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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十二章圓第一節(jié)圓的基本問題【知識點(diǎn)撥】1、不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓。2、圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它具有旋轉(zhuǎn)對稱性。這是圓最基本最重要的性質(zhì),是證明垂徑定理的有力工具。3、垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這弦對的兩條弧。實(shí)際上,一直線只要滿足(1)經(jīng)過圓心、(2)垂直于弦、(3)平分弦、(4)平分弦所對的弧中的一條、(5)平分弦所對弧中的另一條;在這五條中,只要有兩條是正確的,則其他三條必然成立。4、如圖,它是關(guān)于垂徑定理及其推論的基本圖形,一定要很好掌握?!举愵}精選】例1、已知O的半徑為5cm,它的兩條弦長是方程的兩個(gè)根。求這兩條平
2、行弦間的距離?!菊f明】(1)要注意定理的條件及選擇;(2)關(guān)于垂徑定理及推論的基本圖形要記清;(3)要能考慮到圖中的兩條平行弦相對于圓心有兩種可能的位置關(guān)系。例2、如圖,O是銳角ABC的外接圓,H是兩條高的交點(diǎn),OGBC于G。求證:AH2OG。例3、O的半徑為2,其內(nèi)一點(diǎn)P到圓心的距離為1,過點(diǎn)P的弦與劣弧組成一弓形,求此弓形面積的最小值?!菊f明】圓的旋轉(zhuǎn)對稱性是圓的最基本的性質(zhì),要善于抓住這一性質(zhì)處理相關(guān)問題。例4、在ABC中,AC24,BC10,AB26,則它的內(nèi)切圓半徑為()A、2.6B、4C、13、D、8【說明】(1)此法對求任何三角形的內(nèi)切圓的半徑均適用;(2)另本題還可用切線長定理
3、求解。例5、如圖,O1、O2交于點(diǎn)A、B,過A的直線分別交O2、O3于M、N,C為MN的中點(diǎn),P為O1O2的中點(diǎn)。求證:PAPC?!菊f明】本例主要用垂徑定理證明,如按下圖作兩圓的直徑AE、AF,延長AP交EF于G也可證明?!踞槍τ?xùn)練】第二節(jié)和圓有關(guān)的角【知識點(diǎn)撥】和圓有關(guān)的角有五種:圓心角、圓周角、圓內(nèi)角、圓外角、弦切角。圓周角是五種角的核心。本節(jié)只探討前四種與圓有關(guān)的角,其中后兩種角的概念及這四種角的有關(guān)性質(zhì)如下:1、 頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角叫圓內(nèi)角(圓心角是圓內(nèi)角的特殊情形);2、 頂點(diǎn)在圓外,兩邊與圓相交的角叫圓外角;3、 度數(shù)定理(1) 圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。(2) 圓周角的度數(shù)等
4、于它所對弧的度數(shù)的一半。(3) 圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對頂角所對的兩條弧度數(shù)和的一半。(4) 圓外角的度數(shù)等于它所夾的兩弧度數(shù)的差的絕對值的一半。(5) 同圓或等圓中同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等。(6) 直徑(或半圓)所對的圓周角是直角;圓周角是直角,它所對的弦是直徑。(7) 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。在以圓為框架的有關(guān)證明三角形全等、相似等問題,常常要用到這些角,因此,熟練地掌握這些角的概念和性質(zhì)是解決有關(guān)圓問題中極其重要的一環(huán)?!举愵}精選】例1、銳角ABC內(nèi)接于O,ABC600,BAC360,作OEAB交劣弧于點(diǎn)E,連接E
5、C,求OEC?!菊f明】(1)在平面幾何中求角的大小經(jīng)常需要考慮用三角形的內(nèi)角和定理及其推論;(2)在圓中求角的大小經(jīng)常需用與圓有關(guān)的角的定理。例2、已知在等腰ABC中,ABAC,D為腰AC中點(diǎn),DE平分ADB交AB于E,ADE交BD于N。求證:BN2AE?!菊f明】(1)在同圓或等圓中,同弧和等弧不僅所對的圓心角、圓周角相等,而且弦也相等;(2)在圓中證明三角形全等、相似時(shí),如需用角時(shí)常需考慮與圓有關(guān)的角;(3)本例中的兩條線段AE、BN較為分散,把它們聚合到同一三角形BNE中就易于解決問題;(4)如圖,本例中過A、E、D的圓與BD的延長線交于N點(diǎn)時(shí)的證法,可以自行證明。例3、已知M為劣弧的中點(diǎn)
6、,B為上任一點(diǎn),MDBC于D。求證:ABBDDC?!菊f明】證明一線段等于另兩線段之和一般可采用“接短法”或“截長法”。例4、已知圓內(nèi)四邊形ABCD的對角線互相垂直,過點(diǎn)A、B作CD的垂線(垂足為A1、B1)分別交對角線AC、BD于M、K。求證:四邊形AKMB是菱形。【說明】(1)要證明四邊形是一特殊平行四邊形,一定要抓住有關(guān)概念和有關(guān)判定定理采用分層推進(jìn)、各個(gè)擊破的方法逐一證得所需的條件;(2)在尋找具體方法時(shí)要結(jié)合題中具體條件和圖形,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。例5、O內(nèi)有兩條互相垂直的弦AC、BD。求證:AB2BC2CD2DA2定值。【說明】在處理探索問題時(shí)除了常用的特殊位置來探求結(jié)果,還經(jīng)常考慮
7、一些極端情形,以求獲得探索結(jié)果。如D重合于A時(shí),即有AD0、BC2R,故AB2BC2CD2DA2AB2BC2CA22×(2R)28R2。例6、已知折線ACD是O的一條折弦,點(diǎn)B在O上,且,BMAC于M。求證:AMMCCD?!菊f明】(1)本題是江蘇省第12屆初中數(shù)學(xué)競賽第六題,這也是著名的阿基米德折弦定理。(2)它的證明方法有多種,下面三種輔助線的情形自己證明。【針對訓(xùn)練】第三節(jié)圓的內(nèi)接四邊形與四點(diǎn)共圓【知識點(diǎn)撥】圓內(nèi)接四邊形和四點(diǎn)共圓之間有著非常密切的聯(lián)系,因?yàn)轫槾芜B接共圓四點(diǎn)就成為圓內(nèi)接四邊形。此節(jié)中涉及兩個(gè)基本問題:(1)四點(diǎn)共圓的判定;(2)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的應(yīng)用。證明四點(diǎn)共圓是
8、平面幾何中一個(gè)重要的證明方法,它和證明三角形全等、相似占有同等重要的地位。實(shí)際上,在許多題目中的已知條件中,并沒有給出圓,有時(shí)需要通過證明四點(diǎn)共圓,把實(shí)際存在的圓找出來,然后再借助圓的性質(zhì)得到要證明的結(jié)論。因此,證明四點(diǎn)共圓就給研究幾何圖形的性質(zhì),開拓了新的思路。判定四點(diǎn)共圓的方法:1、 到一定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)共圓;2、 同斜邊的直角三角形的各頂點(diǎn)共圓;3、 同底同側(cè)張等角的三角形的各頂點(diǎn)共圓;4、 如果一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ),那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;5、 如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角,那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;6、 四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)P,若PA·PBPC·P
9、D,則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。7、 四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線相交于點(diǎn)P,若PA·PBPC·PD,則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。上述關(guān)于七種判定四點(diǎn)共圓的基本方法的命題的逆命題也是成立的。另外,還有關(guān)于四邊形與對角線之間長度關(guān)系的托勒密定理也是很重要的。即:如果四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)共圓,那么AB·CDAD·BCAC·BD?!举愵}精選】例1、求證:同底同側(cè)張等角的三角形的各頂點(diǎn)共圓?!菊f明】(1)證明一些最基本的問題,在條件很少時(shí)可考慮用反證法。(2)在反證時(shí),不要漏掉結(jié)論反而面的各種情況。例2、過正方形ABCD對角線BD上任一點(diǎn)P作邊的平行線
10、,其與各邊的交點(diǎn)分別是E、F、G、H。證明:E、F、G、H四點(diǎn)共圓?!菊f明】在證明四點(diǎn)共圓時(shí),如能知道圓心的位置,可設(shè)法用圓的定義證。例3、O1與O2相交于A、B,P是BA延長線上一點(diǎn),割線PCD交O1于C、D,割線PEF交O2于E、F。求證:C、D、E、F四點(diǎn)共圓。【變題】:如右下圖,兩圓交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)P為BA的延長線上一點(diǎn),兩割線PCD、PEF分別交于圓C、D和E、F,且D、B、F三點(diǎn)共線。求證:A、C、P、E四點(diǎn)共圓。例4、證明:銳角三角形三條高是垂足連成三角形的內(nèi)角平分線。【說明】要充分利用已知的垂直關(guān)系再考慮到要證明角的相等關(guān)系,故應(yīng)構(gòu)造圓,利用圓中有關(guān)的角來過渡。例5、已知P是O
11、外一點(diǎn),PA、PB是O的切線,A、B為切點(diǎn)。PO與AB交于M,過M作O的弦CD。求證:CPODPO。【說明】在處理平面幾何中的許多問題時(shí),常常需要借助于圓的性質(zhì),問題才能得以解決,而我們需要直接用的圓并不存在有時(shí)問題中條件就根本沒有涉及圓,有時(shí)雖然在題中講到圓,但此圓并不是我們直接要用的圓(如本題),這就需要我們利用已知條件,借助圖形把需要到的實(shí)際存在的圓找出來。例6、求證:如果凸四邊形的兩組對邊的乘積之和等于對角線的積,那么這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形?!菊f明】(1)本題又給出了證明四點(diǎn)共圓的一種方法,它是利用四邊形的邊和對角線的長度來判定的。(2)其逆命題是著名的托勒密定理,并且該定理有著廣泛
12、的運(yùn)用。下面介紹托勒密定理的證明及其應(yīng)用。例7、已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓。求證:AB·DCBC·ADAC·BD。例8、已知ABC中,A:B:C1:2:4。求證:。【說明】(1)在一個(gè)證明題中,如從要證明的結(jié)論出發(fā)能變?yōu)楹屯欣彰芏ɡ矸从车暮蛨A的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的結(jié)論類似的形式,可考慮構(gòu)造圓,然后用托勒密定理。(2)在一些計(jì)算題中,題中給了圓,如一般方法不秦奏效,不妨試一試托勒密定理。(3)本題若以C為圓心,CB長為半徑作弧交AB于D、交AC于E,連接CD、DE,并設(shè)A,B2,C4,ABC的內(nèi)角和為7,請自己證明,并比較兩種證法。(4)本題實(shí)際上提供了本書第十一章第
13、一節(jié)相似三角形中例6的又一種證法。關(guān)于托勒密定理還有如下的推廣:在凸四邊形ABCD中,AB·DCBC·ADAC·BD,當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)取等號。例9、已知兩同心圓O,四邊形ABVD內(nèi)接于圓,AB、BC、CD、DA的延長線交外圓于A1、B1、C1、D1,若外圓的半徑是內(nèi)圓的半徑的2倍。求證:四邊形A1B1C1D1的周長2倍四邊形ABCD的周長,并確定等號成立的條件?!踞槍τ?xùn)練】第四節(jié)圓冪定理【知識點(diǎn)撥】1、相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。其可統(tǒng)一地表示為:過定點(diǎn)的弦被該點(diǎn)內(nèi)分(或外分)成的兩條線段的積為定值(該點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差的
14、絕對值)。如圖,即定值。2、相交弦定理通常是通過相似三角形而得到的,所以,研究圓中一些線段的比例關(guān)系總離不開相似三角形。3、相交弦定理揭示了與圓相關(guān)的線段間的比例,應(yīng)用較多,特別是在處理有關(guān)計(jì)算、作比例中項(xiàng)、證明角相等、四點(diǎn)共圓等問題時(shí)是重要的理論依據(jù)?!举愵}精選】例1、在ABC中,AM、AD分別是其中線和角平分線,ADM交AB于L,交AC于N。求證:BLCN。例2、O1與O2相交于M、N,D是NM延長線上一點(diǎn),O2O1的延長線交O1于B、A,AD交O2于C,MN交O1O2、BC于E、G。求證:EM2ED·EG?!菊f明】(1)在圓中要證明比例線段或證明線段積等情況通常找中間比或中間積
15、過渡。(2)此題若再“已知O1、O2的半徑分別是4、6,且OO5”,而且改為求“ED·EG”,則如何求解?請自行證明。例3、O與O相交于M、N,公切線為AB、CD,直線MN交AB、CD于點(diǎn)E、F。求證:EF2AB2MN2。【說明】本例是緊抓AB4AE4EM·EN,采用先拆后合的方法導(dǎo)出結(jié)論的。而有的形如本例結(jié)論形式的問題還要通過找中間比或中間積來過渡。如下例:例4、四邊形ABCD內(nèi)接于圓,AD、BC的延長線交于點(diǎn)F,DC、AB的延長線交于點(diǎn)E,EP切圓于P,F(xiàn)S切圓于S。求證:EF2EP2FS2?!菊f明】在該題中,如再分別以點(diǎn)E、F為圓心,EP、FS為半徑,作弦在圓內(nèi)交于點(diǎn)
16、H,則可證明EHFH。例5、B是O的切線PA的中點(diǎn),過B引O的割線與O交于點(diǎn)D、C,PD的延長線交O于E,PC交O于F。求證:APEF。例6、證明:三角形三條平分線的積小于三條邊的積。例7、AB是O中任意一弦,M為AB中點(diǎn),過M任意作兩條弦CD、EF,連接CEDF分別交AB于G、H。求證:MGMH?!菊f明】本例是著名的“蝴蝶定理”,可通過改頭換面,加以適當(dāng)變形,使之成為一道初等數(shù)學(xué)問題。例8、在RtABC中,D在斜邊BC上,BD4DC,一圓過點(diǎn)C,且與AC相交于F,與AB相切于AB的中點(diǎn)G。求證:ADBF?!踞槍τ?xùn)練】第五節(jié)圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系【知識點(diǎn)撥】1、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的
17、位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系相離0dr相切1dr相交2dr2、圓與圓的位置關(guān)系兩圓位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心距d與兩圓半徑R、r(Rr)的關(guān)系外分切線條數(shù)內(nèi)公切線條數(shù)外離0dRr22外切1dRr21相交2RrdRr20內(nèi)切1dRr10內(nèi)含0dRr003、弦切角(弦切角就是切線與弦所夾的角)的性質(zhì)(1)弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的(圓心角的)度數(shù)的一半。(2)弦切角定理的推論:若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個(gè)弦切角也相等。(3)弦切角的度數(shù)定理:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。4、切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點(diǎn)的連線,平分
18、兩條切線的夾角。5、兩圓公切線的性質(zhì)(1)兩圓的外公切線長(或內(nèi)公切線長)相等;(2)兩圓的外公切線與連心線或者相交于一點(diǎn)或者平行。6、公切線的作法及長度計(jì)算本節(jié)的兩種位置關(guān)系和性質(zhì)是研究直線與圓、圓與圓的基礎(chǔ)。要求會用運(yùn)動變化的方法去考慮兩種位置關(guān)系,能了解它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。在處理有關(guān)相切(或相交)的幾何問題時(shí),其基本思路是由位置關(guān)系確定線段或角的數(shù)量關(guān)系,反之由數(shù)量關(guān)系確定相關(guān)的位置關(guān)系。在解決解決這樣的問題過程中,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為直角三角形、相似三角形,利用勾股定理,以及相似三角形的若干性質(zhì)來解決問題。【賽題精選】例1、AB為半圓O的直徑,APAB,C為半圓O上一點(diǎn),CDAB于D,E是CD
19、的中點(diǎn),BE交AP于P。求證:PC是半圓O的切線。【說明】證明切線的方法一般有:(1)直線與圓有唯一的公共點(diǎn);(2)圓心到直線的距離等于半徑;(3)過半徑外端的直線和半徑垂直;(4)垂直半徑的直線過半徑外端。本例采用的是(3)。例2、過P作O的切線PA、PB,A、B為切點(diǎn),又PC滿足AB·PBAB·PCAC·PB,且APPC,PAB2BPC。求ACB?!菊f明】方程的思想在幾何中的計(jì)算問題中是相當(dāng)有用的。例3、PA切O于A,PEF交O于F、E,AC平分EAF,交PE于C,PB平分APE交AE、AF分別于B、D。求證:ABCD為菱形?!菊f明】(1)要判斷一個(gè)圖形的形狀
20、不僅要對判定方法熟悉,還要能結(jié)合題中條件選擇較易的方法證明之。(2)本例可以推廣為:如圖,PE、PH分別是圓的割線且與圓分別交于F、E、G、H。HPE的平分線交QF、QE于D、B,F(xiàn)QE的平分線交PH、PE于A、C。求證:ABCD為菱形。(請自行證明)例4、AB是半O的直徑,ACAB,ACAB,在半圓上任取一點(diǎn)D,作DECD交AB于E,BFAB交線段AD的延長線于點(diǎn)F。(1)設(shè)弧AD是X0的弧,若要使點(diǎn)E在線段BA的延長線上,求X的聚會范圍。(2)不論點(diǎn)D取在半圓的什么位置,圖中除ABAC外,還有兩條線段一定相等,指出它們,并加以證明?!菊f明】(1)要學(xué)會用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)和極端原理考慮問題;(
21、2)在圓中要探尋線段相等,要充分利用相似三角形。例5、已知兩圓的半徑分別是R、r,圓心距為3,且R、r、Rr恰為方程x3-6x2+11x-6=0的三根,問這兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何?【說明】判斷兩圓位置除了本例的方法,還用到公切線的條數(shù)。但要注意,不能僅由內(nèi)公切線或外公切線的條數(shù)來判定,還要添加其他附加條件;同樣也不能用兩個(gè)圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定。例6、兩圓內(nèi)切于點(diǎn)P,大圓的弦AD與小圓相離,PA、PD與小圓交于點(diǎn)E、F,直線EF交大圓于B、C。求證:APBCPD?!菊f明】(1)要能針對直線和圓、圓和圓的各種位置關(guān)系靈活地添上常用而且是適用的輔助線。如本例是添加的過兩圓的切點(diǎn)的公切線。(2)本例還可
22、以變形為:變題1:如圖,O1與O2外離,一直線與O1交于A、D,與O2交于B、C,O1O2分別交O1、O2于E、F,AE、BF的延長線交于P,DE、CF的延長線交于Q。求證:APBCQD1800。變題2、O1內(nèi)含O2,O1的弦AB切O2于點(diǎn)C,O1O2分別交O1、O2于E、F,AE、BE與FC分別交于P、Q。求證:APC與BQC相等或互補(bǔ)。例7、O1與O2外切于P,射線AP分別交兩圓于N、M,AB、AC分別切O1與O2于B,且。求證:(1)AP平分BAC;(2)AP2AM·AN?!菊f明】本例中的相切條件不變,(1)若AP平分O1AO2,則;(2)能否由APAMAN證明AP平分OAO?
23、讀者自己考慮。例8、在等邊ABC所在的平面內(nèi),問有多少點(diǎn)P使PAB、PBC、PCA為等腰三角形?!踞槍τ?xùn)練】第六節(jié)圓的計(jì)算題【知識點(diǎn)撥】【賽題精選】例1、如圖,七根圓形筷子的橫截面的圓半徑均不r,則捆扎這七根筷子一周的繩子的長度為多少?【說明】計(jì)算曲線段的長度(包括封閉的和不封閉的)時(shí),先要研究曲線的形狀與特征,看其是否對稱、規(guī)則,對稱、規(guī)則時(shí),有沒有現(xiàn)在的公式可求,如果規(guī)則或規(guī)則但無現(xiàn)成的公式可求時(shí),可用割補(bǔ)的思想方法來分析研究。例2、AD、AM、AE分別是ABC的高、中線、角平分線,且12。求BAC的度數(shù)?!菊f明】本例是一道傳統(tǒng)幾何題的逆命題,也可變成12BAC90°。例3、在平行四邊形ABCD中,B60°,AB4,BC6,以B為圓心、BA為半徑畫弧交BC于E,再以點(diǎn)D為圓心、DA為半徑畫弧交DC的延長線于點(diǎn)F。求陰影部分的面積S?!菊f明】對于求曲線長、面積、體積的問題通常采用割補(bǔ)的方法,但對于較難用此法的圖形可以考慮使用集合的思想(或圖形覆蓋的方法)來處理,在運(yùn)用圖形覆蓋時(shí),要注意圖形
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