二項分布數(shù)學(xué)期望與方差專題復(fù)習(xí)有詳解重點中學(xué)用0001

1、第十講二項分布及應(yīng)用隨機變量的均值與方差知識要點1 .事件的相互獨立性(概率的乘法公式)設(shè)AB為兩個事件，如果RAB=RA)RB),則稱事件A與事件B相互獨立.2 .互斥事件概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A+B)=RA)+P(B).3 .對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則RA)=1RB).4 .條件概率的加法公式：若RC是兩個互斥事件，則RBUqA)=P(B|A)+RC|A)5 .獨立重復(fù)試驗：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，即若用A(i=1,2,，n)表示第i次試驗結(jié)果，則RAAA-A)=P(Ai)RA)P(A)-P(A).注：判斷某事件發(fā)生是

2、否是獨立重復(fù)試驗，關(guān)鍵有兩點(1)在同樣的條件下重復(fù)，相互獨立進(jìn)行；(2)試驗結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生.6 .二項分布：在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試3中事件A發(fā)生的概率為p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為RX=k)=Ckpk-(1-p)nk(k=0,1,2,，n),此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n,p),并稱p為成功概率.注：判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點(1)是否為n次獨立重復(fù)試驗.(2)隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù).7 .離散型隨機變量的均值與方差及其性質(zhì)定義：若離散型隨機變量X的分布列為RE=X

3、i)=pi,i=1,2,，n.(1)均值：稱E(X)=Xp+X2P2+Xipi+Xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.n(2)方差：D(X)=E(Xi日X)3為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根.DX為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.i=12(3)均值與萬差的性質(zhì)：(1)E(aX+b)=aRX)+b；(2)D(aX+b)=aD(X).(a,b為常數(shù))8.兩點分布與二項分布的均值、方差變量X服從兩點分布：E(X)=p,QX)=p(1p);XB(n,p)：E(X)=np,QK=np(1p)典例精析例1.12015高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3

4、名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率.(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.例2.如圖，用KAi、A三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且Ai、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知KAi、A2正常工作的概率依次為、，則系統(tǒng)正常工作的概率為()A.B.C,D.例3.(2013山東高考)甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除一一，一1,，一12，.

5、第五局甲隊獲勝的概率是J外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是個假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.23(1)分別求甲隊以3：0,3：1,3:2勝利的概率.(2)若比賽結(jié)果為3：0或3：1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.例4.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽白比賽，答對3題者直接進(jìn)入決賽，答錯3題者則被2淘汰，已知選手甲答題的正確率為-.3

6、(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)己，試寫出己的分布列，并求己的數(shù)學(xué)期望.例5.(2014福建高考改編)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元.求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.下面給出兩種方

7、案：方案1:4個球中所標(biāo)面值分別為10元，10元，50元，50元；方案2:4個球中所標(biāo)面值分別為20元，20元，40元，40元.如果你作為商場經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案例6.(13分)如圖所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.例7.(12分)某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：(1)

8、指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩?3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記己表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求E的分布列及數(shù)學(xué)期望.例8.12015高考湖南，理18】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有

9、3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.例9.（2016河北張家口市三模21）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)fx=exxax2.（i）若!=0,求fx的單調(diào)區(qū)間；（n）若當(dāng)x0時，fx0,求a的取值范圍.參考答案例1.12015高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率.(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)

10、X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為p99100(2)X的分布列為:X的期望為E(X)2.【解析】(1)由題意，參加集訓(xùn)的男女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中抽取(等價于A中沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為一，一、，1因此，A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為110099100(2)根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3.C；C；1P(X1)二3二，P(XC65所以X的分布列為：2)C；C；C64P(X3)c；c；1C：5因此，X的期望為E(X)2.例2.如圖1081,用K、A、A三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A、A至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正

11、常工作.已知KA、從正常工作的概率依次為、，則系統(tǒng)正常工作的概率為(B)A.B.C.D【答案】BA1、A2至少有一個正常工作的概率為P1(10.8)20.96,則系統(tǒng)正常工作的概率為PKP0.90.960.864例3.(2013山東高考)甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽12,、一隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是假設(shè)各局23比賽結(jié)果相互獨立.(1)分別求甲隊以3：0,3：1,3:2勝利的概率.(2)若比賽結(jié)果為3：0或3：1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2,則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

12、【嘗試解答】(1)記“甲隊以3:0勝利”為事件A,“甲隊以3：1勝利”為事件A”甲隊以3：2勝利”為事件A由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，2382222282222214故P(A)=3=27，P(A2)=C3313X3=27P(A)=C431_3X2_=27.所以甲隊以3：0勝利，以3：1勝利的概率都為27,以3：2勝利的概率為27.(2)設(shè)“乙隊以3：2勝利”為事件A,由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P(A)=C41_|222x11=；4.33227由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據(jù)事件的互斥性得164P(X=0)=P(A1+AQ=P(A)+P(A)=27.又P(X=1

13、)=P(A)=27,P(X=2)=P(A)=427，P(X=3)=1-P(X=0)P(X=1)P(X=2)=27,故X的分布列為X0123P1627427427327164437所以EX=0x27+1*27+2*27+3X萬=9.例4.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進(jìn)入決賽，答錯3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為短.3(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率；(2)

14、設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)己，試寫出己的分布列，并求己的數(shù)學(xué)期望.【嘗試解答】(1)選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為23=*,327選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為C3-2212=胃，3332/選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率c8816P=27+27=27；23131依題意，己的可取取值為3、4、5,則有P(己=3)=3+3=3,八72212122110一、/2p（e=4）=c3333+d333=27，p（e=5）=c4321218一一=3327因此，有345P110832727810727=-27-L110.EE=3X-+4X+5X327規(guī)律方法2求離散型隨機變量的均值與方差的方法：(1

15、)先求隨機變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解.(2)若隨機變量XB(n,p),則可直接使用公式E(X)=np,D(X)=np(1p)求解.例5.(2014福建高考改編)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元.求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.下

16、面給出兩種方案：方案1:4個球中所標(biāo)面值分別為10元，10元，50元，50元;方案2:4個球中所標(biāo)面值分別為20元，20元，40元，40元.如果你作為商場經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案【解答】(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.一、一Cc31.1依題意，得P(X=60)=4=2，即顧客所猶的獎勵額為60兀的概率為.一一,一C311依題意，得X的所有可能取值為20,(X=20)=d=2，P(X=60)=2,即X的分布列為X2060P121280-602400.63方差口%)=40-60222+-X(60-60)2+63根據(jù)預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元，且E(Xi)=E(%)=60,D(Xi)D(X).

17、因此，根據(jù)商場的設(shè)想，應(yīng)選擇方案2.例6.如圖1094所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖.圖1094(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.【解】(1)依題意及頻率分布直方圖知，0.02+x+=1,解得x=.(2)由題意知，XB(3,.因此P(X=0)=C3X=,P(X=1)=c3xx=,P(X=2)=C2XX=,P(X=3)=C3X=.故隨機變量X的分布列為PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3X=.X的方差為D(X)=3XX(1=.例7.某網(wǎng)站用

18、“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖1093記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：圖1093(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩?3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記己表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求己的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解】(1)眾數(shù)：8,6;中位數(shù)：(2)由莖葉圖可知，幸福度為“極幸福”的人有4人.設(shè)A表示所取3人中有i個人是“極幸?！?，至多有1人是“極幸福”

19、記為事件A,皿ac4c22121則RA)=P(A)+P(A1)=c3；+c3r=礪,I,一一41一，、(3)從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極幸?！钡娜说母怕蕿?,故依1題意可知，從工社區(qū)中任選1人，抽到極幸布的人的概率P=-4工的可能取值為0,1,2,3c3327c113227P(E=0)=I=;P(E=1)=G：=7T4644464_-1239131PU=2)=C344=豆；P(E=3)=4=豆所以己的分布列為0123P27279164646464272791EIX才1X才2X才3X#11另解由題可知七B3,彳，所以EE=3X4=.例8.12015高考湖南，理18】某商場舉行有獎促

20、銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）二；（2）詳見解析.10【解析】試題分析：（1）記事件A從甲箱中摸出的1個球是紅球,A2從乙箱中摸出的1個球是紅球B1顧客抽獎1次獲一等獎,B2顧客抽獎1次獲二等獎,C顧客抽獎1次能獲獎,則可知A與A相互獨立，aA2與AA2互斥，B1與

21、B2互斥，且B1A1A2,B2aA；NA2,CB1B2,再利用概率1的加法公式即可求解；（2）分析題意可知X:B（3,-）,分52)C；),)112125o1o43641114248p(x0)C0(-)0(-)3赤，p(x1)C3(-)1(-)2赤，p(x551255512531340P(X3)C；(5)3(5)01廠一一，即可知125X的概率分布及其期望試題解析：（1）記事件a從甲箱中摸出的1個球是紅球,A從乙箱中摸出的1個球是紅球B1顧客抽獎1次獲一等獎,B；顧客抽獎1次獲二等獎,C顧客抽獎1次能獲獎,由題意,A1與A2相互獨立，AA；與AA；互斥，B|B2互斥，且B1A1A2,B2隊42

22、51211P(A)而5P(A2)W2-E535P(B；)P(AA2AA)P(A4)P(AA；)P(A)(1p(a；)(1p(A)p(a；)2121(1)(1)52521117一，故所求概率為P(C)P(RB；)P(BJP(B；)-；25210(2)顧【考點定位】1.概率的加法公式；2.離散型隨機變量的概率分布與期望【名師點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計在生活中的實際應(yīng)用，這一直都是高考命題的熱點，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實生活中的熱點問題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計的聯(lián)系越來越密切，與統(tǒng)計中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識綜合的試題逐漸增多，在復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.例9.【2015高考四川，理21】已知函數(shù)f(x)2(xa)lnxx22ax2a2a,其中a0.(1)(2)證明：存在a(0,1),使得f(x)0在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立，且f(x)0在(1,+)內(nèi)有唯一解.1114a【答案】(1)當(dāng)0a一時，g(x)在區(qū)間(0,),(42114a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間114a114a1)上單倜遞減；當(dāng)a一時，g(x)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞增.(2)詳見解析.g(x)(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,),(x)2x2a2lnx2(1a),所以xg(x)22a2x1212(x萬)22(a-)1,、114a14時g(x)在區(qū)間),(-14a2)上單調(diào)遞