平面向量(學(xué)生版)

1、平面向量復(fù)習(xí)指導(dǎo)教師：謝煥鋼1）向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡捷。2）向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義共線；定比分點(diǎn)基本圖形起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。3） 向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法

2、與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積·=|cos<,>記=(x1,y1), =(x2,y2)則·=x1x2+y1y24） 運(yùn)算律加法：+=+，(+)+=+(+)實(shí)數(shù)與向量的乘積：(+)=+；(+)=+，()=() 兩個(gè)向量的數(shù)量積：·=·；()·=·()=(·)，(+)·=·+·說明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘

3、積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算，例如(±)2=5） 重要定理、公式 （a）平面向量基本定理；如果+是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對數(shù)數(shù)1，2，滿足=1+2，稱1+2為，的線性組合。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)（b）兩個(gè)向量平行的充要條件符號語言：若，則=坐標(biāo)語言為：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y

4、2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實(shí)數(shù)是唯一存在的，當(dāng)與同向時(shí)，>0；當(dāng)與異向時(shí)，<0。|=，的大小由及的大小確定。因此，當(dāng)，確定時(shí)，的符號與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。 （c）兩個(gè)向量垂直的充要條件符號語言：·=0坐標(biāo)語言：設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0（d）線段定比分點(diǎn)公式如圖，設(shè)則定比分點(diǎn)向量式：定比分點(diǎn)坐標(biāo)式：設(shè)P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）則特例：當(dāng)=1時(shí)，就得到中點(diǎn)公式：，實(shí)際上，對于起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線三個(gè)向量，（O與P1P2不共線），總有=u+v，u+v=1，即總可以用其中兩個(gè)向

5、量的線性組合表示第三個(gè)向量，且系數(shù)和為1。5)向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標(biāo)系的引入，體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點(diǎn)。四、 典型例題：例1、如圖，為單位向量，與夾角為1200，與的夾角為450，|=5，用，表示。例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標(biāo)。 例4、在OAB的邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記= ，=，用 ，表示向量。例5、已知長方

6、形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點(diǎn)，P為AB上一點(diǎn)（1） 利用向量知識判定點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PED=450；（2） 若PED=450，求證：P、D、C、E四點(diǎn)共圓。平面向量練習(xí)一、選擇題1若(2，4)，(1，3)，則 ( )A(1，1)B(1，1)C(3，7)D(3，7)2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab與b垂直，則|a| ( )A1BC2D43已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，則2a3b ( )A(5，10)B(4，8)C(3，6)D(2，4)4在ABC中，若點(diǎn)D滿足，則( )ABCD5已知平面向量a(x，1)，b(x，x2)，則向量ab ( )A平行于x軸B平行于第一、三象限的角平分線C平行于y軸D平行于第二、四象限的角平分線二、填空題6已知平面向量a(1，1)，b(1，1)，則向量_7設(shè)向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab與向量c(4，7)共線，則_8已知向量a與b的夾角為120°，且|a|b|4，那么b·(2ab)的值為_9已知向量a(1，)，b(2，0)，則|ab|_10在ABC中，A60 ，則_三、解答題11若點(diǎn)A(1，1)，B(1，3)，C(x，5)共線，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及中實(shí)數(shù)的值12已知e1、e2是夾角為60&