離散傅里葉變換的性質(zhì)

1、離散傅里葉變換的性質(zhì)第1頁，共34頁。上節(jié)回顧DTFT連續(xù)采樣周期化LN第2頁，共34頁。10102 /DFTIDFT: ( )( ) 0, 1, 11 ( )( ) 0, 1, 1 ( )( ):NknNnNknNnDjNNFTNX kx n WkNx nX kx nX k WnNNWe 第3頁，共34頁。1 我們?yōu)槭裁匆懻揇FT的性質(zhì)2 回顧離散時間傅里葉變換DTFT的性質(zhì)3 DFT的隱含周期性、線性、對稱性4 圓周對稱性、DFT乘法和圓周卷積5 其他特性第4頁，共34頁。討論DFT的性質(zhì)有何意義呢？1.加深對離散傅里葉變換的理解，更好的掌握DFT的特性，便于體會出時域和頻譜表達存在的內(nèi)

2、在聯(lián)系。2.這些重要的性質(zhì)有助于簡化變換與反變換的求取，降低計算的復(fù)雜性。例如后面重點學(xué)習(xí)的FFT算法就利用了DFT的周期性和對稱性。第5頁，共34頁。離散時間傅里葉變換對（DTFT）：21 ()2() jjnjjnnx nX eedX ex n e第6頁，共34頁。1、周期性 ( )( ), ()( ) ()( ) DFTNx nX kx nNx nnX kNX kk 假定有則有對所有的對所有的有沒有對此產(chǎn)生疑惑呢？第7頁，共34頁。 通過上一節(jié)對離散時間信號的頻域采樣與重建可知，DFT對應(yīng)的時域和頻域都是離散的，且只在有限區(qū)域上有定義，時域為0,1N-1，頻域為0-2。 對于 ，可理解為是

3、 的主值序列，一旦對n的取值域不加限制時，xn以N為周期。x n px n ( )()()2( )()0 2 NDFT()NjjjjX kX eX eX kX eX e 由前可知，是對的采樣，是以為周期的周期函數(shù),即是的主值區(qū) ， 上 點等間隔采樣。顯然，當(dāng)k超出變換區(qū)間時，必然得到0,2 以外區(qū)間上的采樣，且以 為周期重復(fù)出現(xiàn)。第8頁，共34頁。1122121 1221122 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )DFTDFTNNDFTNx nX kx nXkaaa x na x na X ka Xk 如果有 和則對任意常數(shù) 和 , 有2、線性第9頁，共34頁。1010()()(

4、) 01()()() 0122: ()() cos() sin22 ()() sin() cos12: ()() cosRIRINRRInNIRInRRx nxnjxnnNXkXkjXkkNknknD F TXkxnxnNNknknXkxnxnNNID F TxnXkN 10102() sin122 ()() sin() cosNInNIRInknknXkNNknknxnXkXkNNN3、對稱性第10頁，共34頁。*10( )()=X ( )()()( ) ,()( )( )0,122( )( )( )cos( )sinlNRRlkx nX NkkXkX NkX kX NkX kx nknkn

5、x nxnXkXkNNN 為實序列(1) 實序列第11頁，共34頁。(2)實偶序列1010( )() 01( )02( )( )cos 0112( )0( )( )cos 01INnNIkx nx NnnNXkknX kx nkNNknXkx nX knNNN ( )x nX k為實偶函數(shù)，則也為實偶函數(shù)101022: ( )( )cos( )sin22 ( )( )sin( )cosNRRInNIRInknknDFTXkxnx nNNknknXkxnx nNN 第12頁，共34頁。（3）實奇序列1010( )() 01( )02( )( )sin 0112( )0( )( )sin 01RN

6、nNRkx nx NnnNXkknX kjx nkNNknXkx njX knNNN ( )x nX k為實奇函數(shù)，則為虛奇函數(shù)101022: ( )( )cos( )sin22 ( )( )sin( )cosNRRInNIRInknknDFTXkxnx nNNknknXkxnx nNN 第13頁，共34頁。（4）純虛序列10102( )( )sin( )( )2( )( )cosNRInINIInknXkxnNx njxnknXkxnN自行查閱并掌握 表7.1(P348) 中列出的所有性質(zhì)( )( )0( )( )( )0( )lllRx nX kX kx nXkX k 如果是奇數(shù)，那么，則

7、為實奇函數(shù)；另一方面，如果是偶數(shù)，那么，則為虛偶函數(shù)。第14頁，共34頁。4、序列的圓周對稱性( )( )( )(n)( )( )()(n) ( ),01( )( )( )0,N( )= (,)()pplppplppNx nx nx nx n lx nkx nx n kx n lkxnnNx nx nx nx n x n kNx n k 是的周期延拓，現(xiàn)將向右移位 個單位，對應(yīng)的有限長序列就是的圓周移位其他通常，序列的圓周移位可表示成序號對 求余，可寫成對 求余第15頁，共34頁。4444424( )(2)(0)( 2)(2)(1)( 1)(3)(2)(0)(0)(3)(1)(1)kNx nx

8、nxxxxxxxxxxxx當(dāng)和N點序列的圓周移位等價于它的周期延拓的線性移位第16頁，共34頁。 序列關(guān)于零點對稱，稱為圓周偶序列: 對應(yīng)于周期序列 為偶序列： 序列關(guān)于零點反對稱，稱為圓周奇序列： 對應(yīng)于周期序列 為奇序列： 共軛偶序列和共軛奇序列()( ) 11x Nnx nnN( )pxn( )( )()pppx nxnx N n ()( ) 11x Nnx nnN ( )( )()pppx nxnx N n ( )pxn第17頁，共34頁。5、兩個DFT的乘法和圓周卷積3131331222/11012/220( )( )( ) 0, 1, , 1( )( ) 0, 1, , 1( )(

9、 ) 0,( )( )DFT 1, , 1 ) ( )(Njnk NnNjnk NnXkXX kx n ekNXkkx n ekNXkNx nx nkkx nXxNn 假定為長度為 的序列的，與和之間的關(guān)系？試著做個猜想 第18頁，共34頁。12/33012/1201112/2/2/12000112012()/01()( )1( )( )1 ( )( )1 ( )( )Njk m n lNNjkm NkNjkm NkNNNjkn Njkl Njkm NknlNknx mXk eNXk Xk eNx n exl eeNx nxlNe 10Nl第19頁，共34頁。21010()/31 , 1 1,

10、 11 () , , ()( ,)0NkNkNjmkNkn lNNaaaaalmnpNmnpNaaexmx n x 此時為整數(shù)其他，120() 0, 1, , 1NNnmnmN 上式具有卷積和的形式，包含了序號 ，因而稱為圓周卷積。()Nm n在圓周卷積中，折疊和移位(旋轉(zhuǎn))操作是通過對一個序列的序號做模N運算按照周期方式實現(xiàn)的，而在線性卷積中，不存在模運算。 第20頁，共34頁。例7.2.1 對下面兩個序列進行圓周卷積：12( ) 2, 1, 2, 1 ( ) 1, 2, 3, 4x nx n13120( )( )() 0, 1, , 1NNnx mx n xm nmN可利用圓周序列圖來計算

11、注意:序列默認是以逆時針方向畫在圓周上的，反轉(zhuǎn)序列則是以順時針方向畫出。第21頁，共34頁。以m=0為例，計算出3(0)x3(0)246214x第22頁，共34頁。卷積的四個步驟： 1、反轉(zhuǎn)序列 2、移位反轉(zhuǎn)后的序列 3、將兩個序列點點相乘 4、將乘積序列各值相加注：可自行查閱信號與系統(tǒng)P59-60比較與計算線性卷積的區(qū)別第23頁，共34頁。例7.2.2 通過DFT和IDFT來計算兩個序列對應(yīng)的圓周卷積序列3()x m12( ) 2, 1, 2, 1 ( ) 1, 2, 3, 4x nx n利用312( )( )( )XkX k Xk第24頁，共34頁。32/4/23/2110111132/4

12、/23/22202222( )( )22(0)6 (1)0 (2)2 (3)0( )( )1234(0)10 (1)22 (2)2 (3)22 jnkj kj kjknjnkj kj kjknX kx n eeeeXXXXXkx n eeeeXXjXXj解解: 計算兩個計算兩個DFT的的乘積乘積: 計算計算 的的IDFT 3123333( )( )( )(0)60 (1)0 (2)4 (3)0XkXk XkXXXX 3( )Xk32/411334403333( )( )(604)(0)14 (1)16 (2)14 (3)16jnkjnkxnXk eexxxx第25頁，共34頁。6、序列的時域反

13、轉(zhuǎn) ( )( ), ()()()()DFTNDFTNNNx nX kxnx NnXkX Nk 假如有則有7、序列的圓周時域移位2/ ( )( ), ()( )DFTNDFTNNjkl Nx nX kx nlX k e 假如有則有第26頁，共34頁。12/0112/2/0112/2/002( () () ()()()()()()( )Njkn NNNnlNjkn Njkn NNnn llNjkn Njkn NNnNjk mnx n lx N lDFT x n lx n lex n lexnx mn l ex n lex N len e 12/112()/2/2/2/01)/12()00/ ()

14、() ( )( )()Njkn Nn lNNjk m l Njkl Njkm Njkl NNNl Nm N lNljk m l Nmmmx n l eDFT x n lx m eex m eXx m ek e 第27頁，共34頁。8、圓周頻域移位（調(diào)制）2n/ ( )( ), ( )()DFTNDFTjlNNNx nX kx n eXkl 假如有則有9、復(fù)共軛特性* ( )( ), ( )()()DFTNDFTNNx nX kx nXkXNk 假如有則有Homework1：推導(dǎo)圓周頻域移位性質(zhì)和復(fù)共軛性質(zhì)：推導(dǎo)圓周頻域移位性質(zhì)和復(fù)共軛性質(zhì)第28頁，共34頁。*1*0 ( )( ) ( )( )

15、 ( )( )( )( )( ): ( )( )()DFTDFTNNDFTxyxyNNxyxyNnx nX ky nY krlRkX k Ykrlrlx n ynl 則有為循環(huán)互相關(guān)序列10、圓周相關(guān)性1212( )( ) ( )( )1 ( )( )( )( )DFTDFTNNDFTNx nX ky nY kx n x nX kXkN 如果有 則有11、序列的乘積第29頁，共34頁。證明:12/31211112/2/2/120001112() /122000( )( )( )11=( )()1( )()Njkn NnNNNjln Njmn Njkn NnllNNNjmlk n NlmnXkx

16、 n xn eXl eXm eeNNXlXmeN 第30頁，共34頁。21010()/31 , 1 1, 11 () , , 1 ( 0, X ( )NnNnNjm l knNnNNaaaaamaekX lNklpNklpNa 此時為整數(shù)其他，120)() k0, 1, , 1NNlXklN第31頁，共34頁。1*0112/*2/00112200 ( )( )(0)11( )()()()1( )( )( )() NxynNNjkl Njkl NxyxynnNNnnx n ynrrlRk eXk Yk eNNy nx nx nXkN證 ： 當(dāng)11*00 ()(), ()() ()()1 ()()()()D F