三維設(shè)計(jì)高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入文新人教A版

1、第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a

2、bba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.小題體驗(yàn)1判斷下列四個(gè)命題：若ab，則ab；若|a|b|，則ab；若|a|b|，則ab；若ab，則|a|b|.其中正確的個(gè)數(shù)是()A1B2C3 D4答案：A2(教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)：(1)()_.(2) _.答案：(1) (2)03已知a與b是兩個(gè)

3、不共線的向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.答案：1在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤2在向量共線的重要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)3要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系小題糾偏1若a與b是共線向量，b與c是共線向量，則a與c的關(guān)系是_(填序號(hào))共線；不共線；以上二者皆可能答案：2若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則| |_.解析：| |2.答案：2題組練透1(易錯(cuò)題)給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若

4、ab，bc，則ac.其中正確命題的序號(hào)是()ABC D解析：選A不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件不正確考慮b0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號(hào)是.2設(shè)a0為單位向量，下列命題中：若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平行

5、，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.假命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.謹(jǐn)記通法向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量：方向、長(zhǎng)度(2)非零共線向量：方向相同或相反(3)單位向量：長(zhǎng)度是一個(gè)單位長(zhǎng)度(4)零向量：方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0.(5)相等相量：方向相同且長(zhǎng)度相等如“題組練透”第1題易混淆有關(guān)概念題組練透1(2015全國(guó)卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則(

6、)ABCD解析：選A()，故選A.2已知ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且a，b，則_，_(用a，b表示)解析：如圖，ba，ab.答案：baab3設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi)解析：()，所以1，2，即12.答案：謹(jǐn)記通法用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的4個(gè)步驟(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；(3)運(yùn)用法則找關(guān)系；(4)化簡(jiǎn)結(jié)果典例引領(lǐng)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb同向解：(1)證明：ab，2a8b，

7、3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)kab與akb同向，存在實(shí)數(shù)(0)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，解得或又0，k1.由題悟法共線向量定理的3個(gè)應(yīng)用(1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)，使ab，則a與b共線(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)，使，則A，B，C三點(diǎn)共線(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值提醒證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn)即時(shí)應(yīng)用如圖，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a，b

8、表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使，連接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)證明：由(1)可知，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2015嘉興測(cè)試)在ABC中，已知M是BC中點(diǎn)，設(shè)a，b，則()A.abB.abCab Dab解析：選Aba，故選A.2在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，則四邊形ABCD的形狀是()A矩形 B平行四邊形C梯形 D以上都不對(duì)解析：選C由已知，得8a2b2(4ab)2，故.又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形3已知

9、O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若20，則向量等于()A.BC2 D2解析：選C因?yàn)?，所?2()()20，所以2.4.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則_.解析：因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以2，已知，故2.答案：25設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外， 216，| |，則| |_.解析：由|可知，則AM為RtABC斜邊BC上的中線，因此，| |2.答案：2二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1設(shè)a是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()Aa與a的方向相反Ba與2a的方向相同C|a|a| D|a|a解析：選B對(duì)于A，當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同，當(dāng)0，則a和b的

10、夾角為銳角，若ab0，則a和b的夾角為鈍角；(ab)ca(bc)；若ab0，則a0或b0.其中正確的說(shuō)法有_個(gè)答案：02(2016南寧第二次適應(yīng)性測(cè)試)已知向量a，b滿足|a|b|2且(a2b)(ab)2，則向量a與b的夾角為_(kāi)解析：設(shè)a與b的夾角為.依題意得a22b2ab2,484cos 2，cos .又0，因此，即向量a與b的夾角為.答案：題組練透1(易錯(cuò)題)設(shè)向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數(shù)量積等于()ABC. D.解析：選Da2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由題意得3(12m)4(2m)0，則m，所以ab121.2已知(2,1)，點(diǎn)C(

11、1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為()A B3C. D3解析：選C因?yàn)辄c(diǎn)C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影為|cos，.3(2014重慶高考)已知向量a與b的夾角為60，且a(2，6)，|b|，則ab_.解析：因?yàn)閍(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a與b的夾角為60，所以ab|a|b|cos 60210.答案：104(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，則的值為_(kāi)解析：取，為一組基底，則，|2|2421.答案：謹(jǐn)記通法向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法方法運(yùn)

12、用提示適用題型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cos 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，如“題組練透”第1題易錯(cuò)命題分析平面向量的夾角與模的問(wèn)題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題常見(jiàn)的命題角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直題點(diǎn)全練角度一：平面向量的模1(2015浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1e2.若平面向量b滿足be1be

13、21，則|b|_.解析：e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由be11，得|b|e1|cos 301，|b|.答案：2(2014北京高考)已知向量a，b滿足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，則|_.解析：|a|1，可令a(cos ，sin )，ab0.即由sin2cos21得25，得|.答案：角度二：平面向量的夾角3(2015重慶高考)已知非零向量a，b滿足|b|4|a|，且a(2ab)，則a與b的夾角為()A.B.C. D.解析：選Ca(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0.|b

14、|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，cosa，b，a，b.4(2016江西八校聯(lián)考)在ABC中，(，)，(1，)，則ABC的面積為_(kāi)解析：由題意得，(| |)2(|cos，)2(|sin，)2，即(|)2()2(|sin，)2，|sin，2，SABC|sin，1.答案：1角度三：平面向量的垂直5(2014重慶高考)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()AB0C3 D.解析：選C因?yàn)?a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3.6已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)解析：，由于

15、，所以0，即()()(1) 94(1)320，解得.答案：方法歸納平面向量數(shù)量積求解問(wèn)題的策略(1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，則|a|.典例引領(lǐng)(2015山東煙臺(tái)一模)已知函數(shù)f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)與n(2，si

16、n C)共線，求邊長(zhǎng)b和c的值解：(1)f(x)ab2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1.又0，所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因?yàn)閨，所以| |，即b，根據(jù)余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào))，即ac3(2)，故ABC的面積Sacsin B，即ABC的面積的最大值為.第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部若b0，則abi為實(shí)數(shù)；若b0，則abi為虛數(shù)；若a0且b0，則abi為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(4)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|.2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a