中考數(shù)學專題-實際應用問題

1、課程信息課程解讀一、學習目標：了解實際應用問題地常見類型,掌握其分析方法和解題思路,能把實際應用問題轉化成數(shù)學問題二、考點分析：實際應用問題是中考地必考內容、重點內容,題型包括選擇題、填空題和解做題,綜合程度較高.實際應用問題主要考查學生收集和處理信息地水平以及探究分析問題和解決問題地創(chuàng)新實踐水平.此類問題在中考中所占比例較大,分值一般在20分以上,題目中等偏難.知識梳理1、實際應用問題按知識內容可分為：代數(shù)應用題、幾何應用題、函數(shù)應用題、概率統(tǒng)計應用題等.按現(xiàn)實生產(chǎn)和生活中地應用進行分類,那么有本錢、價格、利潤、存款與貸款、運輸、航行、治理與決策、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生物繁殖等.2、實際應用問題地特點

2、是貼近日常生活,反映市場經(jīng)濟規(guī)律,涉及地背景材料十分廣泛,這就要求學生學會運用數(shù)學知識 去觀察、分析、概括題目所給地實際問題,將其轉化為數(shù)學模型來解答典型例題知識點一：方程型實際應用問題例1:快樂公司決定按如下圖給出地比例,從甲、乙、丙三個工廠共購置200件同種產(chǎn)品A,這三個工廠生產(chǎn)地產(chǎn)品A地優(yōu)品率如下表所示：(1)快樂公司從甲廠應購置多少件產(chǎn)品A;(2)求快樂公司所購置 200件產(chǎn)品A地優(yōu)品率；(3)你認為快樂公司能否通過調整從三個工廠所購置地產(chǎn)品A地比例,使所購置地 200件產(chǎn)品A地優(yōu)品率上升3%.假設能,請問應從甲廠購置多少件產(chǎn)品A;假設不能,請說明理由.'工廠優(yōu)品率甲80% j

3、乙85%丙90% JQO別忘了優(yōu)等品數(shù)_也是整數(shù)哦！思路分析：1)題意分析：左面表格給出地是各廠地優(yōu)品率,右面扇形圖給出地是從各廠購置產(chǎn)品A地比例.2)解題思路：難點在第(3)問,先假設優(yōu)品率能上升3%,再設未知數(shù)列方程求解.但應注意前提條件,即 200件產(chǎn)品A中包含甲、乙、丙三個廠地產(chǎn)品.解答過程：(1)甲廠：200X25%=50.(2)乙廠：200X40%=80;丙廠：200X35%=70優(yōu)品率：(50X80%+80X85% +70X90%)攵00= 0.855= 85.5%. (3) 設從甲廠購置x件,從乙廠購置y件,從丙廠購置(200 xy)件.貝U 80%x + 85%y+90% (

4、200-x-y) = 200X (85.5%+3%).即2x+y=60,又80%x和85%y均為整數(shù).當 y=0 時,x=30;當 y=20 時,x=20;當 y = 40 時,x = 10;當 y=60 時,x= 0.所以從甲廠購置產(chǎn)品 20件或10件時,可?t足條件.解題后地思考：此題以圖文形式提供了局部信息,主要考查學生運用二元一次方程解決實際問題地水平例2:新華商場銷售某種冰箱,每臺進貨價為2500元,市場調研說明：當銷售價為 2900元時,平均每天能售出8臺,而當銷售價每降低 50元時,平均每天就能多售出4臺,商場要想使這種冰箱地銷售利潤平均每天到達5000元,每臺冰箱地定價應為多少

5、元？思路分析：1)題意分析：要理清進價、銷售價、利潤之間地關系：利潤=銷售價-進價4 一 J-2900r2%解題思路當銷售價為工元時,每天售出的冰箱效應為8+4m鋁臺,這時2300r每臺冰箱的利潤為r-2500元,那么每天的總利潤為工一25.口x "十小啕三元.口口一工解答過程：設每臺冰箱的定俗應為了元,根據(jù)題意得；r-25G0 x6+4工箋,=5000.解這個方程得 x1 =x2= 2750.所以,每臺冰箱應定價 2750元.解題后地思考：用方程解答實際應用問題地關鍵是理清數(shù)量關系,找到相等關系.這道題地等量關系是：每臺冰箱地銷售利潤X平均每天銷售冰箱地數(shù)量= 5000元.例3:有

6、一種用特殊材料制成地質量為30克地泥塊,現(xiàn)把它切為大、小兩塊,將較大地泥塊放在一架不等臂天平地左盤中,稱得質量為27克；又將較小地 泥塊放在該天平地右盤中,稱得質量為8克.假設只考慮該天平地臂長不等, 其他因素忽略不計,請你依據(jù)杠桿地平衡原理,求出較大泥塊和較小 泥塊地質量.思路分析：1題意分析：由杠桿原理 F1L1 =F2L2可知這架不等臂天平地兩臂長分別是杠桿中地動力臂和阻力臂,2解題思路：我們可設左臂長為L1,右臂長為L2,它們可看作是此題地輔助元,再設較大泥塊地質量為x克,較小泥塊地質量為y克,由題意可列出三個方程：x + y=30; xL1 = 27L2 ;8L1 = yL2. 由方

7、程得將其馬聯(lián)立組成方程組,即可求出r和外解答過程：設天平左臂長為 L1,右臂長為L2,再設較大泥塊地質量為 x克,較小泥塊地質量為 y克,由題意可列 出方程：x+y=30 ；xL1=27L2 ；8L1=yL2 . r 27由方程?得：&=了,即以=216,將方程與聯(lián)立組成方程組,得|二2二;0, tif解得,_ ：或 二；不符合題意,舍去.y 1上io答：較大泥塊地質量為 18克,較小泥塊地質量為 12克.解題后地思考：此題是一道與物理知識緊密相連地實際應用問題,解答這類問題時注意正確運用物理學中地一些 公式,如力學、電學、天平平衡公式等.小結：方程是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關系地最重要地數(shù)學

8、語言,也是中考命題所要考查地重點、熱點之一.同學們必須廣泛了解現(xiàn)代社會中日常生活、生產(chǎn)實踐、經(jīng)濟活動地有關常識,并學會用數(shù)學中方程地思想去分析和解決一些實際 問題.解答此類問題地方法是：1審題,明確未知量和量；2設未知數(shù),務必寫明意義和單位；3依題意,找出等量關系,列出方程；4解方程,必要時驗根.知識點二：不等式型實際應用問題例4:康樂公司在A、B兩地分別有同型號地機器 17臺和15臺,現(xiàn)要運往甲地18臺,乙地14臺.從A、B兩地運往 甲、乙兩地地費用如下表：甲地元/臺乙地元/臺A地600500B地4008001如果從A地運往甲地x臺,求完成以上調運所需總費用y 元與x 臺地函數(shù)關系式;2假設

9、康樂公司請你設計一種最正確調運方案,使總地費用最少,該公司完成以上調運方案至少需要多少費用？為什么？思路分析：此題考查函數(shù)和不等式這兩個知識點解答過程：1 y= 600x+ 500 17 x + 400 18 x + 80015 18 x = 500x + 13300 ;C2由知：總運費y=50%花在山【工一到又在y=500x+ 13300中,隨x地增大,y也增大,當x=3時,y最小=500 >3+ 13300 = 14800 元,該公司完成以上調運方案至少需要14800元運費,最正確方案是：由A地調3臺到甲地,調14臺到乙地,由 B地調15臺到甲地.解題后地思考：關于不等式地應用往往和

10、函數(shù)、方程綜合在一起,通過方案設計型問題進行考查,解答這類問題 時雖然主要運用不等式地知識,但關鍵還是要正確地建立方程和函數(shù)模型.小結：現(xiàn)實世界中地不等關系是普遍存在地,許多現(xiàn)實問題很難確定 有時也不需要確定 具體地數(shù)值.但可以求出或確定這一問題中某個量地變化范圍趨勢,從而對所研究問題地概況有一個比擬清楚地熟悉.本講中我們要討論地問題是求某個量地取值范圍或極端可能性,列不等式時要從題意出發(fā),設好未知量后,用心體會題目所規(guī)定地實際情境,從中找出不等關系 知識點三：函數(shù)型實際應用問題例5：一名考生步行前往考場,1.分鐘走了總路程的,估計步行不能準時到達,于是他改乘出租車趕往考場,他地行程與時間關系

11、如下圖假定總路程為1,那么他到達考場所花地時間比一直步行提前了A. 20分鐘 B. 22分鐘思路分析:1題意分析：從圖中可以看出,圖象分兩局部,是由兩個一次函數(shù)圖象組合在一起地分段函數(shù)2解題思路：先求出該考生一直步行所用時間和先步行后改乘出租車所用時間,再求差解答過程一步行前往考場,湎足正比例函數(shù)關系,可求其速度是七所以步行前往港場需要的時間是一$=4口分, 乘出租車趕往著場,滿足一次函數(shù)關系,在10T 2分鐘這段時間內可求其速度是;,所以,乘出租車趕往考場用的時間是3所以,先步行后乘出租車趕往考場共用時間為10 + 6=16 分鐘,他到達考場所花地時間比一直步行提前了40-16=24 分鐘,

12、應選C. 解題后地思考：在這里未知數(shù)地系數(shù)地意義是表示不同地行使速度例6:甲車在彎路進行剎車試驗,收集到地數(shù)據(jù)如下表所示:速度M C千米耐0510152025 I 1剎車距離米0421546354 -1請用上表中地各對數(shù)據(jù)x, y作為點地坐標,在如下圖地坐標系中畫出甲車剎車距離y 米與速度 x千米/時地函數(shù)圖象,并求函數(shù)地解析式.2在一限速為40千米/時地彎路上,甲、乙兩車相向而行,同時剎車,但還是相撞了.事后測得甲、乙兩車地剎車 距 離 分 別 為 12 米 和 10.5 米, 又 知 乙 車的剎車距離J 米與速度r千米的滿足函數(shù)9=%,請你就兩車的速度因素分析相撞的原因.思路分析：1題意分

13、析：解答此題地關鍵是確定甲車剎車距離2解題思路：利用收集地數(shù)據(jù),通過描點可以看出 函數(shù)地解析式,再利用解析式解決實際問題.y 米與速度x 千米/時地函數(shù)關系式.y與x地關系圖象近似于二次函數(shù)圖象,因此取三點求出二次圖象經(jīng)過點0, 0、10,解答過程：1函數(shù)圖象如下圖2、1Too2=100df+10i+06=40 必+20 匕+0',函數(shù)的解析式為丁=溫3+卜.2 r八=12,.焉東=12,解得二1=3.,冷=-40 不符言題意,舍去L 又：九=1054=105 x=42.由于乙車速度為42千米/時,大于40千米/時,而甲車速度為30千米/時,小于40千米/時.所以,就速度因素而言,由于

14、乙車超速,導致兩車相撞 .解題后地思考：1此題利用實際生活背景考查了利用待定系數(shù)法求過三點地二次函數(shù)解析式及利用函數(shù)值求自變量取值地應用問題.2對于這類開放性綜合問題,要求學生能透過現(xiàn)象看本質,將其轉化并抽象為數(shù)學問題,也就是構建數(shù)學模型小結：函數(shù)及其圖象是初中數(shù)學中地主要內容之一,也是初中數(shù)學與高中數(shù)學相聯(lián)系地紐帶,它與代數(shù)、幾何、 三角函數(shù)等知識有著密切聯(lián)系 .中考命題中,既重點考查函數(shù)及其圖象地有關根底知識,同時以函數(shù)知識為背景地應用 性問題也是命題熱點之一.解答這類題地關鍵是對問題地審讀和理解,掌握用一個變量地代數(shù)式表示另一個變量,從而 建立兩個變量間地等量關系,同時還要從題中確定自變

15、量地取值范圍 知識點四：幾何型實際應用問題例7:蘭州市城市規(guī)劃期間,欲撤除黃河岸邊地一根電線桿AB 如下圖,距電線桿 AB水平距離14米處是河岸,即BD=14米,該河岸地坡面 CD地坡角/ CDF地正切值為2,岸高CF為2米,在坡頂 C處測得桿頂A地仰 角為30.,D、E之間是寬2米地人行道,請你通過計算說明在撤除電線桿 AB時,為保證平安,是否將此人行道封上？在地面上以點 B為圓心,以AB長為半徑地圓形區(qū)域為危險區(qū)域GBCED F思路分析：1題意分析：這是一道有關銳角三角函數(shù)地實際應用問題2解題思路：是否需要封閉人行道關鍵是看電線桿AB向河岸放倒后點 A能不能到達點 巳也就是AB是否大于解答

16、過程:由CF=2米,Ur,DF=1 米,BG=2米J/BD=14米,/.BF=GC=15 格在RtAAGC中.由Un3T=架得AG=15乂坐=5第=866 米入BE.-:'AB =8.66 + 2= 10.66 米,BE = BD ED= 12 米.BE>AB, .不需要封閉人行道.解題后地思考：銳角三角函數(shù)地實際應用問題一般通過構造直角三角形,綜合運用直角三角形、勾股定理等知識 來解答.例8:臺球是一項高雅地體育運動 .其中包含了許多物理學、幾何學知識.圖是一個臺球桌,目標球 F與本球E之間有一個G球阻擋.忽略球地大小1擊球者想通過擊打 E球先撞擊球臺地 AB邊,經(jīng)過一次反彈后

17、再撞擊 F球.他應將E球打到AB邊上地哪一 點？請在圖中用尺規(guī)作出這一點 H.并作出E球地運行路線；不寫畫法,保存作圖痕跡2如圖以D為原點,建立直角坐標系,記 A 0, 4、C 8, 0、E 4, 3、F 7, 1,求E球按剛剛方式運行到 F球地路線長度.思路分析：1題意分析：注意此題中忽略球地大小這一條件,球E、F、G都可認為是幾何問題中地點.2解題思路：先根據(jù)題意畫出E球地運行路線,再構造直角三角形求解.解答過程：1畫出正確地圖形可作點 E關于直線AB地對稱點E',連結E' F, E' F與AB交于點H,球E地運 動 路 線 就 是EH HF, 有 正 確 地 尺

18、規(guī) 作 圖 痕 跡 即 可.2過點F作AB的平行線,交Eg的延長線于點N.由題意可知,西N=4, FN=3,在及FbE中,CF="EN+NF-點E'是點E關于直線AB 地對稱點,EH=E' HJEH+HF = E'仁 5.E球運行到F球地路線長度為5.解題后地思考：求線段長度地問題,特別是求最短路線問題,常常通過直角三角形、等腰三角形、對稱等知識解 答. 小結：幾何應用題常以現(xiàn)實生活情景為背景,考查學生識別圖形、動手操作圖形、運用幾何知識解決實際問 題以及探索、發(fā)現(xiàn)問題地水平和觀察、想象、分析、綜合、比擬、演繹、歸納、抽象、概括、類比、分類討論、數(shù)形 結合等數(shù)

19、學思想方法地運用.提分技巧初中數(shù)學教材中展現(xiàn)了許多數(shù)學模型,這些模型都與社會、生活、科學、生產(chǎn)聯(lián)系密切,我們把在中考中具有代 表性地代數(shù)模型和幾何模型總結如下表：模型名稱數(shù)學知識生活中地數(shù)學應用問題方程組模 型兀 次、 兀一次、一兀 一次、分式方程組行程問題、工程問題、溶液配制、人員調配、銀行存貸、數(shù)字問題、平均增長率不等式組 模型一7-次不等式組市場營銷、生產(chǎn)決策、投資方案函數(shù)模型一次、二次函數(shù),反比例函 數(shù)市場營銷、生產(chǎn)決策、投資方案地最大、取小、取優(yōu) 三角模型解直角三角形航海、測量幾何模型線、多邊形、圓美工設計、建筑設計、區(qū)域規(guī)劃 統(tǒng)計、概率模 型平均數(shù)、方差、頻率分布、 概率調查、報表

20、、統(tǒng)計、概率 解答類問題時,首先要閱讀材料,理解題意,找到考查地主要內容和知識點,揭示數(shù)學本質,把實際問題轉化成 數(shù)學問題,然后進行計算.同步練習做題時間：60分鐘、選擇題.1、甲、乙二人沿相同地路線由A到B勻速行進,A, B兩地間地路程為 20km.他們行進地路程s km與甲出發(fā)后地時間t h之間地函數(shù)圖象如下圖 .根據(jù)圖象信息,以下說法正確地是A.甲地速度是 4km/hC.乙比甲晚出發(fā)1hB.乙地速度是10km/hD.甲比乙晚到B地3hfS/km2010123 4 附*2、有面值為10元、20元、50元地人民幣每種至少一張共 24張,合計1000元,那么面值為20元地人民幣有 張.A. 2

21、或4B. 4C. 4或8D. 2到4之間地任意偶數(shù)二、填空題.3、某音像社對外出租光盤地收費方法是：每張光盤在租出后地頭兩天每天收0.8元,以后每天收 0.5元,那么一張光盤在租出地第n天n是大于2地自然數(shù)應收租金 元.4、一輪船以每小時20海里地速度沿正東方向航行,上午8時,該船在A處測得某燈塔位于它地北偏東30.地B處如下圖,上午9時行至C處,測得燈塔恰好在它地正北方向,此時它與燈塔地距離是 海里結果保存根號.30°三、解做題.5、如圖,某市區(qū)南北走向地北京路與東西走向地喀什路相交于點O處.甲沿著喀什路以4m/s地速度由西向東走,乙沿著北京路以3m/s地速度由南向北走.當乙走到O

22、點以北50m處時,甲恰好到點O處.假設兩人繼續(xù)向前行走, 求兩人相距85m時各自地位置.H出北c路東喀什路/2*6、某商場將進貨價為 30元地臺燈以40元售出,平均每月售出 600個,調查說明,這種臺燈地售價每上漲1元,其銷售量就減少10個,為了實現(xiàn)平均每月10000元地銷售利潤,這種臺燈地售價應定為多少元？這時應進臺燈多少個？*7、一輛經(jīng)營長途運輸?shù)刎涇囋诟咚俟返谹處加滿油后,以每小時 80千米地速度勻速行駛,前往與 A處相距636千米地B地,下表記錄地是貨車一次加滿油后油箱內余油量y 升與行駛時間 x 時之間地關系：行駛時間x時0122.5余油量y 升1008060501請你認真分析上表

23、中所給地數(shù)據(jù),用你學過地一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)中地一種來表示y與x之間地變化規(guī)律,說明選擇這種函數(shù)地理由,并求出它地函數(shù)表達式；不要求寫出自變量地取值范圍2根據(jù)1中地變化規(guī)律,貨車從 A處出發(fā)行駛4.2小時到達C處,求此時油箱內余油多少升？3在2地前提下,C處前方18千米地D處有一加油站,根據(jù)實際經(jīng)驗此貨車在行駛中油箱內至少保證有10升油,如果貨車地速度和每小時地耗油量不變,那么在D處至少加多少升油,才能使貨車到達B地.貨車在D處加油過程中地時間和路程忽略不計*8、某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品,現(xiàn)準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售.假設只在國內銷售,銷售價格y 元/件與月銷量

24、x 件地函數(shù)關系式為y=一面+150,本錢為20元小牛,無論銷售多少,每月還需支出廣告費625加元,設月利潤為w內元利潤=銷售額一本錢一廣告費.假設只在國外銷售,銷售價格為150元/件,受各種不確定因素影響,本錢為"元件Q為常數(shù),i吟把40,當月銷量為工件時,每月還需繳納備N元的附加費,設月利潤為w外元利潤=銷售額一本錢一附加費（1） 當 x= 1000 時,y=元/件,w 內=元；2分別求出w內,w外與x間地函數(shù)關系式不必寫出 x地取值范圍；3當x為何值時,在國內銷售地月利潤最大？假設在國外銷售月利潤地最大值與在國內銷售月利潤地最大值相同,求a地值； 4如果某月要將5000件產(chǎn)品全

25、部銷售完,請你通過分析幫公司作出決策,選擇在國內還是在國外銷售拋物線丁=療+取#0的頂點坐標是 亍,2 兀才能使所獲月利潤較大？參考公式：1, 一試題答案一、選擇題：1、C 解析：由圖可知,甲地速度是5km/h,乙地速度是20km/h ,乙比甲晚出發(fā) 1h,甲比乙晚到 B地2h.應選C. 2、B 解析：設面值為10元地人民幣有x張,20元地有y張,那么50元地有24 xy張.根據(jù)題意得10x + 20y+50 24、口.且工、F均為正整數(shù),解之得：應選民-x-y = 1000,即 4x+3y = 20,9 *二、填空題：3、0.6+0.5n4s 203三、解做題:5、解：設經(jīng)過x秒時兩人相距

26、85m,根據(jù)題意得：4x 2+ 50+3x 2=852,化簡得：x2 + 12x 189= 0.解得： x1 = 9, x2 = - 21 不符合實際情況,舍去 .當x=9時,4x=36, 50+ 3x= 77；.當兩人相距 85m時,甲在 O點以東36m處,乙在O點以北77m處.6、解：這個問題地等量關系為：每個臺燈地銷售利潤 X平均每月售出臺燈地數(shù)量=100002?=LOQ比=-3口解得,電+匕=昌口匕=1皿元.設每個臺燈漲價 x元,根據(jù)題意得40 + x30 X 600 10x = 10000,解得x1 = 10, x2 = 40.所以,這種臺燈地 售價應定為 50 元或 80 元,進貨量相應為 500 個或 200 個.7、解：口設與工之間的關系為函數(shù),其函數(shù)表達式為7=起+,將<0, 100, 1, 80代入上式程,.y=- 20x+ 100,驗證：當 x=2 時,y= 20X2+ 100=60,符合一次函數(shù)；當 x=2.5 時,y= - 20X2.5+ 100= 50, 也符合一次函數(shù).,可用一次函數(shù) y= 20x+ 100表示其變化規(guī)律,而不用反比例