 1A.e2e-1B.ee- 1C.-2e-2e- 1D. 2e. y =aeX+1,在點(diǎn)(1 , ae+1)處的切線的斜率為 y |x=1=ae+1,又切線與直線 2exy1=0 平行，ae+1 = 2e,解得 a=2e- 1e6. (2019 福建五校第二次聯(lián)考)已知函數(shù) f(?) = ?2- ?+ 1),?0,則實(shí)?2 + 3?, ? 0數(shù)m的取值范圍是()A.(- 8,1b.2 2,1?C.0,3D.飛,+8)【答案】B【解析】令g(?) = ?2+ 3?,? 0,貝U?”?)= 2?+ 3, .?/(0) = 3,所以函數(shù)g (

15、?)在原點(diǎn)處的切線方程為y=3x,故函數(shù)f (?)的圖像在原點(diǎn)處的切線方程為y=3x,作出f (?)的圖像以及切線y=3x,再讓y=(?+ 2)?繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則可得0 m+ 2 3,解得-2 w mW 1,故選B7. (2019 廣州調(diào)研)已知直線y=kx 2與曲線y = xln x相切，則實(shí)數(shù)k的值為()A.ln 2B.1C.1ln 2D.1+ln 2【答案】D【解析】由 y=xln x 得 v = ln x+1,設(shè)切點(diǎn)為(x,y),則 k= lnxo+1, =切點(diǎn)(x。，yo)(x。)既在曲線 y= xln x 上又在直線 y=kx2 上， . kxo2= xMn xq,. k = ln

16、x0+-,則 In x0+-y0= xoln xo,x。x。=In xo+ 1, - xo= 2,k= In 2 +1.18. (2018 深圳一模)設(shè)函數(shù)f(x)=x + +b,右曲線y=f(x)在點(diǎn)(a, f (a)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ab x=()A.1B.0C. 1D.-2【答案】D【解析】由題意可得，f(a) = a+)+b, fz ( x) = 1 -2,所以f (a) = 14，故切線方程是y- a- baxaa=1 (xa),將(0 , 0)代入得a-1-b= 1 ( a),故 b= -2,故 ab=- 2. aaaa9. (2019荊州市八校聯(lián)考).已知函數(shù)h(x) a

17、lnx (a 1)x2 1 (a 0)，在函數(shù)h(x)圖象上任取兩點(diǎn)A, B ,若直線 AB的斜率的絕對值都不小于5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A (,0)B.2 3.64C.2 3.64)D. a。42(a 1)x a【解析】h (x) 0, h x在0,單調(diào)遞減，xA(x1, y1), B(x2, y2Hh(x)-h(x2) A 5 設(shè)為 x20,則 h(x1) 5x1 w h(x2) 5x2x1 x2設(shè)f(x) h(x) 5x,則f(x)在(0,)上單調(diào)遞減22(a 1)x 5x a,則f (x) 0對x (0,)恒成立x22則 2(a 1)x 5x a 0解之得a&S6或a2又a 0,所以

18、a&26444x 210. (2019濟(jì)南市二模)已知函數(shù)f(x) | ax b|,若對任意的實(shí)數(shù) a,b,總存在x0 1,2,使得x 2MxJ.-m成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是._ _1【答案】m 0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函 .3 o數(shù).已知函數(shù)f (x)=x3-2x2+1在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則 x的取值范圍是 .1【答案】-,+33 2一、,21.,【解析】因?yàn)閒 (x) = x 2x + 1,因?yàn)?f(x)= 3x-3x,f(x) =6x3,令 f(x)0 ,解得x2,故 x 的取值范圍是 2，十8 .15 (2019江西七校 A次聯(lián)考).(本小題滿分12分)已知函數(shù) f (x)