高等數(shù)學集合常量與變量ppt課件

1、一、集合一、集合 常量與變量常量與變量 二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念 三、函數(shù)的幾種特性三、函數(shù)的幾種特性四、反函數(shù)四、反函數(shù) 1 1。1 1 函函 數(shù)數(shù)函數(shù)舉例定義域、函數(shù)的圖形、函數(shù)的定義、集合、 區(qū)間、 鄰域、 常量與變量有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性1. 集合集合集合集合(簡稱集簡稱集): 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。集合用體。集合用A，B，M等表示。等表示。元素元素: 組成集合的事物稱為集合的元素。組成集合的事物稱為集合的元素。a 是集合是集合M的的元素表示為元素表示為aM。集合的表示集合的表示: (1) A=a, b, c, d, e, f,

2、 g。 (2) M=(x, y) | x，y為實數(shù)，為實數(shù)，x2+y2 =1。一、集合一、集合 常量與變量常量與變量幾個數(shù)集幾個數(shù)集: N表示所有自然數(shù)構成的集合，稱為自然數(shù)集。表示所有自然數(shù)構成的集合，稱為自然數(shù)集。 R表示所有實數(shù)構成的集合，稱為實數(shù)集。表示所有實數(shù)構成的集合，稱為實數(shù)集。 Z表示所有整數(shù)構成的集合，稱為整數(shù)集。表示所有整數(shù)構成的集合，稱為整數(shù)集。 Q表示所有有理數(shù)構成的集合，稱為有理集。表示所有有理數(shù)構成的集合，稱為有理集。子集子集: 若若xA，則必有，則必有xB，則稱，則稱A是是B 的子集，記為的子集，記為AB讀作讀作A包含于包含于B）。）。 顯然，顯然，N Z ，Z

3、Q ，Q R 。 數(shù)集x|axb稱為開區(qū)間，記為(a, b)，即 (a, b)=x|axb。xOab(a， b) a, b=x|axb稱為閉區(qū)間。xOaba， b a, b)=x|axb及 (a, b=x|axb稱為半開區(qū)間。xOaba， b)xOab(a， b區(qū)間區(qū)間: 上述區(qū)間都是有限區(qū)間，其中a 和 b 稱為區(qū)間的端點，b-a 稱為區(qū)間的長度。 xOaa，+)xOb(- ， b(-, b = x|xb，(-,+) = x| |x|0，則稱區(qū)間，則稱區(qū)間(a-, a+)為點為點a 的的鄰域，鄰域，記作記作U(a, )，即，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。其中點其中點

4、 a 稱為鄰域的中心稱為鄰域的中心, 稱為鄰域的半徑。稱為鄰域的半徑。去心鄰域去心鄰域: (a,) =x |0| x-a |。UxOa-da+dU(a, )，xOa-da+d(a，d )Ua2. 常量與變量常量與變量 在觀察自然現(xiàn)象或技術過程時，常會遇到各種不在觀察自然現(xiàn)象或技術過程時，常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化始終只取同同的量，其中有的量在過程中不起變化始終只取同一數(shù)值，這種量叫做常量。常用字母為一數(shù)值，這種量叫做常量。常用字母為 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。等。 常量與變量用什么符號不是絕對的，但應尊重數(shù)學的習慣。 還有一些量在過程中是變化著的，也就

5、是可以取不同的數(shù)值，這種量叫做變量。常用字母為x，y，z，u，v，w，s，t 等。 變量 x 所取數(shù)值的全體組成的數(shù)集 M稱為變量 x 的變域，此時 x 表示數(shù)集M中任何一個元素。 二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念1. 舉例舉例 圓的面積的計算公式為圓的面積的計算公式為A=pr2，半徑，半徑r可取可取(0, +)內(nèi)的任意值。內(nèi)的任意值。 由落體下落距離的計算公式為s= - gt2，t可取0, T內(nèi)的任意值。12 圓內(nèi)接正n邊形的周長的計算公式為 Sn=2nr sin - ， n可取3，4，5， 。pn2. 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 設設 x 和和 y 是兩個變量，是兩個變量，D 是一個給定的數(shù)集。如是一個

6、給定的數(shù)集。如果對于每個數(shù)果對于每個數(shù)xD，變量，變量 y 按照一定法則總有確定的按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對應，則稱數(shù)值和它對應，則稱 y 是是 x 的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作y=f(x)。 定義中，數(shù)集定義中，數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域，叫做這個函數(shù)的定義域， x叫做自叫做自變量，變量，y叫做因變量。叫做因變量。 函數(shù)符號函數(shù)符號: 函數(shù)函數(shù)y=f(x)中表示對應關系的記號中表示對應關系的記號f 也可改用其它也可改用其它字母，例如字母，例如j 、F 等。此時函數(shù)就記作等。此時函數(shù)就記作y=j(x)，y=F(x)。值域：值域：W=y | y=f(x)，xD。定義域：定義域： 在數(shù)學中，有時

7、不考慮函數(shù)的實際意義，而抽象在數(shù)學中，有時不考慮函數(shù)的實際意義，而抽象地研究用算式表達的函數(shù)。這時約定函數(shù)的定義域就地研究用算式表達的函數(shù)。這時約定函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值。是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值。函數(shù)值：函數(shù)值： 當當 x取數(shù)值取數(shù)值 x0D時，與時，與 x0對應的對應的 y的數(shù)值稱為函的數(shù)值稱為函數(shù)數(shù) y=f(x)在點在點 x0處的函數(shù)值，記為處的函數(shù)值，記為 f(x0)。求函數(shù)的定義域舉例：求函數(shù)的定義域舉例： 解: 要使函數(shù)有意義，必須x0，且x2-40。解不等式得|x|2。 函數(shù)的定義域為 D=x| |x|2，或D=(-, 22, +)

8、。 求函數(shù) y 412xx的定義域。 3. 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形 在坐標系在坐標系xOy內(nèi)，集合內(nèi)，集合 C=(x, y) | y=f(x)，xD所對應的圖形稱為函數(shù)所對應的圖形稱為函數(shù)y=f(x)的圖形。的圖形。O yxC(x, y)xyWDy=f(x) 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值問題只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。 以后凡是沒有特別說明時，函數(shù)都是指單值函數(shù)。4. 函數(shù)舉例函數(shù)舉例 例例1. 在直角坐標系中，由方程在直角坐標系中，由方程x2+y2=r2確定了一確定了一個函數(shù)。個函數(shù)。 對于任意對于任意x(-r, r)，對應的函數(shù)值有兩個：，對應的函數(shù)

9、值有兩個： 22xry及 y=22xry。 例2. 函數(shù) y=2。 函數(shù)的定義域為D = (-, +)。 函數(shù)的值域為W =2。 函數(shù)的圖形為一條平行于x 軸的直線。yOxy=22 函數(shù)的定義域為D=(-, +)。 函數(shù)的值域為W=0, + )。yxOy=|x| x, x0 -x, x0 0, 當x=0-1, 當x1 時，y1+x。 2212)21(f；2212)21(f；2 1 2) 1 (f； ；當 x1 時，y1+x。 圖形特點：圖形特點：y=f(x)的圖形在直線的圖形在直線y=K1的下方。的下方。y=K1y=f(x)Oxy1. 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性 設函數(shù)設函數(shù)f(x)在數(shù)集在數(shù)集

10、X上有定義。如果存在數(shù)上有定義。如果存在數(shù)K1，使對任一使對任一xX，有，有f(x)K1，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在在X上有上上有上界，而稱界，而稱K1為函數(shù)為函數(shù) f(x)在在X上的一個上界。上的一個上界。三、函數(shù)的幾種特性三、函數(shù)的幾種特性 如果存在數(shù)K2，使對任一xX，有f(x)K2，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個下界。 圖形特點：函數(shù)圖形特點：函數(shù) y=f(x) 的圖形在直線的圖形在直線 y=K2 的上方的上方y(tǒng)=K1y=f(x)Oxy有界函數(shù)的圖形特點：有界函數(shù)的圖形特點： 函數(shù)函數(shù)y = f(x)的圖形在直線的圖形在直線y = - M和和y =

11、M的之間。的之間。 如果存在數(shù) M，使對任一 xX，有 | f(x) |M，則稱函數(shù)f(x)在X上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在X上是無界函數(shù)，就是說對任何M，總存在 x1X，使|f(x)|M。y=f(x)Oxyy= -Ky= K函數(shù)的有界性舉例：函數(shù)的有界性舉例： f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： | sin x | 1。-11yxO-2p -pp 2py=sin xOxy1 2y=1/x 函數(shù)f(x)=1/x在開區(qū)間( 0 , 1 ) 內(nèi) 是 無 界 的 。無界函數(shù)舉例：無界函數(shù)舉例： 函數(shù)f(x) =1/x在(0, 1)內(nèi)有下界，無上界。 這是因為，任取M

12、1，總有0 x1M -1M，所以函數(shù)無上界。 此函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的。2. 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 設函數(shù)y= f(x)在區(qū)間I上有定義。如果對于區(qū)間 I 上任意兩點x1及x2，當x1 x2時，恒有f(x1) f(x2)， 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當x1x2時，恒有 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。3. 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數(shù)舉例：y=x2，y=cos x都是偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱。 設函數(shù)f(x)的定義域D關于原點對稱。如果對于任意的xD，有f(-x)

13、= f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。奇偶函數(shù)舉例： y=x3，y=sin x都是奇函數(shù)。101x -22y3xy 如果對于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。 設函數(shù)f(x)的定義域為D。如果存在一個不為零的數(shù) l ，使得對于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，l 稱為f(x)的周期。 周期函數(shù)的圖形特點： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 對于任一數(shù)值 yW，D上至少可以確定一個數(shù)值 x 與 y 對應，這個數(shù)值 x 適合關系 f(x)=y。四、反函數(shù)如果把 y看作自變量，x 看作因變量，按照函數(shù)的定義就得到一個新的函數(shù)，這個新函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作 x=j(y)。Oxyx1x2y0Dy=f(x)y=y0(x1, y0)(x2, y) 設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，值域為W。WOxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)是單值函數(shù) 什么樣的函數(shù)存在單值的反函數(shù)？Oxy-xxy=x2y y=x2 的反函數(shù)是多值函數(shù)：x= 。y 把 x限制在區(qū)間 0,)，則y=x2 的反函數(shù)是單值的，即x= 。它稱為函數(shù)y=x2 的反函數(shù)的一個單值分支。y反函數(shù)的單值分支