數(shù)值分析課后習(xí)題答案

1、1/2的相對誤差小于0.01%,試問應(yīng)取幾位有效數(shù)字? 解 因為101/2=3.162=0.316210,假設(shè)具有n位有效數(shù)字,那么其絕對誤差限為0.5 101-n ,于是有 r=0.5101-n/3.1620.5101-n/30.01% 1/2 解解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x12-56x+1=0的兩個根,使它們至少具有四位有效數(shù)字 ).982.27783( 2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程組 解解 二二.習(xí)題習(xí)題2 (第第50頁頁)6745150710623321xxx65157071046235 . 255 . 201 . 661 . 0070710

2、消元1 . 661 . 005 . 255 . 207071032rr回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0651546237071021rr2 . 62 . 6005 . 255 . 2070710消元 2-3(1).對矩陣A進展LU分解,并求解方程組Ax=b,其中 解解 564,221231112bA ，所以221231112A1122121112212325211125321232521112535321232521112532325532121112111A5332132153212144564111yyyyyy，得解1114411232153321532325xxxxxx，得

3、再解A A進展進展LDMLDM分解和分解和CroutCrout分解，其中分解，其中 解解15156654212A64264122112634122112634123221112634123221111111263423221A分解：故得Crout11111321431213221ALDM分解為：A A進展進展LDLTLDLT分解和分解和GGTGGT分解，并求解方程組分解，并求解方程組Ax=bAx=b，其中，其中 解解 ,22484548416A22484548416A2121432321214332321214332214332214A分解：故得TGG11194161

4、11232141232141ALDLT分解為：321b7083. 1875. 025. 0321332214321321yyyyyy，得解5694. 02916. 15451. 07083. 1875. 025. 0332214321321xxxxxx，得再解 2-6(1).給定方程組 21102yxyx a.用Cramer法那么求其準(zhǔn)確解. b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比較結(jié)果.(用兩位浮點計算). 解解 21102yxyx 2-8.用追趕法求解方程組:回代得解: y=1, x=0.1102yx1001001102yyx 再用列主元Gauss消元法21102yxyx

5、12yyx2yx回代得解: y=1, x=1.200000100411411411411454321xxxxx 解解411411411411414144111441541114154415411114155615441541111456151556154415411111456209561515561544154111114209565620956151556154415412097802095656209561515561544154111114718.5347847. 07857. 16667. 625200000100111145432154321209780562091556415yy

6、yyyyyyyy，得解718.53872.147693. 52052. 8051.27,718.5347847. 07857. 16667. 62511111543215432120956561515441xxxxxxxxxx得再解 2-10.證明以下不等式: (1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y; 證明證明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y (2) 因為 x=(x-y)+yx-y+y 所以 x-yx-y ,同理可證 y-xx-y 于是有 |x-y|x-y . 為一向量范數(shù),P P為非奇異矩陣,定義x xp= PxPx, 證明x xp 也是一種向量范數(shù). 證明

7、證明 (1)x xp=PxPx0,而且PxPx=0PxPx=0 0 x x=0 0 (3)x x+y yp=P P(x+yx+y)=Px+PyPx+PyPxPx+PyPy=x xp+y yp (2)x xp=P P(x x)=PxPx=|PxPx=|x xp所以x xp是一種向量范數(shù). 2-12.設(shè)A為對稱正定矩陣,定義x xA=AxxT ,證明A是一種向量范數(shù). 證明證明 由Cholesky分解有A=GGA=GGT T,所以x xA)()(xGxGTTT=GTx2,由上題結(jié)果知x xA是一向量范數(shù).,求證: 證明證明 (1)因為A A=AEAEA AE E ,所以E E1. (2)1E E=

8、AAAA-1-1A AA A-1-1 ,故 2-17.證明: (1)如果A為正交矩陣,那么Cond2(A)=1; (2)如果A為對稱正定矩陣,那么Cond2(A)=1/n,1和n分別為A的最大和最小特征值. 證明 (1)A正交,那么ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1. (2)A對稱正定,ATA=A2, A A2=1. A A-1-12=1/n.BABABAAAE11111)3(1)2(1) 1 (.11AA (3)A A-1-1-B-B-1-1=A A-1-1(B-A)B(B-A)B-1-1A A-1-1B B-1-1A-BA-B三三.習(xí)題習(xí)題3 (第第75頁頁)Ax=bA

9、x=b122111221)2(211111112) 1 (AA 解解 (1) J迭代法的迭代矩陣為 ,0101021212121U)(LDB1得(2+5/4)=0, i25011|21212121BE令 即1=0,2= ,3= , i25 故(B)= 25 所以J迭代法不收斂.212121212110000)(ULDG (2)類似可得(B B)=0,(G G)=2, 故J迭代法收斂,G-S迭代法不收斂.所以,(G G)=1/2, 故G-S迭代法收斂. G-S G-S迭代法的迭代矩陣為:0001001102110110021212121212100000001001100010021212121

10、021112或由 , 得(2+1)2=0,故(G)=1/2. 301532128243220321321321xxxxxxxxxJ迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T, x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2取初始近似x(0)=(0,0,0)T,問各需迭代多少次才能使誤差x x(k)(k)-x-x* *10-6. 解解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩陣分別為 ,000511528181203101U)(LDB18001120019160178012031011000)(ULDGG-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, x x(1)(1)-x-x(0)(0) B B=

11、1/3=0.33333 , G G易得:(B B)=|,(G G)=2.故當(dāng)|1 ,(G G)=31. 3-8.判定求解以下方程組的SOR方法的收斂性.000121001210012100124321xxxx 解解 直接可驗證系數(shù)矩陣A是負(fù)定矩陣,所以-A是對稱正定矩陣,故當(dāng)00, (1)=-sin10,故方程在0,1內(nèi)有根,又(x)=-1-cosx0, x0,1,所以方程在0,1內(nèi)僅有一個根. 可見,需要計算14步. 由于4111021212kkkabxx+10 x-2=0的正根，準(zhǔn)確到三位小數(shù)所需要的計算量: (1) 在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法; (2) 用迭代法10/ )2(1kxkex ,

12、取x0=0. 解解 (1)(1)由 (2) 迭代法的迭代函數(shù)為(x)=(2-ex)/10, |(x)|= ex/10e/101,取L=e/10,且x1=0.1,由 k3/log2=9.97 ,所以需要計算10步.3111021212kkkabx ,可得所以,只需迭代5步.可得 30110211xxLLxkk31. 4ln2001lnLLk假設(shè)取L=e/10,可得k2.46,所以只需迭代3次.(x)=cosx,證明:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k= 0,1,2,均收斂于方程x=(x)的根 . 證明證明 因為對任意x0,都有x1=cosx0-1,1,所以只需證明迭代式在區(qū)間-1,1收斂.

13、因為(x)=cosx連續(xù)可導(dǎo),|(x)|=|sinx|sin11,所以(x)是區(qū)間-1,1上的壓縮映射,因此結(jié)論成立.這里迭代函數(shù)(x)= 解解 記(x)=x3+2x-5C0,2,且(0)=-50, 所以方程在區(qū)間0,2內(nèi)有根,建立迭代格式 4-5.4-5.驗證區(qū)間0,2是方程x3+2x-5=0的有根區(qū)間,并建立一個收斂的迭代格式,使對任何初值x00,2都收斂,并說明理由., 2 , 1 , 0,2531kxxkk325x ,由于 01(x) 所以(x)是區(qū)間0,2上的壓縮映射,故迭代式收斂. 證明證明 這里(x)=x-(x),由于對任意(0,2/M)均收斂于(x)=0的根 . 4-7.4-7

14、.給定函數(shù)(x),設(shè)對一切x,(x)存在且0m(x) M,證明對任意(0,2/M),迭代式, 2 , 1 , 0,)(1kxfxxkkk35 2 , x0,2 且 |(x)|= 32)25(32x 2/31 , x0,2 -1=1-2(x)=1-(x)1所以|()|1,試問如何將x=(x)化為適于迭代的形式?將x=tanx化為適于迭代的形式,并求在x=4.5附近的根.由于|-1(x)|=1/|(x)|1/k 0),分別導(dǎo)出求na 的迭代公式,并求 21)/()(limknknkxaxaC由于 解解 迭代格式分別為 所以對(1)有, 2 , 1 , 01) 1 (11knxaxnnxnkkk 4

15、-13.4-13.證明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0, 1,2,是求a, 2 , 1 , 0)1()2(1kaxnnxxnkkk)(2)()(lim21ffxxkkk nnC21 ,對(2)有.21nnC 證明證明 設(shè) 的三階方法.kkxlim ,那么有: =(2+3a)/(32+a) 故 2=a , 即axkklim又由于 所以有axaxaaxxaxkkkkk22213)3()3(因此是三階方法.axaxaaxxkkkk23233)33axaxkk233)(aaxaxaxkkkkk4131lim)(lim231五五.習(xí)題習(xí)題5 (第第131頁頁) 5-1.

16、用Gerschgorin圓盤定理估計以下矩陣的特征值. 解解 (1)三個圓盤為|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互獨立的,因此,三個特征值分別為;(2)三個圓盤為|-4|2,|-2|1,|-9|2.前兩個圓盤連通,后一個獨立,因此, 1,2,落在前兩個圓盤的連通區(qū)域內(nèi), 7311. 0.811.2 , 1.622.4 , 2.73902120114)2(31 . 02 . 04 . 0201 . 01 . 01) 1 ( 解解 用冪法求A的按模最大特征值,計算公式為: v v(k)=AuAu(k-1)31815108109A k=max(v v(k) u u(k)=v v(k

17、)/k ,k=1,2,.取初值u u(0)= =(1,1,1)T,計算結(jié)果如下:取17=19.301 k01234567u1(k)11111111u2(k)10.51850.71270.64870.67480.66590.66930.6681u3(k)10.37040.50110.43660.45630.44820.45100.4499k2717.148220.135818.979819.398419.244619.301 解解 用反冪法求A A的按模最小特征值,計算公式為: AvAv(k)=u u(k-1) k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u

18、u(0)= =(1,1,1)T,計算結(jié)果如下:k01234567u1(k)11-0.1318-0.6500-0.1902-0.3689-0.0590-0.2550u2(k)1-0.18920.14931-0.33231-0.58111u3(k)10.21621-0.39691-0.69171-0.9204k0.11310.1204-0.1353-0.2192-0.1659-0.2225-0.1724k89101112131415u1(k)-0.02920.19750.06170.15640.09160.13550.10580.1259u2(k)-0.7168-0.9940-0.7713-0.9

19、089-0.8119-0.8765-0.8319-0.8618u3(k)11111111k-0.23300.17940.23450.19380.21970.20160.21370.2054取n1/15=4.8686 5-7.利用帶位移的反冪法計算矩陣的特征值. 解解 作位移矩陣B=A-7EB=A-7E ,建立計算公式:720101350144PA BvBv(k)=u u(k-1) k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u u(0)= =(1,1,1)T,計算結(jié)果如下:k01234567u1(k)11111111u2(k)10.750.72220.716

20、20.71480.71440.71430.7143u3(k)1-0.4-0.8044-0.9403-0.9828-0.9951-0.99870.9998k-2-1.125-1.0278-1.0067-1.0018-1.0004-1.0000取7+1/7=6 5-9(2)利用Jacobi方法求矩陣A的所有特征值，其中 解解 記421242124A取p=1，q=2，那么有 cos=(1+t2)-1/2=0.7071, sin=tcos0.7071 421242124)0(A, 02)0(12)0(22)0(11aaa1t10007071. 07071. 007071. 07071. 01000co

21、ssin0sincos)(pqRR1類似地有470711. 012132. 270711. 02012132. 2061)0(1)1(RARTA65479. 259716. 0059716. 0237868. 0037868. 034521. 7)2(A00841. 3019295. 0064638. 132583. 019295. 032583. 034521. 7)3(A00841. 301098. 019264. 001098. 062781. 1019264. 0036378. 7)4(A99991. 201097. 0001097. 062781. 100048. 0000048.

22、037228. 7)5(A所以取 17.37228 ,2H=E-2xxH=E-2xxT T,向量x x滿足x xT Tx x=1,證明: (1)H為對稱矩陣,即H HT T=H=H; (2)H為正交矩陣,即H HT TH=EH=E; (3)H為對合矩陣,即H H2 2=E=E. 證明證明 (1)因為HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H對稱. 6-1.當(dāng)x=1,-1,2時,(x)分別為0,-3,4,求(x)的二次插值多項式p2(x).(2)因為H HT TH=(E-2xxH=(E-2xxT T) )T T(E-2xx(E-2xxT T)=E-4xx)=E-4xxT T+4xx+4xx

23、T TxxxxT T=E=E,故H H正定.(3)由(1)和(2)即得,H H是對合矩陣.六六.習(xí)題習(xí)題6 (第第180頁頁) 解法一解法一. . 基函數(shù)法: p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x) )2)(1(61)()()(2101201xxxxxxxxxxxl) 1)(1(31)()()(1202102xxxxxxxxxxxll2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3為插值節(jié)點的3次插值基函數(shù),求 解法二. 待定系數(shù)法,設(shè)p2(x)=(x-1)(ax+b), 那么有 p2(x)=-3l1(x)+4l2(x) ) 1)(1(34)2

24、)(1(21xxxx)1(8)2( 3)1(61xxx)145)(1(61xx 2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3, 所以 p2(x)=1/6(x-1)(5x+14). )(max230 xlxxxl0(x),l1(x),ln(x)是以x0,x1,xn為節(jié)點的n次Lagrange插值基函數(shù),求證: 解解 )()()()()(3212023102xxxxxxxxxxxxxl 證明 (1)記(x)=xk,那么yj=(xj)=xjk) 3)(1(21max)(max30230tttxltxxx30)3)(1(21)(0ttttthxx令271077374時）（t.,

25、 1 , 0,)() 1 (0nkxxlxkjnjkj., 1 , 0,0)()()2(0nkxlxxjnjkj(x)C2a,b,且(a)=(b)=0,證明 )()!1()()()(10)1(xnfxlyxfxnnjxnjjk 證明證明 以a,b為節(jié)點作(x)的線性插值有L1(x)=0,故njjkjxlx0)( (2)記(t)=(t-x)k,那么yj=(xj)=(xj-x)k)()!1()()()()(10)1(tnftlytfxtnnjtnjjknjjkjtlxx0)()(取t=x,那么有njjkjxlxx00)()(bxaMabxf,)(81)(22其中,. )(max2xfMbxa |(

26、x)|=|(x)-L1(x)|22)(81)(2)(Mabbxaxfx 6-5.利用y=x115 的近似值,并由誤差公式給出誤差界,同時與實際誤差作比較. 解解 由二次Lagrange插值得: 在x=100,121,144點的函數(shù)值 ,用插值方法求722756.1012)121144)(100144()121115)(100115(11)144121)(100121()144115)(100115(10)144100)(121100()144115)(121115()115(1152 L144100,108383525 xxy3521063125. 1)144115)(121115)(1001

27、15(1083! 31)115(115 L 實際誤差：3210049294. 1)115(115 L 6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商20,21,25和20, 21,26. 解解 20,21,25= 1! 5)()5(f 20,21,26= 0 (x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出(x)關(guān)于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,給出(x)關(guān)于x0,x1,x2,x3的Newton插值多項式,并給出插值誤差. 解解 差商表為 xk(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商x0=-1x1=-0.8x2=0 x3=0.5x4=1-

28、10.1603211.1562535.80161.04960.31253.6875-4.752-0.5673.3752.792.19-0.3Newton插值多項式為: |R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| (x)=x4+2x3+5, 在區(qū)間-3,2上, 對節(jié)點x0= -3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)的分段三次Hermite插值多項式在每個小區(qū)間xi,xi+1上的表達式及誤差公式. 解解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得 N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(

29、x+0.8) +2.79(x+1)(x+0.8)x 5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以 0(x)=(x+1)2(x+4)/4同理可得: 0(x)=(x+3)(x+1)2/4 1(x)=-(x+3)2x/4 1(x)=(x+3)2(x+1)/4 H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x -13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) =-6x3-22x2-24x-4所以有誤差為 R(x)=(x+3)2(x+1)2類似地,在區(qū)間-

30、1,1上有 H3(x)=2x3+2x2+4 R(x)=(x+1)2(x-1)2 H3(x)=寫到一起就是 R(x)=在區(qū)間1,2上有 H3(x)=8x3-13x2+12x+1 R(x)=(x-1)2(x-2)2 -6x3-22x2-24x-4 , -3x-1 2x3+2x2+4 , -1x1 8x3-13x2+12x+1 , 1x2 (x+3)2(x+1)2 , -3x-1 (x+1)2(x-1)2 , -1x1 (x-1)2(x-2)2 , 1x2 6-12.確定a，b，c使函數(shù)31) 1() 1() 1(10)(23213xcxbxaxxxxS是一個三次樣條函數(shù)。 解解 因為S(x)是分段

31、三次多項式,故只需S(x)C20,3 由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1所以,當(dāng)a=b=3,c=1時,S(x)是三次樣條函數(shù). 6-13.確定a，b，c,d,使函數(shù)3110)(3232xdxcxbxaxxxxS 由 3=S(1-0)=S(1+0)=b ,得 b=3 由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a ,得 a=3是一個三次樣條函數(shù),且S(2)=12. 解 由可得: a+b+c+d=2, b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12, 解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2. 6-19.給出函數(shù)表 解解 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,

32、0.25,0.75,1)T, =(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 那么得正那么方程組: 6a+0.5b=13.52 xi-1-0.500.25 0.751yi0.220.822.53.84.2試分別作出線性,二次曲線擬合,并給出最正確均方誤差. 0.5a+2.875b=7.055 解得:092353. 2078971. 2ba最正確均方誤差為:*22)(iiybxa 二次擬合,即形如y=a+bx+cx2 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, 2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T，=(0.22,0.8

33、,2,2.5, 3.8,4.2)T.那么得正那么方程組: 6a+0.5b+2.875c=13.52 0.5a+2.875b+0.3125c=7.055 解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.2.最正確均方誤差為:*2= =0.06943.22)(iiiycbxa 2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375 6-20.用最小二乘法求一個形如y=a+bx2的經(jīng)歷公式,使與以下數(shù)據(jù)擬合,并計算均方誤差. 解解 這里基函數(shù)為0(x)=1,1(x)=x2,構(gòu)造向量 0=(1,1,1,1,1)T, 1=(361,625,961,1089,1936)T, =

34、(19,32.2,49,73.3,97.8)T.那么得正那么方程組: 5a+4972b=271.3 4972a+6378484b=343237.5 解得:a=3.33339,b=0.051213.2.最正確均方誤差為:*222)(iiybxaxi1925313344yi1932.24973.397.8 6-22.用最小二乘法求以下方程組的近似解: 解解 記G(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(4x+2y-14)2 就是求G(x,y)的最小值,令1424623531142yxyxyxyx, 0186660yxxG0138986yxyG 7-1.建立右矩

35、形和左矩形求積公式,并導(dǎo)出誤差式.七七.習(xí)題習(xí)題7 (第第213頁頁) 解法解法. . 右矩形公式為：由于(x)-(a)=(x)(x-a), (x)-(b)=(x)(x-b) )()(abbfdxxfba 左矩形公式為：)()(abafdxxfba所以有 ),()(2)()()()()(2bafabdxbxfabbfdxxffRbaxba),()(2)()()()()(2bafabdxaxfabafdxxffRbaxba 7-2.說明中矩形公式的幾何意義,并證明 證明證明 由Taylor展開式有),()(24)()2()()(3bafabbafabdxxfba 所以有 3)(24)()(2()

36、(abfabbafdxxfba 2)2(2)()2)(2()2()(baxfbaxbafbafxfx (x)0,證明用梯形公式計算定積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大,說明幾何意義. 證明證明 因為(x)0,所以y=(x)是凹函數(shù),故結(jié)論成立. 7-5.確定以下積分公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高，并說明代數(shù)精度是多少？)()0()()() 1 (101hfAfAhfAdxxfhh 解 令公式對(x)=1,x,x2都準(zhǔn)確成立,那么有 解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3. A-1+A0+A1=2h -hA-1+hA1=0 h2A-1+h2A1=2h3/3求積公式為:)()0(4)(3)(hff

37、hfhdxxfhh (x)=x3時,左=右=0,公式也準(zhǔn)確成立 (x)=x4時,左=2h5/5,右=2h5/3,公式不準(zhǔn)確成立所以公式的代數(shù)準(zhǔn)確為3.)(3)(2) 1()()2(213111xfxffdxxf 解 令公式對(x)=1,x,x2都準(zhǔn)確成立,那么有 解得: 2=2 2x1+3x2-1=0 2x12+3x22+1=2求積公式為: (x)=x3時,公式都不準(zhǔn)確成立,故代數(shù)精度為2.126599. 0689899. 021xx526599. 0289899. 021xx或)126599. 0(3)689899. 0(2) 1(31)(11fffdxxf)526599. 0(3)2898

38、99. 0(2) 1(31)(11fffdxxf或)()0()()0(2)()3(20hffhhffhdxxfh 解解 當(dāng)(x)=1時,左=h，右=h，對所有都成立。 (x)=x時有左=右=h2/2，對所有都成立。 故公式的代數(shù)精度為3.)()()5(00112xfAdxxfx)()0(12)()0(2)(20hffhhffhdxxfh 解 令公式對(x)=1,x準(zhǔn)確成立,那么有 (x)=x2時,左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,那么有 (x)=x3時,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也準(zhǔn)確成立. (x)=x4時,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6

39、，不準(zhǔn)確成立. A0=2/3 A0 x0=0 解得A0=2/3,x0=0. 所以公式為)0(32)(112fdxxfx ,其代數(shù)精度為1. 解解 因為|(lnx)|=1/x21, |(lnx)(4)|=6/x46 要|I-Tn|9.13,故取n=10.IS2 導(dǎo)出兩點Gauss型求積公式. 假設(shè)取=10-3,分別求出n使復(fù)化梯形公式Tn,復(fù)化Simpson公式Sn的截斷誤差滿足: |I-Tn|,及|I-Sn| ,并計算Sn .,ln21xdxI,1012132n要|I-Sn|1.201,故取n=2.10,)(1lndxxfx 解解 區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為ln(1/x)的正交多項式為: P0(x)

40、=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252 令 p2(x)=0 ，解出Gauss點為： 再令公式對(x)=1,x準(zhǔn)確成立,可得 A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出所以兩點Gauss型求積公式為:1064921,106492121AA兩點Gauss型求積公式計算以下積分的近似值.)4210615()1094921()4210615()1094921()(1ln10ffdxxfx 解解 兩點Gauss-Legendre求積公式為: ,42106151x42106152xdxx11221cos1) 1 ()577350. 0()577350.

41、 0()(11ffdxxf所以有 解解 兩點Gauss-Laguerre求積公式為: A1=0.8535533905, A2=0.1464466094, 611151. 1cos111221dxxdxxx0sin)2(其中,)()()(2211021xfeAxfeAdxxfxx x1=0.5858864376, x2=3.4142135623, 所以有096221. 1sin0dxxxdxxex02)3(所以有 解解 兩點Gauss-Laguerre求積公式為: A1=A2=0.0.8862269254, -x1=x2=0.7071067811 ）同（2,)()()(212122110 xxA

42、AxfAxfAdxxfex所以有000102. 202dxxexdxxex21)4(2 解解 兩點Gauss-Hermit求積公式為:其中,)()()(22112xfAxfAdxxfex170804. 2122dxxex以下數(shù)值微分公式：其中，xj=x0+jh，j=0，1，2。 (x)= (x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2 )(3)()(4)(321)() 1 (22100fhxfxfxfhxf (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+R2(x0) )(12)()(2)(1)()2()4(221021fhx

43、fxfxfhxf (2) (x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2+R2(x) )(3)2()0(3)(461)0()3(2fhhffhfhf 證明證明 (1)以x0,x1,x2為節(jié)點的二次Lagrange插值為: + (x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 (x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2+R2(x) (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+h2 ()/3 容易證明 (x1)(x0)-2(x1)+(x2)/h2 對 (x)取次數(shù)不超過3次的多項式準(zhǔn)確成立. 構(gòu)造三次多項式p3(x)使p3(x0)

44、=(x0), p3(x1)=(x1), p3(x2)=(x2), p3(x1)=(x1), 那么有 (x)-p3(x)=(4)(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)/4!于是有 R2(x1)=(x1)-p3(x1)=(4)()(-2h2)/4!=-(4)()h2/12所以 (x1)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2-(h2/12)(4)() (3)以x0=-h,x1=0,x2=2h為節(jié)點的二次Lagrange插值為: (x)= 2x(x-2h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)/6h2 + (x)x(x+h)(x-2h)/6 (0)=-4(-h)+3(0)

45、+(2h)/6h+ R2(0) (x)=4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)/6h2+R2(x) (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h-h2 ()/3八八.習(xí)題習(xí)題8 (第第250頁頁) y+y=0 ， 00,證明如下方法的絕對穩(wěn)定性條件 證明 (1)改進Euler公式為： (1)改進Euler方法: (2)四階標(biāo)準(zhǔn)R-K方法:112221hh1144!4133! 3122!21hhhh)(21nnnnnyhyyhyynyhh)1 (2221故改進Euler方法的絕對穩(wěn)定條件為 . 112221hh (1)四階標(biāo)準(zhǔn)R-K公式為： 1! 41! 31! 211443322hhhh)2(2()2(2(2)2(2(61nnnnnnnnnnnnyhyhyhyyhyhyyhyyhyynyhhhh)! 41! 31! 211