三男四女排隊(duì)30問小結(jié)

1、三男四女排隊(duì)三男四女排隊(duì)3030問小結(jié)問小結(jié) 湖南省洞口一中湖南省洞口一中 曾維勇曾維勇 典例典例 ：有：有3名男生和名男生和4名女生，若分別滿足下名女生，若分別滿足下 列條件，列條件， 則各有多少種不同的排法：則各有多少種不同的排法：1全體排一排：全體排一排： _775040A解：解：無限制條件，無限制條件，問題可以看作：問題可以看作： 7個(gè)元素的全排列個(gè)元素的全排列A775040.選人排一排：選人排一排：_5555772520C AA5557572520CAA先選后排法：先選后排法：甲站在正中間：甲站在正中間： _66720A解：解：位置分析法位置分析法，先安排甲在第四號(hào)位，先安排甲在第四

2、號(hào)位，余下的余下的6個(gè)元素的全排列個(gè)元素的全排列A66 =720 (變式變式)7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在首位位同學(xué)站成一排，其中甲不站在首位:解一：解一：甲站其余六個(gè)位置之一有甲站其余六個(gè)位置之一有A61種，其余種，其余6人人 全排列有全排列有A66 種，共有種，共有A61 A66 =4320。解二：解二：從其他從其他6人中先選出一人站首位有人中先選出一人站首位有A61，剩下，剩下6人人 （含甲）全排列，有（含甲）全排列，有A66 ，共有，共有A61 A66 =4320。解三：解三：7人全排列有人全排列有A77，甲在首位的有，甲在首位的有A66， 所以共有所以共有 A77- A66=7 A

3、66- A66=4320。位置分析法位置分析法 甲只能站在正中間或兩頭：甲只能站在正中間或兩頭： _16362160A A13A66A16362160A A 利用利用元素分析法元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲在，甲為特殊元素，故先安排甲在左、右、中共三個(gè)位置，有左、右、中共三個(gè)位置，有種，其余種，其余6人全排列，人全排列，有有 種由乘法原理得種由乘法原理得種種 甲既不在排頭也不在排尾：甲既不在排頭也不在排尾： _25761665765623600A A AA AA 由由位置分析法位置分析法,先從其余先從其余6人中選人中選2人放在排頭和排尾，人放在排頭和排尾，再排其它再排其它5個(gè)位，有：個(gè)位

4、，有：25653600;A A 15A66A1656A A767623600.AA或由或由元素分析法元素分析法，先安排甲在中間的位置上為，先安排甲在中間的位置上為 種，再排其余種，再排其余6人有人有種，故：種，故：也可由也可由間接法間接法得：得：甲、乙必須在兩頭：甲、乙必須在兩頭： _2525240A A根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步第一步: 甲、乙站在兩端有甲、乙站在兩端有A22種；第二步種；第二步: 余下的余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有名同學(xué)進(jìn)行全排列有A55種種 則共有則共有A22 A55 =240種排列方法種排列方法.甲乙乙甲 abcde ebdcaA55A55A22A22甲、

5、乙不站排頭和排尾：甲、乙不站排頭和排尾： _25552400AA解法一：第一步解法一：第一步 從（除去甲、乙）其余的從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選位同學(xué)中選 2位同學(xué)站在排頭和排尾有位同學(xué)站在排頭和排尾有A52種方法；第二步種方法；第二步 從余下的從余下的5位同學(xué)中選位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）位進(jìn)行排列（全排列） 有有A55種方法種方法 ，所以共有，所以共有A52 A55 2400種方法種方法解法二：若甲站在排頭有解法二：若甲站在排頭有A66種方法；若乙站在排尾有種方法；若乙站在排尾有A66種種 方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有A55種方法種方法

6、所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有 A77 4 A66 2A55=2400種種對(duì)于對(duì)于“在在”與與“不在不在”等有等有特殊元素或特殊位置特殊元素或特殊位置的排列的排列問題，通常是問題，通常是先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置，稱為，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法優(yōu)限法）。）。（直接法）（直接法） （排除法）（排除法） 甲不在排頭、乙不在排尾：甲不在排頭、乙不在排尾： _765161561157656655655523720AA A AA AA A AAA位置分析法位置分析法先排最左邊，除去甲外，有

7、先排最左邊，除去甲外，有種，余下的種，余下的6個(gè)位置全排有個(gè)位置全排有剔除乙在最右邊的排法數(shù)剔除乙在最右邊的排法數(shù)條件條件的排法共有的排法共有種，但應(yīng)種，但應(yīng)1555AA16A66A種則符合種則符合161566553720A AA A甲在乙的右邊：甲在乙的右邊： _77125202A77125202A 對(duì)稱性對(duì)稱性(比例法比例法)甲、乙必須相鄰：甲、乙必須相鄰： _62621440A A解：解：先將甲、乙兩位同學(xué)先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的在一起看成一個(gè)元素與其余的 5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有 種方法；再將甲、種方法；再將甲、 乙

8、兩個(gè)同學(xué)乙兩個(gè)同學(xué)“松綁松綁”進(jìn)行排列有進(jìn)行排列有 種方法所以這樣的排種方法所以這樣的排 法一共有法一共有 種種對(duì)于相鄰問題，常用對(duì)于相鄰問題，常用“捆綁法捆綁法”（先捆后松）（先捆后松） 66A22A62621440A A甲、乙不能相鄰：甲、乙不能相鄰： _76252762563600AA AA A 解法一：解法一：（排除法排除法） A77-A66 A22 =3600 解法二：解法二：（插空法插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有A55種方法，種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為“空空” ），再將甲、乙同學(xué)），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（分別

9、插入這六個(gè)位置（空空）有）有A62種方法，種方法，cbade所以一共有所以一共有A55 A62=3600種方法種方法乙乙甲甲說明：對(duì)于不相鄰問題，常用說明：對(duì)于不相鄰問題，常用“插空法插空法”（特殊元素后考（特殊元素后考慮）慮） (比例法比例法) 77536007A 甲、乙、丙三人都相鄰：甲、乙、丙三人都相鄰： _53537 2 0A A5353720AA解：先將甲、乙、丙三位同學(xué)解：先將甲、乙、丙三位同學(xué)“捆綁捆綁”在一起看成一個(gè)元素與在一起看成一個(gè)元素與 其余的其余的4個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有 種方法；種方法； 再將甲、乙、丙三人再將甲、乙、丙三人“松綁

10、松綁”進(jìn)行排列有進(jìn)行排列有 種方法種方法 所以這樣的排所以這樣的排 法一共有法一共有 種種55A33A甲、乙、丙三人都不相鄰：甲、乙、丙三人都不相鄰： _43451 4 4 0AA 解：解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有先將其余四個(gè)同學(xué)排好有A44種方法，此時(shí)他們種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)留下五個(gè)“空空”，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這這五個(gè)五個(gè)“空空”有有A53種方法，所以一共有種方法，所以一共有A44 A53 1440種種小結(jié)小結(jié)：對(duì)于：對(duì)于不相鄰不相鄰問題，常用問題，常用“插空法插空法”（特殊元素（特殊元素考慮）考慮）人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，人排成一排，

11、其中甲、乙、丙三人中， 有兩人相鄰，但這三人不同時(shí)相鄰：有兩人相鄰，但這三人不同時(shí)相鄰： _2753434227534545232880CA AA AA AAA5353AA4345AA 解：解：（排除法）（排除法）剔除三人都相鄰剔除三人都相鄰和和三人都不相鄰三人都不相鄰即可即可. .男女生各站在一起：男女生各站在一起： _342342288A A A 解：將甲、乙、丙三個(gè)解：將甲、乙、丙三個(gè)男男同學(xué)同學(xué)“捆綁捆綁”在一起看成一個(gè)在一起看成一個(gè) 元素，另外四個(gè)元素，另外四個(gè)女女同學(xué)同學(xué)“捆綁捆綁”在一起看成一個(gè)元在一起看成一個(gè)元 素，一共有素，一共有2 2個(gè)元素，個(gè)元素，先捆后松先捆后松 一共有

12、排法種數(shù)：一共有排法種數(shù)：342342288A A A （種）（種）. .男生必排在一起：男生必排在一起： _ ( 或女生必排在一起：或女生必排在一起：_ )3535720A A4444576A A 解解: : 3 3個(gè)男同學(xué)是特殊元素，個(gè)男同學(xué)是特殊元素，將甲、乙、丙三個(gè)男同學(xué)將甲、乙、丙三個(gè)男同學(xué) “ “捆綁捆綁”在一起看成一個(gè)元素，在一起看成一個(gè)元素，與女同學(xué)排隊(duì)，這與女同學(xué)排隊(duì)，這 時(shí)是時(shí)是5 5個(gè)元素的全排列，應(yīng)有個(gè)元素的全排列，應(yīng)有A A5 55 5種排法種排法; ;再將再將3 3個(gè)男個(gè)男 同學(xué)松綁有同學(xué)松綁有A A3 33 3種排法種排法, ,由乘法原理，有由乘法原理，有: :

13、A A3 33 3A A5 55 5種種=720=720種不同排法種不同排法. .男女各不相鄰男女各不相鄰(即男女相間、即男女相間、 4女互不相鄰女互不相鄰)： _34341 4 4A A插空法插空法先排好男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位，先排好男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位， 共有共有 種排法種排法.3434144A A男生不排在一起：男生不排在一起： _7357354320AA A 解：解：（排除法）（排除法）剔除男生排在一起的剔除男生排在一起的即可即可. .3535A A任何兩男生彼此不相鄰：任何兩男生彼此不相鄰： _43451440A A 先將先將4女生排好女生排好, 共有共有A

14、44種排法種排法, 再在這再在這4個(gè)女生的中間及兩頭的個(gè)女生的中間及兩頭的5個(gè)空檔中個(gè)空檔中插入插入3個(gè)男生有個(gè)男生有A53種方案種方案, 故符合條件的排故符合條件的排法共有法共有A44A53=1440種不同排法種不同排法. 插空法先排女生，然后在空位中插入男生插空法先排女生，然后在空位中插入男生. 甲、乙兩人之間須相隔人：甲、乙兩人之間須相隔人： _1255251200A A A從除甲、乙以外的從除甲、乙以外的5人中選人中選1人排在甲、乙中間的排法有人排在甲、乙中間的排法有 種種,并視為一個(gè)整體，將整體和剩余并視為一個(gè)整體，將整體和剩余4人排成一排有人排成一排有 , 再將甲、乙再將甲、乙松綁

15、松綁有有 共有共有: 種種55A15A22A1255251200A A A甲、乙兩人中間恰有甲、乙兩人中間恰有3人：人： _25323255233720A AA A A甲、乙甲、乙2人先排好，有人先排好，有A22種排法種排法,再從余下再從余下5人中選人中選3個(gè)排在甲、乙個(gè)排在甲、乙2人中間人中間, 有有A53種排法種排法, 這時(shí)把已排好的這時(shí)把已排好的5人視為一個(gè)整體人視為一個(gè)整體, 與最后剩與最后剩下的下的2人再排人再排, 又有又有A33種排法，這樣總共有種排法，這樣總共有A22 A53A33 =720種不同排法種不同排法.甲、乙、丙甲、乙、丙3人自左至右順序不變?nèi)俗宰笾劣翼樞虿蛔?(即男生

16、順序一定即男生順序一定,只排女生只排女生)： _ 7473738 4 0AAA（法一）：（法一）：設(shè)想有設(shè)想有7 7個(gè)位置，先將其他個(gè)位置，先將其他4 4人排好，有人排好，有 種排法；種排法； 再將甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排在剩下的再將甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排在剩下的 3 3個(gè)位置上，只有個(gè)位置上，只有1 1種排法，一共種排法，一共 種方法種方法. .（法二）：（法二）：設(shè)想有設(shè)想有7 7個(gè)位置，先將甲、乙、丙三人自左向右從高到矮個(gè)位置，先將甲、乙、丙三人自左向右從高到矮 排在其中的排在其中的3 3個(gè)位置上，有個(gè)位置上，有 種排法；將其他種排法；將其他4 4人排在人排在 剩下的剩

17、下的4 4個(gè)位置上，有個(gè)位置上，有 種排法；共有種排法；共有: : 種方法種方法 47A471840A 44A37C3474840C A （變式題）其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？（變式題）其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？（插空法）（插空法）先將其余先將其余4個(gè)同學(xué)進(jìn)行全排列一共有個(gè)同學(xué)進(jìn)行全排列一共有 種方法，種方法， 再將甲、乙、丙三名同學(xué)插入再將甲、乙、丙三名同學(xué)插入5個(gè)空位置中（但無個(gè)空位置中（但無 需要進(jìn)行排列）有需要進(jìn)行排列）有 種方法一共有種方法一共有: 種方法種方法（法三）（法三）：對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列，則為七個(gè)

18、人的全排列，：對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列，則為七個(gè)人的全排列，因此因此 77373733840.NNAAAA44A35C3445240CA從左到右，從左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁名女生按甲、乙、丙、丁 的順序不變的順序不變(即只排男生即只排男生)： _7374742 1 0AAA 方法方法1：(比例法比例法) 737744210ANAA方法方法2 2：設(shè)想有：設(shè)想有7 7個(gè)位置，先將男生排在其中的任意個(gè)位置，先將男生排在其中的任意3 3個(gè)個(gè) 位置上，有位置上，有 種排法；余下的種排法；余下的4 4個(gè)位置排女個(gè)位置排女 生，因?yàn)榕奈恢靡呀?jīng)指定，所以她們只有生，因?yàn)榕奈恢靡呀?jīng)指定，所以她們

19、只有 一種排法一種排法. .故本題的結(jié)論為故本題的結(jié)論為 （種）（種）. .37A371210A 甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰：甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰： _422425960AAA安排甲、乙和丙安排甲、乙和丙3人以外的其他人以外的其他4人，有人，有A44種排種排法；由于甲、乙要相鄰法；由于甲、乙要相鄰, 故再把甲、乙排好故再把甲、乙排好, 有有A22種排法種排法, 最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的別插入原先排好的4人的人的空檔中空檔中有有A52種排法種排法, 這這樣樣, 總共有總共有A44 A22 A52=960種不同排法種不同排法.甲

20、、乙相鄰且丙不站排頭和排尾：甲、乙相鄰且丙不站排頭和排尾： _242152652542452652(2)960A A AA A AAA A解法一：解法一：將甲、乙兩同學(xué)將甲、乙兩同學(xué)“捆綁捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)個(gè)元素中選取元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有個(gè)元素放在排頭和排尾，有A52種方法；將剩下的種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有個(gè)元素進(jìn)行全排列有A44種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁松綁”進(jìn)行排列有進(jìn)行排列

21、有A22種方法所以這樣的排法一共有種方法所以這樣的排法一共有:A52 A44 A22 960種方法種方法解法二：解法二：將甲、乙兩同學(xué)將甲、乙兩同學(xué)“捆綁捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有有6個(gè)元素，個(gè)元素， 若若丙站在排頭或排尾有丙站在排頭或排尾有2A55種種方法，方法， 所以丙不能所以丙不能站在排頭和排尾的排法有（站在排頭和排尾的排法有（ A66 -2A55） A22=960種方法種方法 小結(jié)：小結(jié)：對(duì)于相鄰問題，常用對(duì)于相鄰問題，常用 “ 捆 綁 法捆 綁 法 ” （ 先 捆 后先 捆 后松松）解法三：解法三：將甲、乙兩同學(xué)將甲、乙兩同學(xué)“捆綁捆綁”在一起看成一個(gè)元素，在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有A41種方法，再將其種方法，再將其余的余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有個(gè)元素進(jìn)行全排列共有A55種方法，最后將甲、乙種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)兩同學(xué)“松綁松綁”，所以這樣的排法一共有，所以這樣的排法一共有: A41 A55 A22 960種方法種方法排成前后兩排，前排成前后兩排，前3人后人后4人：人： _3477475040AAA解：解： （多排問題單排法