系統(tǒng)工程第3講數(shù)學(xué)模型1ppt課件

1、 過程系統(tǒng)工程研究的內(nèi)容過程系統(tǒng)工程研究的內(nèi)容(ASO)和和4個(gè)基本問題個(gè)基本問題 （SDOS） 過程系統(tǒng)工程研究內(nèi)容的兩個(gè)案例過程系統(tǒng)工程研究內(nèi)容的兩個(gè)案例 （單元、系統(tǒng)（單元、系統(tǒng)) 過程系統(tǒng)工程的主要工具過程系統(tǒng)工程的主要工具-過程模擬系統(tǒng)過程模擬系統(tǒng) （組成、分類和用途）（組成、分類和用途） 過程系統(tǒng)工程的應(yīng)用過程系統(tǒng)工程的應(yīng)用Review of last lecture 過程系統(tǒng)工程研究的內(nèi)容過程系統(tǒng)工程研究的內(nèi)容(ASO)和和4個(gè)基本問題個(gè)基本問題 （SDOS） 過程系統(tǒng)工程研究內(nèi)容的兩個(gè)案例過程系統(tǒng)工程研究內(nèi)容的兩個(gè)案例 （單元、系統(tǒng)（單元、系統(tǒng)) 過程系統(tǒng)工程的主要工具過程系統(tǒng)

2、工程的主要工具-過程模擬系統(tǒng)過程模擬系統(tǒng) （組成、分類和用途）（組成、分類和用途） 過程系統(tǒng)工程的應(yīng)用過程系統(tǒng)工程的應(yīng)用Review of last lecture 物性數(shù)據(jù)物性數(shù)據(jù) 數(shù)學(xué)模型本章起）數(shù)學(xué)模型本章起） 計(jì)算方法計(jì)算方法化工過程模擬計(jì)算與優(yōu)化三要素化工過程模擬計(jì)算與優(yōu)化三要素4 第二章 數(shù)學(xué)模型本章內(nèi)容本章內(nèi)容概念、定義與分類概念、定義與分類 過程系統(tǒng)模型及其自由度過程系統(tǒng)模型及其自由度機(jī)理模型機(jī)理模型 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ图捌浣７椒ń?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ图捌浣７椒?流程結(jié)構(gòu)模型流程結(jié)構(gòu)模型流程模擬基本模型流程模擬基本模型*過程單元模型過程單元模型*關(guān)于數(shù)學(xué)模型預(yù)測性檢驗(yàn)的探關(guān)于數(shù)學(xué)模型預(yù)測性檢驗(yàn)的探

3、討討*2.1 2.1 概念、定義與分類概念、定義與分類 模型：可描述、表現(xiàn)原型某種特性的替代物模型：可描述、表現(xiàn)原型某種特性的替代物 物理模型物理模型 physical model 實(shí)物模型實(shí)物模型 concrete model 分類：分類： 幾何模型幾何模型 geometric model 概念模型概念模型 conceptual model 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 mathematical model ？數(shù)學(xué)模型是建模的最高境界，是對原型認(rèn)識深數(shù)學(xué)模型是建模的最高境界，是對原型認(rèn)識深刻、研究透徹的體現(xiàn)。（王教授語）刻、研究透徹的體現(xiàn)。（王教授語） 什么是數(shù)學(xué)模型？什么是數(shù)學(xué)模型？2.1.1 2.1

4、.1 模型模型 （modelmodel） 描述的是對象系統(tǒng)描述的是對象系統(tǒng) “如如何實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的物理過程何實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的物理過程 依靠物質(zhì)的基本形態(tài)所做的模仿依靠物質(zhì)的基本形態(tài)所做的模仿 使立體像對同名光線對相交所使立體像對同名光線對相交所構(gòu)成的與實(shí)地相似的模型。構(gòu)成的與實(shí)地相似的模型。 關(guān)于地理現(xiàn)象與過程的邏輯關(guān)于地理現(xiàn)象與過程的邏輯關(guān)系清楚的概念闡述模型關(guān)系清楚的概念闡述模型 茂名石化Case 1：y = 2*x 是數(shù)學(xué)模型；是數(shù)學(xué)模型；y = x2 是數(shù)學(xué)模型；是數(shù)學(xué)模型；Case 2：y 1= 2*x y2 = x2 方程組，方程組， 是數(shù)學(xué)模型；是數(shù)學(xué)模型；Case 3：y 1= 2*x

5、1 + 5x22y2 = x12 + 3*x 2 方程組，也是數(shù)學(xué)模型；如何表方程組，也是數(shù)學(xué)模型；如何表述？述？)()(bVbbVVabVRTP熱力學(xué)方程?數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：變量之間的約束關(guān)系數(shù)學(xué)模型：變量之間的約束關(guān)系 數(shù)學(xué)模型是一套數(shù)學(xué)關(guān)系式或數(shù)學(xué)符號，這些關(guān)系數(shù)學(xué)模型是一套數(shù)學(xué)關(guān)系式或數(shù)學(xué)符號，這些關(guān)系式或符號描述了系統(tǒng)的各種因素、特征、變量之間的數(shù)式或符號描述了系統(tǒng)的各種因素、特征、變量之間的數(shù)量關(guān)系或邏輯關(guān)系，是原型特性的數(shù)學(xué)描述。比如狀態(tài)量關(guān)系或邏輯關(guān)系，是原型特性的數(shù)學(xué)描述。比如狀態(tài)方程就是流體方程就是流體PVTPVT關(guān)系的數(shù)學(xué)模型關(guān)系的數(shù)學(xué)模型f( p, T, V )

6、 = 0 f( p, T, V ) = 0 或或 P=P(T,V)P=P(T,V)。數(shù)學(xué)模型 的分類流程模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)角度：物性模型、過程單元模型、流程模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)角度：物性模型、過程單元模型、建模的方式和信息依據(jù)：機(jī)理模型、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒５姆绞胶托畔⒁罁?jù)：機(jī)理模型、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ??)對象的概率特性：確定模型、隨機(jī)模型對象的概率特性：確定模型、隨機(jī)模型（變量之間的關(guān)系是否以統(tǒng)計(jì)值的形式給出）（變量之間的關(guān)系是否以統(tǒng)計(jì)值的形式給出）對象的時(shí)變特性對象的時(shí)變特性:定態(tài)穩(wěn)態(tài)模型、動態(tài)模型定態(tài)穩(wěn)態(tài)模型、動態(tài)模型對象的空間特性：集中參數(shù)模型、分布參數(shù)模型對象的空間特性：集中參數(shù)模型、分布參數(shù)模型 （參數(shù)是否與空

7、間位置有關(guān)）（參數(shù)是否與空間位置有關(guān)）實(shí)際使用目的：操作型模型、設(shè)計(jì)型模型實(shí)際使用目的：操作型模型、設(shè)計(jì)型模型 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型等系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型等數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類2.1.3 運(yùn)用模型方法的實(shí)例運(yùn)用模型方法的實(shí)例P12例例2-1 如圖2-1，在邊長為2的正方形中內(nèi)接一個(gè)圓。在正方形面積內(nèi)隨機(jī)地打上N個(gè)點(diǎn)，其中有n個(gè)點(diǎn)落在內(nèi)接圓中。如N足夠大，可認(rèn)為n與N之比近似等于圓形與正方形面積之比。即 2212 24 圖圖2-1 Monte Carlo Method蒙特蒙特卡羅方法計(jì)算圓周率卡羅方法計(jì)算圓周率 與概率方法無關(guān)的問題可以用與概率方法無關(guān)的問題可以用概率的方法來解決概率的方法來解決!nN故

8、當(dāng)故當(dāng)N足夠大時(shí)，有足夠大時(shí)，有4 nN蒙特卡羅蒙特卡羅(?)方法又稱統(tǒng)計(jì)方法又稱統(tǒng)計(jì)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)，是模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)，是一種隨機(jī)模擬方法，以概率一種隨機(jī)模擬方法，以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)或更常見的偽隨機(jī)數(shù)或更常見的偽隨機(jī)數(shù),有特有特定的程序來解決很多計(jì)算定的程序來解決很多計(jì)算問題的方法。將所求解的問問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問題的近似或抽樣，以獲得問題的近似解。解。 物性模型：是流程模擬中的最

9、基本的模型。其作用主要是解決被加物性模型：是流程模擬中的最基本的模型。其作用主要是解決被加工物料的狀態(tài)計(jì)算問題。通常包括焓、逸度、密度、壓力、溫度、工物料的狀態(tài)計(jì)算問題。通常包括焓、逸度、密度、壓力、溫度、相態(tài)、組成等計(jì)算。方法或理論來源自化工熱力學(xué)。相態(tài)、組成等計(jì)算。方法或理論來源自化工熱力學(xué)。單元模型：是為了解決基本單元過程與設(shè)備的計(jì)算問題，方法或理單元模型：是為了解決基本單元過程與設(shè)備的計(jì)算問題，方法或理論來源有化工原理、反應(yīng)工程、分離工程、傳遞原理等。論來源有化工原理、反應(yīng)工程、分離工程、傳遞原理等。 結(jié)構(gòu)模型：是描述整套裝置中各個(gè)單元過程之間聯(lián)系方式的模型。結(jié)構(gòu)模型：是描述整套裝置中

10、各個(gè)單元過程之間聯(lián)系方式的模型。經(jīng)濟(jì)模型經(jīng)濟(jì)模型: :經(jīng)濟(jì)分析經(jīng)濟(jì)分析控制模型控制模型: :動態(tài)模擬動態(tài)模擬用戶接口：自編模型用戶接口：自編模型流程模擬系統(tǒng)中的模型流程模擬系統(tǒng)中的模型2.1.4 流程模擬系統(tǒng)中的模型流程模擬系統(tǒng)中的模型2.1.5 2.1.5 評價(jià)模型的標(biāo)準(zhǔn)評價(jià)模型的標(biāo)準(zhǔn) 適用、簡單、預(yù)測性好是評價(jià)模型的根本標(biāo)準(zhǔn)。模型的適用、簡單、預(yù)測性好是評價(jià)模型的根本標(biāo)準(zhǔn)。模型的好壞與是否使用了復(fù)雜的方法、是否使用了前沿的成果、是好壞與是否使用了復(fù)雜的方法、是否使用了前沿的成果、是否使用了時(shí)髦的理論完全無關(guān)。（否使用了時(shí)髦的理論完全無關(guān)。（ 王教授語王教授語 ）轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2.32.3 2.3 機(jī)

11、理模型機(jī)理模型2.3.1 2.3.1 機(jī)理模型的特征機(jī)理模型的特征 （1機(jī)理模型的概念 對系統(tǒng)的各個(gè)組成部分及其相互聯(lián)系方式進(jìn)行研究，了解其各部分運(yùn)行的物理規(guī)律，然后利用已知的、經(jīng)過長期實(shí)踐檢驗(yàn)的公理，如質(zhì)量守恒、能量守恒、萬有引力定律等建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實(shí)質(zhì)上就是將系統(tǒng)分解至已知公理可以解釋的程度再進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述。 建模的方式和信息依據(jù)建模的方式和信息依據(jù)2.3 2.3 機(jī)理模型機(jī)理模型 （2機(jī)理模型的特征 在化工系統(tǒng)工程領(lǐng)域，對于流程模擬任務(wù)而言，所稱機(jī)理模型一般應(yīng)具有如下基本特征或其中部分特征）：確定的組分，統(tǒng)一、可靠的基礎(chǔ)物性數(shù)據(jù)。質(zhì)量衡算方程能量衡算方程嚴(yán)格的相平衡計(jì)算化學(xué)反應(yīng)

12、動力學(xué)或化學(xué)平衡計(jì)算傳遞與流動計(jì)算 ？2.3.2 2.3.2 建模手段與實(shí)例建模手段與實(shí)例 建模工作內(nèi)容：系統(tǒng)物理分析與數(shù)學(xué)推演建模工作內(nèi)容：系統(tǒng)物理分析與數(shù)學(xué)推演 （1)1)系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析 工作的思路工作的思路: :選定研究對象，明確系統(tǒng)的功能及與環(huán)境的信息交換；選定研究對象，明確系統(tǒng)的功能及與環(huán)境的信息交換；進(jìn)一步研究系統(tǒng)的物理規(guī)律，適當(dāng)?shù)暮喕⒓僭O(shè)；進(jìn)一步研究系統(tǒng)的物理規(guī)律，適當(dāng)?shù)暮喕?、假設(shè)；分解系統(tǒng)，劃分子系統(tǒng)及確定諸子系統(tǒng)間的聯(lián)系，直至各子分解系統(tǒng)，劃分子系統(tǒng)及確定諸子系統(tǒng)間的聯(lián)系，直至各子系統(tǒng)都可以運(yùn)用所熟悉的原理或假設(shè)給予解釋和描述為止。系統(tǒng)都可以運(yùn)用所熟悉的原理或假設(shè)給予解釋

13、和描述為止。 在某些特殊情況下，尤其系統(tǒng)較為復(fù)雜、未知物理規(guī)律較多在某些特殊情況下，尤其系統(tǒng)較為復(fù)雜、未知物理規(guī)律較多時(shí)，確實(shí)也可以首先建立系統(tǒng)的物理模型實(shí)驗(yàn)設(shè)備，為下一時(shí)，確實(shí)也可以首先建立系統(tǒng)的物理模型實(shí)驗(yàn)設(shè)備，為下一步總結(jié)物理規(guī)律服務(wù)。步總結(jié)物理規(guī)律服務(wù)。2.3.2 2.3.2 建模手段與實(shí)例建模手段與實(shí)例 （2)2)數(shù)學(xué)推演數(shù)學(xué)推演 在系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上寫出各子系統(tǒng)的有關(guān)數(shù)學(xué)在系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上寫出各子系統(tǒng)的有關(guān)數(shù)學(xué)表達(dá)式及各子系統(tǒng)相互聯(lián)系的表達(dá)式，形成系統(tǒng)數(shù)表達(dá)式及各子系統(tǒng)相互聯(lián)系的表達(dá)式，形成系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的雛形或原始形式；再根據(jù)模型求解與使用學(xué)模型的雛形或原始形式；再根據(jù)模型求解與使用

14、的需要對原始表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)、演算、整理、化簡，的需要對原始表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)、演算、整理、化簡，得到表達(dá)清晰、便于理解和計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。得到表達(dá)清晰、便于理解和計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。例例2-7 2-7 無相變單程逆流換熱器穩(wěn)態(tài)模型無相變單程逆流換熱器穩(wěn)態(tài)模型 A dAdTdtT1T2t1t2符號說明： 熱物流流率與比熱， 冷物流流率與比熱， 換熱量， 總傳熱系數(shù) 建模過程簡化假設(shè)：總傳熱系數(shù)K為常數(shù)；流體不可壓縮；流體比熱為常數(shù)；穩(wěn)態(tài)流動；忽略設(shè)備的熱容與傳遞滯后；與流動方向垂直的方向上無溫差；焓衡算用顯熱衡算代替。本例中因認(rèn)為流率與組成不變，進(jìn)出口流率為同一變量，故不存在質(zhì)量衡算關(guān)系式。AACW ,B

15、BCW ,QK無相變單程逆流無相變單程逆流換熱過程的模型換熱過程的模型系系統(tǒng)統(tǒng)分分析析首先由傳熱方程得：首先由傳熱方程得： 即即 (2-1) 由熱平衡可知：由熱平衡可知： 即即 那么那么 , 其中系數(shù)其中系數(shù) 將將 積分可得：積分可得： (2-2)將將(2-2)代入代入(2-1)得：得： (2-3)dAtTKdQ)(KdAtTdQdtCWdTCWdQBBAAAACWdQdTBBCWdQdtkdQdtdTtTd )(BBAABBAACWCWCWCWkkdQtTd )(kQtTtT21KdAkQtTdQ21數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)推推演演對對(2-3)積分積分: 再整理，得：再整理，得： (2-4) 式式2-4已

16、表達(dá)了換熱面積、換熱量、物流溫度等變量間的數(shù)量關(guān)系。已表達(dá)了換熱面積、換熱量、物流溫度等變量間的數(shù)量關(guān)系。但式中但式中t2為換熱終溫，非已知量，在操作型模擬問題中一般作為數(shù)學(xué)為換熱終溫，非已知量，在操作型模擬問題中一般作為數(shù)學(xué)模型中待求的狀態(tài)變量。故上式無法用作操作型模擬的數(shù)學(xué)模型。宜模型中待求的狀態(tài)變量。故上式無法用作操作型模擬的數(shù)學(xué)模型。宜設(shè)法消去設(shè)法消去t2 ?？捎衫湮锪鞯臒崞胶獾茫??？捎衫湮锪鞯臒崞胶獾茫?KAtTkQtTk)()(ln12121121kKAektTQ)(12ttCWQBB整理上式得：整理上式得： ，代入，代入(2-4)后再整理可得：后再整理可得： 若定義熱容流率比若定

17、義熱容流率比 則可化為則可化為 (2-5)式式(2-5)與如下兩式結(jié)合與如下兩式結(jié)合 (2-6) (2-7) 即構(gòu)成所需數(shù)學(xué)模型機(jī)理模型？）。當(dāng)給定冷、熱物流的物性熱即構(gòu)成所需數(shù)學(xué)模型機(jī)理模型？）。當(dāng)給定冷、熱物流的物性熱容和初態(tài)流率與溫度并已知設(shè)備參數(shù)容和初態(tài)流率與溫度并已知設(shè)備參數(shù)K和和A后，即可由后，即可由(2-5)算出換算出換熱量熱量Q,并進(jìn)而由熱平衡并進(jìn)而由熱平衡(2-6) (2-7)兩式算出冷、熱物流的終態(tài)溫度，完成兩式算出冷、熱物流的終態(tài)溫度，完成操作型模擬任務(wù)。操作型模擬任務(wù)。 BBCWQtt121) 1()(11kKABBkKABBekCWetTCWQBBBAAARCWCWR

18、1BBBBBBCWKARBCWKARBBeRetTCWQ)1()1(11)1 ()()(12ttCWQBB)(21TTCWQAA連續(xù)流動加熱水槽動態(tài)模型自學(xué)）連續(xù)流動加熱水槽動態(tài)模型自學(xué)） 符號說明：符號說明：F,T 流量流量(kg/hr)與溫度與溫度(K)，T0 環(huán)境溫度環(huán)境溫度(K)，C, 物性，比熱物性，比熱(kJ/kg.K)與密度與密度(kg/m3)，K, A 傳熱系數(shù)傳熱系數(shù)(kJ/h K m3) 與傳與傳熱面積熱面積(底面積底面積)(m2)，L, V 液位液位(m)與持液體積與持液體積(m3)，t 時(shí)間時(shí)間(h) 建模簡化假設(shè)：建模簡化假設(shè)：K，C，為常數(shù)，理想攪拌集中參數(shù)體系），

19、流體不為常數(shù)，理想攪拌集中參數(shù)體系），流體不可壓縮，忽略設(shè)備熱容與傳遞滯后，焓衡算用顯熱衡算代替?？蓧嚎s，忽略設(shè)備熱容與傳遞滯后，焓衡算用顯熱衡算代替。連續(xù)流動加熱水槽動態(tài)模型連續(xù)流動加熱水槽動態(tài)模型 （自學(xué)）（自學(xué)）首先考慮質(zhì)量衡算：首先考慮質(zhì)量衡算： ，即，即 (2-12)熱量衡算熱量衡算(顯熱衡算顯熱衡算)： 即即: 利用利用(2-12)，代入上式，消去，代入上式，消去 ,整理得：整理得： (2-13)式式(2-12)與式與式(2-13)即構(gòu)成了所需的數(shù)學(xué)模型機(jī)理模型）。此模型描述了即構(gòu)成了所需的數(shù)學(xué)模型機(jī)理模型）。此模型描述了液位與溫度隨時(shí)間的動態(tài)變化關(guān)系。如給定適當(dāng)初始條件，即可算出

20、液位與液位與溫度隨時(shí)間的動態(tài)變化關(guān)系。如給定適當(dāng)初始條件，即可算出液位與溫度隨時(shí)間的變化曲線。溫度隨時(shí)間的變化曲線。dtFFAdLdV)(1FFdtdLA1dtTTKAdtFCTdtCTFLTdACALCTdVCTd)()()()(011)()(011TTKAFCTCTFdtdLTdtdTLACdtdL)()(011TTKATTCFdtdTACL2.42.4經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚭mpirical modelempirical model及其建模方及其建模方法法 幾個(gè)環(huán)節(jié)幾個(gè)環(huán)節(jié) 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析抽樣或獲取觀測數(shù)據(jù)即掌握原型的實(shí)際信息）抽樣或獲取觀測數(shù)據(jù)即掌握原型的實(shí)際信息）確定函數(shù)形式確定函數(shù)形式

21、檢驗(yàn)與評價(jià)檢驗(yàn)與評價(jià)參數(shù)估值參數(shù)估值概念：不分析實(shí)際過程的機(jī)理，而是根據(jù)從實(shí)際得到的與過程有概念：不分析實(shí)際過程的機(jī)理，而是根據(jù)從實(shí)際得到的與過程有關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析、按誤差最小原則，歸納出該過程各關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析、按誤差最小原則，歸納出該過程各參數(shù)和變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，用這種方法所得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式參數(shù)和變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，用這種方法所得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停谙淠Ｐ头Q為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，黑箱模型Black box） 。2.4.1 2.4.1 建模問題的描述建模問題的描述 系系 統(tǒng)統(tǒng)xY輸入變量輸入變量輸出變量輸出變量待建模系統(tǒng)待建模系統(tǒng)系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析獲取觀測數(shù)據(jù)獲取觀測數(shù)據(jù)

22、xj，yj），），j=1,m選擇函數(shù)選擇函數(shù)y=fx，b） 參數(shù)估值，確定參數(shù)估值，確定b，使得模型計(jì)算值與實(shí)測值盡量擬合，使得模型計(jì)算值與實(shí)測值盡量擬合檢驗(yàn)與評價(jià)檢驗(yàn)與評價(jià)如何估值？如何估值？建?；静襟E建模基本步驟 2.4.2 2.4.2 最小二乘法最小二乘法* * mjjjbxfyJ12),(mjjjbbxfyJ12),(min構(gòu)造誤差函數(shù)構(gòu)造誤差函數(shù)極值點(diǎn)問題極值點(diǎn)問題Note： J為函數(shù)，為函數(shù)，b為決策變量！為決策變量?。∟ote： J為函數(shù)，為函數(shù)，b為模型參數(shù)?。槟Ｐ蛥?shù)?。﹜=fx，b）關(guān)于最小二乘法關(guān)于最小二乘法the least square method the le

23、ast square method ） 最小二乘法是一種數(shù)學(xué)方法，用于曲線擬合。最小二乘法是一種數(shù)學(xué)方法，用于曲線擬合。二乘，就是平方，是早年翻譯的沿用。二乘，就是平方，是早年翻譯的沿用。 當(dāng)在實(shí)驗(yàn)中獲得自變量與因變量的一系列對應(yīng)當(dāng)在實(shí)驗(yàn)中獲得自變量與因變量的一系列對應(yīng)數(shù)據(jù)數(shù)據(jù),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),.(xn,yn)時(shí)，要找出時(shí)，要找出一個(gè)已知類型的函數(shù)，一個(gè)已知類型的函數(shù)，y=f(x)，與之?dāng)M合，使得實(shí)，與之?dāng)M合，使得實(shí)際數(shù)據(jù)和理論曲線的離差平方和：際數(shù)據(jù)和理論曲線的離差平方和：yi-f(xi)2為最為最小。這種求小。這種求f(x)的方法，叫做最小二乘法。的方法，叫

24、做最小二乘法。 niiinnxbbxbxbxbby1022110mjnijiijbxbbyJ1210)(min0110() ( 2)0mnjii jjiJybb xb 令0)2( )(110令kjmjnijiijkxxbbybJ2.4.3 2.4.3 多元線性回歸多元線性回歸* * *（自學(xué)）（自學(xué)）最小二乘問題最小二乘問題轉(zhuǎn)化成多元線轉(zhuǎn)化成多元線性回歸問題性回歸問題如果選擇函數(shù)如果選擇函數(shù)niiixbyb10niykiiklbl1niykiiklbl1求出求出bi求出求出b0有現(xiàn)成的計(jì)算程序！有現(xiàn)成的計(jì)算程序！2.4.4 2.4.4 一元線性回歸一元線性回歸one dimensional l

25、inear one dimensional linear regression regression （自學(xué)）（自學(xué)） 當(dāng)當(dāng)n=1n=1，多元線性回歸轉(zhuǎn)化成一元線性回歸，即直線擬，多元線性回歸轉(zhuǎn)化成一元線性回歸，即直線擬合問題：合問題： Y=b0+b1XY=b0+b1X見教材見教材p28)p28) 特別需要注意經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用范圍，即經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷亩x域。特別需要注意經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用范圍，即經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷亩x域。 從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，線性模型的自變量定義域?yàn)闊o窮大。但實(shí)際上經(jīng)驗(yàn)從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，線性模型的自變量定義域?yàn)闊o窮大。但實(shí)際上經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ图词故蔷€性模型的定義域是受到嚴(yán)格限制的。這些限制由物理模型即使是線性模

26、型的定義域是受到嚴(yán)格限制的。這些限制由物理意義、樣本抽樣范圍等決定。意義、樣本抽樣范圍等決定。 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用范圍或定義域應(yīng)限制在模型變量的抽樣范圍之內(nèi)。如經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用范圍或定義域應(yīng)限制在模型變量的抽樣范圍之內(nèi)。如在抽樣范圍以外使用，則屬外推使用。外推使用時(shí)，預(yù)測效果無法考察，在抽樣范圍以外使用，則屬外推使用。外推使用時(shí)，預(yù)測效果無法考察，易導(dǎo)致重大預(yù)測失誤。尤其在失去物理意義的范圍上外推使用以及建模易導(dǎo)致重大預(yù)測失誤。尤其在失去物理意義的范圍上外推使用以及建模時(shí)依據(jù)的樣本方差較大、樣本容量較小時(shí)，外推使用更不可取。時(shí)依據(jù)的樣本方差較大、樣本容量較小時(shí)，外推使用更不可取。2.4.5 2.4.

27、5 適用范圍與使用單位適用范圍與使用單位 2.4.6 2.4.6 線性化方法自學(xué)）線性化方法自學(xué)） niiinnxbxbxbxbby0221021210bbxxby xbeby10baxxyy=a+bx2.4.7 2.4.7 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) （自學(xué)）（自學(xué)） 利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，可對多元線性回歸的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，可對多元線性回歸的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。最常用的是對模型參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。原假設(shè)驗(yàn)。最常用的是對模型參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。原假設(shè)H0H0為為: : nibi, 2 , 1, 0 統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量：TSS=L TSS=L mjjmjjyyymyyylL12212)(mjjy

28、yU12)(),(bxfyjjmjjjyyQ12)(UQL回歸平方和，ESS，反映由模型中解釋變量所解釋的那部分離差的大小TSS為總體平方和為總體平方和Total Sum of Squares），反），反映樣本觀測值總體離差的大映樣本觀測值總體離差的大小小RSS為殘差平方和為殘差平方和Residual Sum of Squares），反映樣），反映樣本觀測值與估計(jì)值偏離的大小，本觀測值與估計(jì)值偏離的大小，也是模型中解釋變量未解釋的那也是模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小。部分離差的大小。顯著性檢驗(yàn)即用于實(shí)驗(yàn)處理組與對照組或顯著性檢驗(yàn)即用于實(shí)驗(yàn)處理組與對照組或兩種不同處理的效應(yīng)之間是否有差異

29、，以兩種不同處理的效應(yīng)之間是否有差異，以及這種差異是否顯著的方法。及這種差異是否顯著的方法。 2.4.7 2.4.7 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)自學(xué)，會用即可）統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)自學(xué)，會用即可） ) 1(nmQnUF) 1,( nmnF檢驗(yàn)步驟：檢驗(yàn)步驟：確定置信度確定置信度，查，查F分布得對應(yīng)的分布得對應(yīng)的方差比臨界值方差比臨界值F；將統(tǒng)計(jì)量將統(tǒng)計(jì)量F計(jì)算值與臨界值比較；計(jì)算值與臨界值比較；確定是否為小概率？確定是否為小概率？NOTE：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的角度：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的角度提出了取舍模型的判據(jù)。由于統(tǒng)計(jì)檢提出了取舍模型的判據(jù)。由于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)時(shí)所用的前提條件在實(shí)際中未必滿驗(yàn)時(shí)所用的前提條件在實(shí)際中未必滿足以及統(tǒng)

30、計(jì)檢驗(yàn)方法本身的各種局限，足以及統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法本身的各種局限，在評判模型時(shí)不能過多地依賴統(tǒng)計(jì)檢在評判模型時(shí)不能過多地依賴統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，而應(yīng)立足于實(shí)際，充分利用有關(guān)驗(yàn)，而應(yīng)立足于實(shí)際，充分利用有關(guān)專業(yè)領(lǐng)域的理論和實(shí)踐知識，對經(jīng)驗(yàn)專業(yè)領(lǐng)域的理論和實(shí)踐知識，對經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行客觀、全面的考察、評判。模型進(jìn)行客觀、全面的考察、評判。U：回歸平方和；：回歸平方和；Q：剩余平方和：剩余平方和F檢驗(yàn)，檢驗(yàn)依據(jù)樣本估計(jì)的回歸方檢驗(yàn)，檢驗(yàn)依據(jù)樣本估計(jì)的回歸方程所體現(xiàn)的被解釋變量與解釋變量之程所體現(xiàn)的被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立 顯著性檢驗(yàn)依據(jù)及其他顯著性檢驗(yàn)依據(jù)及

31、其他1、小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，假若、小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，假若在一次試驗(yàn)中事件在一次試驗(yàn)中事件 事實(shí)上發(fā)生了。那只能認(rèn)為事件事實(shí)上發(fā)生了。那只能認(rèn)為事件 不是來自我們假設(shè)的總不是來自我們假設(shè)的總體，也就是認(rèn)為我們對總體所做的假設(shè)不正確。體，也就是認(rèn)為我們對總體所做的假設(shè)不正確。 2、觀察到的顯著水平：由樣本資料計(jì)算出來的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀察值所截、觀察到的顯著水平：由樣本資料計(jì)算出來的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀察值所截取的尾部面積。這個(gè)概率越小，反對原假設(shè)，觀察到的差異便越加理由充分取的尾部面積。這個(gè)概率越小，反對原假設(shè)，觀察到的差異便越加理由充分地

32、表明真實(shí)差異存在。地表明真實(shí)差異存在。 3、檢驗(yàn)所用的顯著水平：針對具體問題的具體特點(diǎn)，事先規(guī)定這個(gè)檢、檢驗(yàn)所用的顯著水平：針對具體問題的具體特點(diǎn)，事先規(guī)定這個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。 4、在檢驗(yàn)的操作中，把觀察到的顯著性水平與作為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的顯著水、在檢驗(yàn)的操作中，把觀察到的顯著性水平與作為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的顯著水平標(biāo)準(zhǔn)比較，小于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，得到了拒絕原假設(shè)的證據(jù)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)表平標(biāo)準(zhǔn)比較，小于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，得到了拒絕原假設(shè)的證據(jù)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)表明了真實(shí)差異存在。大于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，拒絕原假設(shè)的證據(jù)不足，認(rèn)為樣本數(shù)明了真實(shí)差異存在。大于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，拒絕原假設(shè)的證據(jù)不足，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)不足以表明真實(shí)差異存在。據(jù)不足以表明真實(shí)差異存在。 2.4.8 2.4.8 數(shù)值精度與數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值精度與數(shù)值穩(wěn)定性 在求解方程組的過程中，需要特別注意數(shù)值精度問題。無論是在求解方程組的過程中，需要特別注意數(shù)值精度問題。無論是手算或利用計(jì)算機(jī)編程序計(jì)算，都必需在運(yùn)算過程中盡可能保留