不等式證明的常用基本方法自己整理

1、證明不等式的基本方法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.2.會(huì)用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明比較簡(jiǎn)單的不等式.課前準(zhǔn)備K|一回扣教材夯實(shí)基礎(chǔ)自主梳理1 .三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式：如果a,b,c>0,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.2 .基本不等式(基本不等式的推廣)：對(duì)于n個(gè)正數(shù)ai,a2,an,它們的算術(shù)平均不小于,一一ai+az+,+ann，,它們的幾何平均，即,>Jai-a2,a,n,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等n號(hào)成立.3 .證明不等式的常用五種方法(1)比較法：比較法是證明不等式最基本的方法，具體有作差比較和作商比較兩

2、種，其基本思想是與0比較大小或與1比較大小.(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫綜合法.也叫順推證法或由因?qū)Ч?(3)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立為止，這種證明方法叫分析法.也叫逆推證法或執(zhí)果索因法.(4)反證法反證法的定義先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確

3、，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法.反證法的特點(diǎn)先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾.放縮法定義：證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值或，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法.思路：分析觀察證明式的特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵.卷口乘|專項(xiàng)Oil練分組訓(xùn)，后高題型一用比差法與比商法證明不等式1 .設(shè)t=a+2b,s=a+b2+1,則s與t的大小關(guān)系是(A)A.s>tB.s>tC.s<tD.s<t【解析】:st=b2b+1=(b1)>0,，s>

4、;t.【答案】A2 .設(shè)a=(m2+1)(n2+4),b=(mn+2)2,則(D)A.a>bB.avbC.a<bD.a>b解析：ab=(m2+1)(n2+4)(mn+2)2=4n2+n24mn=(2mn)2>0,1.a>b.答案：D3 .設(shè)a,bCR,給出下列不等式：lg(1+a2)>0;a2+b2>2(a-b-1);a2+3ab>2b2;巴<,&&+1其中所有恒成立的不等式序號(hào)是.【解析】a=0時(shí)不成立；:a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2>0,成立；a=b=0時(shí)不成立；a=2,b=1時(shí)不成立，

5、故恒成立的只有.1題型二用綜合法與分析法證明不等式14 .(1)已知x,y均為正數(shù)，且x>y,求證：2x+2xy+寸>2y+3;(2)設(shè)a,b,c>0且ab+bc+ca=1,求證：a+b+c>3.證明(1)因?yàn)閤>0,y>0,xy>0,八.1112x+x2-2xy+y2一為=2(x-丫)+(x-y)+(x-y)+y-3211-Zy-3,所以2x+x22xy+y2冷+$(2)因?yàn)閍,b,c>0,所以要證a+b+c>，3,只需證明(a+b+c)2>3.即證：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)>3,而ab+bc+ca=1,故需證

6、明：a'+b2+c2+2(ab+bc+ca)>3(ab+bc+ca).即證：a2+b2+c2>ab+bc+ca.ha2+b2b2+c2c2+a2222M/O/T7M/a=b=c時(shí)等號(hào)成立)成立.而ab+bc+ca<-II=a+b+c(當(dāng)且僅當(dāng)222所以原不等式成立.5.已知a、b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2.求證：(1+2a)(1+b)>9.證明：法一因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2,所以2a+bn212ab=4.所以(1+2a)(1+b)=1+2a+b+2ab>9.法二因?yàn)閍b=2,所以(1+2a)(1+b)=(1+2a)H+|；=5+2,+gi因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)

7、，所以a+->2a=2.所以(1+2a)(1+b)>9.bb法二因?yàn)閍、b都是正頭數(shù)，所以(1+2a)(1+b)=(1+a+a)1+3+2J323,b23a2b2>30b3、/7=9./-4-.又ab=2,所以(1+2a)(1+b)>9.思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫(xiě)步驟，由此可見(jiàn)，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開(kāi)闊視野.題型三放縮法證明不等式

8、6 .已知0<a<1,且M=N=a-+-b-,則M、N的大小關(guān)系是(Ab1+a1+b1+a1+bA.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定解析：:0<a<-,.-1+a>0,1+b>0,1-ab>0,b.M-N=22ab1+a1+b>0.答案:什|a+b|a|b|7 .右，b'口求工1+|a+b|<1+|a|+1+|b|證明當(dāng)|a+b|=0時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng)|a+b|wo時(shí),11由0(忸+尸間+同？?所以|a+b|1+|a+b|1|a+b|111+|a|十|b|a|十|b|1+|a|十|b|a|b|a|b|1+|a|

9、+|b|1+|a|+|b|'1+|a|1+|b|.思維升華（1）在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧.常見(jiàn)的放縮變換有:1111變換分式的分子和分母,如-2<；,2>；kk1kk1上面不等式中kCN*,k>1;1212'k'k+k11k：'k+.k+1利用函數(shù)的單調(diào)性;真分?jǐn)?shù)性質(zhì)"若0<a<b,m>0則avam'.bb+m（2）在用放縮法證明不等式時(shí)，“放”和“縮”均需把握一個(gè)度.11118.設(shè)n是正整數(shù)，求證：2<ny+nq72+，+五<證明由2n>n+k>n（k=1,2

10、,n）,得111W<一.2nn+kn當(dāng)k=1時(shí)，t1<-<1;當(dāng)k=2時(shí)，當(dāng)'2nn+1n''2nn+2n'''k=n時(shí),111<<一,2nn+nn1n=w22n1n+1卜，十1n丁<-=1.，原不等式成乂.2nn題型四用反證法證明不等式9.設(shè)a>0,b>0,且a+b=-+二.證明:ab(1)a+b>2;(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立【解析】由a+b=-+=上?,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b>2vTil?=2,

11、即a+b>2.（2）假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立，則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.10.若a>0,.一J1b>0,且g十=ab.求a3+b3的最小值；（2）是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.【解】（1）由/0=-得ab>2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=，2時(shí)等號(hào)成立.abjab故a3+b，2jaW4yf2,且當(dāng)a=b=，2時(shí)等號(hào)成立.所以aqb3的最小值為4y2.（2）由（1）知，2a+3bA2

12、北弧小木.由于43>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.<»課堂小結(jié)1 .證明不等式的常用方法有五種，即比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法.2 .應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個(gè)步驟：（1）分清命題的條彳和結(jié)論；（2）作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；（3）由條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；（4）斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開(kāi)始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明了命題為真.3 .放縮法證明不等式時(shí)，常見(jiàn)的放縮法依據(jù)或技巧主要有：（1）不等式的彳遞性；（2）等量加1；2;（2）將分子或分母放大（縮不等量為不等量；（3）同分子（母）異分母

13、（子）的兩個(gè)分式大小的比較.縮小分母、擴(kuò)大分子,分式值增大；縮小分子、擴(kuò)大分母，分式值減??；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭，同時(shí)放縮有時(shí)需便于求和.4 .放縮法的常用措施：（1）舍去或加上一些項(xiàng)，如：a+-2,2+-4>a+小），如kk(k-1)kk(k+1jk/k#+<k1'kfka+k+1(kCN*且k>1)等.2ab2221.設(shè)a、b是正頭數(shù)，給出以下不等式：0b>a+b；a>|ab|b;a+b>4ab3b;2ab+->2,其中恒成立的序號(hào)為(D)abA.B.C

14、.D.答案回解析bCR+時(shí)，a+b*M，.鬻小，.篝Wb，不恒成立,，212.設(shè)Ml=210+排除A、B;.0+獷2*2恒成立，故選D20：口+2702+,+2T1H，則(B)A.M=1B,M<1C.M>1【解析】10+1>210,210+2>210,-1Ml=210+3.若不等式1210+1t+210T2+,+2D.M與1大小關(guān)系不定211-1>210,<2rn+20+,+Q10個(gè)=1.【答案】t292上恒成立，則a的取值范圍是（A.16,1B.【解析】由已知C.16413D.對(duì)任意te（0,2恒成立，于是只要當(dāng)t(0,2時(shí),%1+2max記f(t)9,、

15、=t+pg(t)=；+2Fj,可知兩者都在（0,2上單調(diào)遞減,Iaw|1+2f(t)min=f(2)tmin13小g(t)min=g(2)=1,所以aC舟1134.已知a,b為實(shí)數(shù)，且，1211a>。，b>0.則a+b+i+b+a嚴(yán)取小值為(C)A.7B.8C【解析】因?yàn)閍>0,b>0,所以a+b+>3axbxf=3赤>0,同理可證：a2+1+?>3,3113gx孑=3由及不等式的性質(zhì)得5.下列結(jié)論正確的是(B1igx+；igxA.當(dāng)x>0且xwi時(shí),，一1C.當(dāng)時(shí)，x+x的最小值為2.當(dāng)x>0時(shí)，x+j=>2一1一，.當(dāng)0VxW2時(shí)

16、，x-無(wú)取大值x解析：當(dāng)0VXV1時(shí),igx+v0,Aigx錯(cuò)誤;1當(dāng)x>0時(shí)，Jx+>2正確;1.一.一.5當(dāng)x>2時(shí)，x+-的取小值為-'-C錯(cuò)反.x2當(dāng)0vxW2時(shí)，x,2525x=y=1時(shí)，z有最小值25.【答案】25是增函數(shù)，最大值在x=2時(shí)取得，錯(cuò)誤.答案：BxP<3,xyz6.若P=3+而+不(x>0,y>0,z>0)，則p與3的大小關(guān)系為【解析】1+x>0,1+y>0,1+z>0,1+x1+y1+z1+x1+y1+z1+x+1+y+1+z=3.即P<3.【答案】P<37.某品牌彩電廠家為了打開(kāi)市場(chǎng)，

17、促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對(duì)其生產(chǎn)的某種型號(hào)的彩電降價(jià)銷售，現(xiàn)有四種降價(jià)方案：a+ba+b先降價(jià)a%再降價(jià)b%(2)先降價(jià)b%再降價(jià)a%(3)先降價(jià)一5一%再降價(jià)%(4)一次性降價(jià)(a+b)%.其中a>0,b>0,ab,上述四個(gè)方案中，降價(jià)幅度最小的是x3>x1=x2>x4.解析：設(shè)降價(jià)前彩電的價(jià)格為1,降價(jià)后彩電價(jià)格依次為則x1=(1a%)(1b%)=1(a+b)%+a%-b%x2=(1b%)(1a%)=xbx1、x2、x3、x4.x3=J3ayb%i=1(a+b)%+x4=1(a+b)%<1(a+b)%+a%-b險(xiǎn)x1=x2,x3x1=a%+b%22a%-b%>0x

18、3>x1=x2>x4.8.已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=1,則z=x+1，+yj的最小值為254【解析】z=x+i=xy+'+y+x=xy+'+yJxyxyJxy(x+y)22xy2=婷+所2,xy令t=xy,貝U0<t=xy<xy212=4.一2,1由f(t)=t+-在07所以當(dāng).1.2.一.33,故當(dāng)t=4時(shí)f(t)=t有取小值,9.求證:證明k(k1)k-1k'11,117+q+，+"n1+(12)+(2-3)+,+(n1)=1+(1)=2<2.nnn10.設(shè)a、b、c均為正實(shí)數(shù)，求證：【證明】a,b,c均為正實(shí)數(shù),11111

19、1222_+r+-.+.+25t.+:+-1工abc-Jabijbcacb+cc+aa+bI4=4ababa+ba=b時(shí)等號(hào)成立1124tbc弧b+c1124一十一>石=>當(dāng)ac>aca+c三個(gè)不等式相加即得b=c時(shí)等號(hào)成立a=c時(shí)等號(hào)成立222-+-+->abc4a+b+44,用+不當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立口311111222即一+I+->i+j+j>+abc、/abbcaca+bb+ca+c11.已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,mCR且f(x+2)>0的解集為1,1111一一一(1)求m的值；(2)右a,b,c大于0,且£+元+*=

20、m,求證：a+2b+3c>9.【解】(1).f(x+2)=m-|x|,f(x+2)>0等價(jià)于|x|<m.由|x|<m有解，得m>0且其解集為x|-m<xWm.又f(x+2)>0的解集為1,1，故m=1.(2)證明：由(1)知1+工+：=1,且a,b,c大于0,a2b3c3c2b斯十可1c2ba3ca+2b+3c=(a+2b+3c)Q+3+公廣3+-2ba+2b+3O9.>3+2、/2b言+2/37-a-+2、a2ba3c2b，1,一，：當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=.時(shí)，等號(hào)成立.因此312.設(shè)a,b,cCR且a+b+c=1,試求:1+2a+11+2b

21、+112c+1的最小值.解：=a+b+c=1,a,b,c為正數(shù),十七+總(2a+1+2b+1+2c+1)M+F)：.占+2+2噂當(dāng)且僅當(dāng)2a+1=2b+1=2c+1.即a=b=c時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)答案：方案(3)+2a+12b+12c+19取最小值-.513.設(shè)a>0,b>0,a+b=1,、11，一一,求證：ab+ab>44；(2)探索猜想，并將結(jié)果填在以下括號(hào)內(nèi):22,133,1ab+第>();ab+肅>();(3)由(1)(2)歸納出更一般的結(jié)論，并加以證明.解析：(1)證法一：ab+1>4194a2b2-17ab+4>0?(4ab-1)(ab-4)>0.ab4,ab=(ab)2<14ab<1,而又知ab<4<