2004年第九屆全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽初二組決賽試題及評分標(biāo)準(zhǔn)

1、20042004年全國“華羅庚杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初二組決賽試題及評分標(biāo)準(zhǔn)一，探空（魯題1 10 0分）1 1. .圖1 1是一些填有數(shù)字的方極格上一個微型機器人從圖中陰鼓格干開始爬行，每爬進(jìn)鄰近一個格子后，它就將該格子也涂上陰散然后再爬進(jìn)與該格子有公去邊的格子中，繼續(xù)將該格子涂上陰彩一依次將微型機器人所涂過的阻第格于中的教齡以3 3得到的余款排成一列，結(jié)果是0 01 12 20 01 13 30 01 12 20 01 12 20 01 12 2. .用影格子所鈕龍的敦年是（）,t t已知J J+ +”l li i即幺八+ +2 20 00 05 5（3 3, ,圖2 2是一個長方形框.長是2

2、 2G Go o厘米，寬是】2 20 0厘米,一個握子自點A A成4 45 5. .角律出擊中E E點后成直制即 E EF F是直角）彈向C CD D邊，擊中C CD D邊F F點后仍成直角彈向D DA A邊，擊中D DA A邊G G點后仍再成直角彈向B BC C邊,彈子以上述方式在A AB BC CD D長方形框內(nèi)運動,到達(dá)C C點時運動的總路程是（）厘米.（精確麥?zhǔn)校? 4 . .如圖3 3, ,乙1 1。3 3是鈍角，O OC C. .。 隊O OE E是三備射氮若O OC C1 10 0A A. .O OD D平分/ /A AO OB B, ,O OE E平分上B B0 0C C, ,

3、那幺/ /D DQ QE E的度數(shù)是（）.5 5 . .& &機機e e是正整跖并且滿足等式a ab bc c+必4 4前+f fe ee e+ +- -+ +6 6+ +e e- -f f= =2 20 00 04 4, ,那幺日+占+。的最小值是（）.6 6用若干板長為1 1厘米的小正方體拈成一個大的長方體,如圖4 4. .一只甲蟲從頂點A A沿枝展到頂點B B, ,共屜行了1 15 51 1厘來，那幺這個長方體體枳的最大值為（）立方厘米.51L1077106小2 5；1317gH37K 12121與121321143100 41351 5916圖二.解答下列各題，要求寫出簡要過程（每題1

4、 10 0分）3 3x x+ +4 4y y= =- -5 55M+ +6 6y y= =- -9 9（打一8 8用）上一g gy y- -1 10 05 5x x+ +（1 10 0w w+ +2 2n n）y y- - -9 9有解，求病+/的他.8 8 . .兩個半徑均為r r的圓，彼此通過對方的圓心（見圖5 5）, ,它們重金部分的面積是多少？9 9 . .A A, ,B B, ,C C三個微型機器人圍繞一個圓杉軌道高速運動，它們順時針同時同地出發(fā)后,A A在2 2秒鐘時追上B B, ,2 2. .5 5秒鐘時追上C C. .當(dāng)C C追上B B時，C C和8 8運動路程的比是3 3:

5、:2 2. .問第1 1分鐘時，A A圍繞這個圓形軌道運動了多少國？已知：口+ 3 3a a2 2a a2 2 3 3 T Ta ay y+ +2 2o o5 5之3 3a a* *，/ /+ +2 2% %。2 23 36 6. .n n9 9+ +2 2a a1 1 3 3G Gh hp p。中+2 2% %2 23 3烏和。+%+%+偈十口加=1 10 00 0* *求勺a ar r/、,%）的值.1 11 1. .揩數(shù)字1 1. .4 4. .5 5. .6 6. .7 7、8 8和9 9分別填入圖6 6空的方格中，要求每個格子中的數(shù)字都比它左邊格子中的數(shù)字和上邊格子中的數(shù)字大， 問共

6、有多少種填法？圖6 61 12 2, ,在4 4x x4 4的方格紙上（如圖7 7）, ,用鉛筆涂其中的】D D個方格，要求每橫行和每豎列被涂方格的個數(shù)是奇數(shù),如果兩種涂法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后相同，則認(rèn)為它們是相同類型的涂法，否則是不同類型的徐法.例如圖8 8和圖9 9是相同類型的渝法，困1 1。和圖8 8, ,圖9 9是不同類型的涂法.L L畫出5 5種類型互不相同的波法；2 2. .回答最多有多少種不同類句的涂法？說明理由.7 7. .關(guān)于工和y y的方程組】0.0.第九屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題參考答案（初二組）、填空（每題10分）題目123456答案9P2004P600”45s1

7、71127500、解答下列各題，要求寫出簡要過程（每題10分）7.解答：m2件2T.I。解方程3x+4y=-5,=5x+6y=-9.得至Ux=-3,y=1;代入原方程組中后兩個方程，得到_|.8m-n=6,5m-n=3.再解上面關(guān)于m和n的方程，得到m=-9-n=-；m13,n13；8.解答：重疊部分的面積是（打-亭）r2.如圖A,兩圓重疊部分是兩段小圓弧AOB和AOB圍成的區(qū)域，它由兩部分構(gòu)成：第一部分是四邊形AOBO1,因為OO1=OA=OB=OA=O1B=r,所以AAOO和加OO1均 是 邊 長 為r的 正 三 角 形 ,AD垂 直 和 等 分OO1,由 勾 股 定 理 ，AD2=AO2

8、OD2=r2-r）2寸r2,所以AD=享 ，&OQ的面積=父苧產(chǎn)=苧產(chǎn)， 四邊形AOBO1的面積=r2.第二部分是四個弓形AO、AO1、BO、BO1,四個弓形相同，只需求出一個弓形面積即可。因為/AOQ=601所以扇形O1AO的面積=型圻2=加2、弓3606形AO的面積二扇形01Ao的面積-3AO的面積=（甘嶗r2.計算m2+n2117_9_169=13.9.解答:42圈.設(shè)A、B、C三個微型機器人的速度分別為u、v和w,圓形軌道周長是S,所以,wv=S7點22510，又有10w_310/2，(2)在萬工/v=-S-解(1)和(2),得到v5.代入u-v啜得到5需604s10.解答2=3=%=

9、，=弼10將10個不等式累加得Gaaa32a*3a殳y加，(3)只有10個式子都取等號，(3)式才成立.由a1+2a3=3a2可以得到(3.(1)由a2+2a4=3ag可以得至U(3.(2)(3.10)由(3.1)和(3.2)可推知a1a2=22(a3a4).類似地，可以推知a,a2=210(a1aj所以，a1=a2，同理可得a1=a2=a3與一=a10.所以，a1=a2=a3a10=10.11.解答：共有16種填法.如圖B1,數(shù)字1只能填在左上角的格子中，數(shù)字9只能及uSv=2：=25SSU-v=2，uw=2.5a1-a22(a2-a3)，a2-a3=2(a3-a4)，由a102a2=3a1

10、可以得到a10-=2(a1-a2)，圖B1Fb填到右下角的格子中.數(shù)字7和數(shù)字8都不能填在中心的格子中；當(dāng)它們分別填在第三列和第三行時，它們只能填在圖B2陰影格子中.數(shù)字7和數(shù)字8都填在第三列時，只能是圖B3的填法.此時，數(shù)字6只能填在圖B3空的陰影格子中，數(shù)字4和5可以分別填在空的白格子中，共有2種填法.類似地,數(shù)字7和數(shù)字8都填在第三行時，同樣有2種填法（見圖B4）.數(shù)字7和數(shù)字8可以分別填在圖B2空的陰影格中，顯然，有兩種類型，對每一種類型，數(shù)字4、5、6可以隨意填入圖B2空的白格子中，此時數(shù)字4、5、要求的填法。12.解答：3）見圖G;4）40種；在方格紙上共涂有10個陰影方格，每行每

11、列涂陰影方格的個數(shù)均為奇數(shù).所以，必有1行僅有一個方格涂為陰影，同樣，必有1歹山也僅有一個方格涂有陰影.如果這兩個陰影方格重合， 稱為“陰影特征方格”.有“陰影特征方格”的涂法稱為A類涂法，如圖C和圖D.否則，稱為B類涂法，如圖E.A類有唯一“陰影特征方格”.對于B類涂法，如果某行（稱為a行）僅有1個陰影方格，例如圖E中的第三行，因為沒有“陰影特征方格”，這個涂有陰影的方格所在的列有3個陰影方格，有1個白色方格（未涂陰影的方格稱為白色方格），例如圖E中的第一列.此時，因為a行僅有1個方格涂有陰影，這個白色方格所在行一定涂有3個陰影方格，如圖E第一行.也就是,這個白色方格所在的行和列中，除去這個

12、方格，其它都是陰影方格，稱這個白色方格為“白色特征方格”.B類有唯一、白色特征方格”.在A類涂法中，除“陰影特征方格”所在的列和行，其余方格都涂成陰影所以， “陰影特征方格”的位置唯一地決定了4X4的方格紙的涂法.不難得到,A類涂法有下面4種類型，見圖Fa.其它A類涂法，通過旋轉(zhuǎn)必定和圖F中的某個相同.在B類涂法中，可以抽掉“白色特征方格”所在的行和列，只考慮余下的3X3方格，它有5個白色方格，僅有1行有3個白色方格，僅有1列有3個白色方格，它6有6種填法。兩種類型共有12種填法。綜合以上討論，共有16種符合圖B B2 2圖5 53 3圖B B4 4圖C C圖Faffl們相交的白色方格稱為“公共白色方格”.當(dāng)然， “白色特征方格”在旋轉(zhuǎn)相同意義下，僅有4種類型（見圖Fb）.當(dāng)“白色特征方格”位置固定時，”公共白色方格”可以有9種選擇，方格紙有9種不同類型的涂法.所以,B類共有4X9=36種類型的涂法，見圖G.圖G第九屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽主試委員會，2004/04/103第九屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題參考答案（初二組）說明和判分建議第7-10題解題方法和過程僅供參考，如有不同的解答方法，歡迎提供給主試委員會，請寄至“北京