數(shù)學(xué)二中于世章

1、青島市名師課堂青島市名師課堂青島二中青島二中 于世章于世章（高中數(shù)學(xué)）（高中數(shù)學(xué)）2014.10.26 青島二中青島二中“藍(lán)心結(jié)藍(lán)心結(jié)”公益課堂公益課堂執(zhí)教人執(zhí)教人 于世章于世章2014 10 26莫道秋草黃莫道秋草黃 卻見(jiàn)君行早卻見(jiàn)君行早若問(wèn)由何聚若問(wèn)由何聚 此番風(fēng)景好此番風(fēng)景好羨鶴排空上羨鶴排空上 吟詩(shī)碧霄朝吟詩(shī)碧霄朝唯愿追夢(mèng)人唯愿追夢(mèng)人 爭(zhēng)舞潮頭豪爭(zhēng)舞潮頭豪一引子一引子 在德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的一部傳記中，有這樣一在德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的一部傳記中，有這樣一段話：段話： 有一個(gè)異鄉(xiāng)人在巴黎問(wèn)當(dāng)?shù)厝?，有一個(gè)異鄉(xiāng)人在巴黎問(wèn)當(dāng)?shù)厝?，“為什么貴為什么貴國(guó)歷史上出了那么多偉大的數(shù)學(xué)家？國(guó)歷史上出了那么多偉大的

2、數(shù)學(xué)家？” 巴黎人回答，巴黎人回答，“我們最優(yōu)秀的人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)我們最優(yōu)秀的人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).” 又去問(wèn)法國(guó)數(shù)學(xué)家，又去問(wèn)法國(guó)數(shù)學(xué)家，“為什么貴國(guó)的數(shù)學(xué)一為什么貴國(guó)的數(shù)學(xué)一直享譽(yù)世界呢？直享譽(yù)世界呢？” 數(shù)學(xué)家回答，數(shù)學(xué)家回答，“數(shù)學(xué)是我們傳統(tǒng)文化中最優(yōu)數(shù)學(xué)是我們傳統(tǒng)文化中最優(yōu)秀的部分秀的部分.” 如果有一個(gè)異鄉(xiāng)人在中國(guó)如果有一個(gè)異鄉(xiāng)人在中國(guó)的高中學(xué)校內(nèi)問(wèn)高三學(xué)生：中的高中學(xué)校內(nèi)問(wèn)高三學(xué)生：中國(guó)的高三學(xué)生為什么熱衷于數(shù)國(guó)的高三學(xué)生為什么熱衷于數(shù)學(xué)？為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)廢寢忘食？學(xué)？為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)廢寢忘食？ 把數(shù)學(xué)看成是傳統(tǒng)文化的一部分，而把數(shù)學(xué)看成是傳統(tǒng)文化的一部分，而不是做為敲門磚或謀取名利的手段，我們不是

3、做為敲門磚或謀取名利的手段，我們的數(shù)學(xué)事業(yè)就會(huì)興旺發(fā)達(dá)，數(shù)學(xué)研究和人的數(shù)學(xué)事業(yè)就會(huì)興旺發(fā)達(dá)，數(shù)學(xué)研究和人才培養(yǎng)就會(huì)成為一種有序的制度，中國(guó)也才培養(yǎng)就會(huì)成為一種有序的制度，中國(guó)也有望成為真正的數(shù)學(xué)大國(guó)有望成為真正的數(shù)學(xué)大國(guó). 二數(shù)學(xué)的基本思想二數(shù)學(xué)的基本思想 很多老師講課的時(shí)候，內(nèi)容講很多老師講課的時(shí)候，內(nèi)容講得很清楚，但是不講思想得很清楚，但是不講思想.結(jié)果是結(jié)果是學(xué)生往往抓不住問(wèn)題的本質(zhì)，這對(duì)學(xué)生往往抓不住問(wèn)題的本質(zhì)，這對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)造性思維非常不利培養(yǎng)創(chuàng)造性思維非常不利. 有些老師教課很受學(xué)生歡迎，原有些老師教課很受學(xué)生歡迎，原因是什么呢？我個(gè)人認(rèn)為，這樣的老因是什么呢？我個(gè)人認(rèn)為，這樣的老師不

4、僅將內(nèi)容講的透徹，而且還會(huì)讓師不僅將內(nèi)容講的透徹，而且還會(huì)讓學(xué)生明白為什么這么講，數(shù)學(xué)內(nèi)容為學(xué)生明白為什么這么講，數(shù)學(xué)內(nèi)容為什么采用這樣的呈現(xiàn)方式，這就不僅什么采用這樣的呈現(xiàn)方式，這就不僅要知其然還要知其所以然要知其然還要知其所以然.這很重要這很重要. 什么是數(shù)學(xué)思想呢？函數(shù)方程、什么是數(shù)學(xué)思想呢？函數(shù)方程、等量替換、數(shù)形結(jié)合、分類、遞歸、等量替換、數(shù)形結(jié)合、分類、遞歸、轉(zhuǎn)換；配方法、換元法、加強(qiáng)不等轉(zhuǎn)換；配方法、換元法、加強(qiáng)不等式等等式等等. 本節(jié)課將在轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)本節(jié)課將在轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等方面進(jìn)行深入探討方程等方面進(jìn)行深入探討. 為了更好的突出本節(jié)課的主題，我們?yōu)榱烁玫?/p>

5、突出本節(jié)課的主題，我們一起來(lái)做一個(gè)游戲一起來(lái)做一個(gè)游戲.課題課題 怎樣解題怎樣解題 三三.小試牛刀小試牛刀共需要件，丙各元，現(xiàn)在購(gòu)買甲、乙、件，共需件、丙件、乙若購(gòu)買甲元，件，共需件、丙件、乙買甲，若購(gòu)有甲、乙、丙三種貨物12 . 4110415. 3173【引例引例1】 元. 我受到的啟發(fā)我受到的啟發(fā) 數(shù)學(xué)解題能力的數(shù)學(xué)解題能力的提高，是建立在思維能力提高的基提高，是建立在思維能力提高的基礎(chǔ)之上，不能把思維限定在已知的礎(chǔ)之上，不能把思維限定在已知的框架內(nèi)，打破框架的途徑往往來(lái)自框架內(nèi)，打破框架的途徑往往來(lái)自靈感靈感. .不能否認(rèn)部分靈感是普通常不能否認(rèn)部分靈感是普通常識(shí)，而常識(shí)又常常是保守的

6、識(shí)，而常識(shí)又常常是保守的, ,靈感靈感也確實(shí)沒(méi)有論證的力量，缺乏精細(xì)，也確實(shí)沒(méi)有論證的力量，缺乏精細(xì)，但它并不妨礙我們對(duì)問(wèn)題的思考但它并不妨礙我們對(duì)問(wèn)題的思考. .【引例引例2】(2014年華約）年華約）x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,x4 4,x,x5 5是正整數(shù)，任取是正整數(shù)，任取4 4個(gè)，其和組成的集合個(gè)，其和組成的集合為為44,45,46,4744,45,46,47，求這五個(gè)數(shù)，求這五個(gè)數(shù). . 四四.在劃歸與轉(zhuǎn)化中提升能在劃歸與轉(zhuǎn)化中提升能力收獲成績(jī)力收獲成績(jī) 化歸與轉(zhuǎn)化的思想，就是在研究和化歸與轉(zhuǎn)化的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采

7、用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的思想問(wèn)題的思想.轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過(guò)程，化歸是把式向另一種形式的變換過(guò)程，化歸是把待解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程歸結(jié)為待解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題.22ABC4 0)( 4 0)1259sinsinsinxoyACxyACB例1 在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)（ ，和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則 .為（）中，則都在集合和且），（

8、的夾角，滿足，面向量若兩個(gè)非零的平，定義，面向量對(duì)于任意兩個(gè)非零的平變式baZnabbababa|2n24.1mOCOBOAmOHHABC），則實(shí)數(shù)，兩條邊上高的交點(diǎn)為，外接圓的圓心為變式(O2 .BABAcbacbaCBAcoscos1coscosABC3數(shù)列，則成等差、，若、的邊分別為，所對(duì)、中，角在變式 .為的值，則，若，分別交于點(diǎn)，直線與作一的重心如圖，過(guò)變式y(tǒng)xxyACyAEABxADED110.ACABGABC4 .大值為的最為銳角），則、（北京高考）變式coscoscos(1sinsinsin5222 .15cos2-6cos4-cos6-cos32R201366的值求，年北約）

9、對(duì)于任意的（變式（一）特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化（一）特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化 對(duì)于那些結(jié)論不明或解題思路對(duì)于那些結(jié)論不明或解題思路易發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，可先用特殊情形探易發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，可先用特殊情形探求解題思路或命題結(jié)論，再在一般求解題思路或命題結(jié)論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉題的明智之舉.側(cè)面的二面角范圍嗎？?jī)蓚€(gè)你能求出正三棱錐相鄰例2形中心的軌跡是的矩于給定如圖，內(nèi)接變式ABC1 .oCAB .是的取值范圍時(shí)，當(dāng)?shù)娜≈捣秶莿t，且域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)及、線段在由射線，點(diǎn)如圖所示，變式y(tǒng)xxOByOAxOPABOBOMPABOM21/2

10、 .（二）有限與無(wú)限的相互轉(zhuǎn)化（二）有限與無(wú)限的相互轉(zhuǎn)化 若將極限思想與特殊化原則相結(jié)若將極限思想與特殊化原則相結(jié)合，根據(jù)圖形元素的極端位置或某合，根據(jù)圖形元素的極端位置或某一類量的極端情形，來(lái)研究解決數(shù)一類量的極端情形，來(lái)研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其是最大值、最小值、學(xué)問(wèn)題，尤其是最大值、最小值、邊界值等問(wèn)題，常常是快速有效邊界值等問(wèn)題，常常是快速有效. .)2014(1) 1 (2)()2(3)()3(R)(3ffxfxfxfxfxxf，則，且，都有任意實(shí)數(shù)上的函數(shù)，對(duì)是定義在例 .的取值范圍是，則，滿足項(xiàng)和為的前數(shù)列的等差，公差為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為是，浙江高考）設(shè)（變式dSSSnadadann015

11、20106511（三）等與不等的相互轉(zhuǎn)化（三）等與不等的相互轉(zhuǎn)化 等與不等是辯證的兩個(gè)方面，等與不等是辯證的兩個(gè)方面，把不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相等問(wèn)題，可以把不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相等問(wèn)題，可以減少運(yùn)算量，提高正確率；把相等減少運(yùn)算量，提高正確率；把相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等問(wèn)題，能突破難點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等問(wèn)題，能突破難點(diǎn)找到解題的突破口找到解題的突破口.074) 12(242個(gè)整數(shù)根何值時(shí)此方程至少有一取為正整數(shù)，問(wèn)中的已知二次方程例aaaxaax.2|) 1(1212的取值范圍值都成立，求的取的一切實(shí)數(shù)對(duì)于滿足設(shè)不等式變式xmmxmx222( )2 ()213( )2xxf xet exxtf x變式2 （遼寧高考

12、）已知，求證：（四）常量與變量的相互轉(zhuǎn)化（四）常量與變量的相互轉(zhuǎn)化 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，變量的選取解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，變量的選取對(duì)問(wèn)題解決起至關(guān)重要的作用，打?qū)?wèn)題解決起至關(guān)重要的作用，打破思維常規(guī)，合理選擇變量，常使破思維常規(guī)，合理選擇變量，常使難題峰回路轉(zhuǎn)柳暗花明，起到事半難題峰回路轉(zhuǎn)柳暗花明，起到事半功倍之效功倍之效.22.1.1 .0 .)2cos(0cossin4 , 02sinR44533DCBAyxayyyaxxayx）的值為（則，且，、設(shè)例0.0.0.0.3232R1xyDxyCyxByxAyxxyyx）那么（，且，已知變式.010R2的取值范圍，求實(shí)數(shù)，且，已知變式abcacbacb

13、a（五）函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化（五）函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化 用函數(shù)與方程思想方法解題，就是用函數(shù)與方程思想方法解題，就是對(duì)所給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從不同角度仔細(xì)對(duì)所給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從不同角度仔細(xì)審視，看看此數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法，是否與審視，看看此數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法，是否與函數(shù)或方程有關(guān)聯(lián)，若有，就可用函數(shù)函數(shù)或方程有關(guān)聯(lián)，若有，就可用函數(shù)或方程的有關(guān)性質(zhì)來(lái)求解；表面上看若或方程的有關(guān)性質(zhì)來(lái)求解；表面上看若沒(méi)有，能否經(jīng)過(guò)一番改造（轉(zhuǎn)化）為函沒(méi)有，能否經(jīng)過(guò)一番改造（轉(zhuǎn)化）為函數(shù)或方程的問(wèn)題，這樣會(huì)便于問(wèn)題的解數(shù)或方程的問(wèn)題，這樣會(huì)便于問(wèn)題的解決決.最小周長(zhǎng)為的一點(diǎn)，則上任意是側(cè)棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱，各條棱的長(zhǎng)都是中，如圖

14、，正三棱錐例ADEPBDPCEABCP26 .ACBPED變式變式 如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，底面為直角三角形，底面為直角三角形， ACB90 ，AC6，BCCC1，P是是BC1上一上一動(dòng)點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)，則CPPA1的最小值是的最小值是_.PC1B1A1CAB（六）高維與低維的相互轉(zhuǎn)化（六）高維與低維的相互轉(zhuǎn)化 事物的空間形成，總是表現(xiàn)為事物的空間形成，總是表現(xiàn)為不同維數(shù)且遵循由低維想高維的發(fā)不同維數(shù)且遵循由低維想高維的發(fā)展規(guī)律，通過(guò)降維轉(zhuǎn)化，可把問(wèn)題展規(guī)律，通過(guò)降維轉(zhuǎn)化，可把問(wèn)題有一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到另一個(gè)領(lǐng)域而得有一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到另一個(gè)領(lǐng)域而得以解決，這種轉(zhuǎn)化在立體幾何

15、中特以解決，這種轉(zhuǎn)化在立體幾何中特別常見(jiàn)別常見(jiàn).為有理數(shù)？與，使實(shí)數(shù)年北大）是否存在（例3cot3tan20097xxx.22) 1(3442222的取值范圍軸有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)有一條與中至少，已知三條拋物線：變式axaaxxyaxaxyaaxxy （七）（七） 正與反的相互轉(zhuǎn)化正與反的相互轉(zhuǎn)化 對(duì)于那些從對(duì)于那些從“正面進(jìn)攻正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較難的問(wèn)題，很難奏效或運(yùn)算較難的問(wèn)題，可先攻其反面，從而使正面可先攻其反面，從而使正面問(wèn)題得以解決問(wèn)題得以解決.仿佛為你而等待仿佛為你而等待整整三十一載整整三十一載不不 滿滿一節(jié)課滿滿一節(jié)課才等來(lái)了這笑語(yǔ)歡聲才等來(lái)了這笑語(yǔ)歡聲短暫相聚的時(shí)光短暫相聚的時(shí)光在在“轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化“的輕柔與飄灑中的輕柔與飄灑