第1章-矢量分析與場(chǎng)論

1、第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 第第1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.1 矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算 1.2 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系 1.3 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 1.4 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) 1.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 習(xí)習(xí) 題題 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.1 矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算 1.1.1 標(biāo)量和矢量 電磁場(chǎng)中遇到的絕大多數(shù)物理量， 能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。 一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱(chēng)為標(biāo)量， 例如， 電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。 實(shí)際上， 所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。 一個(gè)有

2、大小和方向的物理量稱(chēng)為矢量， 電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等都是矢量。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 例如， 矢量A可以表示成 A=aA （1-1-1） 其中， A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向， a=A/A， 其大小等于1。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1-1 直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影 P(X, Y, Z)zZyxXYOrazaxay第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 一個(gè)大小為零的矢量稱(chēng)為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）， 一個(gè)大小為1的矢量稱(chēng)為單位矢量（Unit Vector）。 在直角坐標(biāo)系中， 用單位矢量a

3、x、 ay、 az表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。 空間的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定， 如圖1-1所示。 從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱(chēng)為位置矢量(Position Vector)， 它在直角坐標(biāo)系中表示為 r=axX+ayY+azZ （1-1-2）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 式中， X、 Y、 Z是位置矢量r在x、 y、 z軸上的投影。 任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。 例如， 在直角坐標(biāo)系中， 矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az， 利用三個(gè)單位矢量ax、ay、 az 可以將矢量A表示成： A=axAx+ay

4、Ay+azAz （1-1-3） 矢量A的大小為A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 （1-1-4）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.1.2 矢量的代數(shù)運(yùn)算 1. 矢量的加法和減法 任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加， 它們的和仍然為矢量， 即 C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz) (1-1-5) 任意兩個(gè)矢量A與B的差等于將其中的一個(gè)矢量變號(hào)后再相加， 即 D=A-B=A+(-B)=ax(Ax-Bx)+ay(Ay-By)+az(Az-Bz) (1-1-6)第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 2. 矢量的乘積 矢量的乘

5、積包括標(biāo)量積和矢量積。 1） 標(biāo)量積 任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(Scalar Product)是一個(gè)標(biāo)量， 它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積， 如圖1-2所示， 記為 AB=AB cos (1-1-7)第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 2 標(biāo)量積的圖示 BcosAB第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 例如， 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意兩矢量的標(biāo)量積， 用矢量的三個(gè)分量表示為 AB=AxBx+AyBy+AzBz (1-1-9) 標(biāo)量積服從交換律和分配律， 即 AB=B

6、A (1-1-10) A(B+C)=AB+AC (1-1-11)(1-1-8)第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 2） 矢量積 任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（Vector Product）是一個(gè)矢量， 矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積， 其方向垂直于矢量A與B組成的平面， 如圖1-3所示， 記為 C=AB=anAB sin (1-1-12) an=aAaB （右手螺旋）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖 1 - 3 矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積的圖示； (b) 右手螺旋CBAanaBaAOC ABBA(a)(b)第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論

7、矢量分析與場(chǎng)論 矢量積又稱(chēng)為叉積(Cross Product)， 如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零， 則這兩個(gè)矢量必然相互平行， 或者說(shuō)， 兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。 矢量的叉積不服從交換律， 但服從分配律， 即 AB=-BA (1-1-13) A(B+C)=AB+AC (1-1-14)第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz= 0 在直角坐標(biāo)系中， 矢量的叉積還可以表示為 (1-1-15) zyxzyxzyxBBBAAAaaaBA =ax(AyBz-AzBy)+

8、ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)(1-1-16) 矢量的其他運(yùn)算詳見(jiàn)附錄一。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.2 圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 1.2.1 圓柱坐標(biāo)系 空間任一點(diǎn)P的位置可以用圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)變量(, , z)來(lái)表示， 如圖1-4所示。 其中， 是位置矢量OP在xy面上的投影， 是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角， z是OP在z軸上的投影。 由圖1-4可以看出， 圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 x=cos y=sin z=z （1-2-1） 如同直角坐標(biāo)系一樣， 圓

9、柱坐標(biāo)系也具有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面， 如圖1-5所示。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 4 圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影 zzazOrxP(, , z)yaa第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖 1 - 5 圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)zz常數(shù)常數(shù)y常數(shù)Ox第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 坐標(biāo)面 常數(shù)22yx（1-2-2） 表示一個(gè)以z軸作軸線的半徑為的圓柱面， 的變化范圍為0。 坐標(biāo)面常數(shù)xyarctan（1-2-3） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 表示一個(gè)以z軸為界的半平面， 的變化范圍為02。 坐標(biāo)面 z=常數(shù) （1-2-4） 表

10、示一個(gè)平行于xy平面的平面。 z的變化范圍為-z+。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 由于三個(gè)面相交成直角， 因此能夠建立互相垂直的坐標(biāo)軸： 、 和z， 相應(yīng)的單位矢量為a、 a和az， 分別指向、和z增加的方向。 應(yīng)該指出： 圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量（與直角坐標(biāo)系的不同）除az外， a和a都不是常矢量，它們的方向隨P點(diǎn)的位置不同而變化， 但a、a和az三者始終保持正交關(guān)系， 并遵循右手螺旋法則， 即 aa=az, aaz=a, aza=a aa=aa=azaz= 0 （1-2-5） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 aa=aaz=aaz=0 aa=aa=azaz=

11、1（1-2-6） 圓柱坐標(biāo)系的位置矢量r可以表示為 r=a+azz （1-2-7） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 6 圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換Oyxaycosaaaysinaxcos axsin第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量a和a在單位矢量ax和ay上的投影示于圖1-6， 顯然 a=ax cos+ay sin a=ax(-sin)+ay cos （1-2-8） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 所以， 直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量的表達(dá)式寫(xiě)成矩陣形式為 zyxzaaaaaa1000cossin0s

12、incos（1-2-9） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 將上式求逆即可得到從圓柱坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 zzyxaaaaaa1000cossin0sincos（1-2-10） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 式（1-2-9）和（1-2-10）表明： 如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的， 根據(jù)式（1-2-10）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式； 反之， 若矢量A是在直角坐標(biāo)系給定的， 則根據(jù)式（1-2-9）可以得到圓柱坐標(biāo)系的表達(dá)式。 圓柱坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)P沿、和z方向的長(zhǎng)度增量分別為 dl=d, dl=d, dlz=dz （1-2-11） 它們與沿各自坐標(biāo)增量之比

13、分別為1, 1321dzdlhddlhddlhz（1-2-12） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圓柱坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)面的面元矢量分別為 dS=ad dz （1-2-13） dS=a ddz （1-2-14） dSz=azd d （1-2-15） 體積元為 dV=d ddz （1-2-16） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.2.2 球坐標(biāo)系 在球坐標(biāo)系中， 空間一點(diǎn)P唯一地用三個(gè)坐標(biāo)變量(r, , )來(lái)表示， 如圖1-7所示。 此處， 位置矢量r又稱(chēng)為矢徑(Radius Vector)， r是其大小， 是位置矢量r與z軸的夾角，是從+x軸到位置矢量r在xy面上的投影

14、OM之間的夾角。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 由圖1-7可以看出， 球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為 x=r sin cos y=r sin sin z=r cos （1-2-17） 同樣， 球坐標(biāo)也有三個(gè)坐標(biāo)面， 如圖1-8所示。 坐標(biāo)面 常數(shù)222zyxr（1-2-18）表示一個(gè)半徑為r的球面， r的變化范圍為0 r 。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖 1 - 7 球坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影 zrsinrcosryMxP(r, , )O第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖 1 - 8 球坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面 z常數(shù)常數(shù)r常數(shù)Oaaaryx第第1 1

15、章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 坐標(biāo)面 =常數(shù) 表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、 以z軸為軸線的圓錐面， 的變化范圍為0 。 坐標(biāo)面常數(shù)xyarctan（1-2-19） 表示一個(gè)以z軸為界的半平面， 的變化范圍為0 2。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 球坐標(biāo)系的位置矢量可以表示為 r=arr (1 -2-20) 球坐標(biāo)系中任意點(diǎn)P(r, , )的三個(gè)單位矢量為ar、 a和a， 它們互相正交且遵循右手螺旋法則， 即 ara=a, aa=ar, aar=a arar=aa=aa= 0 ara=aa=ara=0 arar=aa=aa=1 （1-2-21） （1-2-22） 第第1 1章章

16、矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖 1 - 9 球坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量在ax、 ay和az 上的投影zOxPazcosaryaz( sinaysinsinzPaOaycossinyaxcoscosaxsincosasinacosxzPaaycosxaax( sin(a)(b)(c)O第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 單位矢量ar、a和a在單位矢量ax、 ay 和az上的投影分別示于圖1-9(a)、(b)和(c)。 由圖1-9可以得到直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到球坐標(biāo)的表達(dá)式為zyxraaaaaa0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin（1-2-23）

17、第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 將上式求逆即可得到球坐標(biāo)中的單位矢量變換到直角坐標(biāo)的表達(dá)式為aaaaaarzyx0sincoscossincossinsinsincoscoscossin（1-2-24） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 式（1-2-23）和（1-2-24）表明： 如果矢量A是在球坐標(biāo)系給定的， 根據(jù)式（1-2-24）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式； 反之， 若矢量A是在直角坐標(biāo)系給定的， 則根據(jù)式（1-2-23）可以得到球坐標(biāo)系的表達(dá)式。 空間一點(diǎn)P沿r、和方向的長(zhǎng)度增量分別為 dlr=dr, dl=rd, dl=r sind （1-2-25） 則球坐標(biāo)

18、中的拉梅常數(shù)為 sin, 1321rddlhrdrdlhdrdlhr（1-2-26） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 而沿球面、=常數(shù)平面和=常數(shù)平面的三個(gè)面元矢量分別為 dSr=arr2 sin dd （1-2-27） dS=ar sin drd （1-2-28） dS=ar dr d （1-2-29） 球坐標(biāo)的體積元為 dV=r2 sin drdd （1-2-30） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 【例1-1】 將圓柱坐標(biāo)系中的矢量表達(dá)式 轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系的表達(dá)形式。 2sin52zakaA第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.3 矢矢 量量 場(chǎng)場(chǎng)

19、1.3.1 矢量場(chǎng)的矢量線 矢量場(chǎng)空間中任意一點(diǎn)P處的矢量可以用一個(gè)矢性函數(shù)A=A(P)來(lái)表示。當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后， 它就可以寫(xiě)成如下形式： A=A(x, y, z) （1-3-1）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 設(shè)Ax, Ay, Az為矢性函數(shù)A在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量， 且假定它們都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則A又可以表示為 A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z) （1-3-2） 所謂矢量線(ector Line)， 乃是這樣一些曲線： 在曲線上的每一點(diǎn)處， 場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上（如圖1-10所示）， 像靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的磁力

20、線、流速場(chǎng)中的流線等， 都是矢量線的例子。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 10 力線圖 PA(r)drrO第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 現(xiàn)在我們來(lái)討論矢量線方程的表達(dá)式。 設(shè)P為矢量線上任一點(diǎn)， 其矢徑為r， 則根據(jù)矢量線的定義， 必有 Adr= 0 （1-3-3） 在直角坐標(biāo)系中， 矢徑r的表達(dá)式為 r=axx+ayy+azz （1-3-4） 將其代入式（1-3-3）即得矢量場(chǎng)的矢量線滿足的微分方程為zyxAdzAdyAdx（1-3-5）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 【例1-2】 設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)， 它在空間任一點(diǎn)P(x,y,z

21、)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為rrqE304式中， q、 0 均為常數(shù)， r=axx+ayy+azz為P點(diǎn)的位置矢量。求E的矢量線方程并畫(huà)出矢量線圖。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 11 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量線 zyx第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.3.2 矢量場(chǎng)的通量及散度 1. 矢量場(chǎng)的通量 在矢量場(chǎng)A中取一個(gè)面元dS及與該面元垂直的單位矢量n（外法向矢量， 如圖1-12所示）， 則面元矢量表示為 dS=ndS （1-3-6）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 dSnA 圖1-12 矢量場(chǎng)的通量及散度第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論

22、 由于所取的面元dS很小， 因此可認(rèn)為在面元上各點(diǎn)矢量場(chǎng)A的值相同， A與面元dS的標(biāo)量積稱(chēng)為矢量場(chǎng)A穿過(guò)dS的通量(lux)， 記作 AdS= cosdS （1-3-7） 因此矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量為 dSAdSASScos（1-3-8） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 如果S是一個(gè)閉曲面， 則通過(guò)閉合曲面的總通量可表示為ndSAdSASS（1-3-9） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 2. 矢量場(chǎng)的散度 1） 散度的定義 設(shè)有矢量場(chǎng)A， 在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S， 設(shè)S所限定的體積為V， 當(dāng)體積V以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí)， 取下列極限

23、: VndSASV0lim（1-3-10） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 如果上式的極限存在， 則稱(chēng)此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度（Divergence）， 記作VndSAdivASV0lim（1-3-11） 顯然， 式（1-3-11）的物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量。在直角坐標(biāo)系中， 散度的表達(dá)式為zAyAxAdivAzyx（1-3-12） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 2） 哈米爾頓（Hamilton）算子 為了方便， 我們引入一個(gè)矢性微分算子， 在直角坐標(biāo)系中有： zayaxazyx（1-3-13）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 式（1

24、-3-13）稱(chēng)作哈米爾頓算子， 記號(hào)(讀作del)是一個(gè)微分符號(hào)， 同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待。 算子與矢性函數(shù)A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù)。 在直角坐標(biāo)系中， 散度的表達(dá)式可以寫(xiě)為zayaxaAAaAaAazayaxaAzyxzzyyxxzyx)(（1-3-14） 即 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式分別為ArArArrrAzAAAArzsin1)(sinsin1)(11)(122（1-3-15） （1-3-16） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 3） 高斯散度定理（Divergence Theorem）在矢量分析中， 一個(gè)重要的定

25、理是dSAAdVSV（1-3-17） 上式稱(chēng)為散度定理。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 【例1-3】 在矢量場(chǎng)A=axx2+ayxy+azyz中， 有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的立方體， 它的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)上， 如圖1-13所示。 試求： （1） 矢量場(chǎng)A的散度; （2） 從六面體內(nèi)穿出的通量， 并驗(yàn)證高斯散度定理。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 13 單位立方體 O111zyx第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.3.3 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度 1. 環(huán)量的定義 設(shè)有矢量場(chǎng)A， l為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線， 定義矢量場(chǎng)A環(huán)繞閉合路徑l的線 積分為該矢

26、量的環(huán)量（Circulation）， 記作（如圖1-14所示）dlAdIAllcos（1-3-18） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 矢量的環(huán)量和矢量穿過(guò)閉合面的通量一樣， 都是描繪矢量場(chǎng)A性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量。 為了知道場(chǎng)中每個(gè)點(diǎn)上旋渦源的性質(zhì)， 我們引入矢量場(chǎng)旋度的概念。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 14 矢量場(chǎng)的環(huán)量 zxyOldlAP第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 15 閉合曲線方向與面元的方向示意圖 nPlS第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 2. 矢量場(chǎng)的旋度 1） 旋度的定義 設(shè)P為矢量場(chǎng)中的

27、任一點(diǎn)， 作一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元S， 其周界為l， 它的正向與面元S的法向矢量n成右手螺旋關(guān)系(如圖1-15所示)。當(dāng)曲面S在P點(diǎn)處保持以n為法矢不變的條件下， 以任意方式縮向P點(diǎn)， 若其極限SdlAlPSlim（1-3-19） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 16 旋度及其投影 PlnrotA旋渦面第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 稱(chēng)固定矢量R為矢量A的旋度（Curl 或Rotation）， 記作 rotA=R （1-3-20） 式（1-3-19）為旋度矢量在n方向的投影， 如圖1-16所示， 即ArotSdlAnlPSlim（1-3-21） 第第1 1

28、章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 因此， 矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。 在直角坐標(biāo)系中， 旋度的表達(dá)式為yAxAaxAzAazAyAarotAxyzzxyyzx（1-3-22） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 為方便起見(jiàn)， 也引入算子， 則旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為zyxzyzAAAzyxaaaArotA（1-3-23） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為ArrAArrararaAAAAzaaaArrzzsinsinsin2（1-3-24） （1-3-25） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 旋度的一個(gè)重要

29、性質(zhì)就是任意矢量旋度的散度恒等于零， 即 (A)0 （1-3-26） 這就是說(shuō)， 如果有一個(gè)矢量場(chǎng)B的散度等于零， 則該矢量B就可以用另一個(gè)矢量A的旋度來(lái)表示， 即當(dāng) B=0 則有 B=A （1-3-27）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 2） 斯托克斯定理（Stokes Theorem）矢量分析中另一個(gè)重要定理是 dSrotAdlASl（1-3-28） 式（1-3-28）稱(chēng)為斯托克斯定理， 其中S是閉合路徑l所圍成的面積， 它的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系。式（1-3-28）表明： 矢量場(chǎng)A的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分（證明從略）。 第第1

30、 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 17 四分之一圓盤(pán)yBOxr3A第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 【例1-4】 已知一矢量場(chǎng)F=axxy-ay2x, 試求： （1） 該矢量場(chǎng)的旋度; （2） 該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤(pán)的線積分， 如圖1-17所示， 驗(yàn)證斯托克斯定理。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.4 標(biāo)標(biāo) 量量 場(chǎng)場(chǎng) 1.4.1 標(biāo)量場(chǎng)的等值面 一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。 在直角坐標(biāo)系中， 可將u表示為 u=u(x, y, z) （1-4-1） 令 u(x, y, z)=C, C為任意常數(shù) （1-4-2）第第1 1章章 矢量分析與

31、場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 式（1-4-2）在幾何上一般表示一個(gè)曲面， 在這個(gè)曲面上的各點(diǎn)， 雖然坐標(biāo)(x, y, z)不同， 但函數(shù)值相等， 稱(chēng)此曲面為標(biāo)量場(chǎng)u的等值面。 隨著C的取值不同， 得到一系列不同的等值面， 如圖 1-18 所示。 同理， 對(duì)于由二維函數(shù)v=v(x, y)所給定的平面標(biāo)量場(chǎng)， 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值線。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 18 標(biāo)量場(chǎng)的等值面 100200300400第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.4.2 方向?qū)?shù) 1. 方向?qū)?shù)的定義 設(shè)P0為標(biāo)量場(chǎng)u=u(P)中的一點(diǎn)， 從點(diǎn)P0出發(fā)引出一條射線l

32、， 如圖1-19所示。 在l上P0點(diǎn)鄰近取一點(diǎn)P，記線段 P0P =l， 如果當(dāng)PP0時(shí)， 的極限存在， 則稱(chēng)它為函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)(Directional Derivative)， 記為： lPuPululP)()(lim|000（1-4-3） lPuPululP)()(lim|000第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1-19 方向?qū)?shù)grad uuP0Plu u第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 2. 方向?qū)?shù)的計(jì)算公式 在直角坐標(biāo)系中， 設(shè)函數(shù)u=u(x, y, z)在P0(x0,y0,z0)處可微， 則有l(wèi)zzuyyuxxuPuPuu)()

33、(0（1-4-4） 式（1-4-4）中， 當(dāng)l0時(shí)0。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 將上式兩邊同除以l并取極限得到方向?qū)?shù)的計(jì)算公式： coscoscoszuyuxulu（1-4-5） 式中， cos, cos, cos為l方向的方向余弦。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.4.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1. 梯度的定義 方向?qū)?shù)為我們解決了函數(shù)u(P)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率問(wèn)題。 然而從場(chǎng)中的給定點(diǎn)P出發(fā)， 標(biāo)量場(chǎng)u在不同方向上的變化率一般說(shuō)來(lái)是不同的， 那么， 可以設(shè)想， 必定在某個(gè)方向上變化率為最大。 為此， 我們定義一個(gè)矢量G， 其方向就是函數(shù)u在點(diǎn)P處

34、變化率為最大的方向， 其大小就是這個(gè)最大變化率的值， 這個(gè)矢量G稱(chēng)為函數(shù)u在點(diǎn)P處的梯度（Gradient）， 記為zuayuaxuaGgraduzyx（1-4-6）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 算子與標(biāo)量函數(shù)u相乘為一矢量函數(shù)。 在直角坐標(biāo)系中， 梯度又可以表示為zuayuaxuauzyx（1-4-7） 另外， 以后我們還經(jīng)常用到標(biāo)量拉普拉斯算子(Laplace Operator)， 即 2= （1-4-8）在直角坐標(biāo)系中標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯表達(dá)式為2222222zuyuxuu （1-4-9）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 標(biāo)量函數(shù)u在圓柱坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯

35、表達(dá)式分別為222222)(1)(11zuuuuzuauauauz（1-4-10） （1-4-11） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 標(biāo)量函數(shù)u在球坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式分別為)(sin1)(sinsin1)(11sin112222222ururrurrruuauraruaur（1-4-12） （1-4-13） 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 2. 梯度的性質(zhì) 梯度有以下重要性質(zhì)： （1） 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影， 即 （1-4-14） （2） 標(biāo)量場(chǎng)u中每一點(diǎn)P處的梯度， 垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面， 且指向函數(shù)u(P)增大的方向。 也就是說(shuō)， 梯度就

36、是該等值面的法向矢量。 lulu第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 （3） u 0 （1-4-15） 式（1-4-15）表明： 如果一個(gè)矢量場(chǎng)F滿足 F= 0 ， 即F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)， 則矢量場(chǎng)F可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度來(lái)表示， 即F=u， 該標(biāo)量函數(shù)稱(chēng)為勢(shì)函數(shù)(Potential Function)， 對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)稱(chēng)為有勢(shì)場(chǎng)。 如靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 3. 梯度的積分 設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u， 根據(jù)梯度的性質(zhì)： 標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)， 則由斯托克斯定理知， 無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零， 即0)(dSudlu

37、Sl而 0122211dludludluPCPPCPl第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 圖1 - 20 無(wú)旋場(chǎng)沿不同路徑的積分 C2C1P1P2l第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 (如圖1-20所示)，即 dludluPCPPCP221211 這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān)， 僅與始點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2的位置有關(guān)。 又)()(122121PuPudldldudluPPPP第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 假如選定始點(diǎn)P1為不動(dòng)的固定點(diǎn)（參考點(diǎn)）， P2點(diǎn)為任意動(dòng)點(diǎn)， 則P2點(diǎn)的函數(shù)值可表示為CdlFPudluPuPPPP2121)()(12（1-4-16） 式（1-4-1

38、6）表明： 如果已知一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)， 選定一個(gè)參考點(diǎn)， 就可由式（1-4-16）求得其標(biāo)量場(chǎng)u。 如在靜電場(chǎng)中， 已知電場(chǎng)強(qiáng)度， 就可求得電位函數(shù)（第2章中介紹）。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 設(shè)一個(gè)矢量場(chǎng)A既有散度， 又有旋度， 則可將其分解為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)分量A1和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)分量A2之和， 即 A=A1+A2 （1-5-1） 其中無(wú)旋場(chǎng)分量A1的散度不等于零， 設(shè)為， 無(wú)散場(chǎng)分量A2的旋度不等于零， 設(shè)為J， 因此有 A=(A1+A2)=A1= （1-5-2） A=(A1+A2)=A2=J （1-5-3）第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)

39、論 如上可見(jiàn)， 矢量場(chǎng)A的散度代表著形成矢量場(chǎng)的一種源標(biāo)量源， 而矢量場(chǎng)A的旋度代表著形成矢量場(chǎng)的另一種源矢量源J。 一般來(lái)說(shuō)， 當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類(lèi)源(, J) 在空間的分布確定時(shí)， 該矢量場(chǎng)就唯一地確定了， 這一規(guī)律稱(chēng)為亥姆霍茲定理(Helmholtz Theorem)。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 亥姆霍茲定理告訴我們， 研究任意一個(gè)矢量場(chǎng)（如電場(chǎng)、磁場(chǎng)等）都應(yīng)該從散度和旋度兩個(gè)方面去進(jìn)行， 其中 A= A=J （1-5-4） 稱(chēng)此為矢量場(chǎng)基本方程的微分形式。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 或者從矢量場(chǎng)的通量和環(huán)量?jī)蓚€(gè)方面去研究， 即JdSdlAdVdSA

40、SlVS（1-5-5） 上式稱(chēng)為矢量場(chǎng)基本方程的積分形式。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 習(xí)習(xí) 題題 1.1 已知A、B和C為任意矢量， （1） 若AB=AC， 則是否意味著B(niǎo)總等于C呢？ 試討論之； （2）試證明： A(BC)=B(CA)=C(AB)。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.2 給定三個(gè)矢量A、B和C如下： A=ax+2ay-3az B=-4ay+az C=5ax-2az求: （1） 矢量A的單位矢量aA； （2） 矢量A和B的夾角AB ； （3） AB和AB;（4） A(BC)和(AB)C； （5） A(BC)和(AB)C。 第第1 1章章 矢量

41、分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.3 有一個(gè)二維矢量場(chǎng)F(r)=ax(-y)+ay(x)， 求其矢量線方程， 并定性畫(huà)出該矢量場(chǎng)圖形。 1.4 已知直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P1(-3,1,4)和P2(2,-2,3):（1） 在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出點(diǎn)P1、P2的位置矢量r1和r2； （2） 求點(diǎn)P1到P2的距離矢量的大小和方向;（3） 求矢量r1在r2的投影。 第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.6 求數(shù)量場(chǎng)=ln(x2+y2+z2)通過(guò)點(diǎn)P(1,2,3)的等值面方程。 1.7 用球坐標(biāo)表示的場(chǎng) ， 求: （1） 在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(-3,4,-5)處的|E|和Ez； （2） E與矢量B=2ax-2ay+az之間的夾角。 225raEr第第1 1章章 矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論 1.8 試計(jì)算 的值， 式中的閉合曲面S是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的單位立方體， r為立方體表面上任一點(diǎn)的位置矢量。 1.9 求標(biāo)量場(chǎng)(x,y,z)=6x2y3+ez在點(diǎn)P(2,-1,0)的梯度。 1.10 在圓柱體x2+y2=9和平面x=0、y=0、z=0及z=2所包圍的區(qū)域， 設(shè)此區(qū)域的表面為S: （1） 求矢量場(chǎng)A沿閉合曲面S的通量， 其中