湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下2.7正方形ppt公開課優(yōu)質(zhì)教學(xué)課件

1、2.7 正方形第2章 四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)數(shù)學(xué)下（八年級(jí)數(shù)學(xué)下（XJXJ）教學(xué)課件教學(xué)課件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、 矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；(重點(diǎn)、難點(diǎn))2探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、 矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；(重點(diǎn)、難點(diǎn))3會(huì)運(yùn)用正方形的性質(zhì)及判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證 和計(jì)算 . (難點(diǎn))導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎？講授新課講授新課 矩 形問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現(xiàn)？問題引入正方形的性質(zhì)一正方形問題2 菱形怎樣變化

2、后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現(xiàn)？正方形鄰邊相等矩形正方形 菱 形一個(gè)角是直角正方形正方形定義： 有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結(jié)已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.ABCD證明：四邊形ABCD是正方形.A=90, AB=AD （正方形的定義）. 又正方形是平行四邊形.正方形是矩形（矩形的定義）, 正方形是菱形(菱形的定義).A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD.證一證已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO證明：正方形ABCD

3、是矩形, AO=BO=CO=DO. 正方形ABCD是菱形.ACBD.矩形菱形正方形平行四邊形 正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：性質(zhì)：1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等. 2.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.歸納總結(jié) 正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心. 正方形是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線，以及過每一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線都是它的對(duì)稱軸. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：知識(shí)要點(diǎn)ABCD 例1 求證: 正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.ADCBO已

4、知: 如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC、BD相 交于點(diǎn)O. 求證: ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的 等腰直角三角形. 證明: 四邊形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形,并且ABO BCO CDO DAO.典例精析 D A B C E例2 如圖，在正方形ABCD中， BEC是等邊三角形， 求證： EADEDA15 .證明： BEC是等邊三角形，BE=CE=BC,EBC=ECB=60， 四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD,ABC=DCB=90，AB=BE=CE=CD, ABE= DC

5、E=30，ABE，DCE是等腰三角形， BAE =CDE =75，EAD= EDA=90-75=15.【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊ADE，求BEC的大小解：當(dāng)?shù)冗匒DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖，ABAE，BAE9060150.AEB15.同理可得DEC15.BEC60151530；當(dāng)?shù)冗匒DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.綜上所述，BEC的大小為30或150.易錯(cuò)提醒：因?yàn)榈冗匒DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等本題分兩種情況：等邊ADE在正方形的外部

6、或在正方形的內(nèi)部【變式題2】 如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD（1）求證：APBDPC；解：四邊形ABCD是正方形，ABC=DCB=90PB=PC，PBC=PCBABC-PBC=DCB-PCB，即ABP=DCP又AB=DC，PB=PC，APBDPC證明：四邊形ABCD是正方形，BAC=DAC=45APBDPC，AP=DP又AP=AB=AD，DP=AP=ADAPD是等邊三角形DAP=60PAC=DAP-DAC=15BAP=BAC-PAC=30BAP=2PAC（2）求證：BAP=2PAC 例3 如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PEBC于E， PF

7、DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解: 連接PC，AC.又PEBC ， PFDC,四邊形ABCD是正方形,FCE=90, BD垂直平分AC,四邊形PECF是矩形,PC=EF.AP=PC.AP=EF. 在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對(duì)角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來說明.歸納1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A.四個(gè)角相等 B.對(duì)角線互相垂直平分 C.對(duì)角互補(bǔ) D.對(duì)角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A.四條邊相等 B.對(duì)角線互相垂直平分 C.對(duì)角線平分一組對(duì)角 D.對(duì)角線相等BD練一練2.如圖，四邊形

8、ABCD是正方形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO2，求正方形的周長與面積解：四邊形ABCD是正方形，ACBD，OAOD2.在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周長為4AD ， 面積為AD28.222 2,ADAOOD8 2正方形的判定二活動(dòng)1 準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.正方形猜想 滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直已知：如圖,在矩形ABCD中,AC , DB是它的兩條對(duì)角線, ACDB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：四邊形ABCD是矩形, AO=CO=BO=DO ，ADC=90. ACDB, A

9、D=AB=BC=CD, 四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.活動(dòng)2 把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想 滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個(gè)角是直角對(duì)角線相等已知：如圖,在菱形ABCD中,AC , DB是它的兩條對(duì)角線, AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：四邊形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,ACDB.AC=DB, AO=BO=CO=DO,AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形，DAB=ABC=BCD=ADC=90, 四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對(duì)角線相等

10、的菱形是正方形.正方形判定的幾條途徑：正方形正方形+先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個(gè)直角，一組鄰邊相等，總結(jié)歸納對(duì)角線相等對(duì)角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（ ）AAC=BD，ABCD，AB=CDBADBC，A=CCAO=BO=CO=DO，ACBDDAO=CO，BO=DO，AB=BC練一練CABCDO例4 在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?證明：四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90

11、.AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證AENBFECMFDNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個(gè)角是直角即可.在AEN、BFE、CMF、DNM中， AE=BF=CM=DN, A=B=C=D, AN=BE=CF=DM,AENBFECMFDNM,EN=FE=MF=NM，ANE=BEF,四邊形EFMN是菱形， NEF=180（AEN+BEF） =180（AEN+ANE） =18090=90.四邊形EFMN是正方形 .證明： DEAC，DFAB ，DEC= DFC=90.又 C=90 ，四邊形EDFC是矩形.過點(diǎn)D作DGAB，垂足為G.AD是CAB的平分線DEAC，DGA

12、B， DE=DG.同理得DG=DF，ED=DF，四邊形EDFC是正方形.例5 如圖，在直角三角形中，C=90，A、B的平分線交于點(diǎn)D.DEAC，DFBC.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG例6 如圖，EG,FH過正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O,且EGFH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：四邊形ABCD為正方形,OB=OC,ABO=BCO =45,BOC=90=COH+BOH.EGFH,BOE+BOH=90,COH=BOE,CHO BEO,OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACDOEHGFOE=OF=OG=OH.又EGFH,四邊形EFGH為菱形.EO+GO=FO+HO ,即

13、EG=HF,四邊形EFGH為正方形.BACD OEHGF例7 如圖，正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AFAC，垂足為A，AF=AE（1）求證：BF=DE；（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)， 問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由（1）證明：正方形ABCD，AB=AD，BAD=90，AFAC，EAF=90，BAF=EAD，在ADE和ABF中，ADAB ，DAEBAF ，AEAF ,ADEABF（SAS），BF=DE；（2）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)四邊形AFBE是正方形，理由：點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC，BEAC，BE=AE= AC，AF=AE，BE=AF=AE.又

14、BEAC，F(xiàn)AE=BEC=90，BEAF，BE=AF，得平行四邊形AFBE，F(xiàn)AE=90，AF=AE，四邊形AFBE是正方形12思考 前面學(xué)菱形時(shí)我們探究了順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形各邊中點(diǎn)能得到菱形，那么順次連接正方形各邊中點(diǎn)能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH2.一個(gè)正方形的對(duì)角線長為2cm，則它的面積是 （）A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（） A對(duì)角線互相平分 B對(duì)角線互相垂直 C對(duì)角線相等 D對(duì)角線

15、互相垂直且相等 A當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)3在正方形ABCD中,ADB= ,DAC= , BOC= .4.在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則EBC的度數(shù)是 .ADBCOADBCOE459022.5第3題圖第4題圖455.如圖，四邊形ABCD中，ABC=BCD=CDA=90，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_，可得出該四邊形是正方形AB=BC(答案不唯一)ABCDO6.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯(cuò)誤的是_（只填寫序號(hào)）或7.如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對(duì)角線，AE

16、平分BAC，EFAC，求BE的長解：四邊形ABCD為正方形，B90，ACB45，ABBC1cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE，ABAF1cm，BEEF.FCBE.在RtABC中，F(xiàn)CACAF( 1)cm，BE( 1)cm222cm,ACABBC228. 如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長線上一點(diǎn),且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.解：BE=DF,且BEDF.理由如下：四邊形ABCD是正方形.BC=DC,BCE =90 .DCF=180-BCE=90.BCE

17、=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.ABDCFE延長BE交DF于點(diǎn)M,BCEDCF ,CBE =CDF.DCF =90 ,CDF +F =90,CBE+F=90 ,BMF=90.BEDF.ABDFECM9.如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對(duì)角線BD平分ABC , P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PMAD , PNCD ,垂足分別為M、N. (1) 求證：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. BD=BD， ABDCBD (SAS). ADB=CDB.12CABDPMN（2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四邊形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=45. DM=PM,DN=PN. 四邊形NPMD是正方形.10.如圖，ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，DEAC，DFAB試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由連接AD，當(dāng)AD滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF為菱形，為什么？解：DEAC，DFAB，四邊形AEDF為平行四邊形；AD平分BAC時(shí)，四邊形AEDF為菱形；理由如下：AD平分BAC，BAD=CAD，DEAC，F(xiàn)AD=ADE，BAD=ADE，AE=DE.平行四邊形AEDF為菱形.在的條件下