第二講(四)漸開線與擺線

1、（一）、問題探究（一）、問題探究1 1 把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆會畫出一條子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆會畫出一條曲線。曲線。動點（筆尖）滿足什么幾何條件？動點（筆尖）滿足什么幾何條件？一、新課教學一、新課教學這條曲線的形狀怎樣？這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？能否求出它的軌跡方程？2BOAM172 圖圖,.A位于點筆尖如圖設開始時繩子外BMBMABM所以切線為切線展開后成的一段弧度單位是弧繩子對圓心角因為時當外端展開到點,

2、)(,.,滿足的幾何條件筆尖這是動點的長的長就是弧AB3BOAM172 圖圖 我們把筆我們把筆尖畫出的曲線叫做尖畫出的曲線叫做圓的漸開線圓的漸開線，相應的定圓叫做相應的定圓叫做漸開線的基圓漸開線的基圓2 2、圓的漸開線的方程求解、圓的漸開線的方程求解ABMOxy 以基圓圓心以基圓圓心O O為原點，直線為原點，直線OAOA為為x x軸，建立平面直角坐標系。軸，建立平面直角坐標系。 設基圓的半徑為設基圓的半徑為r r，繩子，繩子外端外端M M的坐標（的坐標（x x，y y），顯），顯然，點然，點M M由角由角唯一確定唯一確定。B取 為參數，則點 的坐標為（rcos ,rsin ）,從而41.1.圓

3、的漸開線定義圓的漸開線定義ABMOy(cos ,sin ),|.BMx ry rBMr 1(cos ,sin )eOB 由于向量是與 同方向的單位向量，2(sin , cos )eBM 因而向量是與向量同方向的單位向量。| (cos ,sin )(sin , cos )BMxryrr (cossin )()(sincos )xryr 解得 是參數。這就是這就是圓的漸開線的參數方程圓的漸開線的參數方程。2 2、圓的漸開線的方程求解、圓的漸開線的方程求解5所以所以 即即2erBM漸開線的參數方程漸開線的參數方程ABMOxy(cossin)()(sincos)xryr是參數 。3、漸開線的應用：、漸

4、開線的應用： 由于漸開線齒行的齒輪由于漸開線齒行的齒輪磨損少，傳動平穩(wěn)，制造安磨損少，傳動平穩(wěn)，制造安裝較為方便，因此大多數齒裝較為方便，因此大多數齒輪采用這種齒形。輪采用這種齒形。設計加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。設計加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。 在機械工業(yè)中，廣泛地使在機械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動力。用齒輪傳遞動力。6（二）、問題探究（二）、問題探究2 2 如果在自行車的輪子上噴一個白色印記，那如果在自行車的輪子上噴一個白色印記，那么自行車在筆直的道路上行使時，白色印記會畫么自行車在筆直的道路上行使時，白色印記會畫出什么樣的曲線？出什么樣的曲線？ 上述問題抽象成數學問

5、題就是：上述問題抽象成數學問題就是：當一個圓沿當一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上一個定點著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上一個定點的軌跡是什么？的軌跡是什么？OABM16 同樣地，我們先分析圓在滾動過程中，圓同樣地，我們先分析圓在滾動過程中，圓周上的這個動點滿足的幾何條件。周上的這個動點滿足的幾何條件。 我們把點我們把點M M的軌跡叫做的軌跡叫做平擺線平擺線，簡稱，簡稱擺線擺線，又叫，又叫旋輪線。旋輪線。OABM 擺線在它與定直線的兩個相鄰交擺線在它與定直線的兩個相鄰交點之間的部分叫做一個拱點之間的部分叫做一個拱線段線段OAOA的長等于的的長等于的 長，即長，即OA=rOA=rMA1

6、 1、擺線的定義、擺線的定義17xyO DAEBMC2 2、擺線方程的求解、擺線方程的求解OABM 根據點根據點M滿足的幾何條件，我們取定直線為滿足的幾何條件，我們取定直線為X軸，定點軸，定點M滾動時落在定直線上的一個位置為滾動時落在定直線上的一個位置為原點，建立直角坐標系。原點，建立直角坐標系。設圓的半徑為設圓的半徑為r r。 設開始時定點設開始時定點M在原點，圓滾動了在原點，圓滾動了角后與角后與x軸相切于點軸相切于點A，圓心在點，圓心在點B18xyO DAEBMC2 2、擺線方程的求解、擺線方程的求解MABxCD從點分別做， 軸的垂線，垂足分別是 ， 。sin ,x OD OA DA OA

7、 M C rrcos .yDMACAB CB r r 設點設點M的坐標為（的坐標為（x,y）,取取為參數，根據為參數，根據點點M滿足的幾何條件有滿足的幾何條件有所以，擺線的參數方程為：所以，擺線的參數方程為：(sin ),()(1 cos ).xryr為參數19xyO DAEBMC3 3、擺線的參數方程、擺線的參數方程OABM(sin ),()(1 cos ).xryr為參數擺線的參數方程為：擺線的參數方程為： 在擺線的參數方程中，參數在擺線的參數方程中，參數的取值范圍的取值范圍是什么？一個拱的寬度與高度各是什么？是什么？一個拱的寬度與高度各是什么？思考思考20說明說明 2 2）、當基線是直線

8、時，就得到平擺線或變）、當基線是直線時，就得到平擺線或變幅平擺線。幅平擺線。 4）、當基線是圓且動圓在定圓外滾動時，若）、當基線是圓且動圓在定圓外滾動時，若兩圓外切，就得到外擺線或變幅外擺線。兩圓外切，就得到外擺線或變幅外擺線。 1 1）、擺線是研究一個動圓在一條曲線（基線）、擺線是研究一個動圓在一條曲線（基線） 上滾動時，動圓上一點的軌跡。上滾動時，動圓上一點的軌跡。 3 3）、當基線是圓且動圓在定圓內滾時，就）、當基線是圓且動圓在定圓內滾時，就得到內擺線或變幅內擺線。得到內擺線或變幅內擺線。21二、二、1 1、練習：、練習：P P4242 1 12 22 2、作業(yè)、作業(yè) P42 3P42 34 4平行軸齒輪傳動機構（圓柱齒輪傳動機構）平行軸齒輪傳動機構（圓柱齒輪傳動機構）直