力學-緒論(乙)

1、2022-4-18緒論1緒論緒論一一力學的研究內(nèi)容力學的研究內(nèi)容力學的研究對象是機械運動機械運動，也就是宏觀物體之間或物體內(nèi)各部分之間相對位置的移動。它是物理學的重要基礎。基本規(guī)律基本規(guī)律質(zhì)點運動學慣性系下質(zhì)點動力學非慣性系下質(zhì)點動力學質(zhì)點動力學質(zhì)點組動量定理（守恒）質(zhì)點組機械能定理（守恒）質(zhì)點組角動量定理（守恒）導出規(guī)律導出規(guī)律 力學研究內(nèi)容力學研究內(nèi)容2022-4-18緒論2特殊質(zhì)點組：剛體、流體特殊運動形式：振動、波動解決問題解決問題緒論緒論柏拉圖，托勒密，阿基米德，亞里士多德古代：科學的原始時期古代：科學的原始時期二二 力學發(fā)展簡史力學發(fā)展簡史亞里士多德 (公元前384-322）思想家

2、，博學、雄辯、弟子眾多（亞歷山大大帝）-先哲物理學古代世界學術(shù)的百科全書錯誤：物體越重下落越快2022-4-18緒論3宗教統(tǒng)治社會，自然科學的發(fā)展受到嚴重阻礙宗教統(tǒng)治社會，自然科學的發(fā)展受到嚴重阻礙 阿奎那 神學大全 托勒密（公元90年168年）地心說 亞里士多德(公元前384-322）力學說 中世紀（公元五中世紀（公元五十五世紀）：科學的黑暗時期十五世紀）：科學的黑暗時期亞里士多德理論：凡運動需要不斷施加力；神學大全：天體是由有智慧本質(zhì)的推動，有智慧的本質(zhì)上帝。托勒密地心說：以地球為中心，行星、太陽圍繞地球運動；神學大全：地球是中心，繞它的是同心圓，第一圈載日月，第二圈載行星，第三圈載恒星，

3、往外是天，地球內(nèi)部是一層層地獄。緒論緒論2022-4-18緒論4哥白尼 (14731543) 波蘭天文學家，從事行醫(yī)，天文職業(yè) 十六世紀十六世紀 十七世紀：科學的革命時期十七世紀：科學的革命時期緒論緒論1507 （34歲）天體運行論，建立 “日心說”1543年（70歲） 正式公開發(fā)表天體運行論哥白尼的作用：首次建立了哥白尼的作用：首次建立了日心說日心說，向教會挑戰(zhàn)，向教會挑戰(zhàn)。2022-4-18緒論51601年（29歲）成為第谷的助手 前后八年建立開普勒 第一，二定律又用九年建立開普勒 第三定律布魯諾 （15711630）意大利文學家,捍衛(wèi)和發(fā)展了哥白尼的太陽中心說，并把它傳遍歐洲 “ “在真

4、理面前，我半步也不退讓！在真理面前，我半步也不退讓！”開普勒 （15711630）德國天文學家開普勒的作用：通過觀測，總結(jié)規(guī)律開普勒的作用：通過觀測，總結(jié)規(guī)律緒論緒論2022-4-18緒論61585年（21歲）比薩大學數(shù)學講師，研究落落體定律，慣性定律體定律，慣性定律1592年（28歲）到帕多瓦大學任教，從事實驗工作，用自制望遠鏡，觀察木星的三個衛(wèi)星，太陽，月亮，金星，制作氣體溫度計，天平，水鐘1616年（52歲）宣揚哥白尼日心說，同教會斗爭1632年（68歲）出版三個人世界的對話，被監(jiān)禁，去世伽利略的作用： 將數(shù)學、實驗引進科學研究，靠實驗尋求物理規(guī)律伽利略（15641642），意大利物理學

5、家緒論緒論2022-4-18緒論7牛頓牛頓 （1642172716421727） 英國物理學家英國物理學家上一頁上一頁下一頁下一頁返回主目錄返回主目錄緒論緒論16651666年(2324歲）：開始物理學研究，在家鄉(xiāng)奠定三大成就： 微積分，引力定律（20年后發(fā)表），光的性質(zhì)1686年（44歲）公開發(fā)表自然哲學的數(shù)學原理 牛頓三定律，萬有引力 , 人類科學史上的第一次總結(jié)；巨人肩上完成使命2022-4-18緒論8緒論緒論力學與理論力學(上冊)楊維宏編 科學出版社力學鄭永令 賈起民編 高教出版社力學程稼夫編 科學出版社新概念物理教程 力學，趙凱華、羅蔚茵，高等教育 出版社力學（伯克利物理學教程第一卷

6、），C基特爾等，科學出版社三三教材和參考書教材和參考書2022-4-18緒論9緒論緒論四四數(shù)學補充數(shù)學補充1. 行列式行列式333231232221131211aaaaaaaaa元素：ijai: 行標行標; j: 列標列標22211211aaaa11a三階行列式可以一般地表述成2階、1階、零階行列式分別表述成行列式行列式2022-4-18緒論10緒論緒論定義1 111111aaa 1221221122211211aaaaaaaa 232213123133321312213332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 行列式的運算規(guī)則可用

7、下述遞歸方式定義：2022-4-18緒論11zyxzyxFFFzyxkjiFzkFyjFxi 性質(zhì)性質(zhì)1 1：行列可互換性：行列可互換性333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaakaaakakakaaaa 性質(zhì)性質(zhì)2 2：一行的公因子可以提出：一行的公因子可以提出緒論緒論2022-4-18緒論120333231131211131211 aaakakakaaaa性質(zhì)性質(zhì)3 3：對換行列式中兩行的位置，：對換行列式中兩行的位置， 行列式反號。行列式反號。性質(zhì)性質(zhì)4 4：如果行列式中兩行成比例，：如果行列式中兩行成比例， 那么行列式為零。那么行列式為零

8、。應用應用: 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa線性代數(shù)方程組緒論緒論2022-4-18緒論13333231232221131211aaaaaaaaaD 引入分母行列式 23332323222131211 , DaabaabaabD引入分子行列式321, iDDxii 方程組的解能表述為:緒論緒論2022-4-18緒論142. 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算矢量的疊加與分解既有大小，又有方向的量是矢量，記為A標量：只有大小，沒有方向矢量的大小稱為矢量的模，記為A單位方向矢量AAAA/ 或或萬有引力定律: rrMmGF3 MmFr

9、緒論緒論2022-4-18緒論15l矢量的代數(shù)性質(zhì)矢量的疊加:矢量的和標積和矢積：矢量的乘矢量與標量的關(guān)系數(shù)乘：標量與矢量的乘積仍是一個矢量BA 矢量之間的關(guān)系CBA 兩個矢量的和ABC緒論緒論2022-4-18緒論16321321)(AAAAAA 矢量的疊加滿足交換律和結(jié)合律xyzijkAxAyAzAxyAijkx軸單位矢量y軸單位矢量z軸單位矢量l矢量矢量的分解的分解kAjAiAAzyx 緒論緒論2022-4-18緒論17 zyxzyx,A,AA,A,AA: A 或或 可簡寫為: kBAjBAiBAkBjBiBkAjAiABAzzyyxxzyxzyx k維空間維空間ikikkeAeAeAe

10、AAi 12211K維空間矢量 kiiAA12矢量的模ikiiie)B(ABA 1矢量的和緒論緒論2022-4-18緒論18 ABBA 0cos 規(guī)定規(guī)定 BABABAAABBA BABA 2121)()()()(為標量矢量矢量的的標積標積AB/B/ABAABBA/ 顯然有矢量的模量AAA 矢量標積的一些基本性質(zhì)矢量標積的一些基本性質(zhì): BABABABABBAA221221112121)()( 緒論緒論2022-4-18緒論19l三維空間三維空間zzyyxxzyxzyxBABABAkBjBiBkAjAiABA )()(單位矢量的標積滿足0 ikkjji正交性歸一性1 kkjjiiiAAx 矢量

11、的某一分量lk維空間維空間ikiiBABA 1 jijieeijji若若 若若 10正交歸一性緒論緒論2022-4-18緒論20AB BC C矢量矢量的的矢積矢積 的的方方向向由由右右手手系系確確定定平平行行四四邊邊形形的的面面積積）CABCCBA( sin : :三維空間:兩個矢量的矢積定義為l矢積的一些基本性質(zhì)矢積的一些基本性質(zhì) )()(BABA ABBA 反交換律BABABAA 2121) )( (分配律緒論緒論2022-4-18緒論21221221112121BABABABABBAA ) )( () )( (進一步可導出其它較復雜的公式,例如 BAkBAjBAi BAzzyyxx 0

12、kkjjiijik; ikj; kji矢積只能在三維空間中進行, 對于坐標基矢有矢積的行列式表示緒論緒論2022-4-18緒論22例1 矢積在物理學中的應用一FrM v力矩prL v角動量BqF vv洛侖茲力例2矢積在物理學中的應用二 baBlIFv安培力v畢奧-沙伐爾定律304 rrlIB lI BablI rP緒論緒論2022-4-18緒論23矢量矢量的的三重積三重積 CBACBACBA )CB(Azzzyyyxxx 幾何意義：平行六面體的體積幾何意義：平行六面體的體積)()()(BACACBCBA 三重標積的循環(huán)可交換性)(CBA 三重標積ABC0)( CBAC , B , A 共面共面

13、 緒論緒論2022-4-18緒論24ABCCBCBABCACBA)()()( 矢量的三重矢積)(CBA 三重矢積必在B、C確定的平面內(nèi)， 是B、C的線性組合。xyxxxyyyO3. 一元函數(shù)微積分一元函數(shù)微積分一元函數(shù)可記為)(xy y 或)(xFy 自變量 x 的增量:x 函數(shù)增量:)()(xyxxyy 微分微分緒論緒論2022-4-18緒論25xAy )()(xyxxyy BAxy 線性函數(shù)線性函數(shù)當自變量的增量很小時，當自變量的增量很小時，其它函數(shù)的增量能否寫成類似的形式？其它函數(shù)的增量能否寫成類似的形式？2)(2xAAxxy 含有高階無窮小，其它函數(shù)類似。2Axy 拋物線函數(shù)拋物線函數(shù)

14、緒論緒論2022-4-18緒論26xysin xey x xx xysincos)1(cos sin )1( xxeey自變量增量0 x時, 稱為自變量微分自變量微分,改記成dx相應的函數(shù)增量0 y, 稱為函數(shù)微分函數(shù)微分,記成dy)()(xydxxydy dy與dx的關(guān)系緒論緒論2022-4-18緒論27微分 忽略高階無窮小AdxdyBAxy ,dxdxxAdyAxy)2( ,2 dxxdxxdyxysincos)1(cossin ,sin AxBdxAxAxBdxAx 簡簡書書為為1cos 1cos dxdx簡書為簡書為dxdxdxdx sin sin簡書為簡書為數(shù)學上可以證明, 對無窮小

15、量dx, 有緒論緒論2022-4-18緒論28dxdxdxdx tan tan簡書為簡書為edxedxdxdx 11)1( )1(簡書為簡書為64274821785251654759457134076630353 772749669676209369995952497757247 66028747135259045235367182818284. 2 e微商（導數(shù)）微商（導數(shù)） )(dxdyxy 定義dxdyy 或或緒論緒論2022-4-18緒論29 OxxyyPQx y xxyxxyxy )()(幾何意義: 平均變化率函數(shù)在x處的導數(shù)等于函數(shù)曲線在x處切線的斜率 tan)()( dxxydx

16、xydxdyy例例 函數(shù)導數(shù)的幾個實例函數(shù)導數(shù)的幾個實例AyBAxy AxyAxy2 2 緒論緒論2022-4-18緒論30 xyxysin cos sinxy xdxdxxdxdxxycossincos1cossin 導數(shù)的一些重要性質(zhì)導數(shù)的一些重要性質(zhì)22112211 yAyAyyAyAy 212121 yyyyyyyy 22212121 yyyyyyyyy 緒論緒論2022-4-18緒論31復合函數(shù)的微商復合函數(shù)的微商)( )(xuuuyy xuxuyy 鏈式法則鏈式法則: :xuxuydxdududydxdyy 例例3 幾個函數(shù)的求導幾個函數(shù)的求導)sin(CBxAy CBxuuAy

17、sin可看作)cos()cos(CBxABBuAuyyxux 緒論緒論2022-4-18緒論32xAycos 可變換為)2sin( xAy即得xAxAysin)2cos( xytan 可變換為xxycossin 即得xxxxxxy22cos1cos)(cossincos)(sin 緒論緒論2022-4-18緒論33,2,1 kxyk可遞歸地得到)()()()(11111 kkkkkkxxxxxxxxxx1 x1 kkxy即 有緒論緒論2022-4-18緒論34三個常用導數(shù)公式三個常用導數(shù)公式1)( xx是任意實數(shù) aaaxxln)( xx1)(ln ? xe二階導數(shù)二階導數(shù) dxdydxddx

18、ydy )(簡寫成 22dxydy nnndxydy )( 依此類推, n階導數(shù)記作緒論緒論2022-4-18緒論35例如 , 2 , 1 )()( keexnx , 2 , 1 , 0 cossin)14( kxxk xxksinsin)24( xxkcossin)34( xxksinsin)44( OxyyPx0 xQM導數(shù)與極值導數(shù)與極值增增加加而而增增加加隨隨xyxy 0)( 增增加加而而減減小小隨隨xyxy 0)( 對對應應極極值值點點 0)( xydxydy 極大值或極小值極大值或極小值? ? 則由則由該點的二階導數(shù)來確定該點的二階導數(shù)來確定緒論緒論2022-4-18緒論36Oxy

19、yPx0 xQM0)( 0)(00 xyxy極大值點0)( 0)(00 xyxy極小值點xy非極值點，稱為拐點非極值點，稱為拐點3xy 0)0( y0)0( y在 x = 0 處緒論緒論2022-4-18緒論37, 2, 1, 0 )21(20 kkx 極大值點極小值點, 2, 1, 0 21) 1(20 kkx xsin例題例題 找出的全部極值點泰勒展開泰勒展開導數(shù)的一個重要應用函數(shù)的冪級數(shù)展開dxxx 00自變量)()()()(0000 xxxydxxydyxyxy 函數(shù)增量也可寫成)()()(00000 xxxyxxxyxy 緒論緒論2022-4-18緒論38猜想函數(shù)有如下的冪級數(shù)展開

20、0030320201000)()()()()()(nnnxxAxxAxxAxxAxxAxy-泰勒泰勒( (Taylor)Taylor)級數(shù)級數(shù)確定泰勒確定泰勒級數(shù)的展開系數(shù)級數(shù)的展開系數(shù)展開式兩邊對 x 依次求導, 再取 x = x0, 可確定所有項的系數(shù), 2 , 1 ),(!1 ),(0)(00 nxynAxyAnn緒論緒論2022-4-18緒論39泰勒泰勒級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性因為y(x)是有限的, 所以至少要求0)(!1)( ,00)(0 nnnnxxxynxxAn函數(shù)y(x)若能在x0兩側(cè)某范圍內(nèi)展開為泰勒級數(shù)，便稱這一范圍為y(x)的收斂區(qū)域。 xx sin11 )1(1 xx1

21、1 1 xx11 )1ln( xx xx cos xex x0= 0的泰勒級數(shù)，也稱為馬克勞林(Maclaurin)級數(shù)緒論緒論2022-4-18緒論40ktAjtAitAtAzyx)()()()( 許多物理量是矢量，一般都隨時間和空間坐標而變化。任意矢量A(t)可分解為其中基矢均不隨t變化。A對t的導數(shù)為kdttAdttAjdttAdttAidttAdttAdttAdttAdtAdzzyyxx)()()()()()()()( 即有kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx 矢量微商矢量微商緒論緒論2022-4-18緒論41ktzjtyitxtr)()()()( 例如質(zhì)點位矢 r 分解成rkdttdzjdttdyidttdxdtrd )()()(v速度加速度rkdttzdjdttydidttxddtrddtda 22222222)()()(v緒論緒論2022-4-18緒論42 dtBdABdtAdBAdtd)(矢量A(t)與矢量B(t)的標積zzyyxxBABABABA d