第二講(四)漸開線與擺線

1、（一）、問題探究（一）、問題探究1 1 把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆會(huì)畫出一條子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆會(huì)畫出一條曲線。曲線。動(dòng)點(diǎn)（筆尖）滿足什么幾何條件？動(dòng)點(diǎn)（筆尖）滿足什么幾何條件？一、新課教學(xué)一、新課教學(xué)這條曲線的形狀怎樣？這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？能否求出它的軌跡方程？2BOAM172 圖圖,.A位于點(diǎn)筆尖如圖設(shè)開始時(shí)繩子外BMBMABM所以切線為切線展開后成的一段弧度單位是弧繩子對(duì)圓心角因?yàn)闀r(shí)當(dāng)外端展開到點(diǎn),

2、)(,.,滿足的幾何條件筆尖這是動(dòng)點(diǎn)的長(zhǎng)的長(zhǎng)就是弧AB3BOAM172 圖圖 我們把筆我們把筆尖畫出的曲線叫做尖畫出的曲線叫做圓的漸開線圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓漸開線的基圓2 2、圓的漸開線的方程求解、圓的漸開線的方程求解ABMOxy 以基圓圓心以基圓圓心O O為原點(diǎn)，直線為原點(diǎn)，直線OAOA為為x x軸，建立平面直角坐標(biāo)系。軸，建立平面直角坐標(biāo)系。 設(shè)基圓的半徑為設(shè)基圓的半徑為r r，繩子，繩子外端外端M M的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x x，y y），顯），顯然，點(diǎn)然，點(diǎn)M M由角由角唯一確定唯一確定。B取 為參數(shù)，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為（rcos ,rsin ）,從而41.1.圓

3、的漸開線定義圓的漸開線定義ABMOy(cos ,sin ),|.BMx ry rBMr 1(cos ,sin )eOB 由于向量是與 同方向的單位向量，2(sin , cos )eBM 因而向量是與向量同方向的單位向量。| (cos ,sin )(sin , cos )BMxryrr (cossin )()(sincos )xryr 解得 是參數(shù)。這就是這就是圓的漸開線的參數(shù)方程圓的漸開線的參數(shù)方程。2 2、圓的漸開線的方程求解、圓的漸開線的方程求解5所以所以 即即2erBM漸開線的參數(shù)方程漸開線的參數(shù)方程ABMOxy(cossin)()(sincos)xryr是參數(shù) 。3、漸開線的應(yīng)用：、漸

4、開線的應(yīng)用： 由于漸開線齒行的齒輪由于漸開線齒行的齒輪磨損少，傳動(dòng)平穩(wěn)，制造安磨損少，傳動(dòng)平穩(wěn)，制造安裝較為方便，因此大多數(shù)齒裝較為方便，因此大多數(shù)齒輪采用這種齒形。輪采用這種齒形。設(shè)計(jì)加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。設(shè)計(jì)加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。 在機(jī)械工業(yè)中，廣泛地使在機(jī)械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動(dòng)力。用齒輪傳遞動(dòng)力。6（二）、問題探究（二）、問題探究2 2 如果在自行車的輪子上噴一個(gè)白色印記，那如果在自行車的輪子上噴一個(gè)白色印記，那么自行車在筆直的道路上行使時(shí)，白色印記會(huì)畫么自行車在筆直的道路上行使時(shí)，白色印記會(huì)畫出什么樣的曲線？出什么樣的曲線？ 上述問題抽象成數(shù)學(xué)問

5、題就是：上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是：當(dāng)一個(gè)圓沿當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡是什么？的軌跡是什么？OABM16 同樣地，我們先分析圓在滾動(dòng)過程中，圓同樣地，我們先分析圓在滾動(dòng)過程中，圓周上的這個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件。周上的這個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件。 我們把點(diǎn)我們把點(diǎn)M M的軌跡叫做的軌跡叫做平擺線平擺線，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱擺線擺線，又叫，又叫旋輪線。旋輪線。OABM 擺線在它與定直線的兩個(gè)相鄰交擺線在它與定直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的部分叫做一個(gè)拱點(diǎn)之間的部分叫做一個(gè)拱線段線段OAOA的長(zhǎng)等于的的長(zhǎng)等于的 長(zhǎng)，即長(zhǎng)，即OA=rOA=rMA1

6、 1、擺線的定義、擺線的定義17xyO DAEBMC2 2、擺線方程的求解、擺線方程的求解OABM 根據(jù)點(diǎn)根據(jù)點(diǎn)M滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為X軸，定點(diǎn)軸，定點(diǎn)M滾動(dòng)時(shí)落在定直線上的一個(gè)位置為滾動(dòng)時(shí)落在定直線上的一個(gè)位置為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r r。 設(shè)開始時(shí)定點(diǎn)設(shè)開始時(shí)定點(diǎn)M在原點(diǎn)，圓滾動(dòng)了在原點(diǎn)，圓滾動(dòng)了角后與角后與x軸相切于點(diǎn)軸相切于點(diǎn)A，圓心在點(diǎn)，圓心在點(diǎn)B18xyO DAEBMC2 2、擺線方程的求解、擺線方程的求解MABxCD從點(diǎn)分別做， 軸的垂線，垂足分別是 ， 。sin ,x OD OA DA OA

7、 M C rrcos .yDMACAB CB r r 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x,y）,取取為參數(shù)，根據(jù)為參數(shù)，根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)M滿足的幾何條件有滿足的幾何條件有所以，擺線的參數(shù)方程為：所以，擺線的參數(shù)方程為：(sin ),()(1 cos ).xryr為參數(shù)19xyO DAEBMC3 3、擺線的參數(shù)方程、擺線的參數(shù)方程OABM(sin ),()(1 cos ).xryr為參數(shù)擺線的參數(shù)方程為：擺線的參數(shù)方程為： 在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)的取值范圍的取值范圍是什么？一個(gè)拱的寬度與高度各是什么？是什么？一個(gè)拱的寬度與高度各是什么？思考思考20說明說明 2 2）、當(dāng)基線是直線

8、時(shí)，就得到平擺線或變）、當(dāng)基線是直線時(shí)，就得到平擺線或變幅平擺線。幅平擺線。 4）、當(dāng)基線是圓且動(dòng)圓在定圓外滾動(dòng)時(shí)，若）、當(dāng)基線是圓且動(dòng)圓在定圓外滾動(dòng)時(shí)，若兩圓外切，就得到外擺線或變幅外擺線。兩圓外切，就得到外擺線或變幅外擺線。 1 1）、擺線是研究一個(gè)動(dòng)圓在一條曲線（基線）、擺線是研究一個(gè)動(dòng)圓在一條曲線（基線） 上滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡。上滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡。 3 3）、當(dāng)基線是圓且動(dòng)圓在定圓內(nèi)滾時(shí)，就）、當(dāng)基線是圓且動(dòng)圓在定圓內(nèi)滾時(shí)，就得到內(nèi)擺線或變幅內(nèi)擺線。得到內(nèi)擺線或變幅內(nèi)擺線。21二、二、1 1、練習(xí)：、練習(xí)：P P4242 1 12 22 2、作業(yè)、作業(yè) P42 3P42 34 4平行軸齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)（圓柱齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)）平行軸齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)（圓柱齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)）直