高等數(shù)學(xué)5-3換元與分部積分ppt課件

1、二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), ,)(baCxf單值函數(shù))(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù)所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù), 因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個原函數(shù)是設(shè)xfxF是的原函數(shù) , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(

2、tF)(tf)(t)(t那么說明說明: :1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為，時,定理 1 仍成立 .2) 必需注意換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .3) 換元公式也可反過來使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dttfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1. 計算計算).0(d022axxaa解解: 令令,sintax 那么,dcosdttax ;0,0tx時當(dāng).,2tax時 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且例例2. 計算計算.d12240 xxx解解

3、: 令令, 12 xt那么,dd,212ttxtx,0時當(dāng) x,4時x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 例例3., ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 假設(shè), )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 假設(shè), )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時)()(xfxf時)()(xfxf,0tx令二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 定理定理2. , ,)(, )(1baCxvx

4、u設(shè)那么)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證證:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上積分兩端在,ba例例4. 計算計算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x0211223120dcosttn20dcosxxn例例5. 證明證明20dsinxxInn證證: 令令20dcosxxn,22143231nnnn n 為偶數(shù),3254231nnnn n 為奇數(shù),2xt那么20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 那么,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn02022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得遞推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所證結(jié)論成立 .0I1I