第三章基于數(shù)學模型的控制系統(tǒng)故障診斷

1、基于數(shù)學模型故障診斷的基本思想基本思想是，設計系統(tǒng)的檢測濾波器，然后根據(jù)濾波器的輸出與真實系統(tǒng)的輸出比較，產(chǎn)生殘差產(chǎn)生殘差，再對其殘差進行分析、處理，以實現(xiàn)系統(tǒng)的故障診斷。 基本原理控制系統(tǒng)及其檢測濾波器如下圖所示。檢測濾波器包括一個正常工作條件下的系統(tǒng)動態(tài)模型，模型的輸入和真實系統(tǒng)的輸入相同。系統(tǒng)傳感器輸出與模型輸出之間的差值信號經(jīng)增益矩陣D反饋到模型輸入。圖 控制系統(tǒng)及其檢測濾波器上圖中所示的系統(tǒng)可表示為：)()()(tButAxtx)()(tCxty故障濾波器的方程為：)( )()()( )( tytyDtButxAtx)( )( txCty定義：狀態(tài)誤差（即殘差）)( )()(txtx

2、te測量誤差（即輸出殘差）)( )()(tytyt則狀態(tài)誤差方程)( )()(txtxte)( )()()( )()(tytyDtButxAtButAx)()(teDCA輸出誤差方程)()( )()(tCetytyt下面分別考慮執(zhí)行器故障、傳感器故障和對象參數(shù)變化的診斷問題。1、執(zhí)行器故障假設第j個執(zhí)行器發(fā)生故障，則故障數(shù)學模型可表示為)()()(tnetuturjd式中，ud(t)為正常狀態(tài)下，期望的控制輸入；n(t)為任意的標量時間函數(shù)；erj為在第j個坐標方向上的單位r維矢量，即0.010.0rje第j個元素此時狀態(tài)方程為)()()(tButAxtx)()()(tnetuBtAxrjd)

3、()()(tnbtButAxjd式中，bj為矩陣B的第j列矢量，可稱為事件矢量。狀態(tài)誤差方程和輸出誤差方程分別為)()()()(tnbteDCAtej)()(tCet )( )()()( )( tytyDtButxAtxd)( )()(txtxte)( )()(tytyt2、傳感器故障假設第j個傳感器發(fā)生故障，則故障數(shù)學模型可表示為)()()(tnetCxtymj式中， n(t)為任意的標量時間函數(shù)； emj為在第j個坐標方向上的單位m1維矢量，對應第j個傳感器故障0.010.0mje第j個元素此時，狀態(tài)誤差方程為輸出誤差方程為)( )()(txtxte)( )()()( )()(tytyDt

4、ButxAtButAx)()()(tnDeteDCAmj)()()(tndteDCAj式中， dj為矩陣D的第j列矢量。)( )()()( )()(txCtnetCxtytytmj)()(tnetCemj)()()(tnetCxtymj3、對象參數(shù)的變化假設系統(tǒng)特性A、B發(fā)生變化A、 B，則系統(tǒng)動態(tài)方程為)()()()()(tuBBtxAAtx則狀態(tài)誤差方程為)()()()()( )()(tuBBtxAAtxtxte)( )()()( tytyDtButxA)()()()(tButAxteDCA輸出誤差方程為)()( )()(tCetytyt對于對象參數(shù)的變化，考慮一種簡單的特殊情況，設矩陣A

5、中某元素aij發(fā)生變化aij，則nijijetxatButAxtx)()()()(式中， eni = 0 0 1 0 0T此時狀態(tài)誤差方程為輸出誤差方程為)()( )()(tCetytytnijijetxatButAxtxtxte)()()()( )()()( )()()( tytyDtButxAnijijetxateDCA)()()(一類稱為輸入型故障模型輸入型故障模型，包括執(zhí)行器故障與對象參數(shù)變化，它們的狀態(tài)誤差方程和輸出誤差方程可寫為：)()()()(tfnteDCAte)()(tCet 式中， f為事件矢量（或故障矢量）。對于上述討論的三種情況：執(zhí)行器故障、傳感器故障和對象參數(shù)的變化，

6、它們的狀態(tài)誤差方程和輸出誤差方程可以劃分為兩類。輸入型故障模型的解為ttDCAtDCAdfneeete0)()()()0()(ttDCAtDCAdfneeCet0)()()()0()(式中，第一項為瞬態(tài)解，第二項為穩(wěn)態(tài)解。若系統(tǒng)穩(wěn)定，則穩(wěn)態(tài)解為ttDCAtsdfnCete0)()(lim)(ttDCAtdfnCet0)()(lim)(故障檢測濾波器的設計，通過選擇增益矩陣D，使穩(wěn)態(tài)輸出誤差矢量方向保持與Cf的方向一致。這里需要指出，由于故障濾波器的設計限制，輸出誤差應具有方向性，某個部件的故障對應一定方向的輸出誤差。另一類稱為輸出型故障模型輸出型故障模型，即傳感器故障模型，其狀態(tài)誤差方程和輸出

7、誤差方程為：)()()()(tndteDCAtej)()()(tnetCetmj輸出型故障模型的解為tjtDCAtDCAdndeeete0)()()()0()()()()0()(0)()(tnedndCeeCetmjtjtDCAtDCA其穩(wěn)態(tài)狀態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)輸出誤差分別為tjtDCAtsdndete0)()(lim)(tmjjtDCAttnedndCet0)()()(lim)(傳感器故障的穩(wěn)態(tài)輸出誤差方向處在由（Cdj, emj）所構成的二維平面上，而不是某個固定的方向。從前面的討論，對執(zhí)行器故障、傳感器故障、對象參數(shù)變化等可歸為兩類：輸入型故障和輸出型故障。它們的輸出誤差方程都是類似的。假如出

8、現(xiàn)的故障是階躍故障，那么輸出誤差的變化曲線就如下圖所示。從輸出誤差曲線的變化，就可以檢測到故障是否發(fā)生，通過對曲線的分析，還可以知道故障發(fā)生的時間、故障的類型以及故障的位置。圖 輸出誤差的變化曲線 t0-故障時間 檢測濾波器的設計采用故障矢量f分析狀態(tài)誤差方程，無論是輸入型故障或輸出型故障，都具有相同的形式。)()()()(tfnteDCAte式中，f = bj （執(zhí)行器故障）； f = -dj （傳感器故障）； f = eni （對象參數(shù)變化aij）。故障矢量的維數(shù)為n1。（1）故障的可檢測性可由濾波器增益矩陣D滿足以下兩個條件來保證：（1）Ces（t）在輸出空間保持固定方向；（2）（A -

9、DC）的所有特征值能夠任意配置。當配置（ADC）的所有特征值都處于s平面的左半平面內(nèi)時，式（1）表示的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，當時間t趨向無窮大時，式（1）的初始條件瞬態(tài)解將趨向于零。（ADC）的配置應使誤差達到穩(wěn)態(tài)值的時間和動態(tài)過程得到控制。若f是可檢測的，則可通過檢查輸出誤差的方向來確定發(fā)生故障的部件。 )()()()(tfnteDCAte（1）統(tǒng)一形式的狀態(tài)誤差方程下面僅討論完全可觀測系統(tǒng)的故障濾波器設計。完全可觀測系統(tǒng)是指在任意時間t，系統(tǒng)狀態(tài)矢量x(t)可由測量矢量y(t)唯一地確定。)()(tCxty由于式中，。nmmnRCRtyRtx;)(;)(11當給定y(t)時，使x(t)有唯一解的充

10、要條件是rankC=n。為滿足可檢測條件（2）(（A -DC）的所有特征值能夠任意配置）的所有特征值能夠任意配置)，選擇 。IDCA)(式中， 為正的標量常值，I為單位矩陣。設m代表系統(tǒng)的傳感器數(shù)目，或矩陣C的行數(shù)。若m=n，則C為nn的方陣。若rankC=n，則C1存在，D的唯一解為1)(CIAD若mn，且rankC=n，則D的解為TTCCCIAD1)(（1）對于執(zhí)行器故障對于執(zhí)行器故障，f=bj，式（1）的解為ttjtttdnbeteete00)()()()(0)(tttjttdnebtee00)()()(0)(由于 0，所以初始條件e(t0)引起的瞬態(tài)解漸趨近于零，所以 tttjsdne

11、bte0)()()(式中， 是標量時間函數(shù)。因此，當時間t足夠大時，e(t)保持在狀態(tài)空間的固定方向稱為bj方向，這說明狀態(tài)誤差信號保持在狀態(tài)空間某個固定方向（對某個固定方向（對應應bj），表示是第j個執(zhí)行器故障。tttdne0)()(嚴格來說，由于狀態(tài)變量x(t)不能直接獲取，所以e(t)也不是直接可取信號。而輸出誤差信號 ，沒有必要求解于x(t)，可以直接獲取。從這個意義上說，應采用(t)來檢測故障。)( )()(tytyttttjttdneCbteCetCet00)()()()()(0)(tttjsdneCbt0)()()(所以，s(t)在m維的輸出空間中保持一個固定方向Cbj。當輸出誤

12、差信號保持在某個固定方向（對應某個固定方向（對應Cbj），表示是第j個執(zhí)行器故障。（2）對于傳感器故障對于傳感器故障，f=-dj，式（1）的解為tttjttdnedteete00)()()()(0)(穩(wěn)態(tài)時的狀態(tài)誤差為tttjsdnedte0)()()(同樣，狀態(tài)誤差信號e(t)不能直接獲取，宜采用輸出誤差信號(t)來檢測故障。)()()()(00)(0)(tnedneCdteCetmjtttjtt)()()(0)(tnedneCdtmjtttjs所以，輸出誤差s(t)處于輸出空間中，由兩個m維矢量Cdj和emj構成的平面內(nèi)。即，若輸出誤差s(t)處于Cdj和emj構成的平面內(nèi)，說明系統(tǒng)的第j

13、個傳感器發(fā)生故障。tttdne0)()(式中， 和n(t)都是標量。 卡爾曼濾波器及其在故障診斷中的應用1、卡爾曼濾波器的由來卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數(shù)學家，1930年出生于匈牙利首都布達佩斯。1953，1954年于麻省理工學院分別獲得電機工程學士及碩士學位。1957年于哥倫比亞大學獲得博士學位。我們現(xiàn)在要學習的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發(fā)表的論文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（線性濾波與預測問題的新方法）。 卡爾曼濾波器是一個“optimal recursi

14、ve data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。 它的廣泛應用已經(jīng)超過30年，包括機器人導航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合，故障診斷以及軍事方面的雷達系統(tǒng)、導彈追蹤等。 它以最小均方誤差為估計的最佳準則，來尋求一套遞推估計的算法，其基本思想是：采用信號與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時刻的估計值和現(xiàn)時刻的觀測值來更新對狀態(tài)變量的估計，求出現(xiàn)時刻的估計值。 2、引子在介紹卡爾曼濾波器基本算法之前，通過一個簡單的例子來了解它的基本思想。 假設我們要研究的對象是一個房間的溫度房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度

15、（假設我們用一分鐘來做時間單位）。假設你對你的經(jīng)驗不是100%的相信，可能會上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時間是沒有關系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我們在房間里放一個溫度計，但是這個溫度計也不準確，測量值與實際值有偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。 現(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個關于該房間的溫度值：一個是根據(jù)經(jīng)驗的預測值預測值（系統(tǒng)的預測值系統(tǒng)的預測值）；另一個是溫度計的值溫度計的值（測量值測量值）。下面我們要用這兩個值結合它們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。 首先

16、要根據(jù)k-1時刻的溫度值，來預測k時刻的溫度。因為我們認為溫度是恒定的，所以k時刻的溫度預測值跟k-1時刻是一樣的，假設是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，自己預測值的不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是5）。然后，從溫度計那里得到k時刻的溫度值，假設是25度，同時該值的偏差是4度。 由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的協(xié)方差（covariance）來判斷。因為Kg2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，我

17、們可以估算出k時刻的實際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度?？梢钥闯?，因為溫度計的協(xié)方差比較?。ū容^相信溫度計），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值。 現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進入k+1時刻，進行新的最優(yōu)估算。 在進入k+1時刻之前，我們還要算出k時刻最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻你預測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對應于上面的3）。 就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把協(xié)方差遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。它運行的速

18、度很快，而且只保留了上一時刻的協(xié)方差。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。它可以隨不同的時刻而改變它自己的值。3、卡爾曼濾波器算法 引入一個離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個線性隨機微分方程（Linear Stochastic Difference equation）來描述：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k) 系統(tǒng)的測量值：Z(k)=H X(k)+V(k) 上兩式子中，X(k)是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時刻對系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，它們?yōu)榫仃?。Z(k)是k時刻的測量值，H是測量系統(tǒng)的參數(shù)，對于多測量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分

19、別表示過程和測量的噪聲。它們被假設成高斯白噪聲(White Gaussian Noise)，它們的方差 分別是Q，R（這里我們假設它們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化）。 下面我們基于系統(tǒng)模型結合它們的協(xié)方差來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出（類似上面估計溫度的例子）。 首先利用系統(tǒng)的過程模型，來預測下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k，根據(jù)系統(tǒng)的模型，由上一狀態(tài)而預測出現(xiàn)在的狀態(tài)：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) . (1)上式中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預測的結果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。 到現(xiàn)在為止，系統(tǒng)

20、的結果已經(jīng)更新了，可是，對應于X(k|k-1)的方差還沒更新。我們用P表示方差：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A+Q (2)上式中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對應的方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應的方差，A表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的方差。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個，也就是對系統(tǒng)系統(tǒng)的預測預測。 由式（1），（2）已經(jīng)得到現(xiàn)在狀態(tài)的預測結果，然后我們再收集現(xiàn)在狀態(tài)的測量值。結合預測值和測量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)k的最優(yōu)化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1) (3)其

21、中Kg為卡爾曼增益卡爾曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)= P(k|k-1) H / (H P(k|k-1) H + R) (4)到現(xiàn)在為止，由式（3），（4）已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)。但是為了要使卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統(tǒng)過程結束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的方差：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5)其中I 為1的矩陣（單位矩陣），對于單模型測量，I=1。當系統(tǒng)進入k+1狀態(tài)時，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自回歸的運算下去。 以上式（1）（5）即為卡爾曼濾波器的5個基本公式，即基本算法原理

22、。 圖 卡爾曼濾波的兩個計算回路和兩個更新過程 為了更好地在計算機中實現(xiàn)，我們由如下框圖的形式表示出卡爾曼濾波器的基本算法。以前面預測房間溫度為例，把房間看成一個系統(tǒng)，然后對這個系統(tǒng)建模。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度相同的，所以A=1。沒有控制量，所以U(k)=0。因此得出：應用舉例：P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q (7)X(k|k-1)=X(k-1|k-1) . (6)式子（2）可以改成：因為測量的值是溫度計的，跟溫度直接對應，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) (10)X(k|k)= X(k|k-1)+Kg

23、(k) (Z(k)-X(k|k-1) (8)Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) (9)現(xiàn)在我們模擬一組測量值作為輸入。假設房間的真實溫度為25度，模擬20個測量值，這些測量值的平均值為25度，但是加入了標準偏差為幾度的高斯白噪聲。 設：卡爾曼兩個零時刻的初始值，X(0|0)=1和P(0|0)=10。結果如下圖所示。 0246810121416182024.424.624.82525.225.425.625.8MinutesTemperature測量值實際溫度值溫度估計值基本的卡爾曼濾波算法只能應用于線性系統(tǒng)，對于在工程領域中占大多數(shù)的非線性系統(tǒng)，則需要引入擴展卡爾

24、曼濾波算法（EKF）。 4、擴展卡爾曼濾波器 為了實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波，必須作如下基本假設：非線性微分方程的理論解一定存在，理論解與實際解之間的差能夠用一個線性微分方程表示，此時理論解能夠充分地對系統(tǒng)的實際特性給予描述。以上假設在一般的工程實踐中是能夠基本滿足的，即滿足局部線性假設條件。 )(),()()1(),1(),1()(kvkxgkykwkukxfkx)(f)(g （a）和分別表示狀態(tài)變換和測量輸出的線性或非線性變考慮如下形式的一般非線性系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程和觀測方程為： 換函數(shù)，其他各個變量定義同基本卡爾曼濾波線性時變系統(tǒng)中定義相同。 0)1()1| 1( )1() 1()1()

25、,1(),1() 1,(kwkkxkxkxkukwkxfkk0)1()1| 1( )1() 1()1(),1(),1() 1,(kwkkxkxkwkukwkxfkk0)()1|( )()()(),()(kvkkxkxkxkvkxgkG0)()1|( )()()(),()(kvkkxkxkvkvkxgkD（i）（ii） （iii） （iv）首先需要進行線性化的Jacobian變換矩陣：)0|0()0|0( xEx)0|0( )0|0()0|0( )0|0()0|0(TxxxxEP設定系統(tǒng)初值為：,則擴展卡爾曼濾波方程為： )0),1(),1| 1( () 1|( kukkxfkkx) 1,()

26、1() 1,() 1,() 1| 1() 1,() 1|(TTkkkQkkkkkkPkkkkP1TTT)()()()() 1|()()() 1|()(kDkRkDkGkkPkGkGkkPkK)0),1|( ()()() 1|( )|( kkxgkykKkkxkkx) 1|()()()|(kkPkGkKIkkP5、故障檢測策略 系統(tǒng)殘差序列： ) 1() 1() 1(kykyk)1(, 1() 1(kkxkhky當系統(tǒng)正常運行時，殘差 近似為高斯白噪聲序列，其均值近似為零，協(xié)方差陣為： ）k()()1(,() 1() 1(,(2kQkkxkHkkPkkxkHT)()()(VkkEkT協(xié)方差陣V（

27、k）是時變的，隨k的變化具有不同的統(tǒng)計特性。為此，可定義另一隨機變量：)()()2/1kkVk（則 近似為一零均值高斯白噪聲隨機向量。由于 計算上的不便，為此 可再定義一隨機變量：)k（)(2/ 1kV)()()()()(1TkkVkkkT由上式（即 ： ），可得如下殘差加權平方和檢測方法：)()()()()(1TkkVkkkT令： kNkjTkkNkd1)()(1)(kNkjTkkVkN11)()(1）其中：N為數(shù)據(jù)窗長度。 當系統(tǒng)正常運行時，d(k)的數(shù)值較小。當系統(tǒng)發(fā)生突變性故障時， 將不再滿足白噪聲特性，由此得出如下檢測律： )k（10)(HHkd其中： 為一閾值。 仿真例子： 某一實

28、際非線性輪船驅(qū)動系統(tǒng)可由下列方程描述： ) 1k( e) 1k(x) 1k(y)k(v)k(1bu. 0)k()(1 . 0) 1(2xkaxkx其中：x為輪船的速率， 0)00()0(xxa,b分別代表輪船所受阻力和發(fā)動機的效率。其標稱值分別為： 2 . 0,58. 000ba基于擴展卡爾曼濾波器算法及殘差加權平方和檢測策略，進行故障診斷。 圖1給出了正常運行的系統(tǒng)的響應曲線；圖2給出了當k=301（即t=30.1秒），參數(shù)a突變成2a（-0.58*2），參數(shù)b不變時系統(tǒng)的響應曲線。（閾值 =0.2）0100200300400500600-0.100.10.20.30.40.50.6y(k)

29、r(k)010020030040050060000.050.10.150.20.250.30.350.4d(k)圖1 正常運行時系統(tǒng)的響應曲線010020030040050060000.10.20.30.40.50.60.7y(k)01002003004005006000123456d(k)圖2 故障狀態(tài)下系統(tǒng)的響應曲線殘差經(jīng)常被用作為反映系統(tǒng)故障的信息，殘差是指由被觀測數(shù)據(jù)構成的函數(shù)與這些函數(shù)的期望值之差。無故障也無噪聲時，殘差一般為零；故障發(fā)生后，殘差則以確定性偏移量的形式出現(xiàn)。下面介紹幾種殘差產(chǎn)生的方法。 冗余方程的建立及殘差產(chǎn)生的簡單方法首先通過一個例子來說明冗余方程產(chǎn)生殘差的構思?？?/p>

30、慮一個三階離散系統(tǒng)的理想模型)(7 . 0)(7 . 0)(5 . 0) 1(3211kxkxkxkx)()(1 . 0)(8 . 0)(1 . 0) 1(3212kukxkxkxkx)() 1(13kxkx)()(3kxky在這個三階離散系統(tǒng)的理想模型中，僅有一個狀態(tài)變量是可觀測的，輸入u(k)已知，消去x1，x2，x3，可得冗余方程。（1）（2）（3）（4）冗余方程：) 1(17. 1)2(3 . 1)3(kykyky0)(7 . 0)(63. 0kuky（5）一種方法是：直接將其本身視為殘差，即)2(17. 1) 1(3 . 1)()(1kykykykr) 3(7 . 0) 3(63.

31、0kuky這種殘差，是一種移動平均方程，它是以傳感器最近最近的輸出的輸出為基礎的。如果傳感器發(fā)生故障，殘差r(k)只與r(k-1)、r(k-2)、r(k-3)有關，而與r(k-3)以前的值無關。根據(jù)所得的冗余方程建立殘差，第二種產(chǎn)生殘差的方法是：循環(huán)求解方程式（5）（即冗余方程），每次的計算結果與傳感器的實際輸出比較，即計算)2( 17. 1) 1( 3 . 1)( kykyky) 3(7 . 0) 3( 63. 0kuky殘差為)( )()(2kykykr 冗余方程建立的一般方法考慮離散的、非時變的線性系統(tǒng))()() 1(kBukAxkx)()(kCxky式中， A、B、C是適當維數(shù)的矩陣。

32、;)(;)(;)(lmnRkyRkuRkx設z是前向移動算子前向移動算子，即zf(k)=f(k+1)，則消去狀態(tài)變量x，)()()(1kBuAzICky得冗余方程：（6）（7）上述所得的冗余方程也可表示為)()()()(kuzGkyzH式中，矩陣G(z)和H(z)與狀態(tài)模型的關系是BAzICadjzG)()()det()(AzIzH（8）則由式（8），得一致方程)()()()()(kuzGkyzHke（9）)()()(1kBuAzICky)()()(1kBuAzIAzICkyAzI)()()()(kuzGkyzH(冗余方程)adjA:矩陣A的伴隨矩陣（A*）detA:矩陣A的行列式（|A|）由

33、于故障和噪聲的緣故，e(k)將偏離零值，若忽略噪聲的影響，殘差即可直接被用來分析故障。如果，u(k)和y(k)已知，由式（9）可計算出一致矢量e(k)。矩陣(H(z)-G(z)的列與系統(tǒng)故障有關，列的變化可以反映出故障的方向，故障的可檢測性和可隔離性與矩陣(H(z)-G(z)的結構密切相關。用矢量e(k)的范數(shù)范數(shù)與規(guī)定的閾值閾值進行比較，可以實現(xiàn)故障檢測的目的，通過比較矢量e(k)的方向和故障方向，可以實現(xiàn)故障定位。)()()()()(kuzGkyzHke即：一致方程 基于觀測器法的殘差產(chǎn)生考慮離散系統(tǒng))()()()() 1(kCxkykBukAxkx式中，。pmnRuRyRx;用龍貝格（L

34、uenberger）觀測器進行狀態(tài)估計，有下列形式：)()( ) 1( kBukxAkx)( )(kxCkyG)()( )(kykxCkr（10a）（10b）定義狀態(tài)估計誤差)()( )(kxkxke可得殘差方程：)()()()() 1(kCekrkeGCAke將其代入式（10）， 基于參數(shù)辨識法的殘差產(chǎn)生參數(shù)辨識的基本思想是通過比較正常參數(shù)與故障參數(shù)來檢測故障是否發(fā)生。)()()()() 1(kCxkykBukAxkx其參數(shù)辨識殘差可由下式表示：)()(kk式中， 表示系統(tǒng)正常時的參數(shù)； 代表實際估計參數(shù)。對于系統(tǒng)：定義輸出參數(shù)估計誤差: )(k)(,( ),()(kkykyk輸出估計誤差的

35、范數(shù)，常用于檢測系統(tǒng)的故障。閾值選取的原則閾值選取的原則，在理想情況下，應該是把所有正常工作的值包含在閾值以內(nèi)，一旦冗余信號之間的差別超過給定閾值，則必然是處于非正常工作狀態(tài)。但由于現(xiàn)實中信號固有的隨機性，使得無法達到理想情況，而只能盡量達到上述準則的要求。系統(tǒng)實際運行中，由于各種隨機因素的存在，如噪聲和擾動等等，引起故障檢測器的誤檢：漏報警漏報警和虛報警虛報警。一個好的故障監(jiān)督系統(tǒng)，應當使這兩種誤檢都盡可能的小，因此，在選取故障決策的閾值時，需要折衷考慮。下面介紹確定故障決策閾值的幾種方法。 根據(jù)元部件的允差選取閾值 方法一：最大不一致原理最大不一致原理最大不一致原理的基本思想是：將每一通道中各單元的允差綜合起來考慮，確定出最壞情況下允許的偏差，按此確定故障檢測器的閾值。具體步驟：設有兩冗余通道，其中每一單元均有一允差Ei（i1，2，n），每一單元的增益為Ri（ i1，2，n ），通道的邏輯連接方式如下圖所示，