二階常微分方程解

1、第七節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程的解法在上節(jié)我們已經(jīng)討論了二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階線性微分方程的求解問題，關(guān)鍵在于如何求二階齊次方程的通解和非齊次方程的一個(gè)特解。本節(jié)討論二階線性方程的一個(gè)特殊類型，即二階常系數(shù)線性微分方程及其求解方法。先討論二階常系數(shù)線性齊次方程的求解方法。§7.1二階常系數(shù)線性齊次方程及其求解方法設(shè)給定一常系數(shù)二階線性齊次方程為d2ydy,+p°+qy=0(7.1)dx2dx其中p、q是常數(shù)，由上節(jié)定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意兩個(gè)線性無關(guān)的特解yi,y2就可以了，下面討論這樣兩個(gè)特解的求法。我們先分析方程(7.1)可能具有什么形式

2、的特解，從方程的形式上來看，它的特點(diǎn)是嗎，dy,y各乘dx2dx以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個(gè)函數(shù)y,其嗎，dy,y之間只相差一個(gè)常數(shù)因子，這樣的函dx2dx數(shù)有可能是方程(7.1)的特解，在初等函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)erx,符合上述要求，于是我們令rxy=e(其中r為待定常數(shù))來試解將y=e",dy=re",d-y=r2e”代入方程(7.1)dxdx2得r2e"+prerx+qerx=0或erx(r2+pr+q)=0因?yàn)閑"w0,故得r2+pr+q=0由此可見，若r是二次方程r2+pr+q=0(7.2)的根，那么e"就是方程(7.1)的特解

3、，于是方程(7.1)的求解問題，就轉(zhuǎn)化為求代數(shù)方程(7.2)的根問題。稱(7.2)式為微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一個(gè)以r為未知函數(shù)的一元二次代數(shù)方程。特征方程的兩個(gè)根s,r2,稱為特征根，由代數(shù)知識(shí)，特征根1,r2有三種可能的情況，下面我們分別進(jìn)行討論。(1)若特證方程(7.2)有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1,、，此時(shí)e"x,er2x是方程(7.1)的兩個(gè)特解口rix因?yàn)橄?e(ri-r2)xW常數(shù)e2所以er1x,er2x為線性無關(guān)函數(shù)，由解的結(jié)構(gòu)定理知，方程(7.1)的通解為y=Cer1x+C2er2x(2)若特征方程(7.2)有兩個(gè)相等的實(shí)根ri=r2,此時(shí)p2

4、4q=0,即有ri=r2=1p,這樣只能得到方程(7.1)的一個(gè)特解yi=er：因此，我們還要設(shè)法找出另一個(gè)滿足twy1常數(shù)，的特解y2,故迄應(yīng)是x的某個(gè)函數(shù)，設(shè)X=u,y1y1其中u=u(x)為待定函數(shù)，即y2=uy1=uerix對(duì)y2求階,一階導(dǎo)數(shù)得d=duer1x+ruer1x=(如+nu)er1xdxdxdx.22dy2/2dudu、小一言=(riu+2r112)edx2dxdx2將它們代入方程(7.1)得(r21u+2入曲+嗎)er1x+p(如+r1u)er1x+dxdxdxr1xque=0r1xd,+(2r1+p)5d+(ri+pr1+q)uedx2dx=0因?yàn)閜ri+q=0,又因

5、ri=p故有2ri+p=0,于是上式2er1xw0,且因r1是特征方程的根，故有產(chǎn)1十成為值=0dx20的函數(shù)很多，我們?nèi)∑渲凶詈唵物@然滿足*=dx2的個(gè)u(x)貝y2=x=xe”是方程(7.1)的另一個(gè)特解，且yi,y2是兩個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)，所以方程(7.1)的通解是y=Cer1x+C2xer1x=(Ci+C2x)er1x(3)若特征方程(7.2)有一對(duì)共較復(fù)根r1=a+iB,r2=ai3此時(shí)方程(7.1)有兩個(gè)特解ye(a+i0)xye(ai0)x則通解為y=C1e(a+i3)x+C2e(a-i3)x其中C,G為任意常數(shù)，但是這種復(fù)數(shù)形式的解,在應(yīng)用上不方便。在實(shí)際問題中，常常需要實(shí)數(shù)形式

6、的通解，為此利用歐拉公式elx=cosx+isinx,elx=cosxisinx有1(eix+e-ix)=cosx2(eixeix)=sinx2i1 (yi+y2)=1eax(ei3x+e-i3x)=e“xcos0x2 2(yiy2)=eax(ei3xe-i3x)=eaxsinBx2i2iii由上下te理一知)(yi+y2),一(yiy2)7£方程22i(7.i)的兩個(gè)特解，也即e“xcos0x,eaxsinBx是方程(7.i)的兩個(gè)特解：且它們線性無關(guān)，由上節(jié)定理二知，方程(7.i)的逋解為y=Ge“xcosBx+C2e“xsin0x或y=eax(CicosBx+C2sinBx)其

7、中C,G為任意常數(shù)，至此我們已找到了實(shí)數(shù)形式的通解，其中a,0分別是特征方程(7.2)復(fù)數(shù)根的實(shí)部利虛部。綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程(7.i)的通解，只須先求出其特征方程(7.2)的根，再根據(jù)他的三種情況確定其通解，現(xiàn)列表如下特征方程r2+pr+q=0的根微分方程d+py+qydx2dx=0的通解有二個(gè)不相等的實(shí)根J,2y=Cer1x+Ger2x后重根r1=r2y=(C1+C2x)er1x,.r=口+iP有一對(duì)共掘復(fù)根r1ir2-iPy=e“x(C1C0SBx+GsinBx)例1.求下列一階常系數(shù)線性齊次方程的通解(1) 金+3dy-10y=0dx2dx(2) 4dy+4y=0dx2d

8、x(3) *+4dy+7y=0dx2dx解(1)特征方程r2+3r10=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1=一5,r2=2所求方程的通解y=Ge5r+C2e2x(2)特征方程r24r+4=0,有兩重根r1=r2=2所求方程的通解y=(C1+C2x)e2x(3)特征方程r2+4r+7=0有對(duì)共輾復(fù)根r1=12+v3ir2=121%3i所求方程的通解y=e-2x(CiCos<3x+C2sinV3x)§7.2二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法由上節(jié)線性微分方程的結(jié)構(gòu)定理可知，求二階常系數(shù)線性非齊次方程d-+pdy+qy=f(x)(7.3)dxdx的通解，只要先求出其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，再求出其一

9、個(gè)特解，而后相加就得到非齊次方程的通解,而且對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解的解法，前面已經(jīng)解決，因此下面要解決的問題是求方程(7.3)的一個(gè)特解。方程(7.3)的特解形式，與方程右邊的f(x)有關(guān)，這里只就f(x)的兩種常見的形式進(jìn)行討論。一、f(x)=pn(x)eax，其中pn(x)是n次多項(xiàng)式，我們先討論當(dāng)a=0時(shí)，即當(dāng)f(x)=pn(x)時(shí)方程d4+pdy+qy=pn(x)(7.4)dx2dx的個(gè)特解口(1)如果qw0,我們總可以求得一n次多項(xiàng)式滿足此方程，事實(shí)上，可設(shè)特解y=Q(x)=a0xn+a，-1+an,其中a0,ai,an是待定常數(shù)，將y及其導(dǎo)數(shù)代入方程(7.4),得方程左右兩邊都是n次

10、多項(xiàng)式，比較兩邊x的同次曷系數(shù)，就可確定常數(shù)ao,ai,anC例1.求嗎+dy+2y=x23的個(gè)特解口dx2dx解自由項(xiàng)f(x)=x23是一個(gè)二次多項(xiàng)式，又q=2不0,則可設(shè)方程的特解、為2,，y=aox+aix+a2求與數(shù)y'=2aox+aiy"=2a0代入萬程有2a°x+(2ao+2ai)x+(2a°+ai+2a2)=x23比較同次事系數(shù)ia0二二2aq=i2a0+2al=0解得2aoai2a2=32iai=27a241217所以特解y=-xx(2)如果q=0,而pw0,由于多項(xiàng)式求與一次，其次數(shù)要降低一次，此時(shí)y=Q(x)不能滿足方程，但它可以被一個(gè)

11、(n+1)次多項(xiàng)式所滿足，此時(shí)我們可設(shè)y=xQ(x)=30xn+aixn+-+anx代入方程(7.4),比較兩邊系數(shù)，就可確定常數(shù)我,aiaanC例2.求方程dy+4dy=3x2+2的，個(gè)特解口dx2dx解自由項(xiàng)f(x)=3x2+2是一個(gè)二次多項(xiàng)式，又q=0,p=4w0,故設(shè)特解y=aox+aix+a2x求與數(shù)y'=3aox+2aix+a2y"=6a0x+2ai代入方程得(2ai+4a2)=3x+2ia。-43ai二i6二i9i2a0x+(8ai+6a0)x+比較兩邊同次曷的系數(shù)12a0=3<8al+6a0=0解得2a14a2=232所求方程的特解y=1x3-3x2+1

12、9x41632(3)如果p=0,q=0,則方程變?yōu)閐y=pn(x),此dx2時(shí)特解是一個(gè)(n+2)次多項(xiàng)式，可設(shè)一y=x2Q(x),代入方程求得，也可直接通過兩次積分求得。下面討論當(dāng)aW0時(shí)，即當(dāng)f(x)=pn(x)e”x時(shí)方程d4+Pdy+qy=Pn(x)eax(7.5)dx2dx的一個(gè)特解的求法，方程(7.5)與方程(7.4)相比,只是其自由項(xiàng)中多了一個(gè)指數(shù)函數(shù)因子e"x,如果能通過變量代換將因子e°x去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，問題即可解決，為此設(shè)y=ue"x,其中u=u(x)是待定函數(shù)，對(duì)y=ueax，求導(dǎo)得dyeaxdu十口ue“xdxd

13、xa2ueax求二階與數(shù)dj2=eaxd-u2+2aeaxdu+dxdxdx代入方程(7.5)得d2uodu2axdu_2+2a+au+pe+au+dxdxdxqueax=pn(x)e”x消去e“x得d：+(2a+p)+(a2+pa+q)u=pn(X)dx2dx(7.6)由于(7.6)式與(7.4)形式一致，于是按(7.4)的結(jié)論有:(1)如果a2+pa+qW0,即a不是特征方程r2+pr+q=0的根，則可設(shè)(7.6)的特解u=Qn(x),從而可設(shè)(7.5)的特解為y=Q(x)e"x(2)如果a2+pa+q=0,而2a+pW0>即口是特征方程r2+pr+q=0的單根，則可設(shè)(7

14、.6)的特解u=xQ(x),從而可設(shè)(7.5)的特解為y=xQ(x)eax(3)如果r2+pa+q=0,且2a+p=0,止匕時(shí)a是特征方程r2+pr+q=0的重根，則可設(shè)(7.6)的特解u=x2Q(x),從而可設(shè)(7.5)的特解為y=x2Q(x)eax例3.求下列方程具有什么樣形式的特解(1)0+5dy+6y=e3xdx2dx(2) dy+5dy+6y=3xe-2xdx2dx(3) d4+ady+y=-(3x2+1)e-xdxdx解(1)因a=3不是特征方程r2+5r+6=0的根,故方程具有形如y=aoe3x的特解口(2) 因口=2是特征方程r2+5r+6=0的單根，故方程具有形如y=x(ao

15、x+ai)e2x的特解口(3) 因a=1是特征方程r2+2r+1=0的二重根，所以方程具有形如_一一一y=x(aox+ax+a2)ex白'寺出?？诶?,求方程*+y=(x2)e3x的通解口dx解特征方程r2+1=0特征根r=±i得，對(duì)應(yīng)的齊次方程dW+y=0dx2的通解為Y=Ccosx+Czsinx由于a=3不是特征方程的根，又pn(x)=x2為一次多項(xiàng)式，令原方程的特解為y=(a0x+ai)e3x止匕時(shí)u=aox+ai,a=3,p=0,q=1,求u關(guān)于的與數(shù)du=a。，蟲=0,代入dxdx2d,+(2a+p)+(a+ap+q)u=(x2)dx2dx得：10a°x+

16、10ai+6a。=x2比較兩邊x的同次:膽的系數(shù)有10a0=110ai6a0=2解得a0=>a1=1050于是，得到原方程的個(gè)特解為,113.3xy=（而x50）e所以原方程的通解是、.113、3xy=Y+y=Ccosx+C2sinx+(x)e例5,求方程蟲一2dy3y=(x+1)e-x的通dxdx解。解特征方程r2-2r-3=0特征根r1=-1,r2=3所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程在一2dy3y=0的dx2dx通解Y=Ge-x+C2e3x,由于a=1是特征方程的單根,又Pn(X)=必+1為一次多項(xiàng)式，令原方程的特解一y=x(aox+aix+a2)e止匕時(shí)u=a0x3+aix2+a2x,a=

17、1,p=2,q=3對(duì)u關(guān)于x求導(dǎo)=3a°x+2ax+a2dxd2udx2=6aox+2ai代入d+(2a+p)+(a+pr+q)u=x+1)dx2dx12aox2+(6a。一8a)x+2ai4a2=x2+1比較x的同次嘉的系數(shù)有一12a0=1a1二1161口a0=解得2al-4ao=01296a08a1=0a232故所求的非齊次方程的個(gè)特解為x/x2x9、-xy=-(+-+-)e二、f(x)=pn(x)e”xcosBx或pn(x)e"xsin0x,即求形如d-y+pdy+qy=pn(x)eaxcosBxdx2dx(7.(7)d-y+pdy+qy=pn(x)eaxsin(3x

18、dx2dx(7.(8)這兩種方程的特解.由歐拉公式知道，pn(x)e“xcos0x,pn(x)eaxsinx分別是函數(shù)pn(x)e(-')'的實(shí)部和虛部。我們先考慮方程dy+pdy+qy=pn(x)e(a+i3)xdx2dx(7.(9)方程(7.9)與方程(7.5)類型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面討論。由上節(jié)定理五知道，方程(7.9)的特解的實(shí)部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虛部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一個(gè)特解，然而取其實(shí)部或虛部即可得方程(7.7)或(7.8)的個(gè)特解。注意到方程(7.9)的指數(shù)函數(shù)e(a+i3

19、)(B*0)是復(fù)數(shù)，而特征方程是實(shí)系數(shù)的二次方程，所以a+iB最多只能是它的單根。因此方程(7.9)的特解形為Q(x)e(或xQn(x)e例6.求方程嗎y=excos2x的通解dx解特征方程r21=0特征根ri=1,r2=1于是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y=Ciex+Gex為求原方程的一個(gè)特解yC2、.先求方程/一y=e(+)x的一個(gè)特解，由于1dx+2i不是特征方程的根，且pn(x)為零次多項(xiàng)式，故可設(shè)u=a0,止匕時(shí)a=(1+2i),p=0,q=1代入方程d,+(2a+p)-+(a+ap+q)u=1dx2dx得(1+2i)212。=1)即(4i4)a。=1)得11、a0=一一(i+1)4

20、(i-1)8這樣得到嗎_y=e=2i)x的一個(gè)特解dxy=-1(i+1)e(1+2i)x8由歐拉公式y(tǒng)=-1(i+1)e(1+2i)x8=-1(i+1)ex(cos2x+isin2x)81xl/一一、，一一、=-e(cos2xsin2x)+i(cos2x+sin2x)8取其實(shí)部得原方程的一個(gè)特解1x,y=-e(cos2xsin2x)故原方程的通解為、.xx1x.y=Y+y=C1e+C2ee(cos2x-sin2x)例7.求方程d-y+y=(x2)e"+xsinx的通dx2解。解由上節(jié)定理三，定理四，本題的通解只要分別求嗎+y=0的特解Ydx色+y=(x2把"的,個(gè)特解ydx

21、2y+y=xsinx的一個(gè)特解y2dx2然而相加即可得原方程的通解，由本節(jié)例4有Y=Ccosx+CsinxJ113、3xy1=(x)e1050卜面求y2,為求丫2先求方程d2yix+y=xedx由于i是特征方程的單根，且pn(x)=故可設(shè)u=x(a0x+a1)=a0x2+a1x,此生q=1,對(duì)u求導(dǎo)x為一次式,a=i,p=0,dx代入方程d2u2dx得2a2aO=2a0x+ai)耍=2a。dx2+(2a+p)+(a+pa+q)u=xdxo+2i(2a0x+a1)+0=x即4ia0x+2iai+2a0=x比較x的同次曷的系數(shù)有:114ia0=12iai2a0=0a0二得4i412:即方程d4+y

22、=xeix的一個(gè)特解dx2，i21、_ixy=(x+-x)e44,i2.1,.、=(x+-)(cosx+isinx)44取其虛部，得y2=1x2COs4x+1xsin44444=(1x2sinx+1xcosx)+i(1x2cosx+1xsinx)所以，所求方程的通解y=Y+yl+y2=Gcosx+C2sinx+(113)ex1xcosx+10541一xsinx4綜上所述，對(duì)于二階常系數(shù)線性非齊次方程d2y.dy.T+p+qy=f(x)dxdx當(dāng)自由項(xiàng)f(x)為上述所列三種特殊形式時(shí)，其特解y可用待定系數(shù)法求得，其特解形式列表如下:自由項(xiàng)f(x)形式特解形式f(x)=pn(x)當(dāng)qW0時(shí)y=Q(

23、x)當(dāng)q=0,p*0時(shí)y=Q(x)當(dāng)q=0,p=0時(shí)y=x2Q(x)f(x)=pn(x)eax當(dāng)a不是特征方程根時(shí)y=Q(x)e”x當(dāng)a是特征方程單根時(shí)y=xQ(x)e”xf(x)=pn(x)eaxcosBx或f(x)=pn(x)eaxsin0x當(dāng)a是特征方程重根時(shí)y=x2Q(x)e”x利用歐拉公式ei3x=cos3x+isin0x,化為f(x)=pn(x)e(a+i3)x的形式求特解，再分別取其實(shí)部或虛部以上求二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解的方法，當(dāng)然可以用于一階，也可以推廣到高階的情況。例8.求y+3y+3y'+y=ex的通解解對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r3+3r2+3+1=0r1

24、=r2=r3=1所求齊次方程的通解Y=(Ci+Qx+Qx2)e-x由于a=1不是特征方程的根因此方程的特解y=a0ex代入方程可解得a0=18故所求方程的通解為y=Y+y=(C1+Gx+C3x2)ex,1xA+-e%8§7.3歐拉方程下述n階線性微分方程dnn-1yIn-1dVIIn-1dvIr/aoxy+aix-_V+axy+any=f(x)nn-1axdxdx稱為歐拉方程，其中a。，ai,an都是常數(shù)，f(x)是已知函數(shù)。歐拉方程可通過變量替換化為常系數(shù)線性方程。下面以二階為例說明。對(duì)于二階歐拉方程aox2d+aixdy+a2y=f(x)(7.10)dxdx作變量替換令x=e：即t二Inx引入新變量t,于是有dy=dy_dl=dxdtdxdy1_1dydtxxdt.2ly：=_d_(1或)=14(或)+或且(1dx2dxxdtxdxdtdtdxx2=1dyj±_Xdyxdt2dxx2dt2=1dy1dyx2dt2x2dt代入方程(7.10)得ao(d-ydy)+a2dy+a1y=f(e*)dt2dtdt.2即dl+au0dy+1y=lf(et)dt2